Presentación sobre Cosmología en la asignatura Geometría y Relatividad

1. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Geometría y Relatividad José Antonio Pastor González Última clase en Geometría y Relatividad Lunes 15 de Abril de 2013 Introducción a la Cosmología

2. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Contenidos 1 Primeros hechos 2 Modelos de Robertson-Walker 3 Modelos de Friedmann 4 Último

4. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Objetivo: modelar el Universo Para ello: Utilizaremos la relatividad general Grandes simpliﬁcaciones: una galaxia será una partícula en este modelo (trabajaremos a escala muy grande) Así, cada galaxia estará representada por una línea en el espacio-tiempo (es una partícula material) Finalmente, trataremos el Universo como un ﬂuido (galaxias=moléculas)

8. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Pero mejor... poco a poco Estrellas Estrellas: principales fuentes de luz visible (fusión nuclear) Típica estrella: el sol (masa de 2 × 1030 kilos) Estrellas más próximas: pocos años luz de distancia (1 parsec = 3,261 años/luz) No nos valen como objetos básicos para hacer cosmología

12. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Pero mejor... poco a poco Galaxias Agrupaciones de muchas estrellas por gravedad (vía láctea = 1011 estrellas, masa total de 1012 soles) Diámetros enormes (radio vía láctea = 12,5 Kpcs) No tenemos una imagen de la vía láctea (estamos en ella) pero sí de otras galaxias vecinas Objetos muy nuevos en el panorama astronómico Objetos más visibles, impactantes y bonitos. En cosmología no atendemos a su forma, estructura o propiedades. Nos interesan como puntos. ¿Cuántas vemos? Unas 1011 más o menos

18. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Pero mejor... poco a poco El grupo local Nuestra galaxia está dentro de lo que se conoce como el grupo local La galaxia más próxima: la nube grande de Magallanes (50 kpc del sol) La galaxia más próxima con el mismo tamaño: Andrómeda (770 kpc del sol) Tamaño medio de un cúmulo: unos pocos Mpc cúbicos (1 Mpc = 3, 08 × 1022 metros)

22. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Pero mejor... poco a poco Cúmulos y supercúmulos A la escala de centenares de Mpc, las galaxias y los grupos locales se acumulan en enormes agrupaciones, p.ej. el cúmulo Coma (10.000 galaxias, 100 Mpc distante del sol) Visibles sobre todo en ondas de alta energía (rayos X) Son los objetos más grandes que resultan de la atracción gravitacional

25. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Pero mejor... poco a poco Además de materia... radiación Además de las galaxias, el Universo también contiene partículas de masa cero (radiación): fotones, quizás algunos neutrinos, ondas gravitacionales... Esta radiación no está conﬁnada, sino que viaja libremente por el espacio La radiación detectada con mayor densidad de energía es la radiación de fondo (no confundir con radiaciones que localmente son intensas)

28. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último ¿Cómo vemos el Universo Distintas longitudes de onda Luz visible: estrellas, primeras galaxias vecinas... Microondas: quizás la más importante longitud de onda para hacer cosmología (radiación de fondo) Ondas de radio: galaxias distantes Infrarrojo: objetos jóvenes y/o nubes de polvo que no emiten luz visible (radiación térmica) Rayos X: nubes de gas intergalácticas, remanentes de la formación de las galaxias, temperaturas de millones de grados Kelvin, captan la radiación de las galaxias vecinas)

33. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Principio cosmológico Hipótesis imprescindible El universo, a gran escala, parece ser el mismo en cualquier dirección del espacio hacia la que miremos (isotropía) No creemos ocupar un lugar preferente en el mismo (homogeneidad) La forma en la que el universo esté curvado (en su parte espacial) deberá ser la misma en todos los puntos (curvatura espacial constante) No hay homogeneidad temporal ni tampoco isotropía temporal (futuro y pasado)

37. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Expansión del universo Hecho clave Todo tiende a alejarse en el Universo (Slipher 1912, Hubble años 20) Cuanto más lejos está (cefeidas, supernova tipo Ia), más rápido se aleja (corrimiento hacia el rojo) Ley de Hubble v = H0 r Primera idea del Big Bang

41. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Expansión del Universo Ley de Hubble

42. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último La radiación de fondo Evidencia importantísima Pese a la observación de la expansión, hubo un largo debate (varias décadas) acerca de si el Universo provenía de una explosión (Big Bang) o siempre había sido el mismo (steady state) Evidencia crucial: en 1965 Penzias y Wilson la encuentran de casualidad (aunque se postula teóricamente 20 años antes, Dicke, Gamow, Novikov) Radiación de un cuerpo negro con temperatura 2, 725 ± 0,001 o K. El pico de la radiación (la mayor intensidad) se encuentra en la banda de las microondas Primeras observaciones: homogeneidad. Reﬁnamientos: dan anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006) Lo que observamos es el momento a partir del cual el Universo se hace transparente (last scattering surface)

47. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último ¿Radiación o materia? Cuestión de densidades Se estima que la densidad a día de hoy de materia habitual es ρmar (t0 ) ≡ 10−31 g/cm3 (un protón por metro cúbico) En cuanto a la radiación, su densidad se estima en ρrad (t0 ) ≡ 10−34 g/cm3 La materia domina 1000 veces más que la radiación (visión convencional)

50. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último ¿Sabemos algo?

51. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último No sabemos nada Cuestiones oscuras Mediciones en la velocidad de rotación de las galaxias espirales dan estimaciones de que éstas están rodeadas de un halo de materia (oscura) de unas 10 veces su materia convencional. A esto hay que sumar materia exótica como la que contienen los agujeros negros y partículas sin detectar (22 por ciento del total) Mediciones recientes en relación a la velocidad de recesión de las galaxias no explican su aceleración con la energía presente. Se postula la existencia de una energía de vacío (energía oscura) para cuadrar las cuentas (74 por ciento)

52. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último No sabemos nada Cuestiones oscuras Mediciones en la velocidad de rotación de las galaxias espirales dan estimaciones de que éstas están rodeadas de un halo de materia (oscura) de unas 10 veces su materia convencional. A esto hay que sumar materia exótica como la que contienen los agujeros negros y partículas sin detectar (22 por ciento del total) Mediciones recientes en relación a la velocidad de recesión de las galaxias no explican su aceleración con la energía presente. Se postula la existencia de una energía de vacío (energía oscura) para cuadrar las cuentas (74 por ciento)

54. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Hipótesis de trabajo no estamos en una localización especial del Universo a nivel espacial(homogeneidad espacial1 ) en cualquier dirección del espacio, el universo parece ser el mismo (isotropía espacial2 ) corolario: la parte espacial del universo debe ser un modelo 3D de curvatura constante 1 Está claro que no ocurre así con la variable tiempo 2 Tampoco las direcciones temporales son isótropas: futuro y pasado

57. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Métrica de Robertson-Walker dr 2 −dt 2 + R(t)2 + r 2 (dφ2 + sen2 φdθ2 ) 1 − kr 2 t → (t, r0 , φ0 , θ0 ) es una partícula en reposo (una galaxia) en este sistema de referencia (sistema de reposo cósmico). Además esta curva es una geodésica con dicha métrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y su inercia) t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico, splitted manifold). Por homogeneidad discurre por igual en cada punto así que (salvo traslaciones en t) es el mismo para todas las galaxias

58. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Métrica de Robertson-Walker dr 2 −dt 2 + R(t)2 + r 2 (dφ2 + sen2 φdθ2 ) 1 − kr 2 t → (t, r0 , φ0 , θ0 ) es una partícula en reposo (una galaxia) en este sistema de referencia (sistema de reposo cósmico). Además esta curva es una geodésica con dicha métrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y su inercia) t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico, splitted manifold). Por homogeneidad discurre por igual en cada punto así que (salvo traslaciones en t) es el mismo para todas las galaxias

59. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Métrica de Robertson-Walker dr 2 −dt 2 + R(t)2 + r 2 (dφ2 + sen2 φdθ2 ) 1 − kr 2 R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende del tiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan) las galaxias conforme el tiempo cambia k es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D y toma los valores k = 0, 1, −1 (geometría euclídea, esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parte espacial toma el valor k R(t)2

60. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Métrica de Robertson-Walker dr 2 −dt 2 + R(t)2 + r 2 (dφ2 + sen2 φdθ2 ) 1 − kr 2 R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende del tiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan) las galaxias conforme el tiempo cambia k es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D y toma los valores k = 0, 1, −1 (geometría euclídea, esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parte espacial toma el valor k R(t)2

61. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Para k=1 una imagen sería...

62. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último El factor de escala... ... nos informa sobre la evolución del universo

64. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Ecuación de campo general Los modelos de Robertson-Walker sólo usan la relatividad a nivel cualitativo. Vamos a ver qué dice la ecuación de campo de Einstein sobre estos modelos. La escribimos pues: Ricij = 8π(Tij − 1/2Tgij ) donde T es un tensor (0, 2) (16 componentes, 10 libres) que codiﬁca la distribución de materia-energía en el espacio-tiempo (tensor tensión-energía)

65. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Más simplificaciones al considerar las galaxias como partículas cuya única interacción (unas con respecto a otras) es la gravitatoria se obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como un fluido perfecto (viscosidad cero) los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son su densidad ρ y su presión p más aún, el hecho de que la radiación no domine en el universo (en comparación con la gravedad) nos permite asumir que p ≡ 0 finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decir que la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

69. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último La ecuación de campo nos dice... Ecuación de Friedmann: 8π R (t)2 + k = ρ(t)R(t)2 3 Ley de conservación: R (t) ρ (t) + 3ρ(t) =0 R(t) La función R(t) es positiva y además R (t) < 0

72. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Ley de conservación Observemos que (ρ(t)R(t)3 ) = 0 es equivalente a la ley de conservación... por lo que 4π λ0 = ρ(t)R(t)3 3 para una constante λ0 que se identiﬁca con la masa del universo

73. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Ley de conservación Observemos que (ρ(t)R(t)3 ) = 0 es equivalente a la ley de conservación... por lo que 4π λ0 = ρ(t)R(t)3 3 para una constante λ0 que se identiﬁca con la masa del universo

74. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último La ecuación de Friedmann 8π R (t)2 + k = ρ(t)R(t)2 3 k =0 2 R(t)3/2 = 2λ0 t 3 k =1 R(t) = λ0 (1 − cos(v )) para v un parámetro que depende de t k = −1 R(t) = λ0 (cosh(v ) − 1)

77. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Las gráficas

78. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Ley de Hubble

79. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Ley de Hubble Está implícita en los modelos de Friedmann: dadas dos galaxias A = (t0 , 0, π/2, θ0 ) y B = (t0 , r0 , π/2, θ0 ) se calcula que están a distancia r0 R(t) la velocidad de recesión es entonces r0 R (t) se deﬁne entonces R (t) H(t) = R(t) la constante de Hubble (que depende del tiempo cósmico, pero que es constante en términos espaciales, mejor parámetro que constante)

82. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Parámetros observacionales Parámetro de Hubble a día de hoy es H0 = 72 ± 8 km s−1 Mpc−1 Una galaxia que se aleja a v = 7200 km/s resulta estar a v /H0 = 100Mpc El hecho de que no tengamos el parámetro por completo determinado nos hace vivir en un mapa sin escala (conocemos las distancias relativas, pero no las absolutas)

85. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Parámetros observacionales Conocer con precisión H0 así como una estimación de la densidad actual del universo nos permitirían despejar k en la ecuación de Friedmann: 8π R (t)2 + k = ρ(t)R(t)2 3 Este es uno de los desafíos actuales de la cosmología: saber nuestra densidad en relación con la densidad crítica En este desafío se incluyen otras tareas hercúleas de la física que tienen que ver con el aspecto micro más que con el macro (energía oscura, materia oscura, etc.)

89. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann Último Aspectos finales Naturaleza de la materia y la energía (4-22-74) (normal-materia oscura-energía oscura) Constante cosmológica Λ 8π ΛR(t)2 R (t)2 + k = ρ(t)R(t)2 + 3 3 Topología del Universo ¿es no trivial?