分析のビジネス展開を考える―状態空間モデルを例に @TokyoWebMining #47
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本発表では状態空間モデルを例に、数理分析をビジネスに展開する際、モデルの仮定や前提条件などに留意する重要性を考えます。 ビジネスの問題を適切な数理モデルに翻訳すれば、その豊富な成果が解決策を与えることも多々あります。例えば状態空間モデルは、当初の状態制御への適用から、最近では広告の効果測定への適用例も見られます。これは、モデルに現場の知恵が導入しやすく、結果も分かりやすいためかと考えます。 ただし、モデルには仮定や前提条件なりがあります。それらを無視した適用は、大きな被害に繋がりかねません。今回は状態空間モデルで、それらに留意した分析設定、顧客からそれらの範囲外を求められた際の対応を考えます。
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- 2. 自己紹介 Twitter ID @horihorio お仕事 データ分析コンサルタント 興味 多趣味。その痕跡 → 私の読書リスト 統計/DB/R/マーケティング/金融/会計 過去の発表 ここ 最近の出来事 分析の仕事に関わるあらゆるお仕事をやっています ただし、実際の分析を除く… 自宅でもEC2でXBRLの前処理、…って何してるの？ 相変わらず、3歳児な子どもに大絶賛嫌われ中… 2015/6/27 分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 1 / 47
- 3. 目次 1. はじめに 2. 状態空間モデルの推定方法 3. 分析のビジネス展開を考える ―状態空間モデルを例に 4. まとめ ※ 本発表の内容と意見は発表者個人に属するものであり、発表者が所 属する企業の公式見解を示すものではございません 2015/6/27 2 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に
- 4. 1. はじめに 2015/6/27 3 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に
- 5. データ分析で相手を動かすには 2015/6/27 4 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 分析者が好かれること 問題設定に腹落ちして頂くこと 分析結果の見せ方、展開方法を固めること この分析成果は、自分の手柄になりそう などなど… ですが、相手は「自分が出来ない/やってない分析 結果に責任を取らされる」ので、 に応えることは、結構重要 なぜそうなるの？
- 6. 社内の意思決定者を考える 2015/6/27 5 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 関係者全員が統計に興味があり、詳しい → まずあり得ない 納得を頂くには、中身が見えた方が良い 入力 出力ブラックボックス 一部の機械学習手法 通りやすいモデル 入力 出力 𝑥1 𝑦𝑥2 𝑥3
- 7. 状態空間モデルって 2015/6/27 6 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 中身が見える、分かりやすいモデルの一例 オンラインモールの購買単価 (𝑦𝑡) = 𝑤𝑡+55 × 𝑆𝐸𝑂 100万 + 48 × リスティング 100万 +13 × アプリ𝐷𝐿数 1000 + 20 × 休日数 ※数字や変数はフィクションです（参考先） 購買単価(𝑦𝑡) 𝑇 モデル構築期間 予測期間 予 測 範 囲
- 8. 世間受けをGoogleに聞いてみた 2015/6/27 7 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に ビジネス ※画面は6/22現在 ※判断基準は主観 ビジネス 初学者向け理論 オレ系 ビジネスマンの 勉強成果 ビジネスマンの 勉強成果
- 9. 対照サンプルの結果（例：確率微分方程式） 2015/6/27 8 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に アマゾン ※画面は6/22現在 ※判断基準は主観 ビジネス 初学者向け理論大学講義資料 アマゾン 大学講義資料
- 10. データ分析の仕事で思うこと 2015/6/27 9 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 1. データ分析は信用されない、がスタート地点 データください（結構大変）、結果は保証出来ません → 予算ください、の上申の優先順位は下がりがち 依頼者は分析者より情報劣位な「レモン市場」 → そのままでは「悪貨が良貨を駆逐する」に陥る 2. そんな中、成功例が出るのは嬉しいこと 「データサイエンスブーム」で話がしやすいのは確か 3. ただ、形式的な真似はそこそこ容易に 数式は書籍や論文での公開情報、R/Python等はフリー、 計算資源もAWSなりで簡単に調達、あとは人材だけ
