Números Primos

1. Prof. Jenner Huamán Callirgos

2. La conjetura de Goldbach
El 7 de junio de 1742, Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard
Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos),
sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación
porque a él no se le ocurría:
"Todo número par positivo, mayor que 2, se puede escribir como la suma
de dos números primos."
Un matemático que cree que una afirmación es cierta, pero esa veracidad
no se puede probar, tiene la opción de presentarla como una conjetura.
Conjetura refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no fue
probada ni refutada hasta la fecha.
La más famosa conjetura real es la planteada por un matemático alemán
que trabajaba en Rusia, Christian Goldbach (1690 - 1764). A Goldbach le
parecía que cualquier número par mayor que 2 podía expresarse como la
suma de dos primos (a veces de más de una manera).

3. Ningún matemático ha hallado jamás número par alguno mayor que 2,
que no pudiera expresarse mediante la suma de dos números primos.
Todo matemático está convencido de que no existe tal número, y que
la conjetura de Goldbach es cierta. Sin embargo, nadie ha sido capaz
de probar la conjetura.
Así:
4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 5 + 5; 12 = 7 + 5; 14 = 7 + 7;
16 = 11 + 5; 18 = 13 + 5; 20 = 13 + 7; 22 = 11 + 11; 24 = 13 + 11;
26 = 13 + 13; 28 = 23 + 5; 30 = 23 + 7; 32 = 19 + 13; 34 = 17 + 17;
36 = 23 + 13; 38 = 19 + 19; 40 = 23 + 17; 42 = 23 + 19; etc.

4. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
ENTEROS POSITIVOS
NÚMEROS SIMPLES
Son aquellos números que tiene a lo más dos divisores.
A. La unidad: Es el único Z+ que tiene un solo divisor. También
se le llama primo relativo.
B. Primos Absolutos: Son aquellos números que poseen
exactamente dos divisores: la unidad y el mismo número.
Generalmente, se le dice número primo.
{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29;….}

6. NÚMEROS COMPUESTOS
Son aquellos números enteros positivos que tiene más de dos
divisores.
{4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18;….}
OBSERVACIÓN: Todo número compuesto posee por lo menos un
divisor primo.
El menor número compuesto es el 4.

8. Debes tener en cuenta que:
Hasta el momento(2014) no se ha descubierto una fórmula que permita
Calcular a todos los números primos. Sin embargo, matemáticos
famosos como Pierre Fermat, Euler, entre otros propusieron
expresiones que permiten encontrar algunos números primos.
FÓRMULA DE FERMAT: 22 𝑛
+ 1
Nos permite encontrar algunos números primos, siéndolos valores de
“n” = {0; 1; 2; …..}

9. FÓRMULAS DE EULER:
n2 + n + 17
Nos proporciona 16 números primos, siendo los valores
de “n” = {0; 1; 2;….; 15}
n2 + n + 41
Nos proporciona 40 números primos, siendo los valores
de “n” = {0; 1; 2;….; 39}
En enero de 1994 los científicos David Slowinskiny Paul Gage en
Minnesota (EE.UU.) descubrieron el número primo:
2859 433 – 1, que tiene 258 716 cifras; calculando en su super
computador Cray C90.

10. Propiedades de los números primos
El conjunto de los número primos es infinito
El 2 es el único número par que es primo.
2 y 3 son los únicos números consecutivos y primos a la vez.
3; 5 y 7 es la única terna de números impares consecutivos y
primos a la vez.
Todo número primo mayor que 2 es de la forma 4
0
+ 1 4
0
− 1o
Todo número primo mayor que 3 es de la forma
Lo contrario no necesariamente se cumple.
6
0
+ 1 6
0
− 1o

11. Algoritmo para determinar si un número es primo
Segundo Paso
Se calcula la raíz cuadrada aproximada(por defecto) del número, se
toma la parte entera de dicha raíz.
Primer Paso
Se indican todos los números primos menores o igual a la raíz
cuadrada aproximada.
Tercer Paso
Se determina si el número es o no divisible entre cada uno de los
números primos indicados en el paso anterior, de menor a mayor.
Se dirá que el número es primo, si no resulta ser divisible por ninguno
de los primos indicados.
Se dirá que el número es compuesto si por lo menos en un caso
resulta divisible.

12. Ejemplo
¿Es 163 un número primo?
Segundo Paso
Primer Paso
Tercer Paso

13. CLASIFICACIÓN POR GRUPOS DE NÚMEROS
Números primos entre sí (PESI)
Se les denomina también primos relativos o coprimos y son aquellos
grupos de números que tiene como único divisor común a la unidad.
Ejemplo
¿35; 10 y 6 son PESI?
Veamos
Números Divisores
35: 1 ; 5; 7; 35
10: 1 ; 2; 5; 10
6: 1 ; 2; 3; 6
Único divisor común
Del conjunto de números.
Por lo Tanto:
35; 10 y 6 son PESI.

