Un 1 de Matemáticas para PCPI Módulo voluntario. Los números enteros.

1. 1
MÓDULO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO
PROGRAMACIÓN DEL MÓDULO VOLUNTARIO
DEL PCPI
MATERIA MATEMÁTICAS
FICHA DE TEORÍA Un. 1. NÚMEROS ENTEROS
1. NÚMEROS ENTEROS.
Los NÚMEROS ENTEROS (ℤ) son un conjunto de números que incluye a los
números naturales distintos de cero (1, 2, 3,...), los negativos de los números
naturales (..., −3, −2, −1) y el cero, 0.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ que
proviene de la palabra número en alemán (Zahlen).
ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3,...}
Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones
(suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o
negativos.
Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo −783 y 154 son
números enteros, pero 45,23 y −34/95 no son números enteros.
Se llama VALOR ABSOLUTO de un número entero al número natural que resulta
de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras.
Valor absoluto: 66  66  11  22 
Los enteros negativos son menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) y que
el cero. Para entender cómo están ordenados se utiliza la Recta Real:
Hay ciertas situaciones, como la temperatura
o los pisos de un parquin subterráneo, que
no se pueden expresar matemáticamente
utilizando los números naturales (sin usar los
números negativos), para estos casos
hacemos uso de los números enteros.

2. 2
Observa el ejemplo y piensa un poco.
ACTIVIDAD 1. Ordena de menor a mayor.
a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -4
ACTIVIDAD 2. Completa adecuadamente
a) |-5| = b) |+7| = c) |+6|= d) |-4|=
ACTIVIDAD 3. Completa las siguientes frases según el
cuadro.
 La gaviota está volando a _________ m _________ el
nivel del mar.
 El niño está buceando a _________ m _________ el
nivel del mar.
 El pez está nadando a _________ m _________ el nivel
del mar.
 El cangrejo se encuentra a _________ m _________ el nivel del mar.
 El pelícano vuela a _________ m _________ el nivel del mar.
ACTIVIDAD 4. En la siguiente tabla se muestran algunas situaciones descritas
con números enteros. Asigna el número entero correspondiente a aquellas
situaciones que no lo tengan y añade un par de ejemplos propios en los espacios
vacíos.
SITUACIÓN Nº ENTERO
La temperatura ambiente es de 2º bajo cero -2º C
La temperatura ambiente es de 2º sobre cero +2º C
La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar
El buzo está nadando a 20 m de profundidad -20 m
Estamos justo al nivel del mar
Julián tiene una deuda de 5.000 €
El avión está volando a 9.500 metros de altura
El saldo deudor de la libreta de ahorro es de 12.356 €
Los termómetros marcaron una temperatura de 3º bajo cero
La altura del monte Aconcagua es de 7.010 metros
La profundidad de la fosa marina es de 10.882 metros
Jennifer debe 11.650 €

3. 3
Andrés tiene 3.580 €
ACTIVIDAD 5. Responde a las siguientes preguntas.
 ¿Cuántos números enteros hay entre -6 y +6?
 En Aracena, cierto día a las 6 de la mañana el termómetro marcó – 1º C. Al
mediodía la temperatura máxima fue de 14º C. ¿Cuál fue, en grados, la
variación de temperatura ese día?
 De un depósito que contenía 520 litros de agua se sacaron primero 170 litros
y después 145 litros, más tarde se echaron 210 litros. ¿Cuántos litros contiene
ahora el depósito?
2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
(Suma, resta, multiplicación y división).
Suma de números enteros:
Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que
tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se
pone nada delante del número se entiende que es +.
(+5) + (+4) = 5 + 4 = 9
(-5) + (-4) = -5 - 4 = -9
Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el
signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se resta el mayor al menor y se
deja el signo del más grande).
(+20) + (-10) = 20 - 10 = 10 (20 - 10 = 10, el más grande es +20, por lo
tanto el resultado es +)
(-8) + (+3) = -8 + 3 = -5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, por lo tanto
el resultado es - )
(+ 11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el +11, por lo
tanto el resultado es +)
ACTIVIDAD 6. Realiza las siguientes sumas de números enteros.
(-4) + (-4)=
(-14) + (-4)=
(-4) + (-12)=
(-10) + (-4)=
(+4) + (-41)=
(-12) + (-4)=
(+4) + (-12)=
(-10) + (-40)=
(-5) + (+9) =
(-2) + (+8) =
(-3) + (+4) =
(-4) + (+10) =
(-5) + (+7) =
(-9) + (+4) =
(-10) + (+6) =
(-8) + (+1) =
(-5) + (+4) =
(-7) + (+3) =

