Langkah-langkahnya adalah: 1. Tentukan persamaan garis y = 3x + 2 2. Cari jarak antara titik (5,2) dengan garis tersebut. Rumus jarak antara titik ke garis adalah: d = |y1 - y| / m Dimana: y1 = nilai y pada titik (5,2) yaitu 2 y = persamaan garis y = 3x + 2 m = sudut kemiringan garis yang dihitung dari turunan persamaannya yaitu 3 3.

1. Kalkulus
Nilai maksimum dan minimum

2. Nilai ekstrim
Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan
apabila terdapat suatu selang terbuka
yang mengandung bilangan c sedemikian
rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar
(maksimum) atau terkecil (minimum).
Setiap harga f yang mempunyai harga
maksimum atau minimum disebut ekstrim
lokal.

3. Nilai Ekstrim Mutlak
Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari
fungsi f, maka kita dapat menyimpulkan
bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik
tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c)
adalah minimum mutlak dari fungsi f,
maka titik (c,f(c)) merupakan titik
terendah pada grafik f. Nilai maksimum
dan/atau minimum sering disebut juga
dengan nilai ekstrim fungsi f.

4. Penyelesaian
Permasalahan Maksimum dan Minimum
I. Memahami Permasalahan
 Bacalah permasalahan dengan teliti
 Tentukan informasi-informasi yang Anda butuhkan
Contoh permasalahan: Informasi-informasi:
Akan dibuat persegi panjang dengan Persamaan parabola
bagian bawah berada pada sumbu-x, y = 12 – x2.
dan bagian atas di dalam kurva Rumus untuk luas
y = 12 – x2. persegi panjang
Tentukan luas maksimum persegi luas = panjang x lebar
panjang yang dapat dibuat!

5. II. Membangun Model Matematika
 Gambarkan permasalahan dalam
15
model yang mudah dipahami!
 Berikan tanda pada bagian2 yang 10
penting 5 y
 Buatlah variabel yang akan diamati
untuk menyelesaikan 0
-6 -4 -2X 0 X2 4 6
permasalahan -5
 Tuliskan sebuah fungsi yang
memberikan informasi nilai ekstrim
yang akan dicari Variabel yang akan dihitung: x
 Tentukan domain dari fungsi Informasi yang ada: y=12-x2
Fungsi : luas
Luas: f(x) = 2xy = 2x(12-x2)
Domain: x > 0

6. III. Tentukan Titik – titik Kritis
 Tentukan titik-titik yang memenuhi
f ’(x) = 0 atau f ’(x) tidak ada
• Gunakan dasar-dasar perhitungan untuk memperoleh
titik-titik tersebut.
f (x) = 2x(12-x2)=24x – 2x3
f ‘(x) = 24 – 6x2
f ’(x) = 0  24 – 6x2 = 0  6x2 = 24  x2 = 4
x = 2 atau x = -2 (tidak dipakai)
Untuk semua x, f ’(x) ada (tidak dipakai)
Karena x = 2, diperoleh y = 12 – 4 = 8

7. IV. Kembalikan ke permasalahan yang
sebenarnya
Luas maksimum=2xy=(2)(2)(8) = 32

8. Contoh soal (1)
 Seorang pengusaha persewaan truk sudah
melakukan penelitian mengenai usahanya. Hasil
penelitian menyebutkan bahwa dia bisa
menyewakan seluruh truk miliknya (30 buah)
apabila tarif sewa 200 ribu per truk per hari.
Setiap ia menaikkan tarif sewa sebesar 10 ribu
per hari, maka truk yang disewa berkurang 1
buah. Ia juga telah menghitung besarnya
perawatan truk yang disewa adalah 50 ribu per
hari. Berapa tarif sewa truk yang harus ia
tetapkan supaya memperoleh keuntungan
maksimal?

9.  tarif jumlah truk
 200 30 = 30 - 0
 210 29 = 30 - 1
 220 28 = 30 - 2
X ?
 Misal diambil tarif 220, ternyata membuat truk
yang tidak disewa sebanyak 2 buah. Secara
umum diperoleh:
 Jumlah truk yang tidak disewa = (x – 200)/10
 Jadi jumlah truk yang disewa = 30 – (x - 200)/10

10.  Banyaknya truk yang disewa = 30 –(1/10)(x-200) = 50 – x/10
 Pendapatan = tarif x jumlah truk yang disewa
= (x)(50 –x/10)
= 50x – x2/10
 Pengeluaran = biaya perawatan x jml truk yg disewa
= (50)(50 – x/10)
= 2500 – 5x
 Keuntungan, K(x) = Pendapatan – Pengeluaran
= (50x – x2/10) – (2500 – 5x)
= -x2/10 + 55x -2500
 Titik Kritis, K’(x) = 0  = -2x/10 + 55 = 0
 -2x/10 = -55
 x = (-55)(-5) = 275

11. Dalam ribuan
 Untuk tarif : 270 diperoleh:
 Jumlah truk yang disewa = 30 – 7 = 23
 Pendapatan = (23)(270) = 6210
 Pengeluaran = (23)(50) = 1150
 Keuntungan = 6210 – 1150 = 5060
 Untuk tarif : 280 diperoleh:
 Jumlah truk yang disewa = 30 – 8 = 22
 Pendapatan = (22)(280) = 6160
 Pengeluaran = (22)(50) = 1100
 Keuntungan = 6160 – 1100 = 5060
 Diperoleh keuntungan maksimal = 5060, yaitu dengan memasang
tarif 270 ribu atau 280 ribu per truk per hari.

