HOMOLOGÍA Y AFINIDAD. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
HOMOLOGÍA
Y AFINIDAD
A
A´
E
E´
C´
e
D
D´
B´
CB
1 1´
3 3´
2 2´

EJERCICIOS DE HOMOLOGÍA
1. Halla el homólogo del punto P del infinito de la recta r
O
e
r
P( )
l´


O
P´
e
r
P( )
l´


2. Halla la recta r´ homóloga de la recta r dada.
O
e
r
P( )
l´


O
P´
Q-Q´e
r
P( )
l´


O
P´
Q-Q´e
r r´
P( )
l´


3. Halla la recta r´homóloga de la dada r
O
e
r
l

O
P
Q-Q´
e
r
l

O
P
Q-Q´
e
r r´
P´( )
l


O
e
r
P( )
l


O
M
Q-Q´
e
r
P( )
l


O
M
P´
Q-Q´
e
r r´
P( )
l
l´


5. Halla el homólogo del punto P
O
e
P
l´

O
e
r
P
l´

O
P´
e
r
r´
P
l´

6. Halla la recta r´ homóloga de la recta r dada, paralela al eje.
O
e
r
l´

O
e
r
P
l´

O
e
r
r´
x
P
l´

O
P´
e
r
x
x´
P
l´

O
P´
e
r
r´
x
x´
P
l´

7. Halla la primera recta límite
O
e
l´

O
e
d
l´

O
e
d
d
l´
l

8. Hallar las rectas límite
O
e
P
P´

O
e
x
P
P´

O
e
x
x´
P
P´

O
e
x
x´
P
P´
l´
l

9.Hallar las rectas límite
O
e
r
r´

O
P
P( )
e
r
r´


O
P
P( )
Q
Q( )
e
r
r´



O
P
P( )
Q
Q( )
e
r
r´
l
l´


10. Hallar la otra recta límite
e
P
P´
l´

e
x
P
P´
l´

e
x
x´
P
P´
l´

O
e
x
x´
P
P´
l´

O
e
x
x´
P
P´
l´
l

11. Hallar el centro de homología, el eje
(que pasa por P) y las rectas límite
A´
A
B
B´
P

e
A´
A
B
B´
P

O
e
A´
A
B
B´
P

O
e
r
A´
A
B
B´
P
D-D´

O
e
r
r´A´
A
B
B´
P
D-D´

O
e
r
r´A´
A
B
B´
P
D-D´
l´
l

12. Halla el centro de homología,
el eje y las rectas límite
O
A
A´
B´
C´
C
B
e
l´
l

A
A´
E
D
O
C
B
13. Construye la figura homóloga del polígono ABCDE, conociendo el
centro O, el eje e y un punto homólogo A´.

A
A´
M
E
D
O
C
B
1. Unimos A con cualquier otro punto
(E), hasta cortar e en el punto M

A
A´
M
E
D
O
C
B
E´
2. M se une con A´mediante una recta
que corta al rayo OE en E´

A
A´
MN
P Q
E
D
D´
C´
O
C
B
B´E´
3. Unimos D con E, o con otro del que
ya se conozca su homólogo, y se
siguen las mismas operaciones
anteriores hasta determinar los
homólogos de todos los vértices

14. Hallar la figura homológica del cuadrado ABCD conocida la recta límite l´ y el centro O
O
A
l´
D
C
B

O
A
l´
D
Y´X´
C
B

O
A
l´
e
D
D´
Y´X´
C
B

O
A
l´
e
D
D´
C´
Y´X´
C
B

O
A
l´
e
D
D´
C´
B´
A´
Y´X´
C
B

15. Determina la homología que transforma el cuadrilátero ABCD en un cuadrado
El vértice A es un punto doble
e
D
C
B
A=A´

l
e
D
1 2
C
B
A=A´

O
l
e
D
1 23 4
C
B
A=A´

O
l
e
D
1 23 4
C
B
A=A´
D´

O
l
e
D
1 23 4
C
B
A=A´
D´
C´
B´

16. ELIPSE HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIA
Dibujar la elipse afín a una circunferencia dada la circunferencia de centro O, el eje e y
una recta límite
V
l
e
O

