Tugas makalah ini membahas tentang diferensiasi dan integrasi numerik. Terdapat pembahasan mengenai konsep diferensiasi numerik, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi, integrasi numerik dengan metode trapesoida, simpson, dan romberg. Tujuannya adalah untuk memahami konsep-konsep tersebut secara numerik.

1. Tugas 2: Mata Kuliah Metode Numerik
DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK
Oleh:
Kelompok V:
1. Diah Rahmawati (2011-84-202-016)
2. Istiqomah (2011-84-202-019)
3. Umi Tarwiyah (2011-84-202-035)
4. Transsiono (2011-84-202-046)
5. Paskalina Tarem (2010-84-202-038)
Dosen Pembina: KAMARIAH, S.Pd., M.Pd.
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUSAMUS MERAUKE
2014

2. i
Tugas 2: Mata Kuliah Metode Numerik
DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK
Oleh:
Kelompok V:
1. Diah Rahmawati (2011-84-202-016)
2. Istiqomah (2011-84-202-019)
3. Umi Tarwiyah (2011-84-202-035)
4. Transsiono (2011-84-202-046)
5. Paskalina Tarem (2010-84-202-038)
Dosen Pembina: KAMARIAH, S.Pd., M.Pd.
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUSAMUS MERAUKE
2014

3. ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat dan hidayah
darri-Nya tugas makalah Metode Numerik ini dapat terselesaikan dengan tepat
waktu. Tugas ini dapat terselesaikan atas bimbingan dan bantuan dari berbagai
pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada:
1. Ibu Kamariah S.Pd., M.Pd., dosen pembina mata kuliah Metode Numerik.
2. Orang tua tercinta yang selalu memberi motivasi dan limpahan do’a serta
kasih sayang kepada kami semua.
3. Rekan-rekan seperjuangan Pendidikan Matematika angkatan 2011 yang
selalu mejadi motivasi dan semua pihak yang tidak bisa kami sebut satu
persatu.
Penulis menyadari bahwa penulisan tugas makalah dengan judul
“Diferensiasi dan Integrasi Numerik” masih ada kekurangan. Oleh karena itu,
kritik dan saran yang membangun dari semua pihak, khususnya dosen pembina
mata kuliah sangat diharapkan guna perbaikan penulisan ini.
Semoga tulisan ini bermanfaat bagi kita semua.
Merauke, 28 Mei 2014
Penyusun

4. iii
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL....................................................................................... i
KATA PENGANTAR ....................................................................................... ii
DAFTAR ISI..................................................................................................... iii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ..........................................................................................
B. Rumusan Masalah.....................................................................................
C. Tujuan .......................................................................................................
D. Manfaat .....................................................................................................
BAB II PEMBAHASAN
A. Diferensiasi Numerik ................................................................................
B. Nilai Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi .................................
C. Integrasi Numerik......................................................................................
D. Metode Trapesoida....................................................................................
E. Metode Simpson .......................................................................................
F. Integrasi Romberg.....................................................................................
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan ..............................................................................................
B. Saran.........................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................

5. 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan dalam penulisan ini
dirumuskan sebagai berikut:
1. Bagaimanakah menghitung derivatif pertama (awal) dari suatu daftar nilai x
dan y?
2. Bagaimanakah menghitung derivatif tengah dari suatu daftar nilai x dan y?
3. Bagaimanakah menghitung derivatif kedua (akhir) dari suatu daftar nilai x
dan y?
4. Bagaimana menghitung integral tertentu dengan memakai Metode (Aturan)
Trapesoida?
5. Bagaimana menghitung integral tertentu dengan memakai Metode Simpson?
6. Bagaimana menghitung integral tertentu dengan memakai Integrasi
Romberg?
C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka tujuan dari penulisan ini
adalah:
1. Untuk mengetahui Diferensiasi Numerik.
2. Untuk mengetahui Nilai Supremum dan Infimum dari suatu Fungsi
Diferensiasi Numerik.
3. Untuk mengetahui suatu Integrasi Numerik.
4. Untuk mengetahui pengunaan Metode Trapesoida dalam Integrasi Numerik.
5. Mengetahui suatu Integrasi Numerik dengan menggunakan Metode Simpson.
6. Untuk mengetahui suatu Integrasi Romberg dalam Integrasi Numerik.
D. Manfaat Penulisan

6. 2
Dengan adanya penulisan ini diharapkan dapat memberikan manfaat baik
secara:
1. Praktis
a. Bagi Mahasiswa
Sebagai bahan referensi dalam proses perkuliahan metode numerik agar
mudah untuk dipahami.
b. Bagi Penulis
Sebagai pengetahuan tambahan dalam mempelajari program mata kuliah
metode numerik.
2. Teoritis
Sebagai tambahan referensi materi perkuliahan metode numerik yang telah
ada sebelumnya agar lebih mudah dipahami.

