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G2.3   calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docx
El método de las arandelas, es una variante del
método de las secciones transversales y permite
calcular el volumen de un solido de revolución
entres dos funciones.
 El método de Arandelas oWasher, es una
extensión del método de discos para sólidos
huecos. Donde se tiene un radio interno r y un
radio R externo de la arandela.
 La integral que contiene el radio interno
representa el volumen del hueco y se resta de
la integral que contiene el radio externo.
Siendo la siguiente, la expresión matemática para calcular el
volumen de un cilindro, en una arandela se deduce lo siguiente:
 𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2h
 𝑉 = 𝜋h(R2 – r2)
ⅆ𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
[R2 – r2] ⅆ𝑥
En donde:
 𝑅 = f(x)
 𝑟 = g(x)
 ⅆ𝑥 = ⅆℎ
 Dadas las funciones , continuas en
el intervalo y con , el
volumen del sólido de revolución limitado por
las curvas y las rectas y
,es:
1. La región acotada por la curva y= x2+1 y la recta
y=-x+3 girada alrededor del eje x para generar
el sólido. Encuentre el volumen del sólido:
x2+1 = -x+3
x2+x-2 = 0
(x+2)(x-1) = 0
X1= -2
X2= 1
[-2 ; 1]
𝑉 =
𝑎
𝑏
𝜋[(R(x))2 − (r(x))2] ⅆ𝑥
=
−2
1
𝜋[(−x + 3)2 − (x2 + 1)2] ⅆ𝑥
=
−2
1
𝜋[(x2 − 6x + 9 − x4 − 2x2 − 1)] ⅆ𝑥
=
−2
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𝜋[(8 − 6x − x2 − x4)] ⅆ𝑥
= 𝜋[8
−2
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ⅆ𝑥 − 6
−2
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−2
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x2 ⅆ𝑥 −
−2
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= 𝜋 8x − 3x2 −
x3
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−
x5
5
1
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= 𝜋 8 + 16 − 3 − 12
−
1
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+
8
3
− (
1
5
+
32
5
)
= 𝜋 24 + 9 − 3 −
33
5
=
117𝜋
5
u3
2. La región entre las curvas f(X)=x2 y g(X)=1 se
gira alrededor del eje y=2 generan un solido.
Hallar el volumen del solido en revolución.
𝑉 =
0
1
ⅆ𝑣
𝑉 = 2
0
1
𝜋 2 − 𝑥2 2
− 1 ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
1
𝑥4
− 4𝑥2
+ 3 ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
1
𝑥4
ⅆ𝑥 −
0
1
4𝑥2
ⅆ𝑥 +
0
1
3ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
1
𝑥4
ⅆ𝑥 − 4
0
1
𝑥2
ⅆ𝑥 + 3
0
1
ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
𝑥5
5
−
4𝑥3
3
+ 3𝑥
0
1
𝑉 = 2𝜋
(1)5
5
−
4 1 3
3
+ 3(1)
𝑉 = 2𝜋
1
5
−
4
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𝑉 = 2𝜋
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𝑉 =
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15
3. Hallar el volumen del sólido que resulta de
girar alrededor del eje “y” la región limitada
por las funciones y= 2x y y=x2
2x = x2 r = y= 2x
x2-2x = 0 x =
2
𝑦
x(x-2) = 0
R = y = x2
x1 = 0 x = √y
x2 = 2
[0;2]
𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2h
𝑉 = 𝜋(R2h – r2h)
ⅆ𝑣 = π y 2 –
y
2
2 ⅆ𝑦
ⅆ𝑣 = π y –
y2
4
ⅆ𝑦
ⅆ𝑣 =
0
4
π y –
y2
4
ⅆ𝑦
= 𝜋[
0
4
𝑦ⅆ𝑦 −
1
4 0
4
y2ⅆ𝑦]
=
𝜋
y2
2
−
1
4
y3
3
4
0
= 𝜋 8 −
1
4
64
3
−
0
4
= 𝜋 (8 −
16
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)
=
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𝜋 u3
4. Encontrar el volumen del solido de revolución
generado al girar sobre el eje “y”, la región
limitada por: 𝑦2
= 𝑥, y = 0 y x = 4.