V
M l
e
O
D
1. Elegimos un punto arbitrario M de la recta
límite l, y trazamos las rectas tangentes a
la circunferencia. Los puntos de tangencia
son C y D
C
una recta límite

V
M N l
e
O
D
C2. Se unen los puntos C y D hasta cortar a
la recta límite en N
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
B
3. Desde N se trazan dos rectas tangentes
a la circunferencia O cuyos puntos de
tangencia son A y B
O
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
P
B
4. Se unen los puntos A y B.
La intersección P de las rectas
AB y CD es el polo P
O
a
b
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
P
B
5. Se calculan los
DIÁMETROS CONJUGADOS DE LA ELIPSE,
que son los diámetros homólogos de AB y CD.
Para ello, por el punto de intersección de AB
con el eje se traza la paralela a VM (recuerda
las propiedades de las rectas límite)
O
a´
a
b
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
P
B
6. Por el punto de intersección de
CD con el eje se traza la
paralela a Vn
O
b´
b
a´
a
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
P
P´
a´
b´
B
7. El homólogo P´de la circunferencia P
es centro de la elipse homóloga.
Está en la intersección de las rectas a´ y b´
O
a´
a
b´
b
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
G
H
P
P´
a´
b´
b
B
8. TRAZADO DE LA ELIPSE.
Por el polo P se traza una recta r
cualquiera que corta a la circunferencia O
en los puntos G y H
O
a
r
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
G
H
P
P´
a´
b´
b
r
B
Por el polo P se traza una recta r
cualquiera que corta a la circunferencia O
en los puntos G y H
O
a
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
G
H
P
P´
a´
b´
b
r
B
Hallando la homóloga r´y los puntos
homólogos G´y H´se determinan los
puntos de la elipse
O
a
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
G
H
P
P´
E-E´ F-F´´
a´
b´
b
r
B
Los puntos E-E´y F-F´ de intersección
de ambas cónicas con el eje son
puntos dobles
O
a
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
G
H
P
P´
E-E´ F-F´´
a´
b´
b
r
B
Se calcula el resto de puntos siguiendo
las pautas de los puntos homólogos
a partir de las rectas homólogas
que los contienen
O
a
A´
una recta límite

V
M N l
e
D
C
A
G
H
P
P´
E-E´ F-F´´
a´
b´
b
r
B
que los contienen
O
a
A´
C´
una recta límite

V
M N l
e
D
D´
C
A
G
H
H´
P´
G´
E-E´ F-F´´
a´
b´
b
r
B
O
A´
C´
a
P
que los contienen
una recta límite

V
M N l
e
D
D´
C
A
G
H
H´
P´
G´
E-E´ F-F´´
a´
b´
b
r
B
10. Los Diámetros conjugados son
los que van de Dá Cý de Aá C´
O
A´
C´
a
P
una recta límite

V
M N l
e
D
D´
C
A
G
H
H´
P´
G´
E-E´ F-F´´
a´
b´
b
r
B
10. Mediante paralelas a a´y b´dibujamos el
cuadrilátero en el que se ubicará la elipse
O
A´
C´
a
P
una recta límite

A´
O
EA
B
D
C
e
17. Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE siendo la recta e el eje de homología,
el punto O su centro y el punto A´ el homólogo del vértice A

A´
O
E
E´
1=1´A
B
D
C
e
El punto E´, homológico de E, se encuentra
en la intersección del rayo de homología
OE con la recta A´1´, homológica de A1

A´
O
E
E´
D´
1=1´A
B
D
C
e
El lado E´D´ que se busca es paralelo
al eje de homología, por serlo
también el lado ED

A´
O
E
E´
D´
C´
1=1´A
B
D
C
e
El vértice C´coincide con C por pertenecer al
eje (lugar geométrico de los puntos
dobles en una homología)