- 11. 本発表の目的 2015/6/27 10 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 状態空間モデルを例に ためにすべきことを考えます 言いかえると のせめぎあいが生む困り事、と言えるかも 理論を正しくビジネスに適用する 融通が利かない、モデルの仮定・前提条件 vs ビジネスで実現したい想いと熱意
- 12. 2. 状態空間モデルの推定方法 参考文献にもある、以下文献の抜粋引用 • 樋口『予測にいかす統計モデリングの基本』 • 佐藤、樋口『ビッグデータ時代のマーケティング』 ※この章のみ、文末表現が違うが、気にしない… 2015/6/27 11 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に
- 13. 状態空間モデルとは 2015/6/27 12 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 線型ガウス型とすると、次の式で表現される システムモデル 𝑥 𝑡 = 𝐹𝑡 𝑥 𝑡−1 + 𝐺𝑡 𝑣 𝑡, 𝑣 𝑡 ∼ MV𝑁(0, 𝑄𝑡) 観測モデル 𝑦𝑡 = 𝐻𝑡 𝑥 𝑡 + 𝑤𝑡, 𝑤𝑡 ∼ MV𝑁(0, 𝑅𝑡) • 𝑦𝑡：観測される時系列データ • 𝑥 𝑡：状態ベクトル
- 14. 同時確率を分解する 2015/6/27 13 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に ベイズの定理 P A, B = P A B P(B) を用いると p 𝑥1:𝑇, 𝑦1:𝑇 = p 𝑦 𝑇|𝑦1:𝑇−1, 𝑥1:𝑇 p 𝑦1:𝑇−1, 𝑥1:𝑇 = p 𝑦 𝑇|𝑦1:𝑇−1, 𝑥1:𝑇 p 𝑥 𝑇|𝑦1:𝑇−1, 𝑥1:𝑇−1 p 𝑦1:𝑇−1, 𝑥1:𝑇−1 = ⋯ = p 𝑦 𝑇|𝑦1:𝑡−1, 𝑥1:𝑡 𝑇 𝑡=1 p 𝑥 𝑇|𝑦1:𝑡−1, 𝑥1:𝑡−1 システムモデル観測モデル システム、観測ベクトルが 与えられたときの確率 Notation: 𝑥1:𝑇 = {𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥 𝑇}
- 15. 2つのマルコフ性 2015/6/27 14 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 同時確率の分解は、マルコフ性を仮定し、計算可能 な形へ変形したといえる 仮定1：𝑥 𝑡の分布は、𝑥 𝑡−1のみで定まる p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑡−1, 𝑥1:𝑡−1 ⟹ p 𝑥 𝑡|𝑥 𝑡−1 仮定2： 𝑦𝑡の分布は、𝑥 𝑡のみで定まる p 𝑦𝑡|𝑦1:𝑡−1, 𝑥1:𝑡 ⟹ p 𝑦𝑡|𝑥 𝑡
- 16. 状態空間モデルでの興味 2015/6/27 15 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 次の3つの分布の推定と言える • 予測分布： p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑡−1 • フィルタ分布：p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑡 • 平滑化分布： p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑇
- 17. グラフィカルモデル(GM)表現 2015/6/27 16 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 状態空間モデルは、2つのマルコフ性を踏まえると、 鎖状グラフィカルモデルで書ける 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥0 𝑥 𝑡−1 𝑦𝑡−1 𝑥 𝑡 𝑦𝑡 𝑥 𝑇 𝑦 𝑇
- 18. GM表現上での3つの分布の違い 2015/6/27 17 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に • 予測分布： p 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡−1 • フィルタ分布：p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑡 • 平滑化分布： p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑇 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥0 𝑥 𝑡−1 𝑦𝑡−1 𝑥 𝑡 𝑦𝑡 𝑥 𝑇 𝑦 𝑇
- 19. GM表現上での3つの分布の違い 2015/6/27 18 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に • 予測分布： p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑡−1 • フィルタ分布：p 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡 • 平滑化分布： p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑇 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥0 𝑥 𝑡−1 𝑦𝑡−1 𝑥 𝑡 𝑦𝑡 𝑥 𝑇 𝑦 𝑇
