Funcţii derivabile - legătura între continuitate şi derivabilitate, derivate laterale, derivate de ordin superior

1. FUNCŢII DERIVABILE:
LEGĂTURA ÎNTRE CONTINUITATE
ŞI DERIVABILITATE,
DERIVATE LATERALE,
DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR

2. 1 Introducere
2 Derivata unei funcţii într-un punct
3 Derivate laterale
4 Derivatele unor funcţii elementare şi compuse
5 Operaţii cu funcţii derivabile
6 Derivate de ordin superior
7
8
Concluzii
Bibliografie

3. INTRODUCERE
Noţiunea de derivată a fost introdusă şi folosită în
matematică de savantul Isaac Newton (1642 – 1724) în
legătură cu studiul mecanicii.
Problema vitezei instantanee a unui mobil
 viteza medie a mobilului în intervalul de timp [t0, t] este:
   
0
0
m
tt
tsts
v


.
 viteza instantanee a mobilului în momentul t0 (fixat), t0 > 0 este:
     
0
0
tt
0
tt
tsts
limtv
0 



 acceleraţia mobilului la momentul t0 fixat este:
     
0
0
tt
0
tt
tvtv
limta
0 




4. Aproape în acelaşi timp şi savantul Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646 – 1716) a introdus noţiunea de derivată în
legătură cu studiul tangentei la o curbă într-un punct al
acesteia.
Problema tangentei la o curbă
Fie f:(a,b)R, o funcţie continuă şi M0(x0;f(x0)) pe graficul, Gf al lui f.
   
0
0
xx
xfxf
tg



Panta sau coeficientul unghiular al tangentei în punctul M0
la curba Gf este:
   00 xxmxfy 
Panta secantei M0M reprezintă tangenta trigonometrică a unghiului format
de aceasta cu sensul pozitiv al axei Ox.
   
0
0
xx xx
xfxf
limm
0 



Tangenta în punctul M0(x0,f(x0)) este dată de ecuaţia:
(1)
Relaţia (1) se notează:      
0
0
xx
0
'
xx
xfxf
limxf
0 



şi se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0.

5. I.DERIVATA UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT
Fie funcţia f:DR, DR, x0 Є D un punct de acumulare mulţimii D.
 Se spune că funcţia f are derivată în punctul x0 Є D dacă există limita:
    Rîn
xx
xfxf
lim
0
0
xx 0 


 Această limită se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0, şi se notează:
     
0
0
xx
0
'
xx
xfxf
limxf
0 



 Se spune că funcţia f este derivabilă în punctul x0 Є D dacă limita de mai
jos există şi este finită:
     
0
0
xx
0
'
xx
xfxf
limxf
0 




6. DERIVABILITATE
Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.
Observaţii:
 O funcţie numerică poate fi continuă într-un punct fără a fi şi derivabilă în acel punct.
 Orice funcţie discontinuă într-un punct nu este derivabilă în acest punct.
 Există funcţii discontinue într-un punct şi care au derivată în acel punct.
Exemplu: Funcţia modul f : RR, f(x) =|x| este continuă
în x0 = 0 şi nu este derivabilă în punctul x0 = 0.
Exemplu: Funcţia f : RR, dată mai jos, este discontinuă în x0 = 0 iar f’(0) = + ∞.
 







0x,0
0x,
x
1
arctg
xf
CONTINUITATEŞI

7. II. DERIVATE LATERALE
 DERIVATA LA STÂNGA:
Fie funcţia f:DR şi x0 Є D.
     
0
0
xx
xx
0
'
s
xx
xfxf
limxf
0
0 




 DERIVATA LA DREAPTA:      
0
0
xx
xx
0
'
d
xx
xfxf
limxf
0
0 




Funcţia f are derivată şi este derivabilă în x0 dacă şi numai dacă are
derivate laterale şi este, respectiv, derivabilă la stânga şi la dreapta în x0 şi:
     0
'
0
'
d0
'
s xfxfxf 

8. INTERPRETAREA GEOMETRICĂ
A DERIVATELOR LATERALE
 0
'
s xf există.
 0
'
d xf există.

9. PUNCTE REMARCABILE ALE GRAFICULUI FUNCŢIEI
PUNCTE DE ÎNTOARCERE
Fie funcţia f:DR şi x0 Є D.
Punctul x0 Є D se numeşte punct de întoarcere
al funcţiei f dacă funcţia este continuă în x0 şi
are derivate laterale infinite şi diferite în
acest punct.
PUNCTE UNGHIULARE
Punctul x0 Є D se numeşte punct unghiular
al funcţiei f dacă funcţia este continuă în
x0 şi are derivate laterale diferite în acest
punct şi cel puţin una este finită.
PUNCTE DE INFLEXIUNE
Punctul x0 Є D se numeşte punct de
inflexiune al funcţiei f dacă funcţia
este continuă în x0, are derivată în
acest punct (finită sau infinită), iar
funcţia este convexă (concavă) de o
parte a lui x0 şi concavă (convexă) de
cealaltă parte a lui x0.

