Lingkaran

PENGERTIAN LINGKARAN
Perhatikan gambar di bawah ini!!!!!!!!!!!!!!
Apa nama bentuk gambar tersebut?????????

PENGERTIAN LINGKARAN
Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang
membentuk lengkungan tertutup, dimana
titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak
sama terhadap suatu titik tertentu
A
BC
O
 Titik tertentu yang dimaksud di atas
disebut Titik Pusat Lingkaran, pada
gambar di samping titik pusat
lingkaran di O
 Jarak OA, OB, OC disebut Jari-jari
Lingkaran

UNSUR-UNSUR LINGKARAN
1. Titik Pusat
2. Jari-jari (r)
3. Diameter (d)
4. Busur
5. Tali Busur
6. Tembereng
7. Juring
8. Apotema
C
B
A
D
O

Titik Pusat
O
 Titik pusat lingkaran adalah titik
yang terletak di tengah-tengah
lingkaran
 Perhatikan gambar disamping,
titik O merupakan titik pusat
lingkaran.
 Untuk membuat lingkaran dan
menentukan titik pusat lingkaran
harus menggunakan jangka

Jari-jari (r)
A
O
Jari-jari lingkaran adalah garis dari
titik pusat lingkaran ke lengkungan
lingkaran
 Misal ada titik A di lengkungan
lingkaran
 Hubungkan titik O dan titik A
dengan sebuah garis lurus
 Garis lurus yang menghubungkan
titik O dan A tersebut disebut
Jari-jari lingkaran dan ditulis OA

Diameter (d)
C
B
A
O
 Misal ada titik B di lengkungan
lingkaran
Diameter adalah garis lurus yang
menghubungkan dua titik pada lengkungan
lingkaran dan melalui titik pusat.
 Buat garis dari titik B melalui titik O
sampai pada lengkungan lingkaran,
misal di titik C
 Garis BC tersebut disebut diameter
dan garis OB dan OC disebut Jari-jari
 Perhatikan, BC = OB + OC. Dengan kata
lain Diameter adalah 2 jari-jari
Panjang diameter sama dengan 2 kali panjang jari-jari atau
bisa ditulis d = 2r

Busur
C
B
A
O
Busur lingkaran adalah garis lengkung yang
terletak pada lengkungan lingkaran dan
menghubungkan dua titik sebarang di
lengkungan tersebut
 Busur lingkaran dibagi menjadi 2, yaitu
Busur Kecil dan Busur Besar
Jika disebutkan busur lingkaran saja tanpa disebutkan besar/kecil, maka
yang dimaksud adalah busur kecil
 pada gambar di samping, garis lengkung
AC merupakan busur
 busur AC yg berwarna kuning disebut busur
Kecil, sedangkan busur AC yang berwarna hitam
disebut busur besar.

Tali Busur
C
B
A
O
Tali busur lingkaran adalah garis lurus
dalam lingkaran yang menghubungkan
dua titik pada lengkungan lingkaran
 Pada gambar di samping, tarik garis
lurus dari titik A ke titik C
 Apakah garis lurus BC juga merupakan
tali busur???
 Jawabnya YA, BC merupakan tali busur sekaligus diameter lingkaran
karena garis BC menghubungkan titik B dan C pada lengkung lingkaran
dan melalui titik pusat lingkaran
 Garis lurus AC tersebut disebut tali
busur

Tembereng
C
B
A
O
Tembereng adalah luas daerah dalam
lingkaran yang dibatasi oleh busur
dan tali busur
 Seperti pada Busur lingkaran, Tembereng
juga dibagi menjadi 2, yaitu Tembereng
Kecil dan Tembereng Besar
 Pada gambar di samping, daerah yang
berwarna kuning disebut Tembereng kecil
Jika disebutkan Tembereng lingkaran saja tanpa disebutkan besar/kecil,
maka yang dimaksud adalah Tembereng kecil

