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3.Calc Int Fasc04

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3.Calc Int Fasc04

  1. 1. Cálculo integral Semestre 3 Fascículo No. 4 Tabla de contenido Contenido Áreas y volúmenes Áreas Fórmula general para el cálculo del área entre dos curvas Volúmenes Volumen de un cuerpo con sección transversal conocida Volumen de un sólido por revolución Volumen de un sólido de revolución con un hueco (Método de las arandelas) Método de las capas o cascarones Resumen Bibliografía recomendada Nexo Autoevaluación formativa
  2. 2. Áreas y volúmenes Vamos ahora a tratar una de las más importantes aplicaciones de la integral definida: el problema del cálculo de áreas y volúmenes generados por curvas en el plano. Se aclara que éstas no son las únicas aplicaciones de la integral definida, pues más adelante vamos a tratar más aplicaciones geométricas y físicas de la integral definida. Indicadores de logros Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Deduce, construyendo sumas de Riemann, las fórmulas para el cálculo de • áreas y de volúmenes. Adapta las fórmulas para el cálculo de volúmenes de acuerdo con la situación • concreta del problema a resolver. Calcula áreas de regiones limitadas por curvas en el plano. • Calcula volúmenes de cuerpos sólidos. •
  3. 3. Áreas Vamos ahora a tratar el problema de calcular el área entre dos curvas; y = f ( x) y y = g ( x) para a ≤ x ≤ b , geométricamente esto es: Y y=f(x) Área A y=g(x) X a b Para resolver este problema vamos a efectuar una partición sobre el intervalo [a , b]: a < x0 < x1 < x2 ... < xi > ... < xn = b , de mod o que queda dividido en sub int ervalos [xi −1 , xi ] , i = 1,2, ... , n
  4. 4. Sea Δxi = xi − xi −1 la longitud de cada sub int ervalo elijamos un punto arbitrario en cada sub int ervalo, x , x ∈ [xi −1 , xi ] , i = 1,2, ... , n . * * i i Consideremos con respecto a cada subintervalo, un rectángulo de ancho Δxi = xi − xi −1 y alto f ( xi* ) − g ( xi* ) , i = 1,2, ... , n . De manera que el área de cada rectángulo esté dada por: [ ( ) ( )] ΔAi = f xi* − g xi* Δxi para i = 1,2, ... , n . Entonces una aproximación al área total comprendida entre las dos curvas entre a y b será: Y y=f(x) hi y=g(x) a xi-1 xi b * x i Una aproximación del área total entre las dos curvas entre a y b , es: [ ( ) ( )] n n Área total : A = ∑ ΔAi = ∑ f xi* − g xi* Δxi i =1 i =1
  5. 5. Hagamos el proceso de límite, para cuando la norma de la partición tiende a cero, P → 0 , y tendremos el valor exacto del área buscada: A = lim ∑ [ f (x ) − g (x )]Δx = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx b n * * Área exacta : i i i P → 0 i =1 a Ejemplo Hallar el área comprendida entre la parábola y = x 2 y la recta y = x . En este caso la región, está limitada, superiormente, por la recta Y = x e, inferiormente, por la parábola y = x2 , para x entre 0 y 1; siendo la gráfica de la región la siguiente:
  6. 6. Entonces, el área estará dada por: 1 3⎤ ⎡x 2 x [ ] ⎡1 1 ⎤1 1 − A = ∫ x − x 2 dx = ⎢ ⎥ = ⎢ − − 0⎥ = ⎣2 3 ⎦ 6 3⎦ ⎣2 0 0 Fórmula general para el cálculo del área entre dos curvas La fórmula general para calcular el área entre dos curvas, sin importar cuál es la superior y cuál es la inferior está dada, considerando la altura de cada rectángulo
  7. 7. como el valor absoluto de la diferencia entre las dos funciones; por tanto el área de un rectángulo será: () () ΔAi = f xi* − g xi* Δxi Y y=f(x) () () hi = f xi* − g xi* y=g(x) X a xi-1 xi b xi* b ∫ A= f ( x) − g ( x) dx Entonces, a Observación Note que, en la práctica, esto significa dividir la integral según la propiedad de aditividad, teniendo en cuenta la definición de valor absoluto.
