Introdução à Lógica de Predicados

1. LÓGICA MATEMÁTICA
CURSO: Sistemas de Informação
1º PERÍODO
CENTRO UNIVERSITÁRIO – CESMAC FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - FACET

2. Objetivo da Aula
•A aula de hoje tem como objetivo uma introdução sobre a Lógica de Predicados
•Assim, uma introdução sobre a linguagem da Lógica de Predicados
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3. Sumário
•Introdução
•Conceito
•Alfabeto
•Fórmulas
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4. Conteúdo Programático
•Lógica Proposicional:
–Sintaxe
–Semântica
–Propriedades Semânticas
–Método para determinação da validade de fórmulas
•Lógica de Predicados:
–Sintaxe
–Semântica
–Propriedades Semânticas
–Resolução.
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5. Introdução
•O que lhe lembram Predicado?
–Uma regra da nossa gramática
–Análise Sintática
–Sujeito, Verbo, Predicado...
•Ao iniciar uma análise simples do sujeito e o verbo.
–Ex.: João trabalha
Pedro estuda
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6. Introdução
•Sujeito - Elemento da oração a respeito do qual damos alguma informação. Seu núcleo (palavra mais importante) pode ser um substantivo, pronome ou palavra substantivada.
•Tipos de sujeitos:
–Simples
–Composto
–Oculto, elíptico ou desinencial
–Indeterminado
–Inexistente ou oração sem sujeito
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7. Introdução
•Verbo - é a palavra que exprime um fato (geralmente uma ação, estado ou fenômeno da natureza) e localiza-o no tempo, usados também para ligar o sujeito ao predicado.
•Predicado - É tudo aquilo que se informa sobre o sujeito, e é estruturado em torno de um verbo. Ele sempre concorda em número e pessoa com o sujeito.
•Há também tipos de predicados, mas não são relevantes para nós.
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8. Introdução
•Exemplos:
–João é pardo.
Sujeito + predicado
–Mário e Mauro são irmãos.
Sujeito + Conjunção + Sujeito + Predicado
–Eu estou feliz.
Sujeito + Predicado
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9. Conceito
•É mais rica do que a Lógica Proposicional
•Além de conter objetos da Proposicional, mais quantificadores, símbolos funcionais e de predicados fazem parte
•Comentam ser uma extensão da Lógica Proposicional
•Mas, afinal, por que?
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10. Conceito
•Também denominada Lógica de Primeira Ordem
•Há uma analogia e semelhança mais próxima à realidade da computação
•Ainda, na Lógica Proposicional são limitados os quantificadores e objetos
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11. Conceito
“Todo aluno de Análise de Sistema é nerd. João é aluno de Análise de Sistema. Logo, João é nerd.”
“Qualquer um para a lateral direita.”
•Existe quantificadores para “todo” e “qualquer”?
•São consideradas também funções, predicados e variáveis, de forma análoga ao Cálculo diferencial
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12. Alfabeto
•Símbolos de pontuação: ,
•Símbolo de verdade: true ou false
•Conjunto enumerável de símbolos para variáveis: x, y, z...
•Conjunto enumerável de símbolos para funções: f, g, h
•Conjunto enumerável de símbolos para predicados: p, q, r, p2, q2, r2....
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13. Fórmulas
•Muitos dos elementos da Lógica proposicional foram incorporados
•Existem infinitos símbolos
•As fórmulas são formadas por:
a)variáveis
b)Funções e predicados
c)constantes
d)conectivos
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14. Fórmulas
a) Variáveis
•Sintaticamente iguais às constantes
•Análogo a linguagens de programação
Exemplo: x, y, z
b) Funções
Semelhante a função em programação, recebe um ou mais argumentos e produz uma resposta, um elemento do domínio como um número ou um objeto.
Exemplo: soma(x,y)
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15. Fórmulas
Ex.: +(3,4)
pai_de(João)
Predicados
Semelhante a uma função em programação com resposta booleana, a resposta será sempre verdadeiro ou falo. Utilizado para representar relações
•Exemplo: irmao(x, y), pai(x,y), vizinho(x,y)
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16. Fórmulas
c) Constantes
•Dão nomes as coisas particulares
•Exemplo: Rubens, Brasília, Arapiraca
d) Conectivos
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17. Fórmulas
•Como na lógica proposicional, liga-se as sentenças atômicas com os conectivos : e, ou, se...então, não, se e somente.
•Com os quantificadores e variáveis se aplica o mesmo princípio
•Na tradução:
João gosta de Maria e ela o adora.
gosta(João, Maria) ^ adora(Maria, João).
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18. Fórmulas
•O tratamento de pronomes é muito relevante na formação das fórmulas
•“algo”, “todo mundo”, “nada”, “ele”, “ela”...
•Se os pronomes estão ligados por um conectivo trate-os antes do conectivo.
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19. Fórmulas
•Simbolização
–x, y, z, ...
Minúsculas para os sujeitos
–P, Q, R, ...
Maiúsculas para os predicados
–Ex.: João é professor
a = João
P = professor
Pa
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20. Fórmulas
–Ex. 2:
–Existem sábios
∃x .sábios(x)
-Todos os homens são sábios
∀x = Todos os
∀x.homens(x). Sx.sábios(x)
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21. Fórmulas
∀ - “para qualquer”, “qualquer um”, “para cada”, “cada objeto”, “tudo”, “qualquer coisa”,...
∃ - “para algum”, “alguns”, “há pelo menos um”, “algum objeto”, “alguma coisa”....
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22. Fórmulas
–Ex.:
Há pelo menos um objeto humano e sábio
∃x.(humano(x) ^ sábio(x))
*Como regra geral, pode-se dizer que
∀ se faz acompanhado de ->
∃ se faz acompanhado de .
•Por que isso?
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23. Fórmulas
•Todos os homens são sábios
•Consequência:
–Dado um objeto qualquer, se é humano, é sábio
–Dado um x qualquer do universo, se x é homem, x é sábio
–Dado um x qualquer do universo, x homem -> x sábio
∀x(Hx -> Sx)
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24. Fórmulas
•Exemplos
–Os astronautas são bem treinados.
∀x(Ax -> Tx)
–Alguns senhores são ingênuos ou mal assessorados
∀x(Ix v Mx)
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25. Exercícios
•Traduza as frases para a fórmula de lógica de predicados.
a)Todo professor é funcionário
b)Alguns alunos são funcionários
c)Se alguém matou Maria, este alguém também matou João
d)Todo número primo maior do que 2 é ímpar
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26. E na próxima aula...
•Continuaremos os conceitos básicos de lógica...
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27. E por hoje...
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•Obrigado!
•Até a próxima aula!
•Não esqueçam de assinar a lista de presença!