Soutenance de Thèse

1. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Taux de franchissements pour processus non
gaussiens et applications aux comportements
de structures
Thomas Galtier
Directeurs
Valérie Monbet
Igor Rychlik
Rapporteurs Examinateurs
José León Emile Le Page
Marc Prevosto Evans Gouno
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 1

2. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Déroulement de la thèse
Université de Chalmers, Gotebörg, Suède
Centre de Modélisation Mathématiques de Gotebörg
Project Européen Seamocs
Modèles Stochastiques Appliqués à l’ingénierie
océanographique, climatologie et sécurité
Université de Bretagne Sud (UBS)
Laboratoire Lab-Sticc, Vannes
Bourse Région Bretagne
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 2

3. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Plan
1 Introduction
2 Laplace à Moyenne Mobile
3 Taux de Franchissements pour LMA
4 Processus de Réponse
5 Perspectives
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 3

4. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Contexte
Transport maritime international = 90 % du commerce
mondial
Dans ce contexte la fiabilité et le dimensionnement des
navires est important
Sources d’inquiétudes :
Endommagement en fatigue accumulée
S’accumule dès que le navire est mis à l’eau
Apparaît lorsque le niveau maximum des efforts reste
inférieur à la résistance ultime
Fissures localisées
Niveau des efforts plus élevé, dépasse la résistance ultime
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 4

5. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Whipping
Il existe des règles de classification que les constructeurs
doivent suivre.
Mais nouveaux matériaux, taille des navires, changements de
route du navire, etc. => possible sous estimation des risques.
Exemple :
Whipping ≈ Vibrations
à hautes fréquences ;
Augmentation
des efforts extrêmes ;
Identifié mais pas
pris encore en compte.
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 5

6. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Processus étudiés
Les problèmes auxquels nous nous intéressons sont relatifs
aux processus non gaussiens.
1 Excitation non gaussienne
Ex : houle non linéaire en faible profondeur
2 Propriétés non linéaires du système
Ex : mouvement de cavalement d’un navire
3 Réponse non linéaire à une excitation non gaussienne
Ex : réponse à une houle non linéaire
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 6

7. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple I
Élévation de surface libre à un point fixé (mouvement d’une
bouée en un point fixe)
Skewness ≈ 0.25
Kurtosis ≈ 3.17
Faiblement non gaussien
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 7

8. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple II
Efforts mesurés dans la partie arrière d’un porte conteneur
Skewness ≈ 1.12
Kurtosis ≈ 7.65
Clairement non gaussien
Classiquement
considéré
comme une réponse
linéaire à une excitation
non gaussienne
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 8

9. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Avantage d’un processus gaussien
Processus caractérisé par sa structure d’ordre 2 (spectre
ou fonction d’auto-covariance) ;
Inconvénients d’un processus gaussien
Ne permet pas marginales asymétriques . . .
ou ayant des queues plus lourdes.
On cherche donc à utiliser un processus qui
1 Aurait une structure d’ordre 2 facilement estimable ;
2 Permettrait une flexibilité plus importante sur les marges.
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 9

10. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Une classe de processus nous permet cela :
Processus de Laplace - [Kotz et al. 2001]
En effet ce processus est caractérisé par :
Sa densité spectrale
Et 4 paramètres permettant de modéliser des marges
asymétriques . . .
et ayant des queues plus lourdes que les gaussiennes.
Et admet comme cas particuliers :
Marges gaussiennes, exponentielles, gamma
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 10

11. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Taux de franchissements
Une statistique très importante en ingénierie offshore E[NT (u)]
Analyse de l’endommagement en fatigue
+∞
nb 1
DT = 2m(2u)m−1 E[NT (u)] du,
α 0
où α et m sont des paramètres
définis par les règles de classification.
Estimation
risque de fissure : pour MT = max Xt ,
0≤t≤T
P(MT > u) ≤ P(X0 > u) + E[NT (u)].
Quand Xt stationnaire et p.s. continument différentiable alors
E[NT (u)] = T · µ(u).
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 11

12. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Formule de Rice [1944,1945]
Le taux de franchissements croissants d’un niveau u est donné
par
∞
µ(u) = zfX (0),X (0) (u, z) dz
˙
0
où fX (0),X (0) est la densité jointe de X et de sa dérivée
˙
temporelle X . ˙
µ(u) dépend donc de fX ,X (rarement explicite) . . .
˙
. . . sauf quand X (t) gaussien où la formule de Rice devient
1 ˙
Var(X (0)) u2
µG (u) = exp{− }.
2π Var(X (0)) 2Var(X (0))
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 12

13. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Quand X (t) n’est pas gaussien la formule de Rice n’est
pas donnée de façon explicite ;
De plus la densité jointe, fX ,X , souvent difficile à calculer ;
˙
Simulation de Monte Carlo pas efficace en temps de
calcul ;
Différentes méthodes existent pour approcher µ(u) quand
fX ,X n’est pas explicite . . .
˙
. . . notamment quand la fonction caractéristique est
calculable explicitement.
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 13

14. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Objectifs de la thèse
1 Proposer un modèle de processus non gaussien
Caractérisé par sa structure d’ordre 2
Permettant une plus grande flexibilité sur les marges.
2 Développer des méthodes pour évaluer les taux de
franchissements pour
Ce processus non gaussien
La réponse à ce processus par un système quadratique
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 14

15. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Plan
1 Introduction
2 Laplace à Moyenne Mobile
3 Taux de Franchissements pour LMA
4 Processus de Réponse
5 Perspectives
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 15

16. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Modèle Stochastique
X (t) = f (t − s) dΛ(s),
R
où f est un noyau adapté de L2 et Λ une mesure stochastique.
Convolution de f avec les accroissements dΛ : f ∗ dΛ ;
Si Λ Gaussien (Mouvement Brownien) X (t) Gaussien ;
Dans notre cas Λ sera un mouvement asymétrique de
Laplace.
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 16

17. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Mouvement de Laplace
Un processus stochastique Λ(t) est appelé mouvement
asymétrique de Laplace si
1 il commence à l’origine : Λ(0) = 0 ;
2 ses accroissements sont indépendants et stationnaires ;
3 ses accroissements dΛ suivent une distribution
asymétrique généralisée de Laplace (GAL(µ, σ, τ ))
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 17

18. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Distributions Asymétriques Généralisées de Laplace
Mieux décrites par leurs fonctions caractéristiques que par
leurs densités qui sont difficiles à obtenir
Si dΛ ∼ GAL(µ, σ, τ )
alors
τ
1
φdΛ (u) = 1 2 2
1 + 2 σ u − iµu
µ paramètre de symétrie ;
σ paramètre d’échelle ;
τ paramètre de forme.
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 18

19. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Relation Spectre - Noyau
Spectre de X donné par
σ 2 + µ2
S(ω) = τ |Ff (ω)|2
2π
f est symétrique
Exemple I
Spectre estimé
Noyau correspondant
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 19

20. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
LMA
On définit alors le processus de Laplace à moyenne mobile
(LMA) par
X (t) = f (t − s) dΛ(s)
R
Les paramètres du LMA dépendent donc
des paramètres (µ, σ, τ ) du processus de Laplace Λ . . .
et du noyau f défini par le spectre du processus S(ω).
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 20

21. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Moments
La moyenne et la variance sont données par
E[X (t)] = τ µ f (x) dx, Var[X (t)] = τ σ 2 + µ2 . (1)
R
Le skewness et le kurtosis par
3 (x)
2µ2 + 3σ 2 Rf dx
s = µτ −1/2 , (2)
(µ2 + σ 2 )3/2 2 3/2
R f (x) dx
4
3 σ4 R f (x) dx
κ= 2− 2 + σ 2 )2 2
. (3)
τ (µ f 2 (x) dx
R
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 21

22. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Dans la suite pour une série temporelle observée on utilisera la
procédure suivante pour estimer les paramètres du LMA
1 Estimation de la moyenne, variance, skewness et kurtosis
2 Estimation du spectre
3 Par inversion de Fourier on obtient le noyau f
En supposant f symétrique et
R
f 2 dx = 1
4 Les paramètres (µ, σ, τ ) sont alors obtenus en résolvant
les Eq.(1-3)
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 22

23. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Plan
1 Introduction
2 Laplace à Moyenne Mobile
3 Taux de Franchissements pour LMA
4 Processus de Réponse
5 Perspectives
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 23

24. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Taux de Franchissements
Formule de Rice :
∞
µ(u) = zfX (0),X (0) (u, z) dz
˙
0
Pour le LMA la densité jointe, fX (0),X (0) difficile à calculer ;
˙
Mais pour le LMA la fonction φX (0),X (0) est explicite !
˙
On pourrait utiliser méthode de Fourier inverse
[Aberg 2010]
Ici on adapte la méthode du point selle pour un LMA car
Très efficace en temps de calcul
Méthode reposant sur la connaissance de la fonction
génératrice des cumulants (ou des moments)
K (s, t) = ln{φX (0),X (0) (−is, −it)}.
˙
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 24

25. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Méthode du Point Selle
Introduite par Daniels (1954) pour approcher la densité jointe
fX (0),X (0) en utilisant la fonction K (s, t)
˙
ˆ 1 ¨ ˆ −1/2
fX (0),X (0) (u, z) =
˙ ˆ
|K (s, t)| exp K (s, ˆ − su − ˆ ,
ˆ t) ˆ tz
2π
¨
où K est la matrice Hessienne de K et le point selle (s, ˆ est
ˆ t)
solution de :
∂K (s, t)
= u,
∂s
∂K (s, t)
= z.
∂t
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 25

26. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Méthode du Point Selle [Machado 2003]
Machado : variante pour approcher µ(u) par
h(0)eg(0) g (0) h (0) 1 g (4) (0)
µsd (u) = √ 1+ − ,
2π 2π 2h(0)g (0) 24 g (0)2
avec si on note L(s, t) = K (s, t) − su − tz :
−1/2
g(t) = L(st , t), h(t) = L (st , t)
où
L (st , t) est la dérivée seconde en s
st minimum local de L(s, t) pour un t fixé
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 26

27. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Méthode du Point Selle LMA
Pour X ∼ LMA, K (s, t) est explicite et symétrique
K (s, t) = −τ log (r (x; s, t)) dx,
R
2
σ2
où r (x; s, t) = 1 − iµ sf (x) + tf (x) + 2 sf (x) + tf (x) .
K (s, t) et ses dérivées dépendent donc du noyau f et des
paramètres du mouvement de Laplace (µ, σ, τ )
Méthode bien établie en théorie mais . . .
Problèmes numériques
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 27

28. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Contribution [Galtier 2011]
Pour évaluer µsd (u) on doit d’abord trouver s0 solution de
∂K (s, 0)
=u
∂s
Équation non linéaire
On utilise la fonction inverse s → u = ∂K∂s
(s,0)
On choisit un vecteur s et on calcule u(s) pour déterminer
µsd (u(s))
Sensible au noyau f et au vecteur s
Difficile de trouver s pour les niveaux u qui nous intéressent
Calcul de dérivées d’ordre très élevé de K (s, t)
Développé et intégré dans la boite à outil Wafo de Matlab
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 28

29. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple I - Élévation de surface libre à un point fixé
Échelle log .
µobs (u) (ligne solide
irrégulière)
µsd (u) (ligne solide
régulière)
µG (u) (ligne pointillée)
Point selle précis.
Avec une hypothèse gaus-
sienne on a une sous-
estimation pour les niveaux
élevés.
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 29

30. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple II - Efforts mesurés dans la partie arrière
d’un porte conteneur
Échelle log .
µobs (u) (ligne solide
irrégulière)
µsd (u) (ligne solide
régulière)
µG (u) (ligne pointillée)
Ligne irrégulière à cause de la
variance d’estimation
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 30

31. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Avantages et Inconvénients
Avantages :
Pratique et précis quand K (s, t) est connue et symétrique ;
Permet de simuler rapidement µsd (u) pour u très grand
Prédiction sur toute la durée de vie d’un navire ;
Beaucoup plus rapide que méthode de Fourier inverse.
Inconvénients :
K (s, t) et M(s, t) peuvent ne pas exister ;
Difficultés numériques
Nécessite de trouver un minimum local
Calcul des dérivées d’ordre élevées de K (s, t)
Contribution :
Fonctions automatisées sous Matlab [Galtier 2011]
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 31

32. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Plan
1 Introduction
2 Laplace à Moyenne Mobile
3 Taux de Franchissements pour LMA
4 Processus de Réponse
5 Perspectives
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 32

33. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Représentation
La réponse, Y (t), d’un système quadratique soumis à une
excitation, notée X (t), peut s’écrire en série de Volterra :
Y (t) = Y1 (t) + Y2 (t), (4)
où
Y1 (t) = h1 (s)X (t − s) ds,
R
Y2 (t) = h2 (s1 , s2 )X (t − s1 )X (t − s2 ) ds1 ds2 .
R×R
où
h1 (·) fonction de transfert linéaire
h2 (·, ·) fonction de transfert quadratique
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 33

34. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Présentation du Problème
Dans cette partie
Y (t) comme dans Eq.(4) avec X (t) de type LMA.
1 Ecrire Y (t) quand
X (t) = f (t − x)dΛ(x), (LMA)
R
2 Proposer une méthode pour calculer µY (u)
Précise
Et pas trop couteuse en temps de calcul
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 34

35. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Analyse de la Réponse
Réécriture de Y (t)
Y (t) = Y1 (t) + Y2 (t),
avec
Y1 (t) = q(t − x) dΛ(x),
R
1
Y2 (t) = Q(t − x1 , t − x2 ) dΛ(x1 ) dΛ(x2 ).
2 R×R
Où
q(t) = h1 (s)f (t − s) ds,
R
Q(t, s) = h2 (s1 , s2 )f (t − s1 )f (s − s2 ) ds1 ds2 .
R×R
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 35

36. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Kac-Siegert (1947)
On projette la réponse au système du second ordre, Y (t), sur
la base de fonctions propres normalisées φi (·)
n
λi 2
Y (t) ≈ ai Wi (t) + W (t), (5)
2 i
i=1
n
˙
Y (t) ≈ ˙ ˙
ai Wi (t) + λi Wi (t)Wi (t). (6)
i=1
T
Wi (t) = φi (t − x) dΛ(x) ∼ LMA
−T
T
Q(t, s)φi (s) ds = λi φi (t)
−T
T
ai = φi (s)q(s) ds.
−T
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 36

37. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Calcul des taux de franchissements de Y
∞
µY (u) = zfY (0),Y (0) (u, z) dz
˙
0
1 Simulations de Monte Carlo trop couteuses
2 La densité jointe, fY (0),Y (0) , est ici difficile à obtenir
˙
3 La réponse est une transformation quadratique de
vecteurs {Wi (t)}n de processus LMA.
i=1
4 Fonction caractéristique, φY (0),Y (0) (s, t), difficile à calculer !
˙
˙
les {Wi (t)}n et les {Wi (t)}n ne sont pas indépendants
i=1 i=1
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 37

38. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
1 Cas Particulier
Y (t) = W1 (t) ∼ LMA,
avec n = 1, a1 = 1 et λ1 = 0 dans Eq. (5)
φY (0),Y (0) (s, t) explicite
˙
Méthode du point selle, µsd (u), pour approcher µY (u)
[Galtier 2011].
2 Cas Général
Développer méthode basée sur méthode du point selle
pour approcher µY (u)
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 38

39. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Relation avec Processus gaussiens
Suivant Kotz et al. un mouvement de Laplace asymétrique Λ(x)
peut s’écrire
Λ(t) = µΓ(t) + σB(Γ(t)),
où
Γ(t) est un processus Gamma avec accroissements :
Indépendants et homogènes ;
De distribution gamma de paramètres de forme τ et
d’échelle 1.
B(x) mouvement brownien standard.
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 39

40. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Méthode "hybride" - [Galtier 2010]
Simulations de MC et méthode du point selle
˙
Utilise le fait que W (t)|Γ(·) et W (t)|Γ(·) gaussiens !
Λ(t)|Γ(t)=γ(t) = µγ(t) + σB(γ(t))
˙
M(s, t|γ) = E[esY (0)+t Y (0) |Γ(·) = γ(·)] explicite.
Contribution
µY (u) = E [E [NY (u)|Γ(·) = γ(·)]]
1 Point selle
2 Simulations de MC (trajectoires gamma) pour calculer
µY (u)
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 40

41. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
M(s, t|γ) n’est pas, en général, symétrique en t !
Y (t) est un processus réversible en temps si q(·) et Q(·, ·)
symétriques
Hypothèse faite au départ
On définit le processus suivant
˜ 1
Y (t) = KY (t) + (1 − K )Y (t), K ∼ B( )
2
M(s, t) symétrique pour ce processus et
NY (u) = NY (u)
˜
Donc
µY (u) = E E NY (u)|Γ(·) = γ(·)
˜
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 41

42. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Méthodologie - Rappels
On note
µ(u|γ) = E NY (u)|Γ(·) = γ(·)
˜
Alors on a
N
1
µY (u) ≈ µ(u|γi )
N
i=1
1 On simule N trajectoires d’un processus gamma
2 On calcule µ(u|γi ) en utilisant méthode du point selle
3 On fait la moyenne pour approximation de µY (u)
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 42

43. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
On va considérer 3 exemples
1 Cas particulier où Y (t) = Y1 (t) ∼ LMA
Méthode du point selle utilisée comme référence
2 Y (t) = Y1 (t) + λ Y1 (t)
2
2
µY (u) calculé à partir de µY1 (u)
Etude de la méthode avec ajout effet quadratique
3 Exemple général
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 43

44. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple 1 - Cas particulier
Y (t) = q(t − x) dΛ(x) ∼ LMA
R
1 M(s, t) définie et explicite
σ2
M(s, t) = exp −τ log(1 − r (x; s, t) − r (x; s, t)2 ) dx
R 2
˙
r (x; s, t) = sq(x) + t q(x)
2 q(·) symétrique donc M(s, t) symétrique
3 Méthode point selle utilisable
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 44

45. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple 1 -
Effort mesuré dans la partie arrière d’un porte conteneur
Existence d’oscillations HF, principalement whipping
µsd (u)
N
= estimateur de µY (u)
avec méthode hybride
µsd (u) = méthode
point selle classique
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 45

46. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple 1 -
1 réalisation de µsd (u) pour N
N
simulations de γi avec
N = 102 (3.8 sec)
N = 103 (≈ 38 sec)
N = 104 (+ 6 min)
Méthode point selle standard :
µsd (u) (0.1 sec)
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 46

47. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple 2 -
λ 2
Y (t) = Y1 (t) + Y (t)
2 1
On montre que
1 2u 1 1 2u 1
µY (u) = µY1 − + + 2 + µY1 − − + 2
λ λ λ λ λ λ
µY1 (u) calculé par méthode du point selle
On prend Y1 (t) comme dans l’exemple I
On choisit λ = 0.01 pour que contribution de la partie
linéaire soit similaire à celle de la partie quadratique
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 47

48. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple 2 -
1 réalisation de µsd (u) pour N
N
simulations de γi avec
N = 102
N = 103
N = 104
Méthode point selle standard :
µsd (u)
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 48

49. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple 3 -
Choix des fonctions q(·) et Q(·, ·)
√
q(s) = exp(−s2 /50)/ 25π, −25 ≤ s ≤ 25
(s − t)2
Q(t, s) = 0.01 exp(− )
50
T
Paramètres de Λ(x) tels que Y1 (t) = −T q(t − s)dΛ(s)
une moyenne nulle, variance 1,
skewness 0.5 et kurtosis 4.5
Pour Q(t, s) seulement 12 λi = 0 de façon significative
On prend N = 1000 simulations de γi ici car pour N = 100
la variabilité est trop importante
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 49

50. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Exemple 3 -
MC simulations et méthode hybride pour N = 1000
Comparaison avec excitation gaussienne et même fonctions de
transferts.
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 50

51. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Remarques sur méthode hybride [Galtier 2010]
Les niveaux de précision de la méthode dépendent du
nombre de simulations N de trajectoires gamma.
Sans prendre en compte le caractère non gaussien de
l’excitation on peut faire une erreur ≈ 100%
Méthode plus rapide que pures simulations
Applicable quand q(·) et Q(·, ·) symétriques
Sur les exemples testés, pour N ≤ 1000 simulations il y a
une trop grande variabilité dans les résultats
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 51

52. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Plan
1 Introduction
2 Laplace à Moyenne Mobile
3 Taux de Franchissements pour LMA
4 Processus de Réponse
5 Perspectives
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 52

53. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
Sur la méthode hybride
Intégrer la méthode hybride dans boite à outil Wafo
Tester la méthode hybride sur des données rélles
Etudier la convergence dans L1 de µsd (u) (obtenir un TCL)
N
Sur le modèle de Laplace à moyenne mobile
Etudier statistiques d’ordre plus élevées (comme durée de
persistance)
Etendre à un modèle spatio-temporel
Apport de ce modèle par rapport à ceux existants
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 53

54. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives
T. Galtier.
Note on the estimation of crossing intensity for laplace
moving average.
Extremes, 14(2) :157–166, 2011.
T. Galtier, S. Gupta, and I. Rychlik.
Approximation of crossing intensities for non linear
responses subjected to non gaussian loadings.
In OMAE 2010, Shanghai, 2010.
T. Galtier, S. Gupta, and I. Rychlik.
Crossings of second-order response processes subjected
to lma loadings.
Journal of Probability and Statistics, 2010 :22 pages, 2010.
W. Mao, Z. Li, T. Galtier, J. Ringsberg, and I. Rychlik.
Estimation of wave loading induced fatigue accumulation
and extreme response of a container ship in severe seas.
In OMAE 2010, Shanghai, 2010.
T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 54