4. 4
(-5) + (-6) =
(-3) + (-4) =
(-2) + (-7) =
(-6) + (-3) =
(+8) + (-11) =
(+4) + (-9) =
(+2) + (-8) =
(+7) + (-1) =
(+8) + (-4) =
(+10) + (-5) =
(+12) + (-7) =
(+13) + (-6) =
Resta de números enteros:
Cuando trabajamos con números enteros podemos decir que no existen
diferencias entre la suma y la resta, ambas operaciones las podemos expresar en
forma de suma. Una resta no es más que la suma de un número entero negativo.
Observa: 5 – 3 = (+5) + (-3)
Tenemos que tener en cuenta a partir de ahora un detalle: No podemos escribir
dos signos seguidos, debemos separarlos mediante un paréntesis.
Entonces ¿qué significan las expresiones? + (+3) + (-3)-(+3) -(-3). Pues es bien
sencillo:
Si los dos signos son iguales el resultado positivo: + (+a) = +a -(-a) = +a
Si los dos signos son distintos el resultado es negativo: + (-a) = -a -(+a) = -a
Por ejemplo: +(+2) = +2 -(-2) = +2 - (+2) = -2 +(-2) = -2
Por lo tanto para realizar una resta o diferencia deberemos seguir los
siguientes pasos:
1º) Eliminar los paréntesis
2º) Operar adecuadamente los nº resultantes
Por ejemplo: (+3) - (-5) = +3 + 5 = +8
(-2) + (+4) = -2 + 4 = +2
ACTIVIDAD 7. Realiza las siguientes restas de números enteros.
(-4) – (-4)=
(-14) – (-4)=
(-4) – (-12)=
(-10) – (-4)=
(+4) – (-41)=
(-12) – (-4)=
(+4) – (-12)=
(-10) – (-40)=
(-5) + (-9) =
(-2) + (-8) =
(-3) + (-4) =
(-4) – (+10) =
(-5) + (-7) =
(-9) + (-4) =
(-10) – (+6) =
(-8) – (+1) =
(-5) – (+4) =
(-7) – (+3) =
(-5) – (-6) =
(-3) – (-4) =
(-2) – (-7) =
(-6) – (-3) =
(+8) – (-11) =
(+4) – (-9) =
(+2) – (-8) =
(+7) – (-1) =
(+8) – (-4) =

5. 5
(+10) – (-5) = (+12) – (-7) = (+13) – (-6) =
Lo anterior también es válido si nos encontramos más de un término en la
operación. Si tenemos más de un término procederemos de la siguiente
forma:
1º Quitaremos los paréntesis.
2º Sumaremos los enteros de igual signo.
3º Operaremos adecuadamente los números resultantes.
Mira los siguientes ejemplos:
(-2) – (-5) + (-3) – (-2) = -2 + 5 – 3 + 2 = -5 + 7 = +2
(-3) + (-4) – (-3) + (-1) = -3 – 4 + 3 –1 = -8 + 3 = -5
ACTIVIDAD 8. Calcula el resultado de las siguientes expresiones (Recuerda
primero suma los números de igual signo y después realiza la operación que
corresponda):
(+7) + (+15) + (-18) + (-3) =
(-21) + (+45) + (-20) =
(+9) + (+20) + (+3) + (-24) =
(-16) + (+20) + (-8) + (+2) =
-(+3) + (+1) – (-4) =
-(+2) - (+1) – (+5) =
-(+2) + (-1) + (-4) – (-5)=
-(+1) - (+3) - (-4) – (-5)=
(+8) – (+12) – (-6) =
-5 – 21 – (-26) =
−2 + (−3) + 4 – (+5) - 15 − 2 – 6 =
2 – (+3) + (-5) – 2 – (-3) – (+6) + 10 +
5 − 7=
Multiplicaciones y divisiones de números enteros: LA REGLA DE LOS
SIGNOS.
Regla de los signos, nos indica el signo del
resultado de una multiplicación o división de
números enteros. Es la siguiente:
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se
aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que
separarlos utilizando paréntesis.
    2438  (8 por 3 es 24, + por +
es +)
    623  (3 por 2 es 6, - por -
es +)

