アルゴリズムのお勉強ダイクストラ

アルゴリズムのお勉強
兼前期末対策

※注意書き
• 確実にテスト対策になる確証はありません
• あくまでお勉強用です
• テスト範囲やノートを参考にしています
• あと変なノリが含まれます
• あと、責任は取りません…というか取れません
それでもいいなら進めていってください。

はじめにテスト範囲の考察
• キューとスタック
→マージソートで最適なデータ構造
• w(s, V-U)
• 補題1
• 補題2
• ダイクストラのアルゴリズム
まずテスト範囲から
そのテスト内容の考察です。

• w(s, V-U)
• 補題1
• 補題2
配列、キュー、スタックについての特徴、
これは表にまとめて暗記ですね。

• w(s, V-U)
• 補題1
• 補題2
もっといえばそれをC言語で実装する方法、
さすがにそこまでは出ないかもしれません。

• w(s, V-U)
• 補題1
• 補題2
次に、マージソートに適するデータ構造。
データ構造の特徴から考えていきます。
理由を含めて暗記でいいかと。

• w(s, V-U)
• 補題1
• 補題2
次にグラフに入ります。
頂点SからV-U内の頂点の
重み最小な道の長さです。

• w(s, V-U)
• 補題1
• 補題2
これは定義として覚えておいて、
求めるならば、総当たりで求めてください。

• w(s, V-U)
• 補題1
• 補題2
補題は基本暗記でどうぞ。
一応解説はしてますが…

• w(s, V-U)
• 補題1
• 補題2
ダイクストラは解き方中心に覚えましょう。

データ構造
• 配列
末尾の追加、削除◎
先頭の削除×
• スタック
(配列) 末尾の追加、削除◎
(連結リスト) 先頭の追加、削除◎
• キュー
末尾の追加、先頭の削除◎
まず、データ構造の説明から。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
配列は言わずと知れたデータ構造です。
添字でどこでも好きな値を
変更することができます。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
配列は末尾、つまりデータがないところに
簡単にデータを追加することができます。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
同様にデータの削除は末尾のみ可能です。
例えば、真ん中削除しちゃうと穴が空きます。
詰めるのめんどくさい…つまり苦手。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
先頭の削除もそういうわけで苦手です。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
次にスタックです。
スタックは後入先出、先入後出です。
ちょうど積み上げたものを崩す感じです。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
配列で実装した場合は末尾に追加していき、
末尾から取り出します。
つまりこれが末尾の追加と削除です。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
連結リストの場合は
ポインタを使ったリスト構造です。
これは先頭の追加、削除になります。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
結局のところスタックというデータ構造は、
後から追加したデータを先に処理する、
という考え方になりますね。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
最後にキューです。
これは先入先出。
先に並んだ方が先に出ていきます。

データ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
つまり末尾に並んで先頭から出ていく、先に
並ぶと先に処理される、簡単ですね。

マージソートに適しているデータ構造
• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
マージソートに適しているデータ構造ですが、
これはキューですね。

• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
理由としては、マージソートの併合の時、
先頭(小)をとりだして、末尾(さらに小)の
キューに追加していくからです。

• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
つまり先入先出というデータ構造が
マージソートに適していることになります。

• 配列
先頭の削除×
• スタック
• キュー
ということで、次はグラフに参ります。

w(s, V-U)
さて問題のこの式。
まずはグラフで見てみましょう。
V

w(s, V-U)
この集合はグラフVの頂点です。
V

w(s, V-U)
その中にスタート地点である、
頂点sを決めます。
s
V

w(s, V-U)
ではそのsのみを区切って分けてみます。
左がUで、U
s
V

w(s, V-U)
右はVからUを除いたものとなるので、
V-Uと表現することができます。U
s
V
V-U

w(s, V-U)
このときw(s, V-U)は右の集合の中で、
一番重みが小さい頂点の重みを返します。U
s
V
V-U

w(s, V-U)
仮にこの様になっていた場合は、
1が最小の重みですね。U
s
V
V-U
1
3

w(s, V-U)
では、その重み最小の頂点を追加すると、
Uに追加されて境界線が変わります。U
s
V
V-U
1
3
1

w(s, V-U)
w(s, V-U)の対象となる頂点は2つですが…
今回は上の2(1+1)が出てきます。U
s
V
V-U
1
3
1

w(s, V-U)
そんな感じでどんどん追加していきます。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4