Juring
C
B
A
O
Juring lingkaran adalah luas daerah
dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua
buah jari-jari lingkaran dan sebuah
busur yang diapit oleh kedua jari-jari
lingkaran tersebut
 Juring lingkaran juga dibagi menjadi 2,
yaitu Juring Kecil dan Juring Besar
 Pada gambar di samping, daerah AOB
disebut Juring kecil
Jika disebutkan Juring lingkaran saja tanpa disebutkan besar/kecil, maka
yang dimaksud adalah Juring kecil

Apotema
C
B
A
D
O
Apotema adalah garis yang
menghubungkan titik pusat lingkaran
dengan tali busur lingkaran. Garis
tersebut tegak lurus dengan tali
busur.
 Dari titik pusat O, buat garis yang tegak
lurus dengan tali busur AB misal di titik D
 Garis OD ini yang disebut Apotema

CONTOH SOAL
P
Q
O
TR
S Perhatikan gambar disamping!!!!!
1. Tentukan:
a. Titik Pusat
b. Jari-jari
c. Diameter
d. Busur
e. Tali Busur
f. Tembereng
g. Juring
h. Apotema

Pendekatan nilai phi (π)
Adalah nilai perbandingan antara keliling lingkaran
dengan diameter merupakan suatu bilangan yang
dinyatakan dengan pi (π) yaitu :
π =
Bilangan π tidak dapat dinyatakan secara tepat nilainya dalam
pecahan biasa atau pecahan desimal. bilangan π adalah
suatu bilangan Irrasional dan lebih sering diperkirakan
3,14 atau . menurut Archimedes perhitungan nilai π dapat
diambil sama dengan . pengambilan ini hanya jika
perhitungan cukup sampai dua angka desimal.

Adalah panjang busur atau lengkung
pembentuk lingkaran. Rumus keliling lingkaran
:
K = π . d
d = 2 r
K = π . 2r
K = 2 π r

Luas Lingkaran Adalah luas daerah yang
dibatasi oleh lengkung lingkaran. Rumus luas
lingkaran :
L = r . . K
L = r . . 2 π r
L = r. π . r
L = π r2

5/18/2013 18
Panjang jari-jari sebuah roda 28
cm. Berapakah panjang
lintasannya jika roda itu berputar
atau menggelinding sebanyak 400
kali.

5/18/2013 19
Diketahui :
Panjang jari-jari = 28 cm
Jumlah putaran = 400 kali
Keliling roda = 2 r
= 2 x 22/7 x 28
= 2 x 88 = 176 cm.
Panjang lintasannya = 400 x 176 cm
= 70.400 cm
= 704 meter.
Pembahasan :

5/18/2013 20
Sebuah roda berputar sebanyak
500 kali untuk melintasi jalan
sepanjanmg 628 meter.
Hitunglah :
a.Keliling roda
b.Jari-jari roda

5/18/2013 21
Diketahui :
Panjang lintasan = 628 meter
Jumlah putaran = 500 kali
Keliling roda = Pjg. lintasan : jlh putaran
= (628 x 100 )cm : 500
= 125,6 cm.
Jari-jari roda = Keliling : 2
= 125,6 : 2 x 3,14
= 125,6 : 6,28 = 20 cm.
Pembahasan :

5/18/2013 22
Sebuah kolam berbentuk lingkaran
berjari-jari 40 meter. Di sekeliling tepi
kola dibuat jalan meleingkar selebar
5 meter. Jika biaya untuk membuat
jalan tiap 1 m2 adalah Rp 15.000,00,
hitunglah seluruh biaya untuk
membuat jalan tersebut !

5/18/2013 23
Diketahui :
Jari-jari kolam OA = 40 meter
Jari-jari kolam OB = 45 meter
Pembahasan :
O BA
Luas lingkaran OA
L1 = r2
= 3,14 x 40 x 40
= 5024 m2

5/18/2013 24
O BA
Luas lingkaran OB
L2 = r2
= 3,14 x 45 x 45
= 6358,5 m2
Luas jalan = Luas (L2) - Luas ( L1 )
= 6358,3 m2 - 5024 m2
= 1.334,5 m2
Biayanya = 1.334,5 m2 x Rp 15.000,00
= Rp 20.017.500,00

5/18/2013 25
42 cm
Hitunglah luas daerah yang diarsir !