6. 6
    414  (4 por 1 es 4, + por -
es -)
    842  (2 por 4 es 8, - por +
es -)
Para dividir se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los
signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.
    248  (8 entre 4 es 2, + entre +
es +)
    224  (4 entre 2 es 2, - entre -
es +)
    5210  (10 entre 2 es 5, +
entre - es -)
    248  (8 entre 4 es 2, - entre
+ es -)
ACTIVIDAD 9. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:
(+4)·(+3) =
(-2 )·(-5 ) =
(+4)·(-2 ) =
(-6 )·(+4) =
(+24):(+3) =
(-20 ):(-5 ) =
(+14):(-2 ) =
(-16 ):(+2) =
(+4)·(+3) =
(+5)·(-2) =
(-4)·(-5) =
(-3)·(+7) =
(-30):(+6) =
(-14):(-2) =
(+15):(-3) =
(+24):(+3) =
Operaciones combinadas:
Llamamos operaciones combinadas a los ejercicios en los que nos encontramos
más de un signo distinto, es decir hay que realizar varias operaciones distintas
simultáneamente.
En estos casos tenemos que tener en cuenta las siguientes prioridades:
1. Cuando no hay ni paréntesis ni corchetes, hacemos primero las
multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan. Después realizamos las
sumas y las restas, también en el orden que aparezcan.
Por ejemplo: -4:2 - 3·2 – 4:2 +10 = -2 – 6 – 2 + 10 = 0
ACTIVIDAD 10. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:
+7 + (-9)·(+5) =
–5 + (-6):(+6) =
+1-(-36):(-3) =
+1 + (+6)·(+5) =
–6 – (+3) -(-5):(+5) =
+8:4 + (-7)·(-9) =

7. 7
2. Cuando hay paréntesis, hacemos primero los cálculos del paréntesis
teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones, después para quitar el
paréntesis aplicamos la regla de los signos, signo que haya delante del
paréntesis por signo que haya dentro. Luego continuamos de la misma forma que
el punto anterior.
Por ejemplo: (-4:2 - 7) + (-3·2 – 4:2 + 5 - 8) = (-2 - 7) + (-6 – 2 + 5 - 8) = (-9) + (-16
+ 5) = -9 + (-11) = -20
ACTIVIDAD 11. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:
-(+2 – 3 + 5) + (-2 + 6 – 4 + 7) =
–(+4 – 6 - 9) + (-4 + 5 - 2) =
–(+3 – 2 - 1) + (-5 + 7 + 4) =
+(-3 + 5 + 2 + 1) - (-8 – 4 – 9 - 5) =
+(-4 + 7 + 2) + 9 - (-3 + 4 - 3) =
-(–5 + 6 – 3 + 6) + 3 - (+5 – 2 + 1) =
+(-8 – 3 - 9) + 4 + (-2 + 9) =
–(-5 - 3) - (+4 + 7 + 2 + 3) =
–2 - 4 + (-8 + 4 – 6 + 7) =
–3 + (-5 + 4) - (-8 + 3 + 9) =
4 - (-7 + 4 - 5) + (-5 + 1) =
2 + (-4 + 5) - (+6 + 6) + 7 =
–3 - (+4 – 6 – 7 – 5 + 6) – 7 + 5 =
+(-3 – 5 + 6) - (-4 – 5 - 9) =
+(-3 – 5 + 4) - (+4 + 5 + 6) =
–(-4 + 5 - 6) - (+7 – 3 + 6) - 5 =
3. Cuando hay paréntesis y corchetes ( ), hacemos primero los paréntesis,
los quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los corchetes
y los quitamos aplicando la regla de los signos. Luego hacemos los productos y
divisiones y por último las sumas.
Por ejemplo: -7 +3 - [-(10 - 5) - (8 -10)] = -7 + 3 – [-(+5) – (-2)] = -7 + 3 – [-5 +
2] = -7 + 3 – [-3] =
= -7 +3 + 3 = -1
ACTIVIDAD 12. Calcula respetando la jerarquía de operaciones:
–4 – (+24):(+1-9) – (-1-2) =
–6 –[+7 +(+1)·(-1)] =
+7 +[+1 -(+10):(+5)] =
+4 +[+2 +(+8)·(-6)-(-7+6)] =
[+10 +(-5)]:(-7+2) – (+1-6) =
-2 – [-6 +(-4):(-2)-(+7-5)] =
+1 -[-4 +(-10):(-5)]+[+3+(-9):(-9)] =
+1 -[+3 -(-8)·(+8)]+[+6+(+8):(+4)] =