12. Contoh soal (1)
 Seorang pengusaha persewaan hotel sudah
melakukan penelitian mengenai usahanya. Hasil
penelitian menyebutkan bahwa dia bisa
menyewakan seluruh kamar hotel (100 kamar)
apabila tarif sewa $40 per kamar per hari. Setiap
ia menaikkan tarif sewa sebesar $1 per kamar
per hari, maka kamar yang disewa berkurang 2
kamar. Ia juga telah menghitung besarnya
perawatan kamar yang disewa adalah $2 per
kamar per hari. Berapa tarif sewa kamar yang
harus ia tetapkan supaya memperoleh
keuntungan maksimal?

13.  Jumlah total kamar = 100
Tarif (dalam $) Jml kmar yg tidak disewa
40 0
41 2
42 4
x f(x) =?....... (f(x)=ax+b
0 = (a)(40) + b
2 = (a)(41) + b
-2 = -a  a = 2  (2)(40) + b = 0  b = -80
Jadi jumlah kamar yang tidak disewa, f(x) = 2x - 80

14. pendapatan
 Banyaknya kamar yang disewa = 100 – (2x – 80) = 180 – 2x
 Pendapatan = tarif x jumlah kamar yang disewa
= (x)(180 – 2x)
= 180x – 2x2
 Pengeluaran = biaya perawatan x jml kamar yg disewa
= (2)(180 – 2x)
= 360 – 4x
 Keuntungan, K(x) = Pendapatan – Pengeluaran
= (180x – 2x2) – (360 – 4x)
= - 2x2 + 184x - 360
 Titik Kritis, K’(x) = 0  -4x + 184 = 0
 - 4x = - 184
 x = (-184)/(-4) = 46

15. Contoh soal (2)
 Sebuah kawat sepanjang 300 meter akan dipotong-
potong untuk membuat halaman bermain yang terdiri
dari tiga daerah bermain seperti pada gambar 5.1.
tentukan panjang x dan y sehingga luas daerah bermain
maksimum.
y
x x x

16.  6x + 4y = 300 ==> 4y = 300 - 6x
==> y = 75 - (3/2)x
 Luas=L(x) = 3xy = 3x(75 - 1,5x)
= 225x - 4,5x2
 L'(x) = 225 - 9x
 L'(x)= 0 ==> 225 - 9x = 0 ==> x = 225/9 = 25
 diperoleh y = 75 - (3/2)(25)
= 75 - 75/2 = 75/2 = 37,5

17. Contoh soal (3)
 Kota A dan kota B berada di sisi-sisi berlawanan dari
suatu bukit yang memanjang seperti digambarkan pada
gambar 5.2. Akan dibuat sebuah jalan dan sebuah
terowongan yang akan menghubungkan keduanya.
Biaya pembuatan jalan di lereng bukit diperkirakan 5
milyar/km dan biaya pembuatan terowongan 20
milyar/km. Tentukan biaya minimal untuk membuat jalur
tersebut.
B
0,5 km
Bukit memanjang
A 5 km

18.  B(x) = 25 – 5x + 20(x2 +0,25)1/2
 Titik Kritis, B’(x) = 0 atau B’(x) tidak ada
 B’(x) = -5 + (20)(1/2)(x2 + 0,25) -1/2(2x)
 B’(x) = 0 -5 + (20x)(x2 + 0,25) -1/2 = 0
 20x(x2 + 0,25) -1/2 = 5
 4x = (x2 + 0,25)1/2
 16x2 =x2 + 0,25
 15x2 = 0,25
 x2 = 0,25/15 = 0, 0166667
 x = 0,1291
 Biaya minimum=25 – 5(0,1291) +20(0,0166667+0,25)-1/2
= hitung sendiri pakai kalkulator

19. Contoh soal (4)
Misalkan biaya produksi, C, bergantung
dengan banyaknya barang yang
diproduksi, x, dengan mengikuti fungsi
C = 0,001x3 – 10x +128
Tentukan banyaknya barang yang harus
diproduksi sehingga rata-rata biaya
produksi (AC = C/x) minimal

20. Contoh soal (5)
 Misalkan biaya produksi, C bergantung dengan
banyaknya barang produksi,x, mengikuti fungsi
C = 50 + 40 x
 Banyaknya barang produksi dipengaruhi oleh harga, p,
dengan rumus
x = 80 – p
 Tentukan berapa harga barang sehingga diperoleh
keuntungan maksimum
Jawab:
Keuntungan = Pendapatan – Pengeluaran
= p.x – C.x

21. Contoh soal (6)
 Tentukan jarak yang terpendek antara
titik (5, 2) dengan garis y=3x + 2
(5,2)