5/18/2013 26
Pembahasan :
Luas lingkaran yang
diarsir :
L = ½ r2
= ½ x 22/7 x 21 x 21
= ½ x 22 x 63
= 11 x 63
= 693 cm2
42 cm
Lingkaran kecil diarsir = lingkaran kecil tdk diarsir.

5/18/2013 27
Hitunglah luas daerah yang diarsir !
14 cm

5/18/2013 28
Pembahasan :
Luas lingkaran yang
diarsir :
Lb = r2
= 22/7 x 7 x 7
= 154 cm2
Lk = r2
= 22/7 x 3,5 x 3,5
= 38,5 cm2
Luas yg diarsir = 154 cm2 - 38,5 cm2 = 115,5 cm2
14 cm

Titik L adalah pusat lingkaran. Sudut
BLC dinamakan sudut pusat lingkaran
karena titik sudutnya terletak pada
pusat lingkaran.
Sudut BAC disebut sudut keliling
lingkaran, karena titik sudutnya terletak
pada keliling lingkaran
B
A
L
C
D Perhatikan gambar diatas, sudut BAC dan sudut BLC
Menghadap busur BDC, maka :
Sudut BAC = ½ sudut BLC

Besar AOB
=
Pjg. busur AB
=
L. juring OAB
Besar COD Pjg. busur CD L. juring OCD
Perhatikan
Gambar

Besar AOB
=
Pjg. busur AB
=
L. juring OAB
3600 Kel. lingkaran L. lingkaran
O

sudut pusat
Adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran dan
titik sudutnya disebut pusat lingkaran.
panjang busur
misal pada lingkaran L yang berjari-jari r terdapat sudut
pusat ALB = α yang menghadap busur AB maka :

=
=
=
Luas Juring
misal lingkaran L pada gambar disamping berjari – jari r. Di dalam
lingkaran terdapat juring yang terbentuk oleh sudut pusat PLQ =
=
=
= πr2

O
P
Q
Luas tembereng PQ = luas juring POQ – luas segitiga POQ

5/18/2013 36
Pada gambar
disamping, luas juring
OAB =60 cm2, AOB
= 400 dan BOC = 120o
Hitunglah Luas juring
OBC.
O
A
C
1200
400
B

5/18/2013 37
Diketahui :
AOB = 400 dan BOC = 1200
L. Juring OAB = 60 cm2
Besar AOB
=
L. Juring OAB
Besar BOC L. Juring OBC
400
=
60
1200 x
X = 3 x 60 = 180 cm2.
Jadi L. Juring OBC = 180 cm2.
1
=
60
3 x
Pembahasan :

5/18/2013 38
Pada gambar
disamping, pjg.
busur PQ = 50 cm,
panjang busur
QR = 75 cm dan
POQ = 450 .
Hitunglah besar
QOR.
O
P
R
450
Q

5/18/2013 39
Diketahui :
Panjang busur PQ = 50 cm
Panjang busur QR = 75 cm
POQ = 450
Besar POQ
=
Pj. busur PQ
Besar QOR Pj. busur QR
45
=
50
x 75
X = ( 3 x 45) : 2 = 135 : 2 = 67,50
Jadi, besar QOR adalah : 67,50.
45
=
2
x 3
Pembahasan :

5/18/2013 40
Panjang jari-jari sebuah lingkaran yang
berpusat di titik O adalah 30 cm. Titik P
dan Q terletak pada keliling lingkaran
sehingga luas juring OPQ = 565,2 cm2.
Hitunglah panjang busur PQ.

