Aula sobre juros compostos, incluindo uma rápida apresentação do uso da HP-12c

1. Juros Compostos
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
Matem´atica Financeira - Juros compostos
24 de fevereiro de 2017
Matem´atica Financeira

2. Juros Compostos
Sum´ario
Capitaliza¸c˜ao composta
C´alculo do montante e do principal a juros compostos
Equivalˆencia de capitais a juros compostos
A equa¸c˜ao de valor
C´alculo com prazos fracion´arios
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3. Juros Compostos
Regime de capitaliza¸c˜ao composta ou exponencial
No regime de juros compostos, os juros gerados a cada per´ıodo
s˜ao incorporados ao principal para o c´alculo dos juros do per´ıodo
seguinte. Ou seja, o rendimento gerado pela aplica¸c˜ao ser´a incor-
porado a ela, passando a participar da gera¸c˜ao do rendimento do
per´ıodo seguinte; dizemos, ent˜ao, que os juros s˜ao capitalizados.
Chamamos de capitaliza¸c˜ao o momento em que os juros s˜ao incorpo-
rados ao principal. No regime de juros simples n˜ao h´a capitaliza¸c˜ao,
pois apenas o capital inicial rende juros.
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4. Juros Compostos
Regime de capitaliza¸c˜ao composta ou exponencial
Se aplicarmos R$1000, 00 durante trˆes meses `a taxa de 20%a.m.,
teremos os seguintes rendimentos e montantes no regime de juros
simples e no regime de juros compostos.
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5. Juros Compostos
Regime de capitaliza¸c˜ao composta ou exponencial
O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros
simples. A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente em
progress˜ao geom´etrica ao longo do tempo, dado que os rendimentos
de cada per´ıodo s˜ao incorporados ao saldo anterior e passam, por
sua vez, a render juros. No regime de juros simples o montante
cresce linearmente, pois o juros de um determinado per´ıodo n˜ao s˜ao
incorporados ao principl para o c´alculo dos juros do per´ıodo seguinte
(n˜ao h´a capitaliza¸c˜ao de juros nesse regime).
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6. Juros Compostos
Capitaliza¸c˜ao e desconto a juros compostos: c´alculo do
montante e do principal
Vejamos o que acontece com o montante de um capital aplicado a
juros compostos por trˆes meses:
T´ermino do mˆes 1: S=P.(1+i)
T´ermino do mˆes 2: S=P.(1+i).(1+i)
T´ermino do mˆes 3: S=P.(1+i)(1+i)(1+i)
Generalizando, podemos calcular diretamente o montante S resul-
tante da aplica¸c˜ao do principal P durante n per´ıodos a uma taxa de
juros composta i:
S=P.(1+i)n (1)
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7. Juros Compostos
Capitaliza¸c˜ao e desconto a juros compostos: c´alculo do
montante e do principal
A f´ormula (1) expressa o montante ao fim de n per´ıodos como
uma fun¸c˜ao exponencial do capital inicial aplicado. A taxa de juros
deve ser sempre referida `a mesma unidade de tempo do per´ıodo
financeiro. O fator (1 + i)n ´e chamado fator de capitaliza¸c˜ao ou
fator de valor futuro para aplica¸c˜ao ´unica. ´E o n´umero pelo qual
devemos multiplicar o valor principal inicial para obtermos seu valor
futuro ou de resgate.
Se o capital fosse de R$1000, 00, a taxa composta, de 20%a.m., e o
prazo, de 3 meses, o montante ao t´ermino do terceiro mˆes poderia
ser calculado diretamente da seguinte forma:
S = 1000.(1 + 0, 2)3
= 1728
Portanto, o montante ´e de R$1728, 00.
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8. Juros Compostos
Capitaliza¸c˜ao e desconto a juros compostos: c´alculo do
montante e do principal
O c´alculo do valor presente de um montante ´unico ´e simplesmente
o inverso do c´alculo do montante:
P=S.(1+i)−n (2)
O fator (1 + i)−n ´e conhecido como fator de valor presente, fator
de desconto ou fator de atualiza¸c˜ao para pagamento ´unico. Esque-
maticamente, os fatores de valor futuro (1 + i)n e de valor presente
(1 + i)−n permitem efetuar as seguintes opera¸c˜oes:
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9. Juros Compostos
Capitaliza¸c˜ao e desconto a juros compostos: c´alculo do
