プログラミング言語LazyKの入門に見せかけたλ計算入門です。 Schemeを知らないとちょっとキツイかもしれません。

1. Lazy K
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S

2. 注意
S ⾔言語の⼊入⾨門に⾒見見せかけたλ計算⼊入⾨門
S λの国の住⼈人にはつまらないかも
S 知ってる⼈人は我慢しててください
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3. Lazy Kとは
S 純粋関数型⾔言語
S 遅延評価
S カリー化
S 参照透過性
S ガベージコレクション
S 全てが関数
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4. コード例例
K(SII(S(K(S(K(S(K(S(SI(K(S(S(KS)K)(S(S(S(KS)K))(SII)
(S(S(KS)K)I)))))))K))(S(K(S(SI(K(S(S(KS)K)(S(S(KS)K)
(S(S(S(KS)K))(SII)(S(S(KS)K)I))))))))K)))(SII)))
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5. Brainf*ck?
S いいえ、違います
S れっきとした関数型⾔言語です
S Brainf*ckよりも更更にシンプルです
S Brainf*ckと同様、Turing complete
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6. Lazy Kの特徴
S 純粋関数型難読プログラミング⾔言語
S 関数以外何も存在しない
S 数値すらない
S 組み込み関数はS, K, Iの3つだけ
S 関数定義もできない
S 変数？なにそれおいしいの？
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7. 組み込み関数 S
S 3つの引数f, g, xをとり、((f x) (g x))を計算する
S Schemeで書くと、
(define S
(lambda (f)
(lambda (g)
(lambda (x)
((f x) (g x))))))
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8. 組み込み関数 K
S 2つ引数をとり、第1引数をそのまま返す
S Schemeで書くと、
(define K
(lambda (x)
(lambda (y)
x)))
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9. 組み込み関数 I
S 1つ引数をとり、それをそのまま返す
S Schemeで書くと、
(define I
(lambda (x)
x))
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10. 前掲のコード例例
K(SII(S(K(S(K(S(K(S(SI(K(S(S(KS)K)(S(S(S(KS)K))(SII)
(S(S(KS)K)I)))))))K))(S(K(S(SI(K(S(S(KS)K)(S(S(KS)K)
(S(S(S(KS)K))(SII)(S(S(KS)K)I))))))))K)))(SII)))
Ø これを解析してみよう！
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11. ちょっと⼤大変すぎるので
K(SII(S(K(S(K(S(K(S(SI(K(S(S(KS)K)(S(S(S(KS)K))(SII)
(S(S(KS)K)I)))))))K))(S(K(S(SI(K(S(S(KS)K)(S(S(KS)K)
(S(S(S(KS)K))(SII)(S(S(KS)K)I))))))))K)))(SII)))
Ø まずはここだけやってみる
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12. (S(KS)K)
S Schemeで書いてみる
((lambda (f) (lambda (g) (lambda (x) ((f x) (g x)))))
((lambda (x) (lambda (y) x))
(lambda ((f) (lambda (g) (lambda (x) ((f x) (g x)))))))
(lambda (x) (lambda (y) x)))
Ø なるほど、わからん
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13. (KS)
S まずは(KS)だけ
((lambda (x) (lambda (y) x)) S)
-> (lambda (y) S)
-> (lambda (y)
(lambda (f)
(lambda (g)
(lambda (x) ((f x) (g x))))))
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14. S(KS)
((lambda (f) (lambda (g) (lambda (x) ((f x) (g x))))) (KS))
-> (lambda (g) (lambda (x) (((K S) x) (g x))))
-> (lambda (g) (lambda (x)
(((lambda (y) (lambda (f) (lambda (g2) (lambda (x2)
((f x2) (g2 x2)))))) x) (g x))))
-> (lambda (g) (lambda (x)
((lambda (f) (lambda (g2) (lambda (x2) ((f x2) (g2 x2)))))
(g x)))
-> (lambda (g) (lambda (x) (lambda (g2) (lambda (x2)
(((g x) x2) (g2 x2)))))) 14