5/18/2013 41
Diketahui :
Panjang jari-jari = 30 cm
Luas juring OPQ = 565,2 cm2
L. Juring OPQ
=
Pj. busur PQ
L. Lingkaran K. Lingkaran
565,2
=
x
r2 2 r
X = ( 565,2) : 15 = 37,68
Jadi, panjang busur PQ adalah : 37,68 cm
565,2
=
x
x 30 x 30 2 x x 30
Pembahasan :

5/18/2013 42
Pada gambar
disamping, besar COD
= 600,panjang OA = 12
cm da AC = 12 cm.
Hitunglah luas bangun
yang diarsir!

5/18/2013 43
Diketahui :
Jari -jari (1) = 12 cm
Jari- jari (2) = 24 cm.
AOB = 600
Pembahasan :
L. Juring OAB = 60/360 x Luas lingkaran
= 1/6 x 3,14 x 12 x 12
= 3,14 x 24
= 75,36 cm2

5/18/2013 44
Diketahui :
Jari -jari (1) = 12 cm
Jari- jari (2) = 24 cm.
AOB = 600
Pembahasan :
L. Juring OCD = 60/360 x Luas lingkaran
= 1/6 x 3,14 x 24 x 24
= 3,14 x 96
= 301,44 cm2

5/18/2013 45
Pembahasan :
Luas yang diarsir :
= Luas juring OCD - Luas juring OAB
= 301,44 cm2 - 75,36 cm2
= 225,08 cm2.

1. Sudut antara dua tali busur yang
berpotongan dalam lingkaran.
Besar sudut yang dibentuk oleh dua tali
busur yang berpotongan di dalam lingkaran
sama dengan jumlah sudut keliling yang
menghadap busur yang terletak di antara
kaki-kaki sudutnya.

atau :
Besar sudut ayang dibentuk oleh dua tali
busur yang berpotongan do dalam
lingkaran , sama dengan ½ jumlah sudut
pusat yang menghadap busur yang
terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

A
D
B
C
E
•
O
AEC = ½ ( AOC + BOD)
= ½ ( + )

2. Jika dua tali busur yang berpotongan di
luar lingkaran, maka :
Besar sudut yang terjadi sama dengan
jselisih sudut pusat yang menghadap
busur yang terletak di antara kaki-kaki
sudutnya.

AED = ADC - BAD
= -
A B
C
D
E
•

atau :
Jika dua tali busur yang berpotongan di
luar lingkaran, maka :
Besar sudut yang terjadi sama dengan ½
selisih sudut pusat yang menghadap
busur yang terletak di antara kaki-kaki
sudutnya.

AED = ½ ( AOC - BOD )
= ½ ( - )
A B
C
D
E
•
O

Pada gambar,
diketahui besar ABC
= 200 dan BCD = 250 .
Hitunglah besar :
a. AEC
b. AED A D
BC
E

ABC = 200
BCD = 250
a. AEC = ABC + BCD
= 200 + 250
= 450
b. AED = 1800 - AEC
= 1800 - 450
= 1350

Pada gambar
disamping, besar
POR = 600 dan
QOS = 400 .
Hitunglah besar
PTR
P
S
Q
R
T
•
O

POR = 600
QOS = 400
a. PTR = ½ ( POR + QOS)
= ½ (600 + 400 )
= ½ x 1000
= 500
Jadi, besar PTR = 500

Pada gambar disamping, besar ABC =
650 dan BCD = 300 . Hitunglah besar
AEC
A B
C
D
E
•O

ABC = 650
BCD = 300
AEC = ABC - BCD
= 650 - 350
= 250
Jadi, besar AEC = 250

Pada gambar disamping, besar POR = 1100
dan QOS = 400 . Hitunglah besar PTR .
P Q
R
S
T
•O

POR = 1100
QOS = 400
PTR = ½ ( POR - QOS)
= ½ ( 1100 - 400 )
= 350

Pada gambar,
diketahui besar KLM
= 200 dan LMN = 350 .
Hitunglah besar :
a. KTM
b. KTN K N
LM
T