8. 8
ACTIVIDAD 13. Teniendo en cuenta todo lo aprendido soluciona estos problemas
haciendo el planteamiento numérico necesario:
13. 1. El termómetro marca ahora 7ºC después de haber subido 15ºC. ¿Cuál era
la temperatura inicial?
13.2. Por la mañana un termómetro marcaba 9º bajo cero. La temperatura baja
12º C a lo largo de la mañana. ¿Qué temperatura marca al mediodía?
13.3. Una persona vive en la planta 2 de un edificio y su plaza de garaje está en
el sótano 1¿Cuántas plantas separan su vivienda de su plaza de garaje?
13.4. Elena tenía ayer en su cartilla –234 euros y hoy tiene 72 euros. Desde ayer
¿ha ingresado o ha gastado dinero? ¿Qué cantidad?
13.5. El saldo de la cartilla de ahorros de Elena es hoy 154 €. Paga una factura
de 313 € ¿Cuál es el saldo ahora?
3. POTENCIAS.
Potencias de un entero.
¿QUÉ ES UNA POTENCIA?
Una potencia es una forma de escribir el producto de factores iguales
(multiplicaciones de un número por él mismo varias veces). El factor que se repite
se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente. Mira el
ejemplo.
2433333335

  16)2()2()2()2(2
4

CASOS PARTICULARES DE POTENCIAS:
Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. Por ejemplo: 21
=
2; 31
= 3.
Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 40
= 1; 523510
= 1.
SIGNO DE UNA POTENCIA
Al calcular potencias de base un número entero, presta atención al signo de la
base y al exponente. También debes distinguir a qué número exactamente está
afectando la potencia.

9. 9
No es lo mismo -34
que (-3)4
Una potencia de base positiva, el valor de la potencia será siempre positivo.
Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será
positivo.
Si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será
negativo.
ACTIVIDAD 14. Completa el cuadro.
Potencia 32
43
54
65
87
910
1011
1520
Base
Exponente
ACTIVIDAD 15.Escribe en forma de potencia los siguientes productos.
8 x 8 x 8 =
7 x 7 x 7 x 7 =
9 x 9 x 9 x 9 x 9 =
15 x 15 x 15 x 15 x 15 =
8 x 8 x 7 x 7 x 7 =
5 x 5 x 5 x 6 x 6 =
7 x 7 x 9 x 9 x 9 =
10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 =
ACTIVIDAD 16. Halla el valor de las siguientes potencias.
71
=
80
=
92
=
83
=
110
=
251
=
22
x 33
=
23
x 32
=
42
x 52
=
42
x 52
x 30
=
53
x 22
x 33
=
62
x 33
x 70
=
ACTIVIDAD 17. Expresa como producto:
4
( 5)  5
( 3)  7
( 4) 

10. 10
ACTIVIDAD 18. Expresa como potencia:
(-5)·(-5)·(-5) (-5)·(-5)= 5·5·5·5·5·5= (-3)·(-3)·(-3)=
ACTIVIDAD 19. Calcula el valor de las potencias:
-35
=
(-3)5
=
(-3)0
=
-30
=
42
=
-42
=
(-4)2
=
-40
=
ACTIVIDAD 20. Indica si el signo del resultado es positivo o negativo:
(-6)7
=
52
=
(-4)4
=
(-12)13
=
-33
=
-42
=
ACTIVIDAD 21. Calcula el valor de las siguientes potencias:
(–2)7
=
(–3)5
=
(–5)3
=
(–10)3
=
(–1)16
=
(–1)17
=
(-5)3
=
(-12)4
=
(-2)7
=
(-7)2
=
Operaciones con potencias.
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.
El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma
base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplos: 9423423
22222  
13643643
33333  
ACTIVIDAD 22. Escribe en forma de una sola potencia los siguientes productos.
Después, calcula su valor. (Recuerda que si la potencia no presenta exponente
se considera como si éste fuera uno 2 = 21
)
Ejemplo 22
x 22
= 22+2
= 24
= 16
22
x 23
=
23
x 2 =
24
x 2 =

