1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
CABUDARE ESTADO LARA
CONJUNTOS
CONJUNTOS
INTEGRANTES: Héctor Peraza
TUTOR: Domingo Méndez

2. • Se denomina Conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales
se llaman Elementos .
• Se llama Conjunto Universal , el cual se denota por U, al conjunto
que contiene todos los elementos a considerar.
• Ejemplo:
• Considere el conjunto formado por todos los números naturales
menores que 6. En este caso se escribir el conjunto como A =
{1,2,3,4,5} y el conjunto de referencia o conjunto universal es N, el
conjunto formado por todos los números naturales.

3. • Los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como A,B,C,X,Y,Z,
etc., mientras que para los elementos se usan minúsculas como
a,b,c,d,x,y,z, etc.
• Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en un
círculo, el cual es llamado Diagrama de Venn.
• Si x es un elemento y A es un conjunto, la expresión x є A, se lee "x
pertenece a A" o x es un elemento de A". Su negación se escribe así: x є A
la cual significa que x no está en A o no pertenece a A.

4. Existen dos formas de determinar un conjunto:
Por Extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno.
• Ejemplo: A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}
• Por Comprensión: Cuando están dados como dominio de una función
proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una
condición dada.
Ejemplo: B = { x є R / x divide a 18}
(Los números reales divisores de 18)

5. • Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo cual denotaremos
por A Ì B, si todo elemento de A es también un elemento de B.
• Simbólicamente lo expresaremos como:
• A ⊂ B ⇔ ( ∀ x є U) ( x є A ⇒ x є B )
• Ejemplo:
• A conjunto formado por todos los Barquisimetanos; B conjunto formado por todos
los Venezolanos
• Entonces, tenemos que todo elemento de A es también elemento de B. Esta
relación se simboliza por A B.

6. • T EOREMA:
• La re la ció n de inclusión entre conjuntos es
•
• Re flexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.
• An tisimé trica: A ⊂ B ^ B ⊂ A ⇒ A = B.
• Tran sitiva : A ⊂ B ^ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C .

7. • DEFINICION: Diremos que un conjunto A está incluido propiamente en un conjunto B o que A
es subconjunto propio de B si y sólo si A ⊂ B y A ≠ B.
• Ejemplo:
• Si A = { a,d,f,} y B = { a,b,c,d,e,f,h }
• Entonces A es subconjunto propio de B.

8. • Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o conjunto partes de A como ℘(A) = {
X / X ⊂ A}, es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
• Ejemplo:
• Si A = {x,y,z} entonces
• ℘(A) = {{Φ}, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}

9. CARACTERISTICAS:
La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es
decir, sus elementos son conjuntos.
Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de ℘ (A), ya que si A
tiene n elementos, entonces ℘(A) tiene 2 n elementos.
• El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la relación de
inclusión:
• Teorema A ⊂ B Û ℘(A) ⊂ ℘(B)

10. • DEFINICION:
• Dado un conjunto A, el conjunto vacío ΦA es el conjunto:
• ΦA = { x є A / x ≠ x } el ΦA no tiene elementos, ya que todo x є A
satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es subconjunto de
todo conjunto A.

11. • REPRESENTACION TABULAR DEL CONJUNTO PRODUCTO
• Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como
veremos en el siguiente ejemplo.
• Ejemplo :
• Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de
AXB
• Solución
• AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}

12. • Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B =
{9,3,5,2,10} son iguales.
• El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales.
• Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B ⇔ A ⊂ B ^ B ⊂ A
• Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la definición de inclusión y de la siguiente
equivalencia:
• (x є A ⇔ x є B ) = ( x є A ⇒ x є B ) ^ ( x є B ⇒ x є A )

13. • Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjunto:
• A U B = { x є U / x є A ^ X єB}
• Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.
• Ejemplo:
• Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,
• A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}

14. Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades:
A U A = A
A U U = U
A U Φ = A
A U B = B U A
Ejemplo:
Sea A = {a,b,c,d,e}
B = {a,c,e,h,i,j,k}
La intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto
A I B ={a,c,e}

15. • Sean A y B conjuntos, luego se cumple:
• A I A = A , ∀ A
• A I U = A , donde U es el conjunto universal
•
• A I Φ = Φ
•
• A I B = B I A

16. • Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B
como el siguiente conjunto:
• A - B = { x Î U / x Î A Ù x Ï B}. Es decir, son todos los elementos
que están en A pero que no están en B.
• Ejemplo:
• Consideremos los conjuntos
• A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18}
• Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18}

17. • TEOREMA:
• Sean A y B dos conjuntos luego:
• A - B = AI C(B)
• C(C(A)) = A
• A U C(A) = U
• A I C(A) = f
• C(U) = f
• C(f ) = U
• A Ì B Û C(B) Ì C(A)
(Leyes de Morgan para conjuntos)
• C(A U B) = C(A) I C(B)
• C(A I B) = C(A) U C(B)

18. • Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de
conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación:
• Leyes de Idempotencia
• A U A = A ⋂ A = A
• A
• Leyes Asociativas
• A U (B U C) = (A U B) U C
• A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C

19. • Leyes Conmutativas
• A U B =B U A
• A ⋂ B = B ⋂ A
Leyes Distributivas
• A U (B ⋂ C) = (A U B) ⋂ (A U C) ⋂ (B U C) = (A ⋂ B) U (A ⋂ C)
• A
• Leyes de Identidad
• A U Φ = A ⋂ Φ= Φ
• A
Leyes de Dominación
• A U U = U U: conjunto universal
• A ⋂ U =A
Leyes de Complementación
• A U C(A) = U
• A ⋂ C(A) = ΦΦΦ) = U
• C (C(A)) = A
• C (U) =
• C
Leyes de De Morgan
• C(A U B) = C(A) ⋂ C (B) ⋂ B) = C(A) U C (B)
• C(A)

20. • Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano
de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù b Î B}
• TEOREMA:
• Si A,B,C son tres conjuntos entonces:
• A x B = F Û A = F Ú B = F
• A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
•
• A x (B I C) = (A x B) I (A x C)
• A x (B -C) = (A x B) - (A x C )

21. • Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de
conjuntos {A 1 , A 2 , & , A n }, donde cada A i con iÎ I, representa un conjunto.
• Al conjunto {A 1 , A 2 , & , A n } lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y
lo denotaremos {A i } iÎ I .

22. • Sea X un conjunto y {A i } iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice
que {A i } iÎ I es una partición de X, si y sólo si:
• Cada A i es una celda o bloque de la partición, es decir, una
partición es una familia {A i } iÎ I donde cada conjunto de la familia es
no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y
la unión de todos los miembros da X.
• Ejemplo:
• Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A 1 ={a, b}, A 2 {e, c, g}, A 3 ={d, f} ,
entonces {A 1 , A 2 , A 3 } es una partición de X.

23. • Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es
decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice
que es infinito.
• TEOREMA:
• Sean A y B dos conjuntos finitos, luego:
• (B - A) = #B - #(A I B)
• #(A U B) = #A + #B - #(A I B)
• TEOREMA:
• Si A; B y C son tres conjuntos finitos entonces
• #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).
• Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando
los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A continuación
presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría de cardinalidad de
conjuntos.