7. 3
BAB II
PEMBAHASAN
A. Diferensiasi Numerik
Metode yang umum untuk mencari formula diferensiasi numerik adalah
metode ferensiasikan interpolasi polinom. Oleh karenanya, hubungan tiap-tiap
formula yang dibicarakan pada interpolasi, kita pakai untuk memperoleh suatu
formula untuk derivatif. Sebagai ilustrasi, derifatif dengan formula selisih muka
Newton, metode derifatif tersebut sama dengan formula yang lainnya.
Perhatikan formula selisih muka Newton berikut:
)1.....(.............
!3
)2)(1(
!2
)1(
0
3
0
2
00 



 y
uuu
y
uu
yuyy
dengan )2..(......................................................................0 uhxx 
Maka
dx
du
du
dy
dx
dy
.
)3(...................................
6
263
2
121
0
3
0
2
0 









 y
uu
y
u
y
h
Formula (5.3) dapat dipakai untuk menghitung nilai
dx
dy
untuk nilai-nilai x yang
tidak didaftar. Untuk nilai-nilai x yang didaftar, diberikan formula dalam bentuk
sederhana, dengan mengambil 0xx  sehingga diperoleh u = 0 dari (5.2), dan
dalam hal ini (5.3) memberikan:
)4.(.................................
4
1
3
1
2
11
0
4
0
3
0
2
0
0









yyyy
hdx
dy
xx
Dengan mendeferensiasi (5.3) sekali lagi, kita peroleh
)5.(.......................
24
223612
6
661
0
4
3
0
2
0
2
22
2










 y
uu
y
u
y
hdx
yd
Dari (5.5) diperoleh
)6.........(.................................
12
111
0
4
0
3
0
2
22
2
0











yyy
hdx
dy
xx

8. 4
Formula untuk turunan (derivatif) yang lebih tinggi dapat diperoleh dengan
diferensiasi berturut-turut. Dengan cara yang sama, formula diferensiasi dapat
dicari dengan memulai formula interpolasi lainnya.
Dengan demikian, maka:
a) Formula selisih belakang Newton memberikan:
)7........(.................................
3
1
2
11 32
0









nnn
xx
yyy
hdx
dy
)8(.......................
6
5
12
111 5432
22
2
0











nnnn
xx
yyyy
hdx
dy
b) Formula Stirling memberikan:
)9(.........
230
1
26
1
2
1 2
5
3
5
1
3
2
3
01
0

















 

yyyyyy
hdx
dy
xx
)10(...................
6
5
90
1
12
11 5
3
6
2
4
1
2
22
2
0












n
xx
yyyy
hdx
dy
Bila derivatif yang diinginkan dekat ke akhir dari suatu daftar, salah satu dari
formula berikut dapat digunakan untuk memperoleh ketelitian yang tinggi:
)13(.......................
560
363
10
7
180
137
6
5
12
11
)12(.........
56
1
42
1
30
1
20
1
12
1
6
1
2
1
)11.(.............
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
8765432''
0
2
1
8765432
0
8765432'
0






















yh
y
yhy
)14.......(.............
560
29
180
11
180
13
12
1
12
1
1
876542






 y
)16(........
56
1
42
1
30
1
20
1
12
1
8
1
2
1
)15.......(...
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
8765432
8765432'














n
nn
y
yhy

9. 5
)18(.............
560
29
180
11
180
13
12
1
12
1
)17........(...
560
363
10
7
180
137
6
5
12
11
1
876542
8765432''2














n
nn
y
yyh
Contoh 1:
Dari tabel nilai x dan y berikut, carilah
dx
dy
dan 2
2
dx
yd
untuk x = 1,2
x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,7 2,0 2,2
y 27,183 33,201 40,552 49,330 60,496 73,891 90,250
Jawab:
Daftar selisih dari tabel di atas adalah
x y
1,0 27,183
0,6018
1,2 33,201 0,1333
0,7351 0,0294
1,4 40,552 0,1627 0,0067
0,8978 0,0361 0,0013
1,6 49,530 0,1988 0,0080 0,0001
10,966 0,0441 0,0014
1,8 60,496 0,2429 0,0094
13,395 0,00635
2,0 73,891 0,2964
16,359
2,2 902,520
Di dalam soal ini, 2,0dan,3201,3,2,1 00  hyx .
Dengan menggunakan formula (11) diperoleh:
jadi,
5
1
4
1
3
1
2
11
0
5432
0
y
hdx
dy
xx









