Calculo del punto optimo de reemplazo de equipos mecánicos

1. HENRY J. VILLARROEL
POLITICAS DE REEMPLAZO DE EQUIPOS
HENRY
VILLARROEL
POLITICAS DE REEMPLAZO DE EQUIPOS
Villarroelhenry.j@gmail.com

2. Reemplazos:
Los reemplazos son
acciones de mantenimiento
Políticas de Reemplazo
Punto Optimo
COSTOPORAÑO(MMBs)
2500
3000
3500
Curva de Costo Total
Curva de Costos
Correctivos
HENRY
VILLARROEL
acciones de mantenimiento
que se en el sistema
haciendo reparaciones
mínimas o reemplazos
totales de algunos de los
componentes del sistema o
del sistema entero.
COSTOPORAÑO(MMBs)
500
1000
1500
2000
2500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
INTERVALO DE TIEMPO (ANOS)
Correctivos
Curva de Costos
Preventivos

3. Objetivo de las Políticas de
Reemplazo
Determinar los parámetros de la
política de mantenimiento
preventivo que optimicen algún
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
preventivo que optimicen algún
criterio. El criterio mas
ampliamente utilizado es el costo
total esperado por reemplazo por
unidad de tiempo. El costo total
esperado C(tp) por unidad de
tiempo, es una función de tp:
C(tp) = Costo total esperado en el intervalo (0, tp)
Longitud esperado del intervalo

4. Tiempo Optimo de
Reemplazo
Es el tiempo minino en que
un equipo puede ser Punto Optimo
COSTOPORAÑO(MMBs)
2500
3000
3500
Curva de Costo Total
Curva de Costos
Correctivos
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
un equipo puede ser
reemplazado, es decir, el
tiempo donde tanto los costos
de penalización (correctivos) y
mantenimiento (preventivos)
son mínimos, la retención del
equipo mas allá de este
tiempo conlleva a generar
mayores costos, ya que a
partir de allí los costos siguen
una tendencia elevada.
COSTOPORAÑO(MMBs)
500
1000
1500
2000
2500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
INTERVALO DE TIEMPO (ANOS)
Correctivos
Curva de Costos
Preventivos

5. Tipos de Comportamientos de la
Curva total de Costos
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
Cuando
ambas expresiones de reemplazo
tienden a infinito. El costo mínimo
se obtiene con
,, ∞→∞→ tpoT
∞=T
Comportamiento tipo I:

6. Comportamiento tipo II:
Tipos de Comportamientos de la
Curva total de Costos
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
Comportamiento tipo II:
Cuando
hay un periodo optimo de
mantenimiento finito o edad
optima T.
,, ∞→∞→ tpoT

7. Tipos de Comportamientos de
la Curva total de Costos
Comportamiento tipo III:
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
El comportamiento es
ascendiente, el costo
mínimo se obtiene
reemplazando el equipo
inmediatamente.

8. Políticas mas comunes para el reemplazo de equipos
mecánicos son:
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
Bloque
A una edad
Predeterminada

9. Reemplazo en Bloque:
Reemplazo al fallar Reemplazo preventivo
0 tp
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
Un ciclo
El costo total esperado: en un intervalo (0 ,tp) es una suma del
costo del mantenimiento preventivo (Cp) más el costo del
mantenimiento correctivo (Cf) por el numero esperado de fallas
(M(tp)). La longitud esperada del ciclo es tp.

10. Reemplazo en Bloque
Matemáticamente el reemplazo en bloque puede ser expresado:
tpMCfCp
tpC
)(*
)(
+
=
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
tp
tpMCfCp
tpC
)(*
)(
+
=
Cp = Costos de reemplazos preventivos durante el intervalo (0,tp]
Cf = Costos de reemplazo correctivos durante el intervalo (0,tp]
M(tp) = Numero de falla esperado durante el intervalo (0,tp]
tp = Longitud esperada del intervalo

11. M(tp):
“Es hallado utilizando Estimación
de una función de renovación
parametrica”
ESTIMACION DE UNA
FUNCION PARAMETRICA
“Cuando la distribucion del tiempo de“Cuando el sistema
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
“Cuando la distribucion del tiempo de
falla es conocido, se puede
determinar el numero de fallas
esperado (0,tp) usando”.
APROXIMACIÓN DE
TIEMPOS DISCRETOS
(o componente) se
observa en intervalos de
tiempos”
∫∑
+−
=
−−+=
11
0
)(*)]1(1[)(
i
i
T
i
dttfiTMTM
Con M(0)=0