w(s, V-U)
どんどん追加…
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1

w(s, V-U)
とりあえず途中だけどここまで。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3

補題1
では補題1について説明します。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3

補題1
補題1の内容はこうですね。
要約すると、z以外はUに属する、
ということを言ってます。
• w(s, V-U)を表す道を
P=s, v1, v2, …, vk, zとする。
このときs, v1, v2, …, vk ∈ Uである。

補題1
先ほどのグラフで言えば…
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3

補題1
新しく追加する頂点(赤色)への道は
すべてUに含まれるということです。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3

補題1
例えばこの赤い頂点の場合、
黄色の頂点はすべてUに含まれますね。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3

補題1
背理法を使って証明していきます。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3

補題1
まず、vkまでUに属さない点が
存在したと仮定します。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3

補題1
点x, yとして追加します。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
x
y

補題1
距離は合わせて3になるように、
それぞれの辺の重みは1とします。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
x
y
1
11

補題1
さて、どうしてこれがダメなのでしょうか？
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
x
y
1
11

x
補題1
あ、赤い頂点より頂点xの方がw(s, V-U)の値、
つまりU以外、V-Uの中で
一番最小な重みを持つ頂点となります。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
y
1
11

x
補題1
これは仮定と異なりますね。
つまり…
こういう頂点は存在してはいけないのです。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
y
1
11

x
補題1
ということで、補題1は成り立ちますね。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
y
1
11

補題2
次に補題2です。
• 先ほどの補題1に続き、
s, v1, v2, …, vkは重み最小のs-vk道
である。

補題2
簡単に言えば…
新しく追加される重み最小の道は、
一手前も重み最小の道ということです。
である。

補題2
同様にこのグラフでやってみましょう。
赤い道が今回の重み最小道です。
である。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3

補題2
補題が正しいならば、
一手前の赤い道は重み最小のはずです。
である。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3

補題2
じゃあ、こういう辺が存在していいの？
という問題になります。
である。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
1

補題2
これも背理法で証明できます。
つまりこの辺が存在したら？と仮定。
といっても、非常に簡単で…
である。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
1

補題2
こっちの方が短いならば、
重み最小道はこちらになるはずです。
つまりw(s, V-U)は変化してしまいます。
である。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
1

補題2
つまり存在したらw(s, V-U)は変わっちゃう、
存在すると矛盾が起きる…ということで、
背理法証明完了です。
である。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
1

補題2
日本語難しい…です。
である。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
1

補題2
ダイクストラのアルゴリズムでは、
補題1, 補題2を利用しています。
である。
U
s
V
V-U
1
3
1
3
4
1
3
1

ダイクストラのアルゴリズム
• グラフの重み最小道を見つける
→重み1とすれば最小距離でも可さて、そういうことでメインである、
ダイクストラのアルゴリズムについて
解説していきます。

→重み1とすれば最小距離でも可ちなみにダイクストラのアルゴリズムは
貪欲法の一種。
効率の良いところ貪欲的に支配するもの也。

→重み1とすれば最小距離でも可よく重要！
って言われるのはなぜでしょう？
グラフの最短経路って何に使わる？

→重み1とすれば最小距離でも可
有名なところで
ネットワークのルーティングがあげられます。

→重み1とすれば最小距離でも可
あとはゲームのAIが
最短経路を探したりとか…でしょうか。

• U:すでに最短距離が決まっている集合
• W:Uに隣接するU以外の集合
• d:確定の最短距離
• tmp:暫定の最短距離
では例題でも解いてみましょう。

大事になってくるこの表記はおさらいです。

Uはsから始まり、
徐々に大きくなる確定した集合です。

Uは確定の最短距離dがあります。

次にWはUに隣接するU以外の集合です。
つまりまだUではないけど隣接しているので、
次の一手でつながるかも～な集合です。

Wは暫定ですが最短距離を持ち、
これをtmpとします。
なおtmpは更新されることがあります。

更新されるタイミングは、
別の隣接頂点が見つかった時、です。

ということで例題でも解いてみましょう。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
6

a→eの最短経路を求めてみましょう。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
6

とりあえずスタート地点はaなので、
Uとして囲みます。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U
6