2

3
 4
 5

6


10. 6
       
3205,3
0014,0
5
1
0080,0
4
1
0361,0
3
1
1627,0
2
1
7351,0
2,0
1
2,1













xdx
dy
Bila digunakan formula (12), maka kita harus menggunakan selisih diagonal dari
0,6018 dan memberikan hasil:
       
atas.disepertisama,3205,3
0013,0
20
1
0067,0
12
1
0294,0
6
1
1333,0
2
1
6018,0
2,0
1
jadi,
20
1
12
1
6
1
2
11
2,1
1
5432
0
























x
xx
dx
dy
y
hdx
dy
Dengan cara yang sama, formula (13) memberikan
   
318,3
0014,0
6
5
0080,0
12
11
0361,01627,0
04,0
1
jadi,
6
5
12
111
2,1
2
2
0
5432
22
2
0

























x
xx
dx
yd
y
hdx
yd
Dengan menggunakan formula (14) kita peroleh:
   
23,3
0013,0
12
1
0067,0
12
11
1333,0
04,0
1
jadi,
12
1
12
111
2,1
2
2
542
22
2
0

























x
xx
dx
yd
hdx
yd
Contoh 2:
Hitunglah derivatif ke satu dan ke dua dari tabel fungsi pada contoh 1 di titik
x = 2,2 dan juga
0,2




xdx
dy
Jawab:
Kita gunakan tabel selisih pada contoh 1.
Dalam soal ini, .2,0dan0250,9,2,2  hyx nn

11. 7
Dengan menggunakan formula (15) didapati:
       
dan,0228,9
0014,0
5
1
0094,0
4
1
0535,0
3
1
29364,0
2
1
6359,1
2,0
1
jadi,
5
1
4
1
3
1
2
11
2,2
5432























x
n
xx
dx
dy
y
hdx
dy
n
   
8,992
0014,0
6
5
0094,0
12
11
0535,02964,0
04,0
1
jadi,
6
5
12
111
2,2
5432
22
2





















x
n
xx
dx
dy
y
hdx
yd
n
Untuk mencari
0,2




xdx
dy
, kita dapat menggunakan formula (15) atau (16).
Dalam dalam soal ini, .2,0dan0250,9,2,2  hyx nn
Formula (15), memberikan hasil:
       
 
7,3896
0001,0
6
1
0013,0
5
1
0080,0
4
1
0441,0
3
1
2429,0
2
1
3395,1
2,0
1
jadi,
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
0,2
0
65432






























x
xx
dx
dy
y
hdx
dy
n
Dengan menggunakan formula (16) kita peroleh
       
7,3896
0014,0
20
1
0094,0
12
1
0535,0
6
1
29364,0
2
1
6359,1
2,0
1
jadi,
20
1
12
1
6
1
2
11
0,2
1
5432
























x
n
xx
dx
dy
y
hdx
dy
n
Contoh 3
Carilah
dx
dy
dan 2
dx
dy
di titik x = 1,6 untuk daftar x dan y pada contoh 1.

12. 8
Jawab:
Kita pilih 6,10 x , maka dengan formula (9) diperoleh

















 

...
230
1
26
1
2
1 2
5
3
5
1
3
2
3
01
0
yyyyyy
hdx
dy
xx
9527,4
2
0014,00013,0
30
1
2
0441,00361,0
6
1
2
0966,18978,0
2,0
1
6,1




 








xdx
dy
Dengan cara yang sama, formula (10) memberikan hasil:
   