montante e do principal
No diagrama, a flecha horizontal superior representa o processo de
desconto de um pagamento ou montante ´unico e a flecha inferior,
o processo de capitaliza¸c˜ao de um principal.
Os fatores (1 + i)n e (1 + i)−n tˆem a seguinte finalidade:
O fator (1 + i)n “empurra” grandezas para a frente; permite
encontrar o montante ou valor futuro de uma aplica¸c˜ao. Ou
seja, capitaliza um principal levando-o a uma data posterior.
O fator (1+i)−n “puxa” grandezas para tr´as; permite encontrar
o principal de um determinado montante. Ou seja, desconta
um valor futuro trazendo-o a uma data anterior.
Exemplo
A juros compostos de 20%a.m., qual o montante de R$3500, 00 em
8 meses?
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10. Juros Compostos
Capitaliza¸c˜ao e desconto a juros compostos: c´alculo do
montante e do principal
Exemplo
Qual o capital que em 6 anos `a taxa de juros compostos de 15%a.a.,
monta R$14000, 00?
Exemplo
Em que prazo um empr´estimo de R$55000, 00 pode ser quitado por
meio de um ´unico pagamento de R$110624, 80 se a taxa de juros
compostos cobrada for de 15%a.m.?
Exemplo
A que taxa de juros compostos, um capital de R$13200, 00
pode transformar-se em R$35112, 26, considerando um per´ıodo de
aplica¸c˜ao de sete meses?
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11. Juros Compostos
Uso b´asico da calculadora financeira HP − 12C
A calculadora financeira HP −12C possui at´e trˆes fun¸c˜oes por tecla:
brancas, amarelas e azuis. As fun¸c˜oes brancas s˜ao autom´aticas e as
amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas - Para ativ´a-las
´e necess´ario que se pressione antes a tecla (f) ou (g), respectiva-
mente.
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12. Juros Compostos
Uso b´asico da calculadora financeira HP − 12C
Vejamos a seguir algumas opera¸c˜oes b´asicas da HP − 12C:
Ligar a calculadora: (ON)
Apagar o conte´udo de todos os registros: (f)(REG)
Introduzir um n´umero: (n´umero) (ENTER)
C´alculo simples: (n´umero )(ENTER)(n´umero)(opera¸c˜ao)
Calcular porcentagem: (n´umero)(ENTER)(percentual)(%)
Potencia¸c˜ao: (n´umero)(ENTER)(expoente)(yx )
Radicia¸c˜ao: (n´umero)(ENTER)(´ındice)(1/X)(yx )
Fixar quantidade de casas decimais: (f)(n´umero)
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13. Juros Compostos
Uso b´asico da calculadora financeira HP − 12C
Resolvamos os exemplos (1), (2), (3) e (4), com o uso da calculadora
HP − 12C. Para tanto, acesse o emulator.
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14. Juros Compostos
Equivalˆencia de capitais a juros compostos - a equa¸c˜ao de
valor
Diz-se que dois capitais, com datas de vencimento determinadas,
s˜ao equivalentes quando, levados para uma mesma data `a mesma
taxa de juros, tiverem valores iguais. Para melhor compreens˜ao do
conceito de equivalˆencia, consideremos S1, S2, . . . , Sn como valores
de n capitais resgat´aveis nos prazos t1, t2, . . . , tn, respectivamente:
Dizemos que esses capitais s˜ao equivalentes em determinada data
t se apresentarem valores iguais avaliados naquela data para uma
mesma taxa de juros compostos. Assim, os capitais citados ser˜ao
equivalentes na data t se a seguinte igualdade se verificar:
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15. Juros Compostos
Equivalˆencia de capitais a juros compostos - a equa¸c˜ao de
valor
S1(1 + i)t−t1
= S2(1 + i)t−t2
=
Sn
(1 + i)tn−t
O conjunto de capitais anterior e o conjunto a seguir:
ser˜ao equivalentes na data t se:
S1(1+i)t−t1
+S2(1+i)t−t2
+
Sn
(1 + i)tn−t
= M1(1+i)t−t3
+M2(1+i)t−t4
(3)
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16. Juros Compostos
Equivalˆencia de capitais a juros compostos - a equa¸c˜ao de
valor
A equa¸c˜ao 3, chama-se equa¸c˜ao de valor na data t. ´E impor-
tante ressaltar que, no regime de juros compostos, dois conjuntos de
obriga¸c˜oes equivalentes em uma determinada data o ser˜ao tamb´em
em qualquer outra. Como vimos anteriormente, isso n˜ao ocorre no
regime de juros simples.
Matem´atica Financeira