11. 11
32
x 32
=
33
x 3 =
32
x 33
=
33
x 33
=
34
x 3 =
43
x 40
=
22
x 2 x 23
=
3 x 32
x 3 =
62
x 62
x 6 =
72
x 7 x 7 =
82
x 8 x 83
=
92
x 92
x 9 =
9 x 92
x 90
=
10 x 100
x 102
=
ACTIVIDAD 23. Completa los exponentes que faltan.
Ejemplo 26
x 2(2)
= 28
23
x 2( )
= 27
64
x 6( )
= 610
73
x 7( )
= 711
84
x 8( )
= 812
95
x 9( )
= 913
108
x 10( )
= 1014
119
x 11( )
= 1115
123
x 124
x 12( )
= 1210
145
x 146
x 14( )
= 1418
157
x 152
x 15( )
= 1513
238
x 239
x 23( )
= 2320
357
x 356
x 35( )
= 3524
429
x 425
x 42( )
= 4219
537
x 534
x 53( )
= 5322
615
x 612
x 61( )
= 6119
756
x 752
x 75( )
= 7520
817
x 812
x 81( )
= 8115
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.
El cociente o división de dos potencias de igual base es otra potencia de la
misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes.
Ejemplos: 33636
3
6
2222
2
2
 
62828
2
8
3333
3
3
 
ACTIVIDAD 24. Escribe en forma de una sola potencia los siguientes cocientes.
Después, calcula su valor.
Ejemplo: 38
: 35
= 38-5
= 33
= 27
54
: 53
=
69
: 67
=
710
: 78
=
812
: 810
=
913
: 911
=
103
: 10 =
112
: 112
=
123
: 12 =
134
: 132
=
205
: 202
=
306
: 303
=

12. 12
407
: 404
=
704
: 700
=
805
: 80 =
906
: 902
=
1007
: 100 =
112
: 11 =
ACTIVIDAD 25. Completa los exponentes que faltan.
48
: 4( )
= 46
59
: 5( )
= 54
78
: 7( )
= 76
89
: 8( )
= 83
910
: 9( )
= 97
1016
: 10( )
= 1010
1115
: 11( )
= 114
1216
: 12( )
= 1212
1312
: 13( )
= 139
3515
: 35( )
= 3512
4120
: 41( )
= 41
5018
: 50( )
= 509
6217
: 62( )
= 624
7519
: 75( )
= 752
8021
: 80( )
= 8010
8230
: 82( )
= 8221
9045
: 90( )
= 9020
9532
: 95( )
= 9517
POTENCIA DE UNA POTENCIA.
La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es
el producto de los exponentes.
Ejemplos: 62323
22)2(  
123434
33)3(  
ACTIVIDAD 26. Escribe en forma de una sola potencia.
(32
)3
=
(43
)2
=
(52
)2
=
(64
)3
=
(75
)2
=
(84
)5
=
(97
)3
=
(104
)2
=
(115
)6
=
(127
)9
=
ACTIVIDAD 27. Calcula y completa los exponentes que faltan.
(24
)( )
= 28
(32
) ( )
= 36
(43
) ( )
= 412
(5( )
)4
= 516
(6( )
)8
= 624
(7( )
)4
= 736
POTENCIA DE UN PRODUCTO.

13. 13
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores
elevado a dicha potencia.
Ejemplos: 222
35)35( 
3333
524)524( 
ACTIVIDAD 28. Escribe el resultado como producto de potencias.
(2 x 3)3
=
(8 x 9)5
=
(7 x 10)2
=
(2 x 3 x 4)2
=
(10 x 11 x 12)6
=
(13 x 14 x 15)7
=
ACTIVIDAD 29. Escribe en forma de una sola potencia.
56
x 76
x 86
=
47
x 97
x 57
=
117
x 127
X 137
=
148
x 158
X 168
=
Potencias de 10. Notación científica.
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
unidades indica el exponente.
Ejemplos: 1000101010103

1000000101010101010106

Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más
cómoda utilizando potencias de base 10. A esto lo llamamos notación científica.
Ejemplos: 7
10121000000012120000000 
8
1021000000002200000000 
También podemos usar la notación científica para escribir números muy
pequeños, más pequeños que uno. Aunque estos no son números enteros y no
entrarían en este tema es más fácil explicarlos aquí.
Para escribir cómodamente estos números utilizamos también las potencias con
base diez pero en este caso con el exponente en negativo, el exponente será el
número de posiciones que se ha movido la coma hacia la derecha.
Ejemplos: 2
1001,0 

3
10001,0 

Los números con muchos decimales también podemos escribirlos de este modo.
Escribiremos, por tanto, el número entero sin coma multiplicado por diez elevado
al número entero negativo correspondiente, es decir el número de veces que
hemos movido la coma hacia la derecha.