KLM = 200
LMN = 350
a. KTM = KLM + LMN
= 200 + 350
= 550
b. KTN = 1800 - KTM
= 1800 - 550
= 1250

Pada gambar di
samping, besar POR
= 500 dan QOS =
600 .
Hitunglah besar
PTR
P
S
Q
R
T
•
O

POR = 500
QOS = 600
a. PTR = ½ ( POR + QOS)
= ½ (500 + 600 )
= ½ x 1100
= 550

Pada gambar di bawah ini, besar ABC
= 550 dan BCD = 250 Hitunglah besar
AEC
A B
C
D
E
•O

ABC = 550
BCD = 250
AEC = ABC - BCD
= 550 - 250
= 300
Jadi, besar AEC = 300

Pada gambar di bawah ini, besar POR = 1000
dan QOS = 300 . Hitunglah besar PTR .
P Q
R
S
T
•O

POR = 1000
QOS = 300
PTR = ½ ( POR - QOS)
= ½ ( 1000 - 300 )
= 350

 Sudut-sudut segi-n beraturan
 Sudut pusat dan sudut keliling
 Segi empat tali busur

 Besar sudut pusat segi-n beraturan
= 3600 : n
 Besar setiap sudut segi-n beraturan
= 1800 – ( 3600 : n )
 Besar setiap sudut segi-n beraturan
= 1/n [( n – 2 ) x 1800 ] atau
 =
( n - 2 ) x 180
n

 Besar sudut pusat = 2 x sudut keliling
 Yang menghadapa pada busur yang sama
 Besar setiap sudut keliling yang menhadap
diameter adalah 900 ( siku-siku ).
 Besar sudut-sudut keliling yang menhadap
busur yang sama adalah sama besar.

 Jumlah sudut yang
berhadapan pada
setiap segi empat
tali busur adalah
1800.
 A + C = 1800
 B + D = 1800
•
A
D
C
B

 Hasil kali diagonalnya = jumlah perkalian
sisi-sisi yang berhadapan.
 AC x BD = (AB x CD) + ( AD x BC)
•
A
D
C
B

 Hasil kali bagian-bagian diagonalnya sama.
 AE x CE = BE X DE
•
A
D
C
B
E
O

Dalam segi-8 beraturan, hitunglah besar
sudut-sudut berikut :
a. sudut pusatnya
b. Setiap sudut segi-10 itu.

 Besar sudut pusatnya :
 = ( 360 : 8 ) = 450
 Besar setiap sudut segi-8 :
 = 1800 – ( 360 : 8 )
 = 1800 – 450 = 1350

Dalam segi-10 beraturan, hitunglah besar
sudut-sudut berikut :
a. sudut pusatnya
b. Setiap sudut segi-10 itu.

 Besar sudut pusatnya :
 = ( 360 : 10 ) = 360
 Besar setiap sudut segi-10 :
 = 1800 – ( 360 : 10 )
 = 1800 – 360 = 1440

Besar setiap sudut segi-n
beraturan = 1350 .
Tentukan nilai n

 Besar setiap sudut segi-n beraturan = 1350 = 1/n
[ ( n – 2 ) x 1800 ]
 135 n = 180n – 360
 -45 n = - 3600
 n = (-3600) : ( -450)
 n = 8.

Pada gambar
disamping diketahui
besar AOB = 800 .
Hitunglah besar ACB
O
A
B
C

 Sudut pusat = 2x sudut keliling
 ACB = ½ AOB
 = ½ x 800
 = 400
 Jadi besar ACB = 400.

Pada gambar
disamping diketahui
besar PRQ = 500 .
Hitunglah besar
POQ O
R
P
Q

 PRQ = 500
 POQ = 2 x PRQ
 = 2 x 500
 = 1000
 Jadi besar POQ = 1000.

Pada gambar disamping
diketahui besar OAB =
400 . Hitunglah besar :
a. OBA
b. AOB
c. ACB

a. OBA = OAB ( segitiga sama kaki)
= 400
b. AOB = 1800 – ( 400 + 400 )
= 1800 - 800
= 1000
c. ACB = ½ x OBA
= ½ x 1000 = 500 .

diketahui besar AOC =
1300 . Hitunglah besar :
a. sudut refleks AOC
b. ABC
B
A C

 AOC = 1300
a. Sudut refleks AOC = 3600 – 1300
= 2300
b. ABC = ½ x sudut refleks AOC
= ½ x 2300
= 1350 .

