O documento define os axiomas e teoremas da probabilidade, incluindo: (i) a probabilidade é um número não negativo entre 0 e 1, (ii) a probabilidade do espaço amostral é 1, e (iii) a probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos é a soma de suas probabilidades individuais. Além disso, apresenta exemplos de probabilidade condicionada e eventos independentes.

1. Definição Axiomática de Probabilidade
Axiomas são proposições, sugeridas pela nossa intuição ou
experiência, que não se demonstram e se aceitam como
verdadeiras.
Provar ou demonstrar uma proposição é mostrar, usando
raciocínios lógicos,
lógicos que ela resulta de outras consideradas
verdadeiras.
 Teoremas são proposições que se demonstram a partir dos
axiomas ou de outras proposições já demonstradas.
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2. Axiomas das Probabilidades
(i) P ( A)  0 (
() (Probabilidade é um número não negativo)
g )
(ii) P ( S )  1 (Probabilidade do espaço de amostras é unitário)
(iii) Se A  B   , então P ( A  B )  P ( A)  P ( B ).
)
Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente
exclusivos, a probabilidade da união é igual a soma de suas
p g
probabilidades)
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3. Teoremas
1. A probabilidade de um acontecimento impossível é zero.
P   0
2. A probabilidade de qualquer acontecimento A é um número do
intervalo [0, 1].
0  P  A  1
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4. Teoremas
3. A probabilidade do acontecimento contrário A é igual à
diferença entre 1 e a probabilidade de A.
 
P A  1  P  A
4. Probabilidade da reunião de dois acontecimentos
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 
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5. Probabilidade Condicionada (Regra de Bayes)
Bayes)
Dos 100 alunos que frequentam um centro de explicações,
40 têm explicações de Matemática, 25 de Física e 5 de Matemática
e Fí i
Física.
No diagrama de Venn seguinte está representada a
situação:
Onde,
M = {alunos que têm explicações de Matemática}
F = {alunos que têm explicações de Física}
C = {alunos que frequentam o centro de explicações}
Encontra-se um dos 100 alunos ao acaso.
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6. 1. Qual é a probabilidade de ele ter explicações de Matemática e Física?
5
P( M  F ) 
100
2. Numa sala encontram-se os 25 alunos que têm explicações de
Física. Seleccionando, ao acaso, um destes 25 alunos, qual a
probabilidade d este t t bé explicações d M t áti ?
b bilid d de t ter também li õ de Matemática?
Ou seja, é a probabilidade de ele ter explicações de Matemática
dado que (ou sabendo que) tem de Física.
Assim sendo,
5
P( M  F ) 100 5 100 5 1
P( M / F )      
P( F ) 25 100 25 25 5
100
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7. Podemos calcular a Probabilidade do seguinte modo:
Partimos de dois acontecimentos A e B
Representando se
Representando-se por P(A/B) a probabilidade da ocorrência de A
A,
na hipótese de B se ter realizado, é:
P( A  B)
P( A / B) 
P( B)
(Ou seja, pretendemos determinar a probabilidade de A sabendo que
se realizou B)
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8. Acontecimentos Independentes
Dois acontecimentos dizem-se independentes se a
p ob b d de
probabilidade de realização
e ç o de u
um de es
deles não
o afecta
ect a
probabilidade de realização do outro.
Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
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9. Factorial
Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) , como sendo
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n  2.
E por definição :
Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , t
P teremos : 1! = 1
Exemplos:
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 2940
3! = 3.2.1 = 6
Muitas vezes utilizamos uma f
M it tili forma mais sintética para nos f ilit
i i téti facilitar
os cálculos:
11! =11.10.9.8.7!
6! = 6 5 4!
6.5.4!
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10. Princípio fundamental da contagem - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e
se a primeira etapa pode ocorrer de n1 maneiras diferentes, a segunda de
n2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T
de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por
T = n1. n2 . n3 . ... . nm
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11. Permutações
Permutações de n elementos distintos são os agrupamentos formados
com todos os n elementos e que se distinguem uns dos outros pela ordem de
q g p
seus elementos.
Exemplo: com os elementos 1,2,C são possíveis as seguintes permutações:12C, 1C2, 21C,
2C1, C12 e C21.
O número total de permutações simples de n elementos distintos é
dado p n!, isto é
por ,
Pn = n!
no exemplo anterior 3!=3.2.1=6
p
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12. Arranjos sem repetição
Dado um conjunto com n elementos , chama se arranjo simples de
chama-se
taxa p , a todo agrupamento de p elementos distintos dispostos numa certa
ordem.
ordem Dois arranjos diferem entre si pela ordem de colocação dos
si,
elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos d t
) j de taxa 2 ab, ac, b b ca, cb.
2: b bc, ba, b
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Representando o número total de arranjos de n elementos tomados
p a p por nAp, teremos a seguinte fórmula:
n!
n
Ap 
(n  p )!
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13. Arranjos com repetição
Representando o número total de arranjos de n elementos tomados
p a p por nA’p, sendo estes diferentes ou não teremos a seguinte fórmula:
A não,
n
A n
'
p
p
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14. Combinações sem repetição
Denominamos combinações simples de n elementos distintos
tomados p a p (aos subconjuntos formados por p elementos distintos
escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são
diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem
em que os elementos são colocados.
l t ã l d
Exemplo:
No conjunto E= {a,b,c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
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15. Representando o número total de combinações de n elementos
tomados p a p por nCp, teremos a seguinte fórmula:
n!
n!
n
Cp 
p !(n  p )!
É fácil mostrar que
n  n 
  
 p n  p
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16. Triângulo de Pascal
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17. Propriedades
Do triângulo de Pascal, poderemos retirar que:
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18. Exercícios
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