10. III. DERIVATELE UNOR FUNCŢII
ELEMENTARE ŞI COMPUSE

11. IV. OPERAŢII CU FUNCŢII DERIVABILE
Fie funcţiile f,g:DR şi x0 Є D punct de acumulare a lui D. Dacă
funcţiile f şi g sunt derivabile în punctul x0 Є D, atunci funcţiile f + g, f∙g şi
f/g, dacă g(x0)≠0, sunt derivabile în punctul x0, şi au loc următoarele reguli
de derivare:
      0
'
0
'
0
'
xgxfxgf 
          0
'
000
'
0
'
xgxfxgxfxgf 
         
 
,
xg
xgxfxgxf
x
g
f
0
2
0
'
000
'
0
'







  0xg 0 
  '''
gfgf 
  '''
gfgfgf 
2
'''
g
gfgf
g
f 







12. Fie I şi J intervale de numere reale şi funcţiile u:IJ,f:IJ. Dacă u este
derivabilă în punctul x0 Є I,iar f este derivabilă în punctul u(x0)=y0 Є J,
atunci funcţia compusă (f◦u):IJ este derivabilă în punctul x0 şi are loc
relaţia:
       0
''
0
'
xuxufxuf 
DERIVAREA FUNCŢIEI INVERSE
ŞI A FUNCŢILOR COMPUSE
    '''
uufuf  
Dacă u,v:IR sunt funcţii derivabile pe I şi u(x)>0, x Є I. Atunci funcţia
uv este derivabilă pe I şi derivata este:
  'v'1v'v
vulnuuuvu  
Fie I şi J intervale oarecare şi f:IJ o funcţie continuă şi bijectivă.
Dacă funcţia f este derivabilă în punctul x0 Є I, f’(x0)≠0, atunci funcţia
inversă f–1:JI este derivabilă în punctul y0 = f(x0) şi
  
 0
'0
'1
xf
1
yf 

13. V. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR
 
 
   
0
0
''
xVVx
xx
0
''
xx
xfxf
limxf
0
0 





14. CONCLUZII
 Determinarea unor optimuri situaţionale, prin aplicarea calculului
diferenţial, în probleme practice sau specifice unor domenii de activitate.
Studiul funcţiilor în general, al funcţiilor continue, derivabile în special,
necesită dezvoltarea unor competenţe generale şi specifice reflectate în:
 Identificarea grafic/vizual, a proprietăţilor unei funcţii numerice, privind:
mărginirea, continuitatea, tendinţa asimptotică, derivabilitatea;
 Asocierea de date, extrase dintr-o situaţie problemă, cu proprietăţi ale
funcţiilor numerice studiate, de tipul: teoreme de convergenţă, operaţii cu
limite, limite tip, tabele de derivare;
 Aplicarea unor algoritmi specifici, calculului diferenţial, în rezolvarea unor
probleme şi modelarea unor procese specifice, unor domenii de activitate;
 Exprimarea în limbajul analizei matematice, a unor teoreme concrete,
modelabile prin funcţii numerice;
 Interpretarea pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor unor funcţii, care
reprezintă exemple din domeniul economic, social, ştiinţific;
 Verificarea experimental a rezultatelor, deduse prin calcul, pentru
probleme practice exprimabile matematic;

15.  cu ajutorul derivabilităţii se poate stabilii ordinul de multiplicitate
ale rădăcinilor unei ecuaţii polinomiale sau a intervalelor în care se
găsesc rădăcinile unei ecuaţii asociate unei funcţii polinomiale.
 determinarea intervalelor de monotonie pentru o funcţie dată
(funcţia este crescătoare sau descrescătoare) – acest lucru se face
studiind semnul derivatei întâi a funcţiei;
 determinarea punctelor de extrem pentru o clasă extinsă de funcţii
numerice – acest lucru se face studiind semnul derivatei întâi a
funcţiei;
 rezultatele teoretice asupra monotoniei şi punctelor de extrem ale
unei funcţii permit obţinerea unor inegalităţi care, cu ajutorul
metodelor elementare ar fi greu de demonstrat;
 determinarea intervalelor de convexitate sau concavitate ale unei
funcţii – acest lucru se face studiind semnul derivatei a doua a
funcţiei;
Aplicaţii utile ale derivatei unei funcţii

16. BIBLIOGRAFIE
 Marius Burtea, Georgeta Burtea – Matematică, manual pentru
clasa a XI-a, Editura Carminis, Piteşti, 2006;
 Gheorghe Cârjă, Ovidiu Cârjă – Analiză matematică, Culegere de
probleme rezolvate şi comentate, Editura GIL, Zalău, 2003;
 Lia Aramă, Toader Morozan – Culegere de probleme de analiză
matematică, Editura Universal Pan, Bucureşti, 1997;
 Mircea Ganga – Probleme rezolvate din manualele de matematică
pentru clasa a XI-a, Editura MATHPRESS, Ploieşti, 2006.