4,9525
0001,0
90
1
0080,0
12
1
1988,0
04,0
1
jadi,
90
1
12
11
6,1
2
2
3
6
2
4
1
2
22
2
0


























x
xx
dx
yd
yyy
hdx
yd
B. Nilai Maksimum Dan Nilai Minimum Dari Daftar Suatu Fungsi
Sudah kita ketahui bahwa nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi
dapat dicari dengan menyamakan derivatif (turunan) pertama sama dengan nol
(0), sehingga diperoleh nilai variabel yang menyebabkan nilai suatu fungsi itu
maksimum atau minimum.
Dengan cara yang sama seperti disebutkan di atas, dapat digunakan pula
untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu daftar fungsi.
Perhatikan formula selisih muka Newton berikut:
...
6
)2)(1(
2
)1(
0
3
0
2
00 



 y
ppp
y
pp
ypyy
Bila formula tersebut dideferensiasi ke p, kita peroleh:
)19....(.......................
6
233
2
12
0
3
2
0
2
0 



 y
pp
y
p
y
dp
dy
Nilai maksimum atau minimum diperoleh, bila 0
dp
dy
. Karena itu, ruas kanan
dari formula (19) disederhanakan, dengan menganggap sesudah selisih ketiga
sama dengan nol, diperoleh bentuk kuadrat dalam p seperti berikut:

13. 9
)20....(..................................................02
210  pcpcc
di mana,
0
3
2
0
3
0
2
1
0
3
0
2
00
2
1
)21.......(..................................................
3
1
2
1
yc
yyc
yyyc



Nilai x dapat dicari dari relasi phxx  0
Sebagai ilustrasi pelajari contoh berikut:
Contoh 4
Dari tabel berikut, carilah x teliti sampai dua temapt decimal, untuk nilai y
maksimum, dan carilah nilai maksimum y tersebut.
x 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
y 0,9320 0,9636 0,9855 0,9975 0,9996
Jawab:
x y
1,2 0,9320
0,0316
1,3 0,9636 -0,0097
0,0219
1,4 0,9855 -0,0099
0,0120
1,5 0,9975 -0,0099
0,0021
1,6 0,9996
Misal 2,10 x maka dari formula (19), berhenti sesudah selisih kedua, diperoleh:
 
8,3
0097,0
2
12
0316,00
0
2
12
0
2
0







p
p
y
p
y
dp
dy
 2


14. 10
Diperoleh juga, 58,1)1,0(8,32,10  phxx
Untuk nilai x tersebut, formula selisih belakang Newton )9996,0(6,1  nn yx ,
diperoleh:
      
0,1
0008,00004,09996,0
0099,0
2
12,02,0
0021,02,09996,01,58y
dan,2,0
1,0
6,15,1
dengan,
!2
)1(
)( 2













n
xx
p
y
pp
ypyxy
n
nnn
C. Integrasi Numerik
Masalah (problema) umum dari integrasi numerik dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Diberikan sekumpulan titik-titik      nn yxyxyx ,...,,,,, 1100 dari fungsi y =
f(x), di mana bentuk eksplisit dari f(x) tidak diketahui, dan dari data (keterangan)
tersebut akan dihitung nilai integral tentu berikut:

a
b
dxyI )22......(..............................
Seperti di dalam diferensiasi numerik, f(x) akan di aproksimasikan oleh
interpolasi polinom q(x), dan hasilnya pada integrasi tersebut adalah nilai dari
aproksimasi integral tentu. Jadi, perbedaan formula integrasi bergantung pada
bentuk dari formula integrasi yang dipakai. Dalam bagian ini formula umum
untuk integrasi numerik akan dipakai formula selisih muka dari Newton.
Misalkan interval [a,b] dibagi menjadi n interval bagian, sedemikian hingga
bxxxxa n  ..., 210 . Jadi nhxxn  0 , maka kita peroleh:

nx
x
dxyI
0
Aproksimasi y oleh formula selisih muka Newton, kita peroleh
dxy
ppp
y
pp
ypyI
nx
x 










0
...
6
)2)(1(
2
)1(
0
3
0
2
00

15. 11
Karena dphdxphxx .maka0  , dan karenanya integral di atas
menghasilkan:
dpy
ppp
y
pp
ypyhI
n
 










0
0
3
0
2
00 ...
6
)2)(1(
2
)1(
Dan setelah disederhanakan diperoleh:
)23...(.............
24
)2(
12
)32(
20
0
3
2
0
2
00 










nx
x
y
nn
y
nn
y
n
ynhdxy
Dari formula umum (23), kita peroleh macam-macam formula integrasi dengn
mengambil n = 1,2,3,… dan seterusnya. Dalam pembicaraan kita di sini, hanya di
ambil untuk n = 1 dan n = 2, karena untuk n = 1 dan n = 2 akan diperoleh hasil
yang cukup teliti untuk pemakaian praktis.
Untuk metode Simpson
8
3
dan metode Weddle berturut-turut diperoleh untuk n =
3 dan n = 6 dari formula umum (23) yang akan dibicarakan pada bagian
berikutnya.
D. Metode (Aturan) Tropesoida
Untuk n = 1 dalam formula umum (23) dan semua turunan yang lebih dari
turunan pertama sama dengan nol, kita peroleh:
 