Pada gambar
disamping PQ adalah
garis tengah
(diameter). Hitunglah
besar P.
R
P
Q
3x
•

Besar R = 900 ( sebab menghadap diameter )
P + Q = 1800 - 900
3x + 2x = 900
5x = 900
x = 180
Besar P = 3x
= 3 . 180 = 540 .

PQ merupakan diameter.
Panjang jari-jari OP = 5
cm, dan SQ = 3 cm.
Hitunglah panjang PR
R
Q P
S

OP = 5 cm dan SQ = 3 cm.
PQ = 2 PO = 2 x 5 cm = 10 cm.
PS = PQ – SQ = 10 cm – 3 cm = 7 cm
PRQ = 900, karena menghadap diameter PQ.
PR2 = PS x PQ = 7 x 10 = 70
PR = 70 cm.

diketahui besar ACB =
700 dan AED = 600 .
Hitunglah besar :
a. ADE
b. DAC
c. CBD
O
A
C
D
B
•
E

ACB = 700 dan AED = 600
a. ADE = ACD = 700 ( menghadap busur AB.
b. DAC = 180 – ( 70 + 60 )
= 180 - 130 = 500
c. CBD = DAC = 500 ( menghadap busur CD.

Pada gambar
disamping, segiempat
ABCD merupakan
segiempat tali busur.
Panjang AB = 6 cm, BC =
7 cm, CD = 8 cm, AD = 10
cm, dan BD = 12 cm.
Hitunglah panjang AC
•
6
10 8
A
B
C
D
O
7

AC x BD = ( AB x CD) + ( AD x BC )
AC x 12 = ( 6 x 8 ) + ( 10 x 7 )
12 AC = 48 + 70
12 AC = 118
AC = 118 : 12 = 9,83.

Pada gambar
disamping, segiempat
PQRS merupakan
segiempat tali busur.
Panjang PQ = 10 cm,
QR = 8 cm, SR = 9 cm,
PR = 15 cm, dan QS =
12 cm. Hitunglah
panjang PS
8
S 9

PQ x QS = ( PQ x SR ) + ( PS x QR)
15 x 12 = ( 10 x 9 ) + ( PS x 8 )
180 = 90 + 8 PS
8PS = 180 – 90 = 90
PS = 90 : 8 = 11, 25 cm.

Garis singgung pada suatu lingkaran
adalah garis yang memotong
lingkaran itu tepat pada satu titik di
lingkaran itu.

1. Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak
lurus terhadap jari-jari maupun diameteryang
melalui titik singgung itu.
2. Melalui satu titik pada lingkaran, hanya dapat
dibuat satu garis singgung pada lingkaran itu.
3. Melalui satu titik di luar lingkaran dapat dibuat
dua garis singgung.

Melukis garis singgung lingkaran melalui titik
singgung.
Misal A adalah titik singgung yang terletak pada
lingkaran O. langkah-langkah melukis garis singgung
pada titik A
1. Lukislah jari-jari lingkaran O melalui A
2. Lukislah garis BAC yang tegak lurus garia OA,
dan berpotongan dititik A.
3. Garis BAC merupakan garis singgung lingkaran O.
AO
C
B

Misal P adalah titik yang terletak diluar lingkaran O. langkah-
langkah melukis garis singgung yang melalui P.
1.Hubungkan titik P dan O
2. carilah titik tengah PO(misal Q)
3.Buatlah lingkaran Q berjari-jari QP atau QO memotong
lingkaran O di S dan T
4.Hubungkan titik S dan P dengan titik P
5.Garis PS dan PT adalah garis singgung lingkaran O

S
O P
Q
T
Garis PS dan PT adalah garis
singgung lingkaran O

 Misal titik A terletak diluar lingkaran O.ada 2
garis singgung yang dapat dibuat dari titik A
terhadap lingkaran O. kedua garis singgung
tersebut bersama-sama denfan jari-jari
lingkaran yang melalui titik singgung
membentuk sebuah bangun. Bagun tersebut
dinamakan Layang-layang garis
singgung(karena memenuhi sifat layang-
layang).