Aの距離は0ですね。
よってd=0です。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U d=0
6

次に隣接しているWを求めて囲みます。
W={b, d, f}ですね。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U
W
d=0
6

tmpは単純に辺の重みでいいですね。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U
W
d=0
6
tmp=1
tmp=6
tmp=2

tmpが最小だったbをUに追加して…
各々の項目を更新します。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U
W
d=0
6
d=1
tmp=6
tmp=2
tmp=2

今回tmpの値を更新するものはないですね。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U
W
d=0
6
d=1
tmp=6
tmp=2
tmp=2

次の最短経路ですが…
tmp=2が2つあります。
どちらでもいいですが若いcを選びましょう。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U
W
d=0
6
d=1
tmp=6
tmp=2
tmp=2

cが追加されて…
dのtmpが更新されることに
気をつけてください。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U
W
d=0
6
d=1
tmp=4
tmp=2
d=2

あとは同様にfが追加されて…
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U
W
d=0
6
d=1
tmp=4
d=2
d=2
tmp=10

dが追加されて…
(tmpが更新されていることの注意)
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U
W
d=0
6
d=1
d=4
d=2
d=2
tmp=7

最後にeを追加して終了です。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U d=0
6
d=1
d=4
d=2
d=2
d=7

a→eの最短経路は
a, b, c, d, eとなり
その重みは7となりますね。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U d=0
6
d=1
d=4
d=2
d=2
d=7

とりあえず留意点は、
色分けで落ち着いて丁寧に解く、
更新を忘れない…ぐらいでしょうか。
a
b
c
f
e
d
1
1
2
2
3
8
U d=0
6
d=1
d=4
d=2
d=2
d=7

疑似言語
さて、疑似言語の説明は必要でしょうか？
簡単にですが先ほどの手順と関連付けます。
Input : G = (V, E), V上の頂点S
Output : s 始点とするGの最短経路木T
0 Tを初期化する;
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
3 | Uと隣接しているV-U中の頂点の集合をwとする;
4 | foreach u ∈ W do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
7 | Wの中で最小の暫定距離を持つ頂点uを選択する;
8 | du ← tmpuとし、uをUに追加する;
9 | tmpu = dw + c(w, u)なる頂点wを1つ選び、
頂点wと辺{w, u}をTに追加する;
10 end

疑似言語
ここで、スタート地点のsをUに入れます。
図で言えばaの追加に対応します。
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
ループの条件ですが、
Vの中身すべてがUに追加されていないとき、
つまりU!=Vの時ですね。
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
これが黄色で囲んでいる集合Wとなります。
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
Wの中身すべてに対して…
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
tmpを求めます。
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
補題よりこの式が
aからの暫定最小経路になりますね。
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
そして、tmpが最小となるものが
追加される頂点です。
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
aからの最短経路dを確定して、
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
Uに追加します。
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
そして辺を追加します。
最短となる辺を追加すればいいわけです。
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

疑似言語
ということで…
ループ条件まで繰り返せば完了です。
1 ds ← 0; U <- {s};
2 while U != V do
5 | | tmp ← min v∈U { dv + C(v, u) };
6 | end
10 end

以上
こんなものでしょうか、
テスト範囲網羅できてる自信ないです。

以上
誤字脱字、間違えてたらごめんなさい。

以上
以上簡単ですが、
アルゴリズムのお勉強となります。

教科書
• アルゴリズムとデータ構造数理工学社藤田聡 2013/3/10
教科書のため、ところどころ引用になってる場所があります

立ち絵素材
• 臼井の会様 http://usui.moo.jp/frame2.html

ご視聴ありがとうございました。
頑張ってくださいね。

アルゴリズムのお勉強ダイクストラ

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