  )24.........(..................................................
2
2
1
2
1
10
010
00
1
0
yy
h
yyyh
yyhdxy
x
x













Untuk interval berikutnya  21, xx , dengan cara yang sama akan kita peroleh:
  )25..(............................................................,
2
21
2
1
yy
h
dxy
x
x 
Dan untuk interval terakhir  nn xx ,1 , kita peroleh
  )26.......(..................................................
2
1
1
nn
x
n
yy
h
dxy
n
 

Menggabungkan hasil-hasil tersebut di ats, kita peroleh aturan (hukum) berikut:

16. 12
   )27.....(.................................2
2
1210
0
nn
x
x
yyyyy
h
dxy
n
 
Yang disebut “Metode (Aturan) Trapesoida”
Secara geometri “Metode Trapesoida” dapat dijelaskan sebagai berikut:
Untuk memperoleh hasil aproksimasi 
b
a
dxxf )( , dengan nilai-nilai fungsi f
diketahui dari sekumpulan nilai x yang berjarak sama pada interval  ba, . Kita
tulis nilai-nilai x dan ),...,2,1,0( nxxr  di mana, ,, 00 rhxxax r 
bnhxxn  0 , dan h konstanta, dan kita tulis nilai-nilai yang
berkorespondensi dengan rx oleh fr, yaitu )()( 0 rhxfxffr r  . Lihat gambar
berikut ini:
f(x) f
c
d
f0 f1 f2 fn-1 fn
A B E
0 x0 = a x1 x2 xn-1 xn = b x
Gambar 1
Karena kita tidak mengetahui bentuk dari grafik f(x), akan kita gunakan
aproksimasi pertama dari kurva tersebut oleh titik-titik yang terletak pada kurva
yaitu titik-titik  rr fx , dan ( 11,  rr fx ) untuk r = 0,1,2,…,(n-1) yang dihubungkan
oleh suatu garis lurus (lihat gambar 1).
Persamaan garis lurus yang menghubungkan titik  00 , fx dan  11, fx adalah:
  








01
01
00
xx
ff
xxfy
Maka dengan aproksimasi f(x) dalam interval  10 , xx , kita lihat bahwa:

17. 13

2
0
)(
x
x
dxxf ≃ luas daerah trapesium ABCD (lihat gambar 1)
 
 
 10
01
012
01010
01
01
00
2
1
2
1
)(
1
0
ffh
xx
ff
xxxxf
dx
xx
ff
xxf
x
x
























 
Demikian juga

2
1
)(
x
x
dxxf ≃ luas daerah trapezium ABCD (lihat gambar 1)
 10
2
1
ffh 
Berdasarkan hal di atas, jumlah semua luas trapesium di antara x = a dan x = b,
dapat diperoleh sebagai berikut:
 
 



n
n
n
x
x
x
x
x
x
b
a
x
x
dxxfdxxfdxxf
dxxfdxxf
1
1
0
2
1
0
)(...)()(
)()(
≃      nn ffhffhffh  12110
2
1
...
2
1
2
1
 nn ffffh  110 2...2
2
1
Apabila formula terakhir ini, kita substitusikan f(x) = y, sehingga ,00 fy  11 fy 
,…, nn fy  dan a = x0 serta b = xn kita peroleh formula:
  nn
x
x
yyyyy
h
dxy   1210 ...2
2
1
0
, yang sama seperti formula (27).
Catatan:
Perhatikan integrasi numerik, dilakukan apabila:
i. Fungsi yang akan di integrasi sedemikian hinggga tidak ada metode analitik
untuk menyelesaikannya.
Contoh: dxx
b
a sin

18. 14
ii. Metode analitik ada (bisa dipakai), tetapi kompleks:
Misalnya: dx
x
b
a  4
1
1
iii. Fungsi yang akan di integrasi, bentuk eksplisitnya tak diketahui, tetapi
diberikan nilai-nilai variabel bebasnya dan nilai-nilai fungsi yang
berkorespondensinya di dalam suatu interval [a,b].
Contoh 5
Gunakan aturan trapesoida untuk menghitung 
4
2
)( dxxf dengan
menggunakan data berikut:
x f(x)
2,0 1,7321
2,5 1,8708
3,0 2,0000
3,5 2,1213
4,0 2,2361
Jawab:
Pada soal ini, dari data yang diketahui h = 0,5 dan dengan menggunakan
metode trapesoida diperoleh:
dxxf
4
2
)( ≃   2361,21213,20000,28708,127321,15,0
2
1