A´
O
E
E´
D´
B´
C´
1 1´
2 2´
A
B
D
C
e
Para calcular B´se procede del mismo
modo que para el punto E´

A´
O
E
E´
D´
B´
C´
1 1´
2 2´
A
B
D
C
e

A´
E
A
B
B´
D
C
18. Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE conociendo la dirección d del eje de homología
y siendo los puntos A´y B´homológicos de los vértices A y B respectivamente
d

A´
E
A
B
B´
D
C
1 1´
1 1´
d
Se calcula un punto del eje de homología
donde se cortan las rectas
homológicas A´B´, punto

A´
E
Ad
B
B´
D
C
1 1´
El eje e pasa por este punto y es
paralelo a la dirección d dada

A´
E
Ad
B
B´
D
C
1 1´
2 2´
3 3´
Donde AE y CD cortan al eje se
producen dos puntos dobles

A´
O
E
Ad
B
B´
D
C
1 1´
3 3´
2 2´
Una vez tenemos todos los puntos
aplicamos las normas para realizar
la homología sin problemas

A´
O
E
E´
Ad
B
B´
D
C
1 1´
3 3´
2 2´

A´
O
E
E´
Ad
B
B´
D
C
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´

A´
O
E
E´
Ad
B
B´
D
C
C´
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´

A´
O
E
E´
D´
Ad
B
B´
D
C
C´
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´

OE
A
B
D
C
19. Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE dado conociendo el centro de la homología O,
el eje e y la recta límite l. Calcular la otra recta límite m´.
e
l

OE
M
M´
A
B
D
C
e
l
La recta AE corta a la recta límite en el punto M.
Su homológico M´, además de estar en el infinito,
estará alineado con M y con el centro de homología O.

OE
M
M
A
B
D
C
e
l
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´
Sabemos que donde la prolongación de DE y DC
cortan al eje se producen los puntos dobles 1 1´y 2 2´,
y donde AE y BC cortan al eje
se producen los puntos dobles 3 3´ y 4 4´

OE
M
M´
M´
A
A´
B
D
C
e
l
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´
Ahora podemos calcular los puntos A´ y E´,
al trazar por el punto 3 3´la paralela a OM

OE
M
M´
M´
A
A´
E´
B
D
C
e
l
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´
Para el punto E trazamos la recta de O a E y en
su prolongación cortará a la recta A´ M´

OE
M
M´
M´
N´
A
A´
E´
D´
B
D
C
e
l
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´
Para determinar la otra recta límite m´, que debe ser paralel
al eje e y a la recta límite l se busca el punto N´
homológico de N, punto impropio de la recta BC

OE
M
M´
M´
N´
N´
A
A´
E´ N
D´
B
D
C
e
l
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´
Para determinar la otra recta límite m´, que debe ser paralela
al eje e y a la recta límite l se busca el punto N´
homológico de N, punto impropio de la recta BC

OE
M
M´
M´
N
N
A
A´
E´ N´
D´
B
D
C
C´
e
l=m´
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´
En este caso en concreto m´coincide con l ya que
esta recta límite equidista del centro O y del eje

OE
M
M´
M´
N
N
A
A´
B´
E´ N´
D´
B
D
C
C
e
l
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´

OE
M
M´
M´
N
N
A
A´
E´ N´
D´
B
D
C
C
e
l
1 1´
3 3´
4 4´
2 2´
B´

O
A
D
C
20. Dados el centro de homología O, el eje e, y la recta límite m´:
1º. Determinar la otra recta límite l
2º-. Dibujar la figura homológica del cuadrado ABCD
m´
B
e

O
A
D
C
EL cuadrado ABCD tiene el evértice B en el eje,
luego su homológico B´será coincidente con él.
d
d
m´
.
B = B´
l
e

O
A
D
C
Una recta límite dista del eje de homología lo
mismo que la otra dista del centro de homología
En este caso, la recta límite l hallada coincide
con el vértice A del cuadrado
d
d
m´
.
B
l
e

