Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye

1. Penyelesaian Persamaan Diferensial
PD Tidak Eksak (Faktor Integral)
Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat
satu yang berbentuk
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 … (i)
dan memenuhi syarat
Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh dengan dengan mengalikan PD (i)
dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD
eksak yaitu
u M(x, y) dx + u N(x, y) dy = 0 … (ii)
karena PD sudah berbentuk eksak, maka memenuhi
=
u +M =u +N
u( – ) = – (M –N )
RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL
u(x, y) =
Secara umum Faktor Integral terdiri dari tiga kasus yaitu
(a) FI u sebagai fungsi x saja
karena u sebagai fungsi x saja, maka
= dan =0

2. Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis
u(x) =
dx = Q
dx =
dx =
dx = ln u
u(x) =
u(x) =
dengan h(x) =
(b) FI u sebagai fungsi y saja
karena u sebagai fungsi y saja, maka
= 0 dan =
Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis
u(y) =
dy = -M
dy =

3. dy =
dy = ln u
u(y) =
u(y) =
dengan h(y) =
(c) FI u sebagai fungsi x dan y
andaikan FI : u = u(x, y)
misal bentuk peubah x, y = v
maka FI : u = u(v)
= … (iii)
= … (iv)
= … (v)
Jika pers (iii), (iv) dan (v) disubstitusikan ke RUMUS UMUM FAKTOR
INTEGRAL, maka
u(x, y) =
–
u(v) =
u(v) =

4. =
=
=
ln u =
Jadi, FI : u(v) =
dengan h(v) =
Contoh :
Tentukan Faktor Integral dan penyelesain PD dibawah ini :
1. (4 xy + 3y2 – x) dx + x(x + 2y) dy = 0
Penyelesaian :
misal : M(x, y) = 4 xy + 3y2 – x
N(x, y) = x(x + 2y)
= 4x + 6y
= 2x + 2y
Jadi,
=

5. = [fungsi dari x saja]
maka FI adalah = = x2
sehingga diperoleh PD eksak adalah
x2 (4 xy + 3y2 – x) dx + x3 (x + 2y) dy = 0
dx + dy = 0
Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari
solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.
ambil = x2 (4 xy + 3y2 – x)
= 4x3y + 3x2y2 – x3
F(x, y) = (4x3y + 3x2y2 – x3) dx + g(y)
= x4y + x3y2 – x4 + g(y)
= x4 + 2x3y + g’(y)
karena = G(x, y), sehingga
x4 + 2x3y + g’(y) = x3 (x + 2y)
x4 + 2x3y + g’(y) = x4 + 2x3y
g’(y) = 0
g(y) = C
solusi PD : x4y + x3y2 – x4 + C
2. y(x + y + 1) dx + x(x + 3y + 2) dy = 0
Penyelesaian :
misal : M(x, y) = xy + y2 + y
N(x, y) = x2 + 3xy + 2x

6. = x + 2y + 1
= 2x + 3y + 2
Jadi,
=
= [fungsi dari y saja]
maka FI adalah = =y
sehingga diperoleh PD eksak adalah
y2(x + y + 1) dx + xy(x + 3y + 2) dy = 0
dx + dy = 0
Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari
solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.
ambil = y2(x + y + 1)
= xy2 + y3 + y2
F(x, y) = (xy2 + y3 + y2) dx + g(y)
= x2y2 + xy3 + xy2 + g(y)
= x2y + 3xy2 + 2xy + g’(y)
karena = G(x, y), sehingga
x2y + 3xy2 + 2xy + g’(y) = xy(x + 3y + 2)
x2y + 3xy2 + 2xy + g’(y) = x2y + 3xy2 + 2xy
g’(y) = 0

7. g(y) = C
solusi PD : x2y2 + xy3 + xy2 + C
3. (2x3y2 – y) dx + (2x2y3 – x) dy = 0
Penyelesaian :
misal : M(x, y) = 2x3y2 – y
N(x, y) = 2x2y3 – x
= 4x3y – 1
= 4xy3 – 1
Jadi,
– = (4x3y – 1) – (4xy3 – 1)
= 4xy(x2 – y2)
ambil :
v = xy = y dan =x
M = x(2x3y2 – y)
N = y(2x2y3 – x)
maka
M –N
= (2x4y2 – xy) – (2x2y4 – xy)
= 2x2y2(x2 – y2)
=

8. = dv
= dv [fungsi x dan y]
maka FI adalah u(x, y) =
=
=
sehingga diperoleh PD eksak adalah
(2x3y2 – y) dx + (2x2y3 – x) dy = 0
dx + dy = 0
Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari
solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.
ambil = (2x3y2 – y)
2x –
F(x, y) = (2x – ) dx + g(y)
= x2 + + g(y)
= + g’(y)
karena = G(x, y), sehingga
+ g’(y) = (2x2y3 – x)

9. + g’(y) = 2y –
g’(y) = 2y
g(y) = y2
solusi PD : x2 + + y2 = 0
Penyelesaian Persamaan Linier Orde 1 :
Metode Faktor Integral
A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD
diatas apabila dibagi dengan A(x) maka diperoleh bentuk
+ y= .
misal P(x) = dan Q(x) = maka
+ P(x) y = Q(x) … (i)
untuk menyelesaiakn PD ini, disini pertama kita akan membahas dengan
metode Faktor Integral.
misal faktor integral nya adalah , kalikan kedua ruas PD (i)
dengan faktor integralnya, diperoleh :
+ P(x) y = Q(x) … (ii)
jika diambil y dan diturunkan kedua ruas [Turunan Aturan
Perkalian], maka diperoleh turunan pertamanya
(y )= + P(x) y
sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii), diperoleh

10. (y ) = Q(x)
kemudian integralkan kedua ruas, diperoleh
SOLUSI UMUM : y = Q(x) dx + C
solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan
koefesian =1
Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini :
1. + 2xy = 4x
Penyelesaian :
Perhatikan bentuk PD (i), maka ambil
P(x) = 2x dan Q(x) = 4x
Faktor Integral : =
Kemudian substitusi ke SOLUSI UMUM, diperoleh
y = Q(x) dx + C
y = 4x dx + C
y = 4x +C
y = 2 d(x2) + C
y =2 +c
y=2+c
2. x = y + x3 + 3x2 – 2x
Penyelesaian :

11. x – y = x3 + 3x2 – 2x [bagi dengan x]
– y = x2 + 3x – 2
ambil P(x) = dan Q(x) = x2 + 3x – 2
Faktor Integral : = e-ln x =
sehingga penyelesaiannya
y = Q(x) dx + C
y = (x2 + 3x – 2) dx + C
y = (x + 3 – 2 ) dx + C
y= x3 + 3x2 – 2x ln x + cx
y= x3 + 3x2 – ln x2x + cx
3. xy’ – 2y = x3 ex
Penyelesaian :
x – 2y = x3 ex [bagi dengan x]
– y = x2 ex
ambil P(x) = dan Q(x) = x2 ex
Faktor Integral : = e-2 ln x =
sehingga penyelesaiannya
y = Q(x) dx + C

12. y = (x2 ex) dx + C
y = ex dx + C
y = ex + c
y = x2 ex + c x2