15. (S(KS)K)
((lambda (g) (lambda (x) (lambda (g2) (lambda (x2)
(((g x) x2) (g2 x2)))))) K)
-> (lambda (x) (lambda (g2) (lambda (x2) (((K x) x2) (g2 x2)))))
-> (lambda (x) (lambda (g2) (lambda (x2)
((((lambda (x) (lambda (y) x)) x) x2) (g2 x2)))))
-> (lambda (x) (lambda (g2) (lambda (x2)
(((lambda (y) x) x2) (g2 x2)))))
-> (lambda (x) (lambda (g2) (lambda (x2) (x (g2 x2)))))
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16. (S(KS)K)
S 結論論
S (lambda (x) (lambda (y) (lambda (z) (x (y z)))))
S とりあえずこれをAと書くことにする
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17. こうなった
K(SII(S(K(S(K(S(K(S(SI(K(SA(S(SA)(SII)(SAI)))))))K))
(S(K(S(SI(K(SA(SA(S(SA)(SII)(SAI))))))))K)))(SII)))
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18. もう1つ
K(SII(S(K(S(K(S(K(S(SI(K(SA(S(SA)(SII)(SAI)))))))K))
(S(K(S(SI(K(SA(SA(S(SA)(SII)(SAI))))))))K)))(SII)))
Ø この辺をやってみよう
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19. そのまえに
S lambdaだらけはもう嫌
S (lambda (a) b)をa.bと書くことにする
S (lambda (f) (lambda (g) (lambda (x) ((f x) (g x))))) は
S f.g.x.((f x) (g x))
S 括弧とかもできるだけ省省略略して、f.g.x.fx(gx)と書く
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20. SII
S 先程の記法で書くと、
(f.g.x.fx(gx))(x.x)(x.x)
-> (g.x.(x.x)x(gx))(x.x)
-> (g.x.x(gx))(x.x)
-> x.x((x.x)x)
-> x.xx
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21. SII
S SII = x.xx
S これをBと書くことにすると、
K(B(S(K(S(K(S(K(S(SI(K(SA(S(SA)B(SAI)))))))K))
(S(K(S(SI(K(SA(SA(S(SA)B(SAI))))))))K)))B))
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22. λ
S 先程のを使う記法がλ式
S 普通はf.g.x.fx(gx)は更更に省省略略してfgx.fx(gx)と書く
S ⽮矢印で表されていた変換がβ簡約
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23. 更更にもう1つ
K(B(S(K(S(K(S(K(S(SI(K(SA(S(SA)B(SAI)))))))K))
(S(K(S(SI(K(SA(SA(S(SA)B(SAI))))))))K)))B))
Ø λ式を使ってみる
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24. SA
SA -> (fgx.fx(gx))(xyz.x(yz))
-> gx.(xyz.x(yz))x(gx)
-> gx.z.x(gxz)
-> xyz.y(xyz)
Ø 最後の変換(⽂文字の付け替え)がα変換
Ø SAをCと書くことにする
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25. きりがないので
K(B(S(K(S(K(S(K(S(SI(K(C(SCB(CI)))))))K))
(S(K(S(SI(K(C(C(SCB(CI))))))))K)))B))
ü これ以上はやめる
ü ちなみにこれはABAB...と無限に出⼒力力するプログラム
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26. Lazy K の書き⽅方
S 数値もないのにどうすれば
つ チャーチ数
S 条件分岐はどう(ry
つ チャーチ真理理値
S 再帰とか(ry
つ Yコンビネータ
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27. チャーチ数
S ZERO = fx.x
S ONE = fx.fx
S TWO = fx.f(fx)
S SUCC = nfx.f(nfx)
S 例例) SUCC ONE -> (nfx.f(nfx))(fx.fx)
-> fx.f((fx.fx)fx)
-> fx.f(fx)
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28. Lazy K では
S ZERO = (K I)
S (K I) -> (xy.x)(x.x) -> y.x.x -> fx.x
S SUCC = (S (S (K S) K))
S (S (S (K S) K)) -> (S A) -> (fgx.fx(gx))(xyz.x(yz))
-> gx.(xyz.x(yz))x(gx) -> gx.z.x(gxz)
-> nfx.f(nfx)
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29. チャーチ真理理値
S IF = xyz.xyz
S TRUE = xy.x
S FALSE = xy.y
S 例例) IF TRUE A B -> (xyz.xyz)(xy.x)AB
-> (xy.x)AB
-> A
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30. Lazy K では
S IF = (S (K (S (K I))))
(S (K (S (K I)))) -> (S (K ((fgx.fx(gx))(fx.x))))
-> (S (K (gx.gx))) -> (S ((xy.x)(gx.gx)))
-> (S (ygx.gx)) -> (fgx.fx(gx))(ygx.gx)
-> gx.(ygx.gx)x(gx) -> xyz.xyz
S TRUE = K
S FALSE = (K I)
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31. Yコンビネータ
S Y = f.(x.f(xx))(x.f(xx))
S 例例) Yg -> (f.(x.f(xx))(x.f(xx)))g
-> (x.g(xx))(x.g(xx))
-> g((x.g(xx))(x.g(xx)))
-> g(Yg)
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32. Lazy K では
S Y = (S S (S (S (K S) K)) (K (S I I)))
(S S (S (S (K S) K)) (K (S I I))) -> (S S SUCC (K B))
-> (S S SUCC ((xy.x)(x.xx))) -> (S S SUCC (yx.xx))
-> (fgx.fx(gx))(fgx.fx(gx))(nfx.f(nfx))(yx.xx)
-> (fgx.fx(gx))(yx.xx)((nfx.f(nfx))(yx.xx))
-> (fgx.fx(gx))(yx.xx)(fx.f(xx))
-> x.(yx.xx)x((fx.f(xx))x)
-> x.(yx.xx)x(y.x(yy)) -> x.(y.x(yy))(y.x(yy))
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33. 任意のλ式をSKIに変換
S T[x] -> x
S T[AB] -> (T[A] T[B])
S T[x.E] -> (K T(E))
S T[x.x] -> I
S T[x.y.E] -> T[x.T[y.E]]
S T[x.AB] -> (S T[x.A] T[x.B])
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34. 実はIも必要ない
S I = (S K K)
(S K K) -> (fgx.fx(gx))(xy.x)(xy.x)
-> x.(xy.x)x((xy.x)x)
-> x.(xy.x)x(y.x)
-> x.x
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35. ι
S ι = x.xSK とすると、
S ιι -> (x.xSK)(x.xSK) -> (x.xSK)SK -> SSKK
-> (fgx.fx(gx))SKK -> SK(KK) -> (fgx.fx(gx))K(KK)
-> x.Kx(KKx) -> x.(xy.x)x(KKx) -> x.x -> I
S ι(ι(ιι)) -> ι((x.xSK)(x.x)) -> ι(SK)
-> ι((fgx.fx(gx))K) -> ι(gx.Kx(gx)) -> ι(gx.x)
-> (x.xSK)(gx.x) -> (gx.x)SK -> K
S ι(ι(ι(ιι))) -> ιK -> (x.xSK)(xy.x) -> S
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36. Lazy K と愉快な仲間たち
S iota : iと*だけで記述
S jot : 0と1だけ
S () : ()だけ
S [] : []だけ
S {} : {}だけ
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