O A
B
C
ABCO adalah layang – layang garis singgung

 Panjang garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik
diluar lingkaran dapat dihitung, apabila diketahui
panjang jari-jari lingkaran(r) dan jarak titik pusat
lingkaran dengan titik diluar lingkaran tersebut(d).
QO
P
r
d
OPQ siku-siku di P dengan OP= r, OQ= d dan
PQ= PGSL
Berdasarkan teorema pytagoras diperoleh:
PGSL =
d =
r =

Perhatikan gambar dibawah ini!
Titik Q berada diluar lingkaran dengan QO = 15 cm. Jika jari-jari
lingkaran O = 9 cm. tentukan panjang garis singgung lingkaran
yang ditarik dari titik P?
Q
O
P

 QO = d = 15 cm
 r = 9 cm
 PGSL =………..?
 PGSL = =
=
=
=12 cm

 Garis singgung persekutuan dua lingkaran
adalah garis singgung dari dua lingkaran itu
yang melalui suatu titik – titik pada
lingkaran.
 Secara umum garis singgung dua lingkaran
dapat dikelompokkan menjadi 2 jenis, yaitu
Garis singgung Persekutuan Luar dan Garis
Singgung Persekutuan Dalam
 Dibawah ini menunjukkan beberapa
kemungkinan garis singgung persekutuan dua
lingkaran.

B
ML
D
C
A
(1)
P
R
Q
N
S ML
(2)
L M
(3)
M L
P
(4)
ML
D
C
A
(5)
B
(6)
ML
T
S
N
K

1. Panjang garis singgung persekutuan luar (PGSPL)
 Perhatikan gbr dibawah! Gambar tersebut menunjukkan
dua lingkaran yang berpusat di A dengan jari-jari R
(lingkaran besar) dan lingkaran kecil yang berpusat di B
dengan jari-jari r. jarak kedua pusat lingkaran adlah AB
= d, dan PQ adalah panjang garis singgung persekutuan
luar = (PGSPL)
A
B
d
P
Q
rR

 Tarik garis melalui lingkaran kecil(titik B) sejajar
garis PQ hingga tegak lurus AP, yaitu BP’ AP.
 BP’PQ adalah persegi panjang, berarti BQ= P’P=r
dan BP’ = PQ =PGSPL serta AP’ = AP – P’P atau AP’ =
R – r.
(1)
P
Q
A
R
r
B
R
P
B
A
d
R-r
Q
P’
(2)
PGSPL
P’

Perhatikan gambar AP’B siku-siku di P’.
Berdasarkan Teorema pythagoras, diperoleh:
AB = d =
PQ = PGSPL =
AP’ = R – r =R
P
B
A
d
R-r
Q
P’
(2)
PGSPL

LM = d= 13 cm
MB = r =3 cm
AL = R = 8 cm
AB = PGSPL =……?
L
M
C
A
B
PGSPL =
=
=
= 12=
=
Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm

 Gambar dibawah menunjukkan lingkaran besar
yang berpusat di A dengan jari-jari R dan lingkaran
kecil yang barpusat di B dengan jari-jari r. jarak
antara kedua pusat lingkaran adalah AB = d dan PQ
adalah panjang garis singgung persekutuan dalam
(PGSPD)
A B
Q
d
P
R
r

 Tarik garis melalui pusat lingkaran kecil (titik B)
sejajarngaris PQ hingga tegak lurus pada
perpanjangan garis AP di titik P’, yaitu BP’ AP’
 QBP’P adalah persegi panjang, berarti
BQ = PP’ = r, PQ=BP’ =PGSPD, dan AP’ = AP +PP’
atau AP’ = R + r
A B
Q
d
P
R
r
P’
r