  8. 8. Ejemplo Calcule el área comprendida entre las curvas y = x y y = 2 − x 2 , para 0 ≤ x ≤ 2 La gráfica de la región aparece más abajo. Hallemos los puntos de corte entre ambas curvas: ⎧ y=x ⎫ ⎧ x = −2 ⇒ x = 2 − x 2 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 ⇒ ( x + 2)( x − 1) = 0 ⇒ ⎨ ⎨ 2⎬ . ⎩y = 2 − x ⎭ ⎩ x =1 En el problema, la intersección que es de nuestro interés es x = 1; puesto que: ( ) Para 0 < x < 1 , tenemos que x − 2 − x 2 < 0 ; mientras que para 1 < x < 2 , ( ) tenemos que x − 2 − x > 0 2 Entonces, ∫ x − (2 − x ) dx = ∫ − [x − (2 − x )] dx ∫ [x − (2 − x )] dx 2 1 2 A= + 2 2 2 0 0 1
  9. 9. [( )] ∫ [x − (2 − x )] dx = − ∫ [x − 2 + x ] dx + ∫ [x − 2 + x ] dx = 1 2 1 2 A = − ∫ x − 2 − x 2 dx + 2 2 2 0 1 0 1 1 2 ⎡ x2 x3 ⎤ ⎡ x 2 x3 ⎤ − 2x + ⎥ + ⎢ − 2x + ⎥ = −⎢ = ⎣2 3⎦ ⎣2 3⎦ 0 1 1⎞ 8⎞ ⎛1 ⎛4 1⎞ ⎛1 1 81 1 1 = −⎜ − 2 + ⎟ + 0 + ⎜ − 4 + ⎟ − ⎜ − 2 + ⎟ = − + 2 − + 2 − 4 + − + 2 − = 3⎠ 3⎠ ⎝ 2 ⎝2 3⎠ ⎝2 3 32 3 2 =3 Ejemplo Calcular el área comprendida entre las curvas y 2 = x y y = x − 2 .
  10. 10. (Ver figura) Hallemos los puntos de corte entre ambas curvas. ⎧y=2 ⎧ y2 = x ⎫ ⎬ ⇒ y = y + 2 ⇒ y − y − 2 = 0 ⇒ ( y − 2)( y + 1) = 0 ⇒ ⎨ 2 2 ⎨ ⎩ y = −1 ⎩ x = y + 2⎭ En nuestro problema, los puntos de corte son: (1,−1) y (4,2) . En este problema (véase la figura); al trabajar en función de “x”, vemos que la curva superior es siempre la rama superior de la parábola,
  11. 11. ( ) y = + x , y 2 = x ⇒ y = ± x ; mientras que la curva inferior cambia, pues para y = − x , mientras que para 1 < x < 4 y = x−2 . 0 < x < 1 es es En este caso, lo más apropiado es trabajar el problema en función de “y”. Esto es, considerar a y como la variable independiente y las curvas expresadas en la forma x como función de y; es decir, x = y 2 y x = y + 2 , para − 1 ≤ y ≤ 2 . Entonces (véase la gráfica) los rectángulos se tomarán en forma horizontal, siendo la curva “superior” la que está a la derecha y la “inferior” la que está a la izquierda. Entonces el cálculo del área entre las dos curvas se llevará a cabo planteando y calculando la siguiente integral:
  12. 12. 2 3⎤ ⎡ 2 [y + 2 − (y )] dy = ∫ [y + 2 − y ] dy = ⎢ y + 2 y − y ⎥ 2 2 ∫ A= = 2 2 3⎦ ⎣2 −1 −1 −1 ⎛ 8⎞ ⎛1 1⎞ 9 =⎜ 2 + 4 − ⎟ − ⎜ − 2 + ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 2 3⎠ 2 Observación En general, la fórmula para el cálculo de áreas entre dos curvas en función de y es: d ∫ A= f ( y ) − g ( y ) dy c Actividad 4.1 1. Calcule el área de la región S, comprendida entre la curva y el eje X en el intervalo indicado; bosqueje la gráfica de la región S: a. f ( x) = x 2 + 3 , − 1 ≤ x ≤ 2 b. y = x 3 − x + 2 , − 1 ≤ x ≤ 2 c. y = x 3 , − 1 ≤ x ≤ 1 d. y = 4 − x 2 , − 1 ≤ x ≤ 2