- 20. GM表現上での3つの分布の違い 2015/6/27 19 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に • 予測分布： p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑡−1 • フィルタ分布：p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑡 • 平滑化分布： p 𝑥 𝑡|𝑦1:𝑇 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥0 𝑥 𝑡−1 𝑦𝑡−1 𝑥 𝑡 𝑦𝑡 𝑥 𝑇 𝑦 𝑇
- 21. 条件付周辺分布の簡易表記 2015/6/27 20 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に (0|0) (1|0) (2|0) (3|0) (4|0) (5|0) (0|1) (1|1) (2|1) (3|1) (4|1) (5|1) (0|2) (1|2) (2|2) (3|2) (4|2) (5|2) (0|3) (1|3) (2|3) (3|3) (4|3) (5|3) (0|4) (1|4) (2|4) (3|4) (4|4) (5|4) (0|5) (1|5) (2|5) (3|5) (4|5) (5|5) 状態ベクトルの時刻(𝑗) データ増加(𝑖) 1期先 予測 フィルタ リング 1期前 平滑化 p 𝑥𝑗|𝑦1:𝑖 ≡ (𝑗|𝑖)
- 22. 式で見てみる 2015/6/27 21 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 1期先予測 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡−1 = 𝑝 𝑥𝑡, 𝑥𝑡−1|𝑦1:𝑡−1 d𝑥𝑡−1 ∞ −∞ = 𝑝 𝑥𝑡|𝑥𝑡−1, 𝑦1:𝑡−1 𝑝 𝑥𝑡−1|𝑦1:𝑡−1 d𝑥𝑡−1 ∞ −∞ = 𝑝 𝑥𝑡|𝑥𝑡−1 𝑝 𝑥𝑡−1|𝑦1:𝑡−1 d𝑥𝑡−1 ∞ −∞ マルコフ 性
- 23. 式で見てみる 2015/6/27 22 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に フィルタリング 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡 = 𝑝 𝑥𝑡|𝑦𝑡, 𝑦1:𝑡−1 = 𝑝 𝑦𝑡|𝑥𝑡, 𝑦1:𝑡−1 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡−1 𝑝 𝑦𝑡|𝑦1:𝑡−1 = 𝑝 𝑦𝑡|𝑥𝑡 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡−1 𝑝 𝑦𝑡|𝑦1:𝑡−1 ただし、分母は1時点尤度であり 𝑝 𝑦𝑡|𝑦1:𝑡−1 = 𝑝 𝑦𝑡|𝑥𝑡 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡−1 d𝑥𝑡 ∞ −∞
- 24. 式で見てみる 2015/6/27 23 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 尤度 𝑝 𝑦1:𝑇 = 𝑝 𝑦𝑡|𝑦1:𝑡−1 𝑇 𝑡=1 = 𝑝 𝑦𝑡|𝑥𝑡 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡−1 d𝑥𝑡 ∞ −∞ 𝑇 𝑡=1 実際は、対数尤度を用いる log 𝑝 𝑦1:𝑇 = log 𝑝 𝑦𝑡|𝑥𝑡 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡−1 d𝑥𝑡 ∞ −∞ 𝑇 𝑡=1
- 25. 式で見てみる 2015/6/27 24 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 平滑化 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑇 = 𝑝 𝑥𝑡|𝑥𝑡+1, 𝑦1:𝑡 𝑝 𝑥𝑡+1|𝑦1:𝑇 d𝑥𝑡+1 ∞ −∞ = 𝑝 𝑥𝑡, 𝑥𝑡+1|𝑦1:𝑡 𝑝 𝑥𝑡+1|𝑦1:𝑡 𝑝 𝑥𝑡+1|𝑦1:𝑇 d𝑥𝑡+1 ∞ −∞ = 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡 𝑝 𝑥𝑡+1|𝑥𝑡, 𝑦1:𝑡 𝑝 𝑥𝑡+1|𝑦1:𝑡 𝑝 𝑥𝑡+1|𝑦1:𝑇 d𝑥𝑡+1 ∞ −∞ = 𝑝 𝑥𝑡|𝑦1:𝑡 𝑝 𝑥𝑡+1|𝑥𝑡 𝑝 𝑥𝑡+1|𝑦1:𝑡 𝑝 𝑥𝑡+1|𝑦1:𝑇 d𝑥𝑡+1 ∞ −∞
- 26. 状態推定の全体フロー 2015/6/27 25 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 𝜃：静的パラメータ パラメータ最適化 対数尤度 l(𝜃) を最大とする 𝜃 を選択 𝜃に𝜃を固定 パラメータ固定 対数尤度 l(𝜃) を得る for 𝑡 = 1, ⋯ , 𝑇 時間更新 • 1期先予測 • フィルタリング • 1時点尤度計算 • 平滑化(ここでない場合もあり)
