El documento presenta ejemplos de temas de matemáticas avanzadas que se pueden desarrollar usando MATLAB, incluyendo funciones periódicas, series de Fourier, variables complejas, transformadas de Fourier, ecuaciones de onda, ecuación del calor y ecuación de Laplace. Para cada tema, incluye el código MATLAB y gráficos correspondientes.

1. MATEMÁTICAS AVANZADAS CON MATLAB
Sebastián Araujo
31 de enero de 2010
Resumen
Este es un primer documento que contiene ejemplos de temas de la materia de matemáticas avanzadas
que se pueden desarrollar usando matlab. Específicamente, son las rutinas que permitieron hacer todos
los gráficos que aparecen en el archivo de presentación de la materia.
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2. Índice
1. Funciones periódicas 3
2. Series de Fourier 3
3. Variable compleja 3
4. Transformada de Fourier 3
5. Ecuación de onda 4
6. Ecuación del calor 4
7. Ecuación de Laplace 5
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3. 1. Funciones periódicas
%gráfica una función periódica
t=-pi:0.1:pi;
ft=t.^2+t;
for n=-3:3
tt=t+2*n*pi;
hold on plot
(tt,ft,’g-’,’LineWidth’,3)
hold off
end
xlabel(’t’,’FontSize’, 20)
ylabel(’f(t)’,’FontSize’, 20)
2. Series de Fourier
%serie de Fourier
function y = fourier(t)
y=0.0;
for n = 1:5;
y =y + pi^2/3+4*(-1)^n*cos(n*t)/(n^2)-2*(-1)^n*sin(n*t)/n;
end
y=y-min(y);
%gráfico de Fourier
t=-3*pi:.1:3*pi;
y=fourier(t);
plot(t,y,’g-’,’LineWidth’,3)
xlabel(’t’,’FontSize’, 20)
ylabel(’f(t)’,’FontSize’, 20)
3. Variable compleja
%número complejo a=3-2*i;
polar(angle(a), abs(a), ’*r’);
legend(’z=3-2i’)
title(’Plano Complejo’,’Color’,’b’,’FontSize’,20)
4. Transformada de Fourier
%Espectro de una señal
pas=0.01;
t=0:pas:10;
senal=sin(10*pi*t)+cos(15*t+t.^2);
%grafico de la senal
ejet=[0:pas:(length(senal)-1)*pas];
subplot(1,2,1);
plot(ejet,senal);
axis([ min(ejet) max(ejet) min(senal) max(senal)]);
xlabel(’t (s)’);
title(’Gráfico de la senal’)
3

4. %espectro subplot(1,2,2);
dim=length(senal)*pas;
ejefrec=[0:1/dim:(length(senal)-1)/dim];
spectr=abs(fft(senal));
plot(ejefrec,spectr);
axis([0 10 0 max(spectr)]);
xlabel(’frecuencia (Hz)’);
title(’Espectro de amplitud de la señal’)
5. Ecuación de onda
%Ecuación de onda
function u = onda(x,t)
a=1; l=3;
u=0.0;
for n = 1:5;
integrando=@(x)(-.03*x+.1).*sin(n*pi*x/l);
integral=quad(integrando,0,l);
cn=(2/l)*integral;
u =u + (cn*cos(a*n*pi*t/l)).*sin(n*pi*x/l);
end
%gráfico de la ecuación de onda de una cuerda
l=3;
xg=0:0.05:l;
tg=0:0.05:10;
[x,t]=meshgrid(xg,tg);
u=onda(x,t); mesh(x,t,u)
title(’Solucion de la ecuacion de onda’,’Color’,’b’,’FontSize’,20)
xlabel(’x’,’FontSize’, 20)
ylabel(’t’,’FontSize’, 20)
zlabel(’u’,’FontSize’, 20)
6. Ecuación del calor
%gráfico de la ecuación del calor en una varilla
%calentada en un punto
a=1;
deltax=0.5;
phix=800;
xi=5;
xg=0:.1:10;
tg=0:.1:3;
[x,t]=meshgrid(xg,tg);
u=(phix*deltax)./(2*a*(pi*t).^.5).*exp(-(xi-x).^2./(4*a^2.*t));
mesh(x,t,u)
title(’Solucion de la ecuacion del calor’,’Color’,’b’,’FontSize’,20)
xlabel(’x’,’FontSize’, 20)
ylabel(’t’,’FontSize’, 20)
zlabel(’u’,’FontSize’, 20)
4

5. 7. Ecuación de Laplace
%gráfico de la ecuación de Laplace
R1=6;
R2=4.5;
u1=11;
u2=6.4;
xg=-5:.1:5;
yg=-5:.1:5;
[x,y]=meshgrid(xg,yg);
r=(x.^2+y.^2).^.5;
u=u1+(u2-u1)*log(r/R1)./log(R2/R1);
mesh(x,y,u)
title(’Solucion de la ecuacion de Laplace’,’Color’,’b’,’FontSize’,20)
xlabel(’x’,’FontSize’, 20)
ylabel(’y’,’FontSize’, 20)
zlabel(’u’,’FontSize’, 20)
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