2. La historia entera de la geometría atestigua una tendencia constante a restringir cada vez más su dominio y acrecentar otro tanto las exigencias lógicas. Pero en el siglo XIX con la aritmetización del análisis el movimiento acelero, separaciones sorprendentes se manifestaron así entre las sugestiones falaces en la intuición y las enseñanzas indubitables de la demostración.
3. Dos ejemplos memorables: no es verdad que a una curva continua se pueda trazar siempre una tangente (weierstrass), no es falso que una curva, línea sin anchura, pueda cubrir toda la superficie de un cuadrado (peano).
4. Es pasch quien en 1882 intentó la primera axiomatización de la geometría. para que la geometría llegue a ser verdaderamente una ciencia deductiva, es necesario que la manera como se sacan las consecuencias sea en todas partes independiente del sentido de los conceptos geométricos, como debe serlo de las figuras; solo deben tomarse en consideración las relaciones establecidas por las proposiciones entre los conceptos geométricos.
5. He aquí las condiciones fundamentales a las que para ser verdaderamente rigurosa, debe satisfacer una exposición deductiva: 1.- que sean enunciados explícitamente los términos primeros, con ayuda de los cuales se propone uno definir los otros 2.- que sean enunciadas explícitamente las proposiciones primeras con ayuda de las cuales se propone uno demostrar todas las otras. 3. que las relaciones enunciados entre los términos primeros sean puras relaciones lógicas y permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a los términos 4.- que solo estas relaciones intervengan en las demostraciones, independientemente del sentido de los términos (lo que prohíbe tomar prestado algo ala consideración de las figuras)
6. La anterioridad de un sistema Las reglas establecidas por Pasch conllevan la distinción clara entre términos y proposiciones propias al sistema axiomatizado y aquellos que, lógicamente, le son anteriores. Un sistema geométrico, aparte de la lógica, da por supuesto a la aritmética, pues para definir un triángulo es necesario utilizar el tres; asimismo, para demostrar que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos, se hace necesario admitir la validez de los teoremas aritméticos relativos a la adición.
7. INDEFINIBLES E INDEMOSTRABLES. LOS SISTEMAS EQUIVALENTES Una de las características que definen en forma más visible que una teoría deductiva ha sido puesta en forma axiomática es, como se ha visto, que se comienza a despejar y enunciar en forma expresa y exhaustiva lo que son los indefinibles y los indemostrables de la teoría.
8. Las definiciones por postulados El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican.
9. El conjunto de postulados euclidianos constituye, de hecho, una definición implícita del conjunto de las nociones euclidianas puede verse mejor ahora que los postulados de una teoría no son proposiciones, esto es, que pueden ser verdaderas o falsas, puesto que contienen variables que, relativamente, se encuentran indeterminadas.
10. Un sistema de postulados es comparable a un sistema de ecuaciones con varias incógnitas, correspondiendo estas incógnitas a los términos primeros de la axiomática considerada: su valor no es cualesquiera, pero no está determinado sino implícitamente, solidaria, equívocamente.
11. Los modelos el isomorfismo El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican.
12. Independencia, economía La independencia de los postulados de un mismo sistema no es lógicamente indispensable para su validez, solamente si esta condición no se satisface hay una superabundancia de posiciones primeras y se juzga ordinariamente preferible en un designio de economía reducir su numero al mínimo.
13. Los sistemas debilitados o saturados Es éste el caso de la geometría euclidiana, con la condición de que no se incluyan en ella como postulados adicionales aquellos que, sin estar expresamente formulados, no estaban menos admitidos implícitamente en las demostraciones.