- 27. 3. 分析のビジネス展開を考える ―状態空間モデルを例に • ここから、やっと本題 • 弁護士や会計士などの専門家に仕事を依頼した経験が あると、専門家としての振舞いや、依頼者がして欲し いこと、などの勉強になるかも 2015/6/27 26 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に
- 28. 状態空間モデルの見せ方例 2015/6/27 27 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に オンラインモールの購買単価 (𝑦𝑡) = 𝑤𝑡+55 × 𝑆𝐸𝑂 100万 + 48 × リスティング 100万 +13 × アプリ𝐷𝐿数 1000 + 20 × 休日数 ※数字や変数はフィクションです（参考先）購買単価(𝑦𝑡) 𝑇 モデル構築期間 予測期間 予 測 範 囲
- 29. ARIMAモデルだと 2015/6/27 28 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に オンラインモールの購買単価 (𝑦𝑡) = 𝑤𝑡+55 × 𝑆𝐸𝑂 100万 + 48 × リスティング 100万 +13 × アプリ𝐷𝐿数 1000 + 20 × 休日数 ※数字や変数はフィクションです（参考先）購買単価(𝑦𝑡) 𝑇 モデル構築期間 予測期間 予 測 範 囲 オンラインモールの購買単価(𝑦𝑡) = 0.82𝑦𝑡−1 + 0.61𝑦𝑡−2 + 0.3𝑦𝑡−3 イマイチ 良く分からない…
- 30. 以降で言いたい3点 2015/6/27 29 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に その1 動的時系列 その3 線形回帰 その2 ベイズ推定 ※これらポイントが網羅的 かは未チェックですが…
- 31. その1 動的時系列 2015/6/27 30 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 唐突に：ドローンの姿勢制御を考えます ※門外漢の妄想なので、間違っているかも (1) 目標ルートを算出して設定 目的地 時間 （計算が軽い） カルマンフィルタ？
- 32. その1 動的時系列 2015/6/27 31 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に (2) 一定時間後に(数秒後？)予測位置と実際の位置との 違い（予実差）を認識 目的地 時間 実 際 の 位 置
- 33. その1 動的時系列 2015/6/27 32 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に (3) 再度、目標ルートを算出して設定 …の繰り返し 目的地 時間 実 際 の 位 置 カルマンフィルタ？
- 34. その1 動的時系列 2015/6/27 33 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に (2‘) 突然タカに襲われたら 目的地 時間 実 際 の 位 置
- 35. その1 動的時系列 2015/6/27 34 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に (3‘) 修正が利かずに墜落 目的地 時間 実 際 の 位 置
- 36. その1 動的時系列 2015/6/27 35 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 困り事：時間粒度をどうするのか？ 短くしたい事情 現場： 依頼者にありがちな希望(？) モデル：予実差の修正が小さくなるため 長くしたい事情 現場： 計数作成コスト（人間の労力も含む）が高い モデル：計算負荷が大きいため 局所解なのか？の人間チェックを要する場合 も多いため
- 37. その1 動的時系列 2015/6/27 36 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に ｢タカへの対応」は無理 → 変数は「平時」か？ 不規則に行われるキャンペーン 広告ならば、突然のバズ（例：TV番組、雑誌掲載） ひと昔のスマホ普及率の伸び → 突風下ではドローンは飛ばせない データの制約はあるか？ 非ネット系は、粗い粒度でしか出ないことも では捨てるか、と言えない影響力がある 時間の間隔（やデータ選定）は、分析前に決めるのが 効率的な進行ですが、相反する事情は結構あります
- 38. その2 ベイズ推定 2015/6/27 37 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 1. 色々時間を要することへの理解 「最新データを追加した/変数1つ追加しただけだから、 すぐ出来るよね」 → データの特性や手法によっては、そうでないことも 2. p値が使えない 「色々効く変数があるのは分かった。では、統計的な 基準に基づく重要度の順序を教えてくれ」 → 重回帰ならば、p値を持ち出すところだが… → 正面突破するなら、各変数の確率分布を見せる。 ただ、普通のビジネスマンに、確率変数を腹落ち して頂くのは、結構難しいし、時間がかかる。
