2. これは何?
• Gilbert Strang 著
『Linear Algebra for Everyone』
は線形代数を直感理解するのに
とてもいい本です。
• 定理と証明の連鎖ではなく、マトリックス語法と例⽰で直感的な理解と実⽤的な
応⽤法を得ることができます。
• YouTube の MIT Open Courseware、 先⽣の講義プレイリストである 18.06
と 18.065 には、200万⼈の購読者がいます。(ぼくもその⼀⼈です)
• この本のハイライトは、
• AB=C の4つの⾒⽅
• 基本的な4つの部分空間
• 5つのマトリックス分解
• 通常の線形代数の教科書はジョルダン標準形がクライマックスですが、この
本では、SVD です。そして、
• 機械学習を含むデータサイエンスへの⼊⾨につながっています。
• この1と2のコンセプトをグラフィック表現できないか、というアイディアです。
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 2
1
2
3. この発表
のモチベ
ーション
• ⾏列とベクトルの掛け算には、複数の⾒⽅
があります。
• このノートは、それらを可視化し、教育⽤
コンテンツとする試みです。
• それによって ...
• ⾏列とベクトルの演算を直感的に⾏えるよう
になります。
• その直感を、5つの⾏列分解法、などのコンセ
プトの理解につなげることができます。
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 3
最新版︓
https://github.com/kenjihiranabe/The-Art-of-Linear-Algebra/
http://math.mit.edu/everyone
4. 5つの⾏列分解
𝐴 = 𝐶𝑅
𝐴 = 𝐿𝑈
𝐴 = 𝑄𝑅
𝑆 = 𝑄Λ𝑄!
𝐴 = 𝑈Σ𝑉!
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 4
独⽴列⾏列と⾏簡約⾏列の積
(⾏ランク=列ランクを⽰す)
LU分解=ガウスの消去法
QR分解=Gram-Schmidtの直⾏化
対称⾏列の固有値分解
どんな⻑⽅⾏列にも使える
特異値分解
5. By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 5
Foreword
I am happy to see Kenji Hiranabeʻs pictures of matrix operations in linear algebra ! The
pictures are an excellent way to show the algebra. We can think of matrix
multiplications by (row, column) dot products, but that is not all -- it is ``linear
combinations” and ``rank 1 matrices" that complete the algebra and the art.
I am very grateful to see the books in Japanese translation and the ideas in Kenji's
pictures.
-- Gilbert Strang
Professor of Mathematics at MIT
6. By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 6
• もうすぐ⽇本語訳発売! • ⽇本語訳決定!
7. By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 7
先⽣の講演例:https://www.youtube.com/watch?v=MsIvs_6vC38
8. ⽬次
• ⾏列の⾒⽅ – 4つ
• ベクトルの積 – 2つ
• ⾏列のベクトルの積 – 2つ
• ⾏列と⾏列の積 – 4つ
• 便利な応⽤パターン– 4つ
• ⾏列の有名分解 – 5つ
• 𝐶𝑅, 𝐿𝑈, 𝑄𝑅, 𝑄Λ𝑄!, 𝑈Σ𝑉!
• データサイエンス応⽤で理解する SVD(今⽇だけ)
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 8
29. SVDの応⽤からの理解︓ eigenface
Washington ⼤学の Steve Brunton 先⽣の YouTube チャネル
にて、120回以上の動画で詳しくこの本の中について解説されて
いる。その中の、eigenface の回をご紹介。
Databookuw.com
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang
30. Eigenfaces – Yale B Dataset
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 30
256値×32K 画素×64枚× 36⼈、から、特異値ベクトルを抽出
31. ⾏列の2つの意味(1.写像)
𝐴 ∈ 𝑀 𝑚×𝑛, ℝ m⾏n列の実数要素の⾏列
1. ℝ!→ ℝ" の線形写像と⾒る
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 31
ℝ" ℝ#
→
𝑥
𝐴
𝐴𝑥
𝑥∈ℝ" n次元列ベクトル
𝐴𝑥∈ℝ# m次元列ベクトル
𝐶 A = 𝐴𝑥 𝑥∈ℝ"
} Aの列空間⊂ ℝ#
𝑁 A = 𝑥 𝑥∈ℝ", 𝐴𝑥 = 0} Aの零空間⊂ ℝ"
= +
𝐴 の列ベクトルの線形結合
𝑨𝒙 =
1 0
2 1
3 1
𝑥!
𝑥"
= 𝑥!
1
2
3
+ 𝑥"
0
1
1
Mv
2
rank 𝐴 = dim 𝐶(𝐴)
m x n の時、 ℝ%
→ ℝ&
nが⼊⼒m
が出⼒であることに注意。
40. By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 40
顔データを元よりも少数
次元の基底によって復元
する。
基底は、U を特異値の⼩
さい⽅を削除ししまった
近似。
このU平⾯に新しい顔を
射影し、その座標(少数)
をαという。このαを使っ
て、新しい顔を表現する。
(データ圧縮)
顔を次元を順次増
やして復元。
効率は良くないが、
⽝も表現できるよ。
(だいぶ怖い)
41. 参照⽂献と
謝辞
• Linear Algebra for Everyone
(⽇本語 来年)
http://math.mit.edu/everyone/
• MIT OpenCourseWare 18.06
http://web.mit.edu/18.06/www/vi
deos.shtml
• A 2020 Vision of Linear Algebra
https://ocw.mit.edu/resources/res
-18-010-a-2020-vision-of-linear-
algebra-spring-2020/
• マトリックスワールド
https://anagileway.com/2020/09/
29/matrix-world-in-linear-algebra-
for-everyone/
• 4つの部分空間 Tシャツ
https://anagileway.com/2020/06/
04/prof-gilbert-strang-linear-
algebra/
This work is inspired by Prof. Strangʼs
books and lecture videos. I deeply
appreciate his work, passion and
personality.
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang
41
42. By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 42
Tシャツ作った!
43. Thank you for
reading!
Any comments or feedbacks are welcome to:
Kenji Hiranabe (hiranabe@gmail.com)
=
43