  13. 13. 2. Calcule el área de la región S, comprendida entre la curva y el eje Y en el intervalo indicado; bosqueje la gráfica de la región S: a. f ( y ) = 1 − y 2 , − 1 ≤ y ≤ 1 b. x = y 2 + 2 , − 1 ≤ y ≤ 3 3. Calcule el área de la región S, comprendida entre las curvas dadas en el intervalo indicado; bosqueje la gráfica de la región S: a. f ( x) = x 2 + 3 , g ( x) = − x ; − 2 ≤ x ≤ 2 b. x = −2 , x = y 2 + 1 ; −2≤ y ≤3 4. Calcule el área de la región S, comprendida entre las curvas dadas (halle el intervalo de integración determinando los cortes entre las curvas); bosqueje la gráfica de la región S: a. f ( x) = 2 − x 2 , g ( x) = − x b. y = x 2 − 2 , y = x + 4 c. x = 3 − y 2 , y = x − 1 d. y = x , y = −x + 6 , y = 0 e. y = x3 − x 2 − 6 x , y = 0 f. y = x−4 , y = 0, x =8 g. y = x 2 − 4 x + 3 , x − y = 1 h. y = 2 x , y = 2 x − 4 , x = 0 i. x = 4 − y 2 , x + y = 2 j. x = y 2 − 3 y , x − y + 3 = 0 k. 2 x − y 2 = 0 , y 2 + 4 x − 12 = 0 l. x = y 4 , x = 2 − y 4
  14. 14. 5. Calcule el área de la región S; bosqueje la gráfica de la región S: {(x, y ) 2 x − x } a. S = ≤ y ≤ x, x + y ≤ 2 2 {(x, y ) 0 ≤ y ≤ e } −x b. S = ,− 4 ≤ x ≤ y Volúmenes En esta sección vamos a tratar el problema del cálculo de volúmenes. Comenzaremos con el caso del volumen de un cuerpo con sección transversal conocida y posteriormente trataremos otros casos. Para tratar este problema es necesario recordar las fórmulas para el volumen de algunas figuras geométricas conocidas: el paralelepípedo y el cilindro. Volumen del paralelepípedo Volumen = AxBxC C B B A
  15. 15. Volumen del cilindro radio r Volumen = Área de la base x altura altura h Volumen del cilindro circular = π r 2 h Volumen de un cuerpo con sección transversal conocida Sea A(x) una función que expresa el área de la sección transversal como función de x. Eje X a b A(x) , a ≤ x ≤ b . Efectuemos una partición del segmento [a , b]; esto es,
  16. 16. a < x 0 < x1 < x 2 ... < x i > ... < x n = b , de mod o que queda dividido en [x i −1 , x i ] , i = 1,2, ... , n sub int ervalos Sea Δxi = xi − xi −1 la longitud de cada sub int ervalo elijamos un punto arbitrario en cada sub int ervalo, x , x ∈ [xi −1 , xi ] , i = 1,2, ... , n . * * i i El cuerpo queda dividido en “rebanadas” de grosor Δxi ; cada “rebanada” puede considerarse aproximadamente como un cilindro de altura Δxi y área de la base dada por A( xi* ) : Área de la sección: A( xi* ) Δxi De modo que el volumen de cada elemento (“rebanada”) de la partición esté dado por: ΔVi = A( xi* ) Δxi , para i = 1,2, ... , n . Entonces, una aproximación del volumen total del cuerpo será: n n Volumen total : V = ∑ ΔVi = ∑ A( xi* ) Δxi i =1 i =1 Hagamos el proceso de límite, para cuando la norma de la partición tiende a cero, P → 0 , y obtenemos el valor exacto del volumen del cuerpo:
  17. 17. b n Volumen exacto : V = lim ∑ A( xi* ) Δxi = ∫ A( x) dx P → 0 i =1 a Ejemplo 4 π R3 . Muestre que el volumen de una esfera de radio R es 3 El radio r de cualquier sección será: r = R 2 − x 2 R r x X ( ) El área de cualquier sección será: A( x) = πr = π R − x 2 2 2 Entonces el volumen buscado es: R ⎛ 2 x3 ⎞ ⎛⎛ ⎞ R3 ⎞ ( )dx = 2π ⎜ R x − ⎟ R 2 4 V = 2∫ π R 2 − x 2 = 2π ⎜ ⎜ R 3 − ⎟ − 0 ⎟ = 2π R 3 = πR 3 ⎜ 3⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎝⎝ 3⎠ 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 Volumen de un sólido por revolución Sea un sólido (cuerpo) engendrado al rotar una región en el plano XY alrededor de uno de los ejes coordenados.
