2. Números con nombre
π (Pi) = 3,14159.... e = 2,71828.... Φ (Fi) = 1,61803....
Estos tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos, por
ello forman parte del conjunto de los números irracionales.
Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos
primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna
ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras
que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la
ecuación de segundo grado x2 x 1 0 es que da como resultado el número de
oro: 1 5
2
3. Algo de historia
Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también
como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo (Φ), en honor al
escultor griego Fidias, su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V
a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos y
escultóricos.
Ya en el siglo XVI, es probable que fuera Leonado Da Vinci quien estableciera por
primera vez el nombre de sección áurea para definir la división armónica que existe al
momento de cortar un segmento en dos partes desiguales de manera que el
segmento mayor sea al total como el menor es al mayor. Es también Leonardo
quien hiciera las ilustraciones de la primer obra literaria denominada “Divina
Proporción”, en la cual el matemático y teólogo Luca Pacioli plantea las razones por las
que considera apropiado considerar divino al Número áureo.
4. ¿De dónde surge el número de oro?
1 5
El número Φ = 1,6180339887498948482045868343656……= surge no
2
como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas.
La longitud total a+b es al segmento más largo a
como a es al segmento más corto b
������+������ ������
=
������ ������
A partir de esta proporción se llega a una
ecuación a2 –ab – b2 = 0, que resolviéndola
permite concluir que:
������ 1+ 5
= =Φ
������ 2
5. El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos
con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado
inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo
1+ 5
vale 1 + 5 por lo que la proporción entre los dos lados es
2
Se obtiene así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de
este rectángulo se pueden construir otros semejantes que se han utilizando en
arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets,
etc...) y que resultan sumamente agradables a la vista.
6.
7. Pitágoras y el número de oro
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la
tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. El número de oro
aparece muchas veces en esa figura.
Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es
el número de oro.
También podemos comprobar que los
segmentos QN, NP y QP están en proporción
áurea.
8. Sucesión de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por
ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.
Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci“
La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas, por ejemplo
resulta sorprendente que si dividimos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre
el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:
1:1=1
2:1=2
3 : 2 = 1,5
5 : 3 = 1,66666666
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625
21 :13 = 1,6153846....
34 :21 = 1,6190476....
55 :34 = 1,6176471....
Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de
oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a =1,61803....
9. La espiral logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo
lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo.
Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF
también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente,
obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el
vértice O de una espiral logarítmica.
La espiral logarítmica gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales
(flores y frutos) y animales (conchas de moluscos).
El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