 
9881,3
9524,1525,0


Kekeliruan dari formula trapezoida dapat ditentukan dengan jalan:
Misalkan y = f(x) kontinu dan mempunyai derivatif dalam nxx ,0 . ekspansi y
dalam deret Taylor di sekitar x = x0, memberikan:
 
 
)28(.................................
62
...
2
"
0
3
'
0
2
0
"
0
0'
000
1
0
1
0









 
y
h
y
h
yh
dxy
xx
yxxydxy
x
x
x
x
Kita peroleh pula:

19. 15
 
)29.........(.............
42
...
6222
"
0
3
"
0
2
0
"
0
3
"
0
2
'
00010








y
h
y
h
yh
y
h
y
h
yhyy
h
yy
h
Dari formula (28) dan (29) kita peroleh
  )30........(.............
12
1
2
"
0
3
10
1
0
 yhyy
h
dxy
x
x
Yang merupakan kekeliruan dalam interval  10 , xx .
Dengan cara yang sama, kita peroleh kekeliruan-kekeliruan di dalam setiap
interval bagian:  21, xx ,  32 , xx , …,  nn xx ,1 . Jadi kita peroleh semua kekeliruan
(E) berikut:
)31.......(..........)...(
12
1 "
1
"
1
"
0
3
 nyyyhE
Dengan E disebut kekeliruan total. Apabila ruas kanan pada formula (31)
disubstitusikan    "
1
"
1
"
0 ..."  nyyyxy , maka kita peroleh
    )32.....(.........."
12
2
xyh
ab
E


Karena nh = (b-a).
E. Metode Simpson
Metode Simpson diperoleh dari persamaan (23) untuk n = 2, yaitu dengan
aproksimasi parabolis.
Maka kita peroleh:
   
 
 



















011
011
0010
0
2
00
6
1
2
6
1
2
6
1
2
6
1
2
2
0
yyyh
yyyh
yyyyh
yyyhdxy
x
x

20. 16
    
 
 210
110
0121
01121
4
3
6
1
3
2
6
1
2
2
6
1
2
6
1
2
yyy
h
yyyh
yyyyh
yyyyyh




















Dengan cara yang sama diperoleh pula
 432 4
3
4
2
yyy
h
dxy
x
x

Dan terakhir kita peroleh:
 nnn
x
x
yyy
h
dxy
n
n
  
12 4
32
,
Jumlah dari semua hasil di atas, kita peroleh:
  
   )33......(.............2
...4
3
2642
15310
0
nn
n
x
x
yyyyy
yyyyy
h
dxy
n




Dengan formula (33) disebut Metode Simpson
3
1
atau disingkat Metode Simpson.
Di dalam metode ini interval integrasi dibagi menjadi interval bagian yang
banyaknya genap dengan jarak h.
Seperti pada Metode Trapesoida, kekeliruan pada Metode Simpson dapat
ditunjukkan sebagai berikut:
    
    )34.......(....................,
180
...2...4
3
)(
44
264215310
xyh
ab
yyyyyyyyyy
h
dxxf nnn
b
a


 
Dimana  xy4
adalah nilai terbesar dari derivative ke-4.
Contoh 6
Gunakan Metode Simpson untuk menghitung 
4
2
)( dxxf bila nilai x dan f(x)
diketahui berikut:

21. 17
x f(x)
2,0 1,7321  0y
2,5 1,8708  1y
3,0 2,0000  2y
3,5 2,1213  3y
4,0 2,2361  5y
Dari data di atas kita peroleh h = 0,5, dan dengan menggunakan Metode Simpson
kita peroleh:

4
2
)( dxxf ≃     42310 24
3
yyyyy
h

    
 
signifikanangkakelimadibulatkan9894,3
9366,23
3
5,0
2361,2000,221213,28708,14732,1
3
5,0



Contoh 7
Sebuah bangun (benda) yang dibatasi oleh sumbu x, garis x = 0, garis x = 1,
dan kurva yang melalui titik-titik pada daftar berikut diputar mengelilingi sumbu
X.
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
y 1,0000 0,9896 0,9589 0,9089 0,8415
Estimasilah volume benda yang terjadi, dan hitunglah teliti sampai tiga desimal.
Jawab:
Bila V adalah volume benda yang terjadi, maka kita peroleh:
dxyV 
1
0
2