14. 14
Ejemplos: 3
1025025,0 

2
1020303,2 

25
103240035400000000000000000000,0 

ACTIVIDAD 30. Calcula:
104
=
106
=
109
=
1010
=
1011
=
1012
=
ACTIVIDAD 31. Escribe, utilizando potencias de base 10, los siguientes números.
3.000 =
40.000 =
600.000 =
7.000.000 =
80.000.000 =
130.000.000 =
200.000.000 =
320.000.000 =
1.000.000.000 =
2.000.000.000 =
ACTIVIDAD 32. En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de
algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10.
Tierra Urano Neptuno Plutón
Distancia media al Sol (km) 149.500.0000 2.873.000.000 4.498.000.000 5.910.000.000
Potencias de base 10
4. RAÍCES CUADRADAS.
 La raíz cuadrada de un número es aquel número que su cuadrado sea igual al
primer número. Dicho con palabras suena un poco complicado pero no es así,
mira el ejemplo y verás.
ba  tal que ab 2
Por ejemplo 39  porque 932

 Si tenemos en cuenta todo lo aprendido en este tema y pensamos un poco nos
daremos cuenta que un número positivo tiene dos raíces cuadradas, es decir:
ba  ya que ab 2
y ab  2
)(
Por ejemplo 39  porque 9)3(3 22


15. 15
 La raíz cuadrada de un número negativo no existe, porque no existe ningún
número que al cuadrado de un número negativo. (Recuerda: si el exponente es
par, como es el 2, todos los resultados son positivos).
Por lo tanto:  a (esto se lee: “La raíz cuadrada de a negativo no existe”)
Por ejemplo: 9
 En una serie de operaciones combinadas en la que aparezcan potencias y raíces,
el orden que deben efectuarse las operaciones es: primero las potencias y raíces,
después multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas. Si existen
paréntesis, efectuamos primero las operaciones de su interior siguiendo este
mismo orden para luego continuar de igual forma.
Por ejemplo: 29281475:5275:25 2
 ó
      10166282328292352923:952923:3529 2

ACTIVIDAD 33. Calcula las siguientes potencias y raíces cuadradas
(+3)2
=
(-5)3
=
(-3)4
=
(-3)5
=
(-2)4
=
16
625
9
9
25
16
ACTIVIDAD 34. Calcula las siguientes operaciones combinadas.
  3
2255
 105423
 22532
16625
   91652 2
 24
849216
 2
38:3616
 32
103005625
   162:16144 3
   25249643 22
 38
352144
 12642:2 710
 4916325:75 4
  26
29:228
Calculo de raíces cuadrada sin calculadora:
No sabemos si recordarás o si has realizado alguna vez este tipo de operaciones.
Vamos a repasar con ayuda de un ejemplo como se realizan las raíces
cuadradas. No temas no es tan complicado.

16. 16
Reúne el número en grupos de dos cifras, de
derecha a izquierda: en el ejemplo 75 y 9.
Busca el número cuyo cuadrado se acerque lo
máximo (sin superarlo) al primer grupo de la
izquierda, en nuestro caso para el 9 es el 3, ya que
32
=9.
Este número lo apuntamos en el recuadro de la derecha como el primero del
resultado y su cuadrado se lo restamos al primer
grupo. En nuestro caso apuntamos 3 a la derecha y
restamos 9.
A continuación bajamos las dos cifras
siguientes, 75en el ejemplo.
Bajo el recuadro de la solución ponemos el
doble del que está escrito, es decir bajo el 3
escribimos su doble, 6.
Buscamos el número que puesto junto al anterior y multiplicado por él nos
dé un número cercano al que hemos bajado. Un número que junto al 6 y
multiplicado por él nos dé el más cercano a 75 sin pasarse.
62·2=124 se pasa, 61·1=61 sí sirve. Restamos 75-61
= 14.
Ponemos dos ceros y una coma en el radicando.
Abajo escribimos el doble de 31, o sea 62 y
seguimos como en el paso anterior. Buscamos un
número que puesto junto al 62 y multiplicado por él
mismo nos dé el más cercano a 1400 sin pasarse
El 2 es el más cercano ya que 622·2 = 1244, con el
tres nos pasaríamos (623·3=1869).
Para hallar más decimales, deberíamos escribir dos ceros tras el 156 y repetir el
proceso.
Por tanto 2,31975 
ACTIVIDAD 35. Realiza sin ayuda de la calculadora las siguientes raíces
cuadradas, llegando hasta las centésimas en las ocasiones que sea posible.
81
125
175
996
98
102
324
769

17. 17
1236
1453
5453
15625