- 39. その2 ベイズ推定 2015/6/27 38 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 3. 係数が動的に変わる事への理解・違和感 「データが追加されて係数を変えるのは、後出しジャ ンケンだろ。モデルは普遍的事実を表すものだろ」 → よくある話。誰しもが一度は通る道 4. (3. に関連して)予測時のパラメータはどうするか 観測方程式の係数 → 変数は見えるため、判断はしやすい システム方程式の値 → 構造は分かり得ないので、対処は決めうち？ → 周期性が明らかならばARIMAモデル等もあり得るが、 それって、階層ベイズモデルでは？
- 40. その3 線形回帰 2015/6/27 39 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 時系列だけど「回帰モデル性」を持つ利点 分かりやすい、納得して頂きやすい ノイズ除去後の値と、その要因・内数展開が見える 時系列だけど「回帰モデル性」を持つ欠点 「よく分かった。では、 ・予算内でKPIを最大にする配分を教えてくれ ・KPIを…にするために必要な予算を教えてくれ」 「もし、6ヶ月前からのアプリDL数が10%増しとした 際のKPIは、DL数を1.1倍して方程式に代入で良い?」 ※光は波動なの？粒子なの？みたいな構図かも まずは、回帰と時系列とでの予測を確認します
- 41. その3 線形回帰 2015/6/27 40 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 回帰モデルの予測 時系列モデルの予測 y tx y 予測の値域 管 轄 外 管 轄 外 学習期間 予測 [min,max]での値の補完 全て補外
- 42. その3 線形回帰 2015/6/27 41 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 困ること 過去の変数が変われば、本来は現在の係数も変わる 「変数は固定」と近似して良い？を知るのも大変 最適化は怖い 係数をいつ時点のものにする？が問題 モデルが複雑なので、最適解の計算が難しい。求まっても、普 通は値域の[min, max]を抜けるか、値域の制約ギリギリを取る 過去のしがらみや政治など抜きに解は求まるので、担当者には 「刺激的な数字」になるのが普通。よって、頭では理解しても、 生理的・政治的に受け入れ難いことも 割り切らず「過去の可視化」だと、分析後の展開が辛い 割り切った場合、そのリスクに見合う価値が出せるか？ → 割り切りを伝えないのはダメ。発覚時に大変なことに
- 43. 4. まとめ 2015/6/27 42 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に
- 44. 本発表の振り返り 2015/6/27 43 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 第2章 状態空間モデルの推定方法を概観 第3章 状態空間モデルの前提・仮定が、ビジネスの利活 用に及ぼす影響を見た 数理モデルは、モデルの前提や仮定の下でしか 語れない 前提や仮定は、分析の設計、担当者の説得方法、 モデルの運用方法、などを規定してしまう
- 45. 私が考える大切なこと 2015/6/27 44 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に 1. 理論やデータに嘘をつかない、騙さない 理論の勉強は、忠実に数理モデルを適用する大前提 困った結果への対応は、嘘やハッタリではなく、お客 様とのコミュニケーションが鉄則。嘘やハッタリは、 いずれ分かる 困る前に、先に困りポイントを営業や分析設計段階で 見抜き、お客様の合意を取り付けて潰すのが、一番美 しいのだが… 技術面で/相手の状況を見ると/期間・予算的に、等で 「出来ません」と言うべき状況もある
- 46. 私が考える大切なこと 2015/6/27 45 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に その上で… 2. 出発点の「ビジネスの課題は？」を忘れない ビジネスの興味は、大抵困りことの解消 簡単な方法で片付くならば、それに越したことは無い 3. 担当者の想いや野心を見抜き、念頭に置く データ分析も、所詮はビジネス上の一つの道具 担当者に役立つならば、データ分析である必要もない (営業の話だけど）担当者がビジネス上のキーマンなのか？ の見極めを外すと、どんなに頑張っても報われない
- 47. 参考文献 2015/6/27 46 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に
- 48. 参考文献 1. 『予測にいかす統計モデリングの基本―ベイズ統計入門 から応用まで』樋口知之、講談社、2011年 2. 『ビッグデータ時代のマーケティング―ベイジアンモデ リングの活用』佐藤忠彦、樋口 知之、講談社、2013年 3. 『時系列解析入門』北川源四朗、岩波書店、2005年 4. 『状態空間時系列分析入門』J.J.F.コマンダー、S.J.クー プマン、和合肇（訳）、シーエーピー出版、2008年 2015/6/27 47 / 47分析のビジネス展開を考えるー状態空間モデルを例に