14. Números primos entre sí 2 a 2
Son aquellos grupos de números que al ser tomados de 2 en 2, cada
par de números resulta PESI.
Ejemplo
¿8; 33 y 25 son PESI 2 a 2?
Números Divisores
8: 1 ; 2; 4; 8
33: 1 ; 3; 11; 33
25: 1 ; 5; 25
Veamos
Se observa:
8 y 33 son PESI.
33 y 25 son PESI.
8 y 25 son PESI
Por lo tanto: 8; 33 y 25
Son PESI 2 a 2.

15. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
(TEOREMA DE GAUSS)
Todo número entero positivo mayor que la unidad puede
expresarse como el producto de sus divisores primos diferentes,
elevados a exponentes enteros positivos. Dicha representación
es única a excepción del orden de los factores y se denomina
descomposición canónica.

16. Ejemplo
Halle la descomposición canónica de los siguientes números:
A. 432
B. 6552
C. 74613000
Resolución

17. CASO PARTICULAR
Descomposición canónica del factorial de un número
entero positivo
Ejemplo
Descomponer canónicamente el factorial de 24.
Resolución
Por definición: 24! = 1.2.3.4.5. … .23.24
Los factores primos elevados a ciertos exponentes:
24! = 2ª . 3b . 5c . 7d . …. . 23z
Cálculo de los exponentes: “Se divide sucesivamente, el número
del factorial por el factor primo que se desee hallar su exponente y
enseguida se suman los cocientes”

18. Hallamos el exponente de 2:
dividimos sucesivamente por 2:
24! = 2ª . 3b . 5c . 7d . …. . 23zVeamos:
24 2
2
2
1
12
6
3 2
a : 12 + 6 + 3 + 1 = 22
Hallamos el exponente de 3:
dividimos sucesivamente por 3:
24 3
38
2
b : 8 + 2 = 10
Y así sucesivamente se obtiene:
24! = 222 . 310. 54 . 73 . 112 . 13 . 17 . 19 . 23

19. Ejemplo
Descomponer canónicamente el factorial de 32.
Resolución

20. Estudio de los divisores de un número
Tabla de divisores
Se siguen los siguientes pasos:
A. Se descompone el número como el producto de sus
divisores primos.
B. Lo divisores que contienen al menor número primo se
ubican en la fila principal y los demás divisores(de
menor a mayor) en la columna principal.
C. Se van multiplicando los de la columna principal con
todos los divisores de la fila principal

21. Ejemplo
Construir la tabla de divisores de 432.
Resolución
Descomponiendo 432 en factores primos:
432 = 24 . 33
24
23
22
21
20
33
32
31
30
20 21 22 23 24
30 1 2 4 8 16
31 3 6 12 24 48
32 9 18 36 72 144
33 27 54 108 216 432
x Fila Principal
Columna Principal

22. ¿Cuántos divisores del número 784 poseen como suma de
cifras un número primo?
APLICACIÓN
Resolución

23. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO [CD(N)]
Sea: 𝑁 = 𝑎 𝛼
. 𝑏 𝛽
. 𝑐 𝜃
primos
𝐶𝐷 𝑁 = (𝛼 + 1)(𝛽 + 1)(𝜃 + 1
También
𝐶𝐷 𝑁 = 𝐶𝐷 𝑃 + 𝐶𝐷 𝑐 + 1
𝐶𝐷 𝑃 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠
𝐶𝐷 𝑐 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠.

24. Ejemplo
Halla la cantidad de divisores de 180.
180 = 22 . 32 . 51
Resolución
CD(180) = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 18

25. SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO [SD(N)]
La suma de los divisores de un número, se obtiene desarrollando los
Cocientes notables de cada factor primo.
Halla la suma de divisores de 360.
360 = 23 . 32 . 51
Resolución
𝑆𝐷 𝑁 =
𝑎 𝛼+1
− 1
𝑎 − 1
.
𝑏 𝛽+1
− 1
𝑏 − 1
.
𝑐 𝜃+1
− 1
𝑐 − 1
Ejemplo
𝑆𝐷 360 =
23+1
− 1
2 − 1
.
32+1
− 1
3 − 1
.
51+1
− 1
5 − 1
SD(360) = 15 . 13 . 6 = 1 170