  18. 18. Al efectuar una partición sobre el intervalo [a , b], tenemos que cada “rebanada” o elemento de la partición tiene aproximadamente la forma de un cilindro circular con ΔX i ΔVi = π ri Δxi donde ri = f ( xi* ) 2 r [ ] ΔVi = π f ( xi* ) Δxi
  19. 19. [ ] b n V = lim ∑ π f ( xi* ) Δxi = ∫ π [ f ( x)] dx 2 2 Entonces, P → 0 i =1 a Análogamente, si la región está dada en función de y Y X En este caso la fórmula estará dada por: [ ] d n V = lim ∑ π f ( y ) Δyi = ∫ π [ f ( y )] dy . 2 2 * i P → 0 i =1 c
  20. 20. Ejemplo Hallar el volumen del sólido que se obtiene al rotar la región S alrededor del ejeY. {(x, y ) 0 ≤ x ≤ } S= y ,0≤ y≤4 . Hagamos la gráfica de la región e indiquemos el radio de rotación. Entonces el cálculo del volumen propuesto se realiza a partir de: [ y ] dy 4 V = ∫π 2 0
  21. 21. 4 3 [ y ] dy = ∫ πy y 4 4 43 64 V = ∫π 2 dy = π =π =π 2 3 3 3 0 0 0 Volumen de un sólido de revolución con un hueco (Método de las arandelas) Sea la región S comprendida entre dos curvas en función de x, y puesta a rotar alrededor del eje X; sea f(x) la curva exterior y g(x) la curva interior. a rext rint b
  22. 22. hueco a b Podemos observar, que el cuerpo se encuentra entre dos superficies, la externa está generada por la curva superior que determina el radio exterior (rext ), y la interna que está determinada por la curva inferior que determina el radio interior (rint ) . Es obvio que el volumen buscado será la diferencia entre el volumen determinado ⎡ ⎤ b por la superficie exterior ⎢Vexterior = ∫ π [ f ( x)] dx ⎥ 2 y el volumen determinado por la ⎣ ⎦ a ⎤ ⎡ b superficie interior (éste será el volumen del hueco) ⎢Vint erior = ∫ π [g ( x)] dx ⎥ , por 2 ⎦ ⎣ a tanto, obtenemos la fórmula: {[ f ( x)] − [g ( x)] }dx b V = ∫π 2 2 a
  23. 23. Ejemplo Hallar el volumen del cuerpo que se engendraal rotar alrededordel eje X la región limitada por las curvas y = x y y = x 2 . Las curvas se cortan en los puntos (0,0) y (1,1); Radio interior Radio exterior
  24. 24. Por tanto el volumen se calculará mediante la integral: 1 5⎤ ⎡x 3 { [ ] }dx = ∫ π [x x ] 1 1 V = ∫ π [x ] − x 2 − 2 − x 4 dx = π ⎢ π 2 ⎥ = 2 2 15 5⎦ ⎣3 0 0 0 Análogamente, si la región entre dos curvas está dada en función de y y rota alrededor del eje Y, entonces la fórmula es: {[ f ( y)] − [g ( y)] }dx d V = ∫π 2 2 c Método de las capas o cascarones Este método de calcular volúmenes se emplea cuando tenemos la región dada con respecto a un eje (variable) y rota alrededor del otro eje.
  25. 25. Y X a b Sea una región S dada en la forma S = {( x, y ) 0 ≤ y ≤ f ( x) , a ≤ x ≤ b } ; y rota alrededor del eje Y, generando un cuerpo, como se muestra en la figura. Si efectuamos una partición sobre el intervalo [a, b], tendremos que la parte del [xi −1 , xi ] cuerpo que corresponde a cada subintervalo forma una capa o cascarón Δxi , que es la diferencia de forma aproximada a un anillo cilíndrico de grosor entre el radio exterior y el radio interior; y altura h determinada por la función f(x).