𝑥 = 𝑥
𝑦2
= 4
𝑦 = 4
𝑦 = ±2
 Eje x : y = 0
𝑉 = 𝜋
0
2
4 2 − (𝑦2)2ⅆ𝑦
𝑉 = 𝜋
0
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ⅆ𝑦
𝑉 = 𝜋 16𝑦 −
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𝑉 = 𝜋 (32 −
32
5
)
𝑉 =
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5
𝜋
5. Determinar el volumen del sólido que se genera al girar
alrededor del eje x, la región acotada por la parábola y=x2+1 y
la recta y=x+3
 El eje de rotación es y=5
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 Para los límites de Integración:
𝑥2
+ 1 = 𝑥 + 3
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0
𝒙 𝟏 = 𝟐
𝒙 𝟐 = −𝟏
 Para las funciones a integrar:
𝑉 = 𝜋
−2
2
4 − 𝑥2 2
− 2 − 𝑥 2
ⅆ𝑥
𝑉 = 𝜋
−2
2
16 − 8𝑥2
+ 𝑥4
− 4 + 4𝑥 − 𝑥2
ⅆ𝑥
𝑉 = 𝜋
−2
2
𝑥4 − 9𝑥2 + 4𝑥 + 12 ⅆ𝑥
𝑉 =
𝑥5
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− 3𝑥3
+ 2𝑥2
+ 12𝑥
−2
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𝜋
𝑉 = 𝜋
32
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 Calcular el volumen del solido de revolución
que se obtiene al hacer girar sobre la recta
x=-4, la región acotada por: x=y-y2 y x=y2-3.
 http://ningunvago.blogspot.com/2011/04/calc
ulo-de-volumen-el-metodo-de.html
 http://www.youtube.com/watch?v=FppCPrd
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 WilliamAnthony Granville, P. P. (1980).
Calculo diferencial e integral . Editorial Limusa
S.A. De C.V., 1980.

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  • 2. El método de las arandelas, es una variante del método de las secciones transversales y permite calcular el volumen de un solido de revolución entres dos funciones.
  • 3.  El método de Arandelas oWasher, es una extensión del método de discos para sólidos huecos. Donde se tiene un radio interno r y un radio R externo de la arandela.
  • 4.  La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo.
  • 5. Siendo la siguiente, la expresión matemática para calcular el volumen de un cilindro, en una arandela se deduce lo siguiente:  𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2h  𝑉 = 𝜋h(R2 – r2) ⅆ𝑉 = 𝜋 𝑎 𝑏 [R2 – r2] ⅆ𝑥 En donde:  𝑅 = f(x)  𝑟 = g(x)  ⅆ𝑥 = ⅆℎ
  • 6.  Dadas las funciones , continuas en el intervalo y con , el volumen del sólido de revolución limitado por las curvas y las rectas y ,es:
  • 7. 1. La región acotada por la curva y= x2+1 y la recta y=-x+3 girada alrededor del eje x para generar el sólido. Encuentre el volumen del sólido:
  • 8. x2+1 = -x+3 x2+x-2 = 0 (x+2)(x-1) = 0 X1= -2 X2= 1 [-2 ; 1]
  • 9. 𝑉 = 𝑎 𝑏 𝜋[(R(x))2 − (r(x))2] ⅆ𝑥 = −2 1 𝜋[(−x + 3)2 − (x2 + 1)2] ⅆ𝑥 = −2 1 𝜋[(x2 − 6x + 9 − x4 − 2x2 − 1)] ⅆ𝑥 = −2 1 𝜋[(8 − 6x − x2 − x4)] ⅆ𝑥 = 𝜋[8 −2 1 ⅆ𝑥 − 6 −2 1 𝑥 ⅆ𝑥 − −2 1 x2 ⅆ𝑥 − −2 1 x4 ⅆ𝑥]
  • 10. = 𝜋 8x − 3x2 − x3 3 − x5 5 1 −2 = 𝜋 8 + 16 − 3 − 12 − 1 3 + 8 3 − ( 1 5 + 32 5 ) = 𝜋 24 + 9 − 3 − 33 5 = 117𝜋 5 u3
  • 11. 2. La región entre las curvas f(X)=x2 y g(X)=1 se gira alrededor del eje y=2 generan un solido. Hallar el volumen del solido en revolución.