O
A A´
B = B´
D
C
El vértice A está en la recta límite l, por lo que su
homológico A´ será un punto impropio alineado con A y
con el centro de homología O, A´
d
d
m´
l
.e

O
A A´
B = B´
D
C
Para obtener D´trazamos una recta de O a D
y prolongamos la recta AD hasta cortar en el eje
en el punto Pe
d
d
m´
l
.
P

O
A A´
B = B´
D
D´P
C
Desde el punto P trazamos una paralela a
la recta que trazamos de O a A.
Donde esta recta corta a la que va
de O a D, tenemos D´
e
d
d
m´
l
.

O
A A´
A´
A´
B = B´
D
D´P
C
C´
Para calcular C´ unimos O con C
y pasamos una recta de D a la unión
de DC con el eje. En el
punto de corte estará C´
e
d
d
m´
l
.

21. Dibujar la figura afín del pentágono ABCDE conociendo el eje de afinidad e,
y sabiendo que el punto A´ es afín del vértice A
EJERCICIOS DE AFINIDAD
A
A´
E
e
D
CB

A
A´
E
e
D
CB
1. La dirección de afinidad d queda
definida por la recta AA´.

A
A´
E
E´
e
D
CB
2. Aplicando las condiciones de afinidad
conocidas, se van hallando los vértices afines
hasta conseguir la nueva figura
1 1´

A
A´
E
E´
C´
e
D
D´
CB
2. Aplicando las condiciones de afinidad
conocidas, se van hayando los vértices afines
hasta conseguir la nueva figura
1 1´
2 2´

A
A´
E
E´
C´
e
D
D´
B´
CB
1 1´
3 3´
2 2´

22. Dibujar la figura afín del pentágono ABCDE conociendo los puntos A´ B´ y D´, afines,
respectivamente, de los vértices A, B y D
A´
B´
C
D D´
B A
E

A´
B´
C
D D´
B A
E
e
1. El eje de afinidad e queda definido por
los puntos D=D´, que es doble, y
1=1´, donde se cortan la pareja de
rectas afines AB y A´B´.
1 1´

A´
B´
C
D D´
B A
E
e
2. Una vez conocido el eje y sabiendo que la
dirección queda determinada por la recta
que une una pareja de puntos afines, por
ejemplo AA´, calculamos los puntos afines
C´y E´como en el caso anterior.
1 1´

A´
B´
C
C´
D D´
B A
E
e
3. Trazamos una paralela a A´A por C
y unimos B´ con el punto doble 2=2´.
Donde se corten ambas rectas
obtenemos C´.
2 2´
1 1´

A´
B´
C
C´
D D´
B A
E
E´ e
4. Prolongamos AE hasta cortar al eje en el
punto doble 3=3´. Unimos dicho punto doble
con A´, y donde corte esta recta a la
paralela a AA´ trazada desde E, tenemos
el punto E´.
2 2´
3 3´
1 1´

A´
B´
C
C´
D D´
B A
E
E´ e
5. Ya solo queda unir todos los vértices
para trazar la figura afín A´B´C´D´E´
2 2´
3 3´
1 1´

23. Calcular los ejes de la elipse afín de la circunferencia de centro O en la afinidad
determinada por la dirección d, el eje e, y la razón K = -3/2
O
e
d
k = - 3/2

O
e
d
k = - 3/2 1. Calculamos O´, punto afín del
centro O. Para ello trazamos la
paralela por O respecto a d.
Sabemos que O´quedará
al otro lado del eje porque la
razón es negativa
P

O
½ OP
e
d
k = - 3/2 2. El centro de la elipse O´estará a una
distancia del punto P igual a 3/2 del
segmento OP.
Dividimos OP en dos partes iguales
(ya que el denominador de 3/2 es 2)
mediante la mediatriz
P

O
½ OP
1
E
e
d
k = - 3/2 3. Trazamos un arco PE y conseguimos el
punto 1, primera división de los 3/2 de PO
P