  26. 26. ΔVi = πrexeriort h − πrint erior h = 2 2 ( ) = π rexterior − rint erior h 2 2 = π (rext + rint )(rext − rint )h (rext + rint ) (r − rint )h = 2π ext 2 = 2π ri h Δri * Por tanto, una aproximación del volumen total de la figura es: n n n Volumen total : V = ∑ ΔVi = ∑ 2π ri* h Δri =∑ 2π xi* f ( xi* ) Δxi i =1 i =1 i =1 Efectuando el proceso de límite, para cuando la norma de la partición tiende a cero, P → 0 , obtenemos el valor exacto del volumen del cuerpo: b n Volumen exacto : V = lim ∑ 2π x f ( x ) Δxi = ∫ 2π x f ( x) dx * * i i P → 0 i =1 a Ejemplo Hallar el volumen del cuerpo generado al rotar la región S alrededor del eje Y: S = {( x, y ) 0 ≤ y ≤ x ; 0 ≤ x ≤ a }
  27. 27. S 0 a a 3 x a a 2 Volumen exacto : V = ∫ 2π x ( x) dx = ∫ 2π x 2 dx = 2π = π a3 3 3 0 0 0 Se le deja propuesto al alumno que obtenga las fórmulas correspondientes a: (1) Región en función de y, y rota alrededor del eje X (2) Región comprendida entre dos curvas (sólido con hueco) Actividad 4.2 1. Halle el volumen del sólido generado al rotar la región S alrededor del eje o recta indicada: a. S = {( x, y ) x + y = 2, x = 0 , y = 0} ; eje X b. S = {( x, y ) x + y = 2, x = 0 , y = 0} ; eje Y
  28. 28. c. S = {( x, y ) x + y = 2, x = 0 , y = 0} ; x = 3 d. S = {( x, y ) x + y = 2, x = 0 , y = 0} ; y = −1 {(x, y ) y = } e. S = cos x , x = 0 , y = 0 ; eje X {(x, y ) x = } f. S = 4 − y , x = 0 , y = 0 ; eje X {(x, y ) x = } g. S = 4 − y , x = 0 , y = 0 ; eje Y {(x, y ) xy = 1 = } S= 4 − y , x = 0, y = 1 , y = 2 ; h. b) eje Y c) x = −2 , d ) y = 2 a) eje X {(x, y ) y = 3x − x , y = x}; S= 2 i. a ) eje X b) eje Y {(x, y ) y = 3 + x , y = 4}; S= 2 j. a) eje X b) eje Y c) x = −1 d ) y = 1 2. La base de un sólido está dentro del círculo x 2 + y 2 = 9 . Encuentre el volumen del sólido si cualquier sección transversal perpendicular al eje X es un cuadrado. La base de un sólido es la región acotada por y = 1 − x 2 y y = 1 − x 4 . Las 3. secciones del sólido que son perpendiculares al eje X son cuadrados. Halle el volumen del sólido.
  29. 29. 4. Halle el volumen del sólido formado por la intersección de dos cilindros circulares de radio cuyos ejes se intersectan perpendicularmente. 5. La base de un sólido es la región S acotada por y = x y y = x 2 . Cada sección perpendicular al eje X es un semicírculo con diámetro inscrito en S. Halle el volumen del sólido. Resumen En este fascículo hemos tratado lo referente al cálculo de áreas y volúmenes mediante la integral definida; en todos los casos fue fundamental la construcción de una suma de Riemann que nos llevara a la definición de integral definida. Es importante que el alumno sea capaz de identificar estas fórmulas con las situaciones particulares que representan y pueda variarlas para otras situaciones análogas, pero no idénticas. Bibliografía recomendada. Stewart, James. Cálculo, trascendentales temprano. Editorial Thomson, tercera edición, capítulo 6, sección 6.1 – 6.3; páginas 380 - 402. Nexo En estas aplicaciones de la integral definida hemos trabajado, fundamentalmente, con situaciones que nos llevan a integrales definidas de funciones racionales y alguna que otra función trigonométrica. En el próximo tema vamos a comenzar a
  30. 30. tratar lo referente a los métodos de integración, que nos darán mayor amplitud en la posibilidad de resolución de integrales indefinidas, sobre todo al trabajar con funciones trascendentes. Con ello estaremos en condiciones de poder resolver una mayor cantidad de problemas diferentes.
  31. 31. Autoevaluación formativa 1) Halle el área de la región S, comprendida entre las curvas y = x − x 3 y y = −3 x . Bosqueje la gráfica de la región S. 2) Halle el área de la región S, comprendida entre las curvas x = y 2 − 2 y y x = −2 , para − 1 ≤ y ≤ 3 . Bosqueje la gráfica de la región S. 3) Halle el volumen del sólido que se engendra al rotar la región S en la forma indicada: {(x, y ) y = 1 + 2 x − x , y = 1 }; S= 2 b) eje Y c) x = 2 , d ) y = 1 a ) eje X 4) La base de un sólido está inscrita en un círculo de radio 2 y cualquier sección transversal al eje X es un triángulo equilátero. Halle el volumen de dicho sólido.

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