17. Juros Compostos
Equivalˆencia de capitais a juros compostos - a equa¸c˜ao de
valor
Exemplo
Calcular o valor presente do conjunto de capitais apresentado a se-
guir e verificar se a juros compostos de 10%a.m. eles s˜ao equivalentes
Capital (R$) Mˆes de Vencimento
2000 1
2200 2
2420 3
2662 4
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18. Juros Compostos
Equivalˆencia de capitais a juros compostos - a equa¸c˜ao de
valor
Exemplo
Verificar se os conjuntos de capitais A e B s˜ao equivalentes, consi-
derando uma taxa de juros de 10%a.m.
Matem´atica Financeira

19. Juros Compostos
Equivalˆencia de capitais a juros compostos - a equa¸c˜ao de
valor
Exemplo
Uma pessoa deve R$3000, 00 com vencimento em dois anos e
R$4500, 00 com vencimento em seis anos. Pretende pagar seus
d´ebitos por meio de um pagamento ´unico a ser realizado no final de
quatro anos. Considerando uma taxa de juros efetiva de 10%a.a.,
determinar o valor ´unico que liquida a d´ıvida.
Exemplo
Uma d´ıvida de R$10000, 00 vence daqui a dez meses. Entretanto,
o devedor prop˜oe-se dividi-la em trˆes parcelas semestrais iguais. A
juros efetivos de 5%a.m., calcular o valor das parcelas.
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20. Juros Compostos
Equivalˆencia de capitais a juros compostos - a equa¸c˜ao de
valor
Exemplo
Uma pessoa disp˜oe de trˆes formas de pagamento na compra de um
bem de R$4800, 00. Na primeira forma paga-se `a vista R$4800, 00;
na segunda paga-se 20% de entrada e duas presta¸c˜oes mensais iguais
e consecutivas, sendo a primeira para 30 dias; na terceira, o valor `a
vista ´e acrescido de 30% e, desse valor majorado, 20% ´e pago como
entrada e o saldo, dividido em dois pagamentos mensais iguais sem
juros, sendo o primeiro para 30 dias. Pede-se:
a) a juros efetivos de 20%a.m., calcular o valor das presta¸c˜oes
mensais na segunda forma de pagamento;
b) calcular a taxa de juros efeiva embutida na terceira forma de
pagamento.
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21. Juros Compostos
C´alculo com prazos fracion´arios
No c´alculo financeiro a juros compostos, muitas vezes o prazo da
aplica¸c˜ao n˜ao corresponde a um n´umero ineteiro de per´ıodos a que
se refere a taxa de juros, mas a um n´umero fracion´ario. Nesse caso,
geralmente admitem-se duas alternativas de c´alculo: c´alculo pela
conven¸c˜ao linear e c´alculo pela conven¸c˜ao exponencial.
C´alculo pela conven¸c˜ao linear - os juros compostos s˜ao usados
para o n´umero inteiro de per´ıodos e os juros simples para a
parte fracion´aria de per´ıodos
C´alculo pela conven¸c˜ao exponencial - os juros compostos s˜ao
usados tanto para o n´umero ineteiro de per´ıodos quanto para
a parte fracion´aira de per´ıodos.
Matem´atica Financeira

22. Juros Compostos
C´alculo com prazos fracion´arios
Exemplo
Para um capital de R$25000, 00, aplicado durante dias a juros de
5%a.m., calcular o montante utilizando as conven¸c˜oes linear e ex-
ponencial.
Exemplo
Um determinado capital, aplicado a juros efetivos de 40%a.a. du-
rante 4 anos e 11 meses, resultou em um montante de R$10000, 00.
Determinar (pelas conven¸c˜oes linear e exponencial) o valor do capi-
tal.
Matem´atica Financeira

23. Juros Compostos
CRESPO, Antˆonio Arnot, MATEM´ATICA FINANCEIRA
F´ACIL, 14 ed. S˜ao Paulo: Editora Saraiva, 2009
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; DEGENSZAJN, David,
FUNDAMENTOS DE MATEM´ATICA
ELEMENTAR-Matem´atica comercial, Matem´atica financeira,
Estat´ıstica descritiva, 2 ed. S˜ao Paulo: Atual Editora, 2013.
SAMANEZ, Carlos Patricio, MATEM´ATICA FINANCEIRA -
Aplica¸c˜oes `a An´alise de Investimentos, 3 ed. S˜ao Paulo:
ABDR, 2002.
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