Dari formula terakhir ini kita perlukan nilai-nilai 2
y seperti pada tabel
berikut, teliti samapai empat tempat desimal.
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
y 10,000 0,9793 0,9195 0,8261 0,7081
Dengan h = 0,25 Metode Simpson memberikan:

22. 18
    
    
819,2
7081,09195,028261,09793,040000,1
3
25,0
24
3
42310




 yyyyy
h
V
Contoh 8
Evaluasi dx
x
I  

1
0 1
1
, teliti ke tiga tempat desimal.
Kita selesaikan contoh ini dengan menggunakan Metode Trapesoida dan Metode
Simpson, dengan mengambil h = 0,5, h = 0,25 dan h = 0,125.
i. Untuk h = 0,5, maka nilai x dan y ditunjukkan oleh tabel berikut:
x 0 0,5 1,0
y 1,0000 0,6667 0,5
a. Metode Trapesoida memberikan:
  
708,0
5,06667,020000,1
4
1

I
b. Metode Simpson memberikan:
  
694,0
5,06667,020000,1
6
1

I
ii. Untuk h = 0,25 daftar nilai x dan y adalah:
x 0 0,25 0,50 0,75 1,00
y 1,0000 0,8000 0,6667 0,5714 0,5
a. Metode Trapesoida memberikan:
  
697,0
5,05714,06667,08000,020000,1
8
1

I
b. Metode Simpson memberikan:

23. 19
    
693,0
5,06667,025714,08000,040000,1
12
1

I
iii. Untuk h = 0,125, daftar nilai x dan y adalah:
x 0 0,125 0,250 0,375 0,5 0,625 0,750 0,875 1,0
y 1,0 0,8889 0,8000 0,7273 0,6667 0,6154 0,5714 0,5333 0,5
a. Metode Trapesoida memberikan:
  
694,0
5,05333,05714,06154,06667,07273,08000,020000,1
16
1

I
b. Metode Simpson memberikan:
 
 
693,0
5,05714,06667,08000,02
53330,06154,07273,08889,020000,1
24
1









I
Dari hasil perhitungan di atas, nilai dar I adalah 0,693 teliti sampai tiga tempat
desimal. Nilai yang eksak dari I adalah 2loge
atau ln 2, yang sama dengan
0,693147… contoh tersebut menunjukkan bahwa pada umumnya, Metode
Simpson lebih teliti daripada Metode Trapesoida.
F. Integrasi Romberg
Metode ini sering digunakan untuk memperbaiki hasil aproksimasi oleh
metode selisih terhingga. Metode ini dipakai untuk evaluasi numerik dari integral
tentu, misalnya dalam penggunaan aturan trapesoida, dapat ditentukan seperti
berikut:
Perhatikan integral tertentu.

b
a
dxyI
Dan evaluasilah integral tersebut dengan aturan trapesoida formula (27) dengan
dua interval bagian yang berbeda dengan panjang 1h dan 2h untuk memperoleh
aproksimasi nilai-nilai 1I dan 2I .

24. 20
Maka persamaan (32) memberikan kekeliruan 1E dan 2E sebagai:
   
    )36...(...................."
12
1
)35...(...................."
12
1
2
22
2
11
xyhabE
xyhabE


Karena suku  xy" dalam formula (36) adalah nilai terbesar dari  xy" , maka
cukup beralasan untuk dianggap bahwa  xy" dan  xy" adalah sama.
Sehingga kita peroleh:
2
2
2
1
2
1
h
h
E
E

dan berdasarkan perbandingan itu diperoleh pula
2
1
2
2
2
2
12
2
hh
h
EE
E



Karena 1212 IIEE  , maka diperoleh:
  )37....(....................122
1
2
2
2
2
2 II
hh
h
E 


Oleh karena itu kita peroleh aproksimasi baru 3I yang didefinisikan oleh:
 
)38.(..............................2
1
2
2
2
12
2
21
3
122
1
2
2
2
2
23
223
hh
hIhI
I
II
hh
h
II
EII







Yang umumnya, formula (38) akan mendekati nilai yang sebenarnya. Bila kita
substitusikan hhh
2
1
2
1
12  . Persamaan (38) dapat ditulis dalam bentuk
  )39....(....................
2
1
4
3
1
2
1
, 

















hIhIhhI
Di mana 321
2
1
,dan
2
1
,)( IhhIIhIIhI 












Penulisan seperti di atas dapat dibuat daftarnya (tabel) sebagai berikut:

25. 21
)(hI






hhI
2
1
,






hI
2
1






hhhI
4
1
,
2
1
,






hhI
4
1
,
2
1






hhhhI
8
1
,
4
1
,
2
1
,






hI
4
1






hhhI
8
1
,
4
1
,
2
1






hhI
8
1
,
4
1






hI
8
1
Dalam perhitungan ini dapat kita hentikan bila untuk dua nilai yang berdekatan
sudah cukup berdekatan antara yang satu dengan yang lainnya. Metode ini, oleh
L. F. Richardson disebut penundaan pendekatan untuk limit dan sistematis
tabulasinya disebut Integrasi Romberg.
Contoh 9
Gunakan Metode Romberg untuk menghitung dx
x
I  

1
0 1
1
, teliti ke tiga
tempat desimal. Ambilah berturut-turut h = 0,5, h = 0,25, h = 0,125 dan gunakan
hasil yang diperoleh dari contoh 8.
Jawab:
Kita peroleh 6941,0
4
1
dan6970,0
2
1
,7084,0)( 











 hfhfhf dengan
memakai formula (39) diperoleh:
 
  
6932,0
7084,06970,04
3
1
2
1
4
3
1
2
1
,




















hIhIhhf

26. 22
Dan
  
6931,0
6970,06941,04
3
1
2
1
4
1
4
3
1
4
1
,
2
1


























hIhIhhf
Akhirnya,
  
6931,0
6932,06931,04
3
1
2
1
,
4
1
,
2
1
4
3
1
4
1
,
2
1
,


























hhIhhIhhhf
Tabel dari nilai tersebut adalah
0,7084
0,6932
0,6970 0,6931
0,6931
0,6941
Ternyata keuntungan dari Metode Romberg adalah bahwa ketelitian dari
perhitungan nilainya diketahui pada setiap langkah.

27. 23
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Untuk menghitung derivatif kesatu dan kedua dari suatu daftar nilai x dan y
yang berkorespondensi (dengan x berjarak sama) di suatu nilai, gunakanlah
formula berikut:
1. Bila derivatif yang dicari dekat ke nilai awal, maka formula yang dipakai
adalah:
1
8765432
0
765432'
0
...
56
1
42
1
30
1
20
1
12
1
6
1
2
11
...
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
0



















y
h
y
h
y
dx
dy
xx
1
876543
2
0
8765432"
02
2
...
560
29
180
11
180
13
12
1
12
11
...
560
363
10
7
180
137
6
5
12
111
0





















y
h
y
h
y
dx
yd
xx
2. Bila derivatif yang dicari dekat ke nilai tengah, maka formula yang dipakai
adalah formula Stirling berikut:






























...
90
1
12
11
...
230
1
26
1
2
1
3
6
2
4
1
2
22
2
2
5
3
5
1
3
2
3
01
0
0
yyy
hdx
yd
yyyyyy
hdx
dy
xx
xx
3. Bila derivatif yang dicari dekat ke nilai akhir, maka formula yang dipakai
adalah:




















...
6
5
12
111
...
3
1
2
11
5432
22
2
32
nnnn
xx
nnn
xx
yyyy
hdx
dy
yyy
hdx
dy
n
n
4. Aturan Trapesoida untuk 
nx
x
dxy
0
adalah

28. 24
  nn
x
x
yyyyy
h
dxy
n
  1210 ...2
20
5. Metode Simpson untuk menghitung 
nx
x
dxy
0
adalah
    nnn
x
x
yyyyyyyyy
h
dxy
n
  24215310 ...2...4
30
6. Dasar dalam Integrasi Romberg:
 





















































hIhIhIhhI
hhIhhIhhIhhhI
2
1
3
1
2
1
2
1
,
2
1
,
4
1
,
2
1
3
1
4
1
,
2
1
4
1
,
2
1
,
B. Saran
Adapun saran yang dapat di sampaikan penulis kepada pembaca adalah
sebagai pembaca hendaknya meningkatkan pengetahuan dan menambah wawasan
referensi dengan lebih banyak membaca buku. Dan semoga dengan adanya
makalah ini dapat dijadikan sebagai referensi tambahan dalam proses
pembelajaran metode numerik khususnya dalam materi Diferensiasi dan Integrasi
Numerik.

29. 25
DAFTAR PUSTAKA
Diktat Kulias Metode Numerik. Tidak dipublikasikan