12. Ejemplo de política basada en bloque
Los tiempos de falla de un montacarga siguen un comportamiento de una función de
probabilidad de falla exponencial con Tiempo Promedio Entre Falla, MTBF= 33 días. Los
costos de mantenimiento preventivo y correctivo oscilan entre 10000 Bs. y 50000 Bs.
respectivamente. Se desea determinar el tiempo óptimo de reemplazo utilizando la política
de reemplazo en bloque
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
de reemplazo en bloque
tp
tpMCfCp
tpC
)(.
)(
+
=
( )[ ] ∫∑
+−
=
−−+=
11
0
)(.11)(
i
i
T
i
dttfiTMTM
t
etf λ
λ −
=)( 030.0
33
11
===
MTBF
λ
10000=Cp
50000=Cf
33=MTBF días

13. Tomando intervalos de tp=10 días, se construye los costos totales para cada intervalo:
[ ]∫∑ −
=
+=
10
0
0
0
.)0(1)1( dt
t
ei
MM λ
λ
[ ] [ ] 259.0.01.)0(1)1( )0(030.0)10(030.0
10
=−+=−+= −−−
eee t
MM λ
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
[ ] [ ] 259.0.01.)0(1)1( )0(030.0)10(030.0
0
=



−+=



−+= −
+
−−
eee t
MM λ
tp
MCfCp
tpC
)1(.
)(
+
=
diasBsC /2295
10
)259.0.(5000010000
)10( =
+
=
Análogamente para los intervalos de 20, 30, 40, 50,etc. Se construye la siguiente tabla:

14. Intervalos, tp (días) M(tp) Costo total, C(tp),
(Bs./días)
10 0.259 2295
20 0.518 1795
Resultados:
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
20 0.518 1795
30 0.776 1626.6
40 1.035 1543.7
50 1.293 1493
60 1.532 1443.3
70 1.810 1435.7
80 2.068 1417.5
90 2.335 1408.3
100 2.587 1393.5

15. Resultados:
Curva de Costo Total del Montacarga
1500
2000
2500
CostoenBs./días
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
0
500
1000
1500
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tiempo en días
CostoenBs./días
Se puede observar que la curva de costo total sigue un comportamiento tipo I,
donde a medida que aumentan los días el costo sigue disminuyendo, por lo
tanto el tiempo óptimo es cuando , es decir cuando el equipo falle, es
cuando se obtendrá en tiempo óptimo
∞→T

16. Reemplazo Basado en la Edad
Reemplazo Reemplazo
Por falla Mantenimiento por falla Mantenimiento
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
0
Por falla Mantenimiento por falla Mantenimiento
. preventivo preventivo
tp tp
C(tp) = Costo total esperado en el intervalo (0,tp)
Longitud esperada del intervalo

17. Costo total esperado en el intervalo (0,tp): La probabilidad del costo preventivo por la
probabilidad de que el equipo sobreviva a la edad de reemplazo planificada + el costo del
reemplazo correctivo x la probabilidad de falla del equipo antes del tp. Matemáticamente
se puede expresar
Reemplazo Basado en la Edad
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
)](1.[)(. tpRCftpRCp −+
Longitud esperada del intervalo: La longitud de un costo preventivo x la probabilidad de
sobrevivencia del ciclo + la longitud esperada del ciclo x la probabilidad de un ciclo de falla.
Matemáticamente se puede expresar:
∫+ dttpfttpRtp )(.)(.
Finalmente:
∫+
−+
= tp
dttpfttpRtp
tpRCftpRCp
tpC
0
)(*)(.
)](1.[)(.
)(

18. PROBLEMA TIPO:
Un cojinete de deslizamiento de un eje de alta velocidad se desgasta de acuerdo a una distribucion
normal con media de 1.000.000 de ciclos por segundo y una desviación estándar de 100.000 ciclos por
segundos. El costo del mantenimiento preventivo es 50.000 Bs. y el reemplazo por falla es de 100.000
Bs.. Determine el tiempo óptimo de mantenimiento (reemplazo) del cojinete utilizando la política basada
en la edad.
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
en la edad.
000.100
000.50
?
/000.100
/000.000.1
=
=
=
=
=
Cf
Cp
topt
sc
scx
σ
µ
( )
( )
∫
∫
∞−
∞−
+
−+
=
=
=
+
−+
=
tptp
tptp
dtttftpRtp
tpRtpR
C
Cf
Cp
dosustituyen
dtttftpRtp
tpRCftpRCp
C
)()(.
)](1].[000.100)(.000.50[
000.100
000.50
)()(*
)](1[*)(*

19. ∫∞−
−=
tp
p dttftR )(1)( dtptR
xt
etp
2
).(
2
1
2
1
.1)( σ
µ
πσ
−
−
∫−=
∞− 




 −
−=
σ
µ
φ
xt
tR
p
1)(
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo





 −
σ
µ
φ
xt
Donde Es la distribución normal estándar
dt
xt
tdtft
tp pt
t e
2
2
1
2
1
)(.