  • 12. 𝑉 = 0 1 ⅆ𝑣 𝑉 = 2 0 1 𝜋 2 − 𝑥2 2 − 1 ⅆ𝑥 𝑉 = 2𝜋 0 1 𝑥4 − 4𝑥2 + 3 ⅆ𝑥 𝑉 = 2𝜋 0 1 𝑥4 ⅆ𝑥 − 0 1 4𝑥2 ⅆ𝑥 + 0 1 3ⅆ𝑥 𝑉 = 2𝜋 0 1 𝑥4 ⅆ𝑥 − 4 0 1 𝑥2 ⅆ𝑥 + 3 0 1 ⅆ𝑥 𝑉 = 2𝜋 𝑥5 5 − 4𝑥3 3 + 3𝑥 0 1 𝑉 = 2𝜋 (1)5 5 − 4 1 3 3 + 3(1) 𝑉 = 2𝜋 1 5 − 4 3 + 3 𝑉 = 2𝜋 45 + 3 − 20 15 𝑉 = 56𝜋 15
  • 13. 3. Hallar el volumen del sólido que resulta de girar alrededor del eje “y” la región limitada por las funciones y= 2x y y=x2
  • 14. 2x = x2 r = y= 2x x2-2x = 0 x = 2 𝑦 x(x-2) = 0 R = y = x2 x1 = 0 x = √y x2 = 2 [0;2]
  • 15. 𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2h 𝑉 = 𝜋(R2h – r2h) ⅆ𝑣 = π y 2 – y 2 2 ⅆ𝑦 ⅆ𝑣 = π y – y2 4 ⅆ𝑦 ⅆ𝑣 = 0 4 π y – y2 4 ⅆ𝑦 = 𝜋[ 0 4 𝑦ⅆ𝑦 − 1 4 0 4 y2ⅆ𝑦]
  • 16. = 𝜋 y2 2 − 1 4 y3 3 4 0 = 𝜋 8 − 1 4 64 3 − 0 4 = 𝜋 (8 − 16 3 ) = 8 3 𝜋 u3
  • 17. 4. Encontrar el volumen del solido de revolución generado al girar sobre el eje “y”, la región limitada por: 𝑦2 = 𝑥, y = 0 y x = 4.
  • 18. 𝑥 = 𝑥 𝑦2 = 4 𝑦 = 4 𝑦 = ±2  Eje x : y = 0
  • 19. 𝑉 = 𝜋 0 2 4 2 − (𝑦2)2ⅆ𝑦 𝑉 = 𝜋 0 2 16 − 𝑦4 ⅆ𝑦 𝑉 = 𝜋 16𝑦 − 1 5 𝑦5 2 0 𝑉 = 𝜋 16 2 − 0 − 1 5 (2)5 + 0 𝑉 = 𝜋 (32 − 32 5 ) 𝑉 = 128 5 𝜋
  • 20. 5. Determinar el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje x, la región acotada por la parábola y=x2+1 y la recta y=x+3  El eje de rotación es y=5
  • 23.  Para los límites de Integración: 𝑥2 + 1 = 𝑥 + 3 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0 𝒙 𝟏 = 𝟐 𝒙 𝟐 = −𝟏
  • 24.  Para las funciones a integrar:
  • 25. 𝑉 = 𝜋 −2 2 4 − 𝑥2 2 − 2 − 𝑥 2 ⅆ𝑥 𝑉 = 𝜋 −2 2 16 − 8𝑥2 + 𝑥4 − 4 + 4𝑥 − 𝑥2 ⅆ𝑥 𝑉 = 𝜋 −2 2 𝑥4 − 9𝑥2 + 4𝑥 + 12 ⅆ𝑥 𝑉 = 𝑥5 5 − 3𝑥3 + 2𝑥2 + 12𝑥 −2 2 𝜋 𝑉 = 𝜋 32 5 − 24 + 8 + 24 — 1 5 + 3 + 2 − 12 𝑉 = 108 5 𝜋 𝑢3
  • 27.  Calcular el volumen del solido de revolución que se obtiene al hacer girar sobre la recta x=-4, la región acotada por: x=y-y2 y x=y2-3.
  • 28.  http://ningunvago.blogspot.com/2011/04/calc ulo-de-volumen-el-metodo-de.html  http://www.youtube.com/watch?v=FppCPrd G8sw  WilliamAnthony Granville, P. P. (1980). Calculo diferencial e integral . Editorial Limusa S.A. De C.V., 1980.