26. PRODUCTO DE DIVISORES DE UN NÚMERO [PD(N)]
𝑃𝐷 𝑁 = 𝑁
𝐶𝐷 𝑁
2
Halla el producto de los divisores de 360.
Resolución
Ejemplo
𝑃𝐷 360 = 360
24
2 = (360)12

27. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE UN
NÚMERO [SID(N)]
𝑆𝐼𝐷 𝑁 =
𝑆𝐷 𝑁
𝑁
Halla la suma de las inversas de los divisores de 360.
Resolución
Ejemplo
Suma de los divisores de 360= 1170
Luego, la suma de las inversas de los divisores de 360 es:
𝑆𝐼𝐷 360 =
1170
360
= 3,25

28. Conceptos Adicionales:
• Divisor propio: Son todos aquellos divisores menores que él
mismo
Ejemplo: 12, divisores propios {1; 2; 3; 4; 6}
• Números perfectos: Son aquellos números cuya suma de sus
divisores propios es igual a él mismo
Ejemplo:: 6  28
• Número defectuoso: Son aquellos números que cumplen con la
condición que la suma de sus divisores son propios son menores
que él mismo.
Ejemplo: 35

29.  Números abundantes: Son aquellos cuya suma de divisores
propios es mayor que él mismo.
Ejemplo: 20
 Número amigos: Sea N1  N2 los números. Serán amigos si la
suma de divisores propios de N1 es igual a N2 y viceversa.
Ejemplo: 220  284

30. APLICACIONES
1. Si el número M = 32 x 10n tiene 48 divisores positivos, entonces
el valor de n es: (UNMSM – 2008-II)
a) 2 b) 1 c) 4 d) 5 e) 3
Resolución

31. 2. Halle el número entero de la forma 2αx7β, sabiendo que al
multiplicarlo por 14 se duplica la cantidad de sus divisores positivos
y que, al dividirlo entre 4, el número de sus divisores positivos se
reduce a la tercera parte. (UNMSM – 2010-II)
a) 14 b) 56 c) 63 d) 28 e) 98
Resolución

32. 3. Sean a = 2n . 3 y b = 2 . 3n, donde n es un entero positivo. Si
a . b tiene 16 divisores positivos, halle a – b. (UNMSM – 2012-II)
a) -6 b) 6 c)4 d) -4 e) 12
Resolución

33. 4. La suma de divisores de A – B es 93, donde A = 32 . 5n y
B = 5n .7. Entonces A + B es igual a: (UNAC – 2010-I)
a) 700 b) 300 c) 400 d) 800 e) 600
Resolución

34. 5. Halle la suma de las cifras de un número entero N, sabiendo que
admite sólo 2 divisores primos, el total de divisores positivos es 6 y
la suma de éstos es 28. (UNAC – 2011- II)
a) 7 b) 6 c) 9 d) 3 e) 5
Resolución

35. 6. Se tiene un número de 3 cifras, múltiplo de 30, que tiene un total
de 24 divisores. Al multiplicarlo por 10 se forma un nuevo número
cuya cantidad de divisores es 15/8 de la cantidad de divisores del
número original.
Calcule la suma de cifras del menor número que cumple las
condiciones indicadas. (UNI – 2012 – II)
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
Resolución

36. 7. Determine la suma de todos los valores posibles de a, sabiendo
que la descomposición canónica (en sus factores primos) de N, es
y tiene 32 divisores. (UNI – 2008 – II)
a) 4 b) 7 c) 5 d) 10 e) 14
Resolución
𝑁 = 𝑎𝑏 𝑐
𝑎𝑐 𝑏

37. 8. Si N2 tiene 63 divisores y N3 tiene 130 divisores. ¿Cuántos
divisores tiene N4? Calcule la suma de cifras de esta cantidad.
(UNI – 2008 – I)
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Resolución

38. 9. Hallar el valor de “x” para que el número (15x)(40) tenga 116
divisores compuestos.(PUCP – 2012 – II)
a) 120 b) 60 c) 117 d) 4 e) 5
Resolución

39. 10. ¿Cuántos números de la forma aba son primos absolutos
menores que 329?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Resolución

40. 11. Calcule n si el número 28 . 30n tiene 576 divisores.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Resolución

41. 12. El número 51000….09 tiene 40 divisores compuestos, ¿cuántos
de ellos son múltiplos de 6?
a) 30 b) 20 c) 15 d) 16 e) 17
Resolución

42. 13. Sabiendo que el factorial de 31 tiene “n” divisores, ¿cuántos
divisores tiene el factorial de 32?
a) (32/27)n b) (27/32)n c) 32n d) 27n e) n/32
Resolución

43. 14. Halle el residuo de dividir el producto de los 2014 primeros
números primos entre 12.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Resolución