 −
−
∫ ∫
∞− ∞−
= σ
µ
πσ
Utilizando un artificio matemático, la integral puede ser igual a:
( )[ ] dt
xt
xxt e
tp
2
2
1
2
1
.



 −
−
+−∫
∞−
σ
µ
µµ
πσ
Separando las dos integrales se obtiene:

20. ( ) dt
pt
xt
x
xt
xt e
tp
e ∫
∞−




+



 −
−
−
−
−∫∞−
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
.
σ
µ
πσ
µ
σ
µ
µ
πσ
22


 −− µµ
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
2
2
1
2
2
2
1












−=

















 −
−
−
−
−
σ
µ
σ
µσ
µ xt
xt
xt
eedt
d
Pero:






















−
−
−
−
+∫
∞−
σ
µ
φ
σ
µ
πσ
µσ
xt
x
xt
dt
d
dtetp
2
2
1
2
1 2
.
Sustituyendo:
)(
2
2
1
2
2
2
1
2
1
)(. tpIntegral
xt
x
xt
dt
xt
tp tp
tdttft ee =
−
+
−
−
−=
−
−
∫
∞−
∫
∞−
=













σ
µ
φµ
σ
µ
π
σσ
µ
πσ
Resultando:

21. ∫




+
−
=
−
−100000
2
100000
1000000
2
1
)100000(.100000
)100000(.50000100000
)100000(
dt
t
et
R
R
C
Para el calculo del costo total en cada intervalo, comenzamos con tp=100000 c/s
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
∫∞−
+
2
)100000(.100000 dteR
πσ
100000 1000000
(100000) 1 1 ( 9) 1 0 1
100000
R φ φ
− 
= − = − − = − =  
Calculamos la confiabilidad en tp=100000 c/s
[ ]9100000
2
100000
1000000100000
2
1
2
100000100000
2
100000
1000000
2
1
2
−+
−
−
−=∫
∞−
−
−








φ
ππσ
edt
t
e
t
Evaluamos la integral en tp=100000 c/s

22. 21 1000000
100000 1000002 100000( 100000) .(0) 100000.(0) 0.
2 2
t
t
Integral tp e dt
σ π π
−
−
= = = − + =∫
−∞
 
 
Sustituyendo en la ecuación de costo total basado en la edad se obtiene, el costo total en el
intervalo de tp=100.000 c/s
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
ciclo
BsC .5000.0
100000
50000
0)1.(100000
)1.(50000100000
)100000( ==
+
−
=
Análogamente se obtienen los siguientes costos por periodo tp, con lo cual se construye un tabla y
la grafica
∫∞−




+
−
=
−
−100000
2
2
100000
1000000
2
1
)100000(.100000
)100000(.50000100000
)100000(
dt
t
et
R
R
C
πσ

23. RESULTADOS
tpo(ciclosxseg
)
R(tp) Integral (tp) C(tp)
Bs./ciclo
100000 1.0000 0.0000 0.5000
HENRY
VILLARROEL
Políticas de Reemplazo
200000 1.0000 0.0000 0.2500
300000 1.0000 0.0000 0.1667
400000 1.0000 0.00085 0.1249
500000 1.0000 0.21025 0.0999
600000 1.0000 18.9264 0.0833
700000 0.9987 756.7580 0.0715
800000 0.9772 30435.4757 0.0629
900000 0.8413 50089.8280 0.0717
1.000000 0.5000 106418.9584 0.1236

24. 0.3
0.4
0.5
0.6
CostoBs./Ciclo
Tiempo Óptimo
RESULTADOS
Políticas de Reemplazo HENRY
VILLARROEL
0
0.1
0.2
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Tiempo en Ciclos x Segundos (x 1 E+03)
CostoBs./Ciclo
Se puede apreciar que la curva de costo total sigue un comportamiento tipo II, donde se
observa un punto de inflexión en la curva que corresponde al mínimo valor de costo, el
tiempo optimo para realizar el reemplazo o la tarea de mantenimiento se obtiene a los
800000 ciclos x segundos