O
½ OP
P
1
3
E
e
d
k = - 3/2 4. Con distancia 1P trazamos dos arcos más
con centro en 1 y en 2, y conseguimos
los puntos 2 y 3 respectivamente.
El punto 3 = O´.
O´
2

O
1
3
E
e
d
k = - 3/2 5. Para calcular la dirección de los ejes de la
elipse, se traza la circunferencia que tiene
el centro en el eje de afinidad e y pasa
por los puntos O y O´. Para ello trazamos la
mediatriz OO´y donde ésta corte al eje estará
el centro Q
P
Q
M M´
N N´
O´
2

O
B
D
C
1
3
E
A
e
d
k = - 3/2
P
Q
M M´
N N´
6. La circunferencia corta al eje e en los
puntos dobles M=M´ y N=N´.
que unidos con O determinan la
pareja de diámetros AC y BD cuyos
afines A´C´ y B´D´ son los ejes de
la elipse que buscamos
O´
2

O
B
D
C
1
3
D´
E
A
e
d
k = - 3/2
P
Q
M M´
N N´
O´
B´
2

O
B
D
C
C´
1
3
D´
A´
E
A
e
d
k = - 3/2
P
Q
M M´
N N´
O´
B´
2

O
B
D
C
C´
1
3
O´
D´
A´
B´
2
E
A
e
d
k = - 3/2
P
Q
M M´
N N´

24. En una afinidad de eje e los puntos O y O´son, respectivamente, los centros de una circunferencia
y una elipse afines entre sí. Hallar los ejes de la elipse y trazarla sabiendo
que la recta t´es tangente a la elipse
O
O´
t´
e

O
O´
M´
M
t´
t
1 1´
e
1. Si la recta t´es tangente a la elipse, su afín t
lo será a la circunferencia. La recta t se
determina por dos puntos 1 = 1´ (prolongación
de t que corta al eje) y M , afín de M´(punto
arbitrario de t´del que parte una recta
que pasa por O´ y corta al eje en 2 = 2´)
2 2´

O
O´
M´
M
T t´
t
1 1´
e
2. Una vez conocida la recta t podemos
calcular el punto T de tangencia, que
está en la intersección de la recta t y una
perpendicular a la misma que
pasa por O
2 2´

O
O´
M´
M
T t´
t
1 1´
e
3. Teniendo el punto T de tangencia y el
centro O, podemos trazar la circunferencia
2 2´

O B
D
C
A
A´
O´
M´
M
T t´
t
1 1´
2 2´
e
4. Una vez se ha obtenido la circunferencia
y trazados sus diámetros perpendiculares
AC y DB, podemos calcular los ejes de la
elipse A´C´ y D´B´ afines, respectivamente,
a AC y DB.

O B
D
C
C´
A
A´
O´
M´
M
T t´
t
1 1´
2 2´
e
a AC y DB.

O B
B´
D
C
C´
A
A´
O´
M´
M
T t´
t
1 1´
3 3´
2 2´
e
a AC y DB.

O B
B´
D´
D
C
C´
A
A´
O´
M´
M
T t´
t
1 1´
3 3´
2 2´
e
a AC y DB.

O B
B´
D´
D
C
C´
F´
F
A
A´
O´
M´
M
T t´
t
1 1´
3 3´
2 2´
e
5. Para poder trazar la elipse, calculamos
los focos (trazamos un arco con distancia
O´A´ desde D´, que corta al segmento C´ A´
en F y F´)

O B
B´
D´
D
C
C´
F´
F
A
A´
O´
M´
M
T t´
t
1 1´
3 3´
2 2´
e
6. Posteriormente trazamos la elipse
por uno de los procedimientos que hemos
aprendido con anterioridad

O B
B´
D´
D
C
C´
F´
F
A
A´
O´
M´
M
T
T´
t´
t
1 1´
3 3´
2 2´
e
7. El punto de tangencia T de la circunferencia
tiene su homólogo en t´, en el punto T´.

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