AB = d =
PQ = PGSPD =
AP’ = R – r =
BA
r
d
P’
r
P
R
Q

Diberikan dua lingkaran yaitu [A, 12 cm] dan [B, 23 cm].
Jika jarak AB = 37 cm, hitunglah PGSPD?
Jawab:
AB = d = 37 cm PGSPD =
BP=R=23 cm
AQ=r=12 cm
PQ = R+r=(23+12)cm
PGSPD =……? = 12 cm
=
=
=
B A
Q
P

Pengertian
Cara Melukis
Menentukan
Jari-jari
Soal-soal

Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui
semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis
sumbu sisi-sisi segitiga.
Perhatikan gambar !
r
r
r
A
C
B
Gambar lingkaran luar segitiga

Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang terletak di
dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya.
Gambar lingkaran dalam segitiga
Perhatikan gambar !
r
r
r

r
r
r
A
C
B
Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga :

r
r
r
Panjang jari-jari lingkaran DALAM segitiga :
segitigakeliling
segitigaLuas
r
2
1

Langkah 1
Cara melukis lingkaran luar segitiga :
Langkah 2
Langkah 3

Langkah 1
Tentukan masing-
masing sebuah
titik yang berada
pada sisi
segitiga,sehinga
titik tersebut tepat
berada di tengah-
tengah sisi
segitiga.
A
C B

Langkah 2
Tarik garis melalui titik
tersebut dan garis tersebut
tegak lurus dengan sisi-sisi
segitiga tersebut sehingga
garis-garis tersebut
menghasilkan 1 titik potong.
A
C
B

Langkah 3
Letakkan
jangka di titik
tersebut dan
pada salah
satu titik
sudut
segitiga,kemu
dian di putar.
A
C
B

Cara melukis lingkaran dalam segitiga :
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3

Buat garis bagi dari masing-masing titik sudut segitiga.kemudian tarik
garis-garis tersebut sehingga menghasilkan titik potong.
A
C
B

Buat garis tinggi melalui titik potong tersebut sisi pada segitiga
sehingga menghasilkan titik potong dengan sisi segitiga.
A
C
B

Letakkan jangka di titik yan telah dibuat,
kumudian di putar.
A
C
B

CONTOH SOAL:
Diketahui segitiga ABC siku-siku A.panjang sisi AB=7 cm ,
BC=25 cm.Hitunglah panjang jari-jari lingkaran luar !
A
C
B
7 cm
25cm
jawab

CONTOH SOAL:
Dalam segitiga siku-siku PQR panjang sisi QR =15 cm , PQ =9 cm
PR= 12 cm.Hitunglah panjang jari-jari lingkaran luar !
r
r
r
Q
P
R
17 cm
13 cm
10
cm
jawab
QR=17 cm; PQ=10 cm; PR=13 cm

1. Diketahui segitiga ABC sama sisi panjang sisinya 12 cm
panjang jari-jari lingkaran luar dan dalam segitiga berturut-
turut adalah….
cmdancma 3436.
cmdancmb 3432.
cmdancmc 3234.
cmdancmd 334.
cek
cek cek
cek

2. Diketahui segitiga ABC siku-siku di A .panjang AB= 6 cm dan
BC = 10 cm.panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah….
Cek
Cek
Cek
Cek
Penyelesaian
a.
b.
c.
d.

12
cm
6 cm
CA
B
D
cmBD
DCBCBD
36108
36144
612 22
222
2
336
36.12
2
1
.
2
1
cm
BDACsegitigaL
cm
xsegitigaLx
BCACAB
R
RluarOjarijari
34
3364
12.12.12
4
..
)(
cm
segitigakeliling
segitigaL
r
rdalamOjarijari
32
36
2
1
336
2
1
)(

Lingkaran

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Lingkaran

Similar to Lingkaran (20)

More from Irawati Ibrahim

More from Irawati Ibrahim (6)

Lingkaran