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Distribuciones Continuas De Probabilidad

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Distribuciones Continuas De Probabilidad

  1. 1. PROBLEMAS DE DISTRIBUCIONES Institución Universitaria adscrita a la CONTINUAS DE PROBABILIDAD Alcaldía de Medellín Profesor: M Sc, Juan de J. Sandoval 1. Una universidad aspira recibir, para el siguiente año, 16.000 solicitudes de ingreso a la universidad. Se supone que la prueba de admisión tiene una distribución normal con media de 950 y desviación estancad de 100. Si la universidad decide admitir al 25% de los estudiantes que obtengan las calificaciones más altas de la prueba. ¿Cuántos estudiantes probablemente serán admitidos? 2. Un periódico llevo a cabo una encuesta 400 personas seleccionadas al azar, sobre la opinión de favorabilidad a un candidato. Si se sabe que este candidato tiene una favorabilidad del 33% ¿Cuál es la probabilidad de que más de que menos de 100 tengan buena favorabilidad? 3. Supóngase que la concentración de cierto producto tiene una distribución uniforme de 4 a 20 ppm (partes por millón) y se considera toxica si la concentración excede los 15 ppm o más. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomarse una muestra, esta sea toxica? 4. La edad en la que un hombre contrae matrimonio por primera vez es una variable aleatoria con distribución gamma. Si la edad promedio es 30 años y lo más común es que se case a los 22. Encuentre los valores α y β para esta distribución 5. El tiempo de duración de cierto componente electrónico es una variable con distribución gamma con parámetros α=2 y β=20 ¿Cuál es la confiabilidad del componente para una duración de 80 horas? 6. El tiempo de duración de un sistema tiene una distribución de Weibull con α=2 y β=50. Hallar un intervalo de variabilidad a 2 desviaciones estándar de la media. Calcular a la probabilidad de que el sistema falle a más de 75 horas de duración. 7. El promedio de llegada de camiones a una bodega de descarga es de tres por hora. Encuentre la probabilidad de que el tiempo de llegada sea menor que 5 minutos. Hallar la probabilidad de que el tiempo de llegada entre dos camiones sea mayor a 45 minutos. 8. El número de llamadas telefónicas recibidas por hora mediante un servicio de operadora es una variable de Poisson con un promedio de 6. ¿Cuál es la probabilidad que entre dos llamadas consecutivas haya que espera mas de 15 minutos?
  2. 2. 9. La edad en la que un hombre contrae matrimonio por primera vez tiene una distribución gamma con parámetros α=15/4 y β=8. Escriba la función de densidad de probabilidad y dibújela. Calcule la probabilidad de que un hombre de se case mayor de 40 años 10. La distribución del ingreso de los trabajadores que cotizan a la seguridad social tiene una distribución gamma con media de 1,6 y un parámetro de forma de 9/4. Grafique la distribución de probabilidades del salario de los trabajadores en Colombia. Calcule mediante geogebra el porcentaje de personas que ganan más de 5 salarios mínimos en Colombia. 11. Si una compañía emplea n vendedores, sus ventas brutas en miles de pesos pueden considerarse como una variable aleatoria gamma con =√ = 2. Si el costo de ventas es de $ 8.000 por cada vendedor. Cuantos vendedores deberá emplear la compañía para incrementar al extremo la utilidad esperada? 12. La utilidad mensual de un negocio en millones de pesos tiene una distribución gamma con =5 = 2. Al empresa tiene perdidas si sus utilidades mensuales son de alrededor de 2 o menos millones. Hallar la probabilidad de que un mes particular la empresa genere perdidas 13. Los meses de garantía de una lavadora después de su compra tienen una distribución gamma con un promedio de 36 meses de duración. Si el parámetro de forma es de α=3. Un fabricante vendió el año pasado 800 lavadoras y tiene destinado un gasto de 2.500.000 en caso de eventualidades de garantía. ¿es suficiente este dinero para cubrir la garantía en caso de eventualidades? 14. En un partido de futbol ocurre una clara posibilidad de gol (acertada / fallada), más o menos cada 20 minutos. Supóngase que tales jugadas son eventos de Poisson. En un partido entre América y Nacional un delantero de uno de los dos equipos acaba de lanzar un peligroso tiro que pega en el travesaño a tan solo 10 minutos del final del encuentro. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra todavía otra clara posibilidad de gol antes de que finalice el partido? 15. Suponga que la proporción de tramos de vía que requieren reparación en Bogotá en un mes determinado es una variable continua con distribución beta con =3 = 2. ¿en promedio qué porcentaje de tramos requieren reparación? calcule la probabilidad de que cuando mucho la mitad de los tramos requieran reparación en un mes cualquiera.
  3. 3. 16. El tiempo de duración de un sistema se encuentra aproximado a una distribución de Weibull con parámetros =2 = 50. obtener un intervalo de confiabilidad a dios desviaciones estándar de la media. Obtener la confiabilidad del sistema a t= 75. 17. Suponga que la que el inyector de un automóvil de cierta marca tiene una vida media de que se rige con una distribución de Weibull cuya rapidez de falla (función de mortalidad) es constante y está dada por h(t)= 0,002 con el tiempo medido en meses ¿Cuántos meses de vida debe el fabricante garantizar ese inyector si desea que la probabilidad de que se cumpla la garantía es del 95%? 18. Un dispositivo tiene una frecuencia constante de falla de ℎ = 2 × 10 hora. a. Cuál es la función de confiabilidad del dispositivo b. Cuál es la confiabilidad del dispositivo para t= 15000 horas c. Cuál es la vida media del dispositivo. Halle su mediana. 19. La proporción de unidades defectuosas en un proceso de fabricación es una variable aleatoria que se aproxima a una distribución beta con =1 = 20. Halle el valor de la media y la desviación estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de articulaos defectuosos sea mayor al 10%? 20. Se sabe que el 10% de las unidades producidas por un proceso de fabricación son defectuosas. De la producción total en un día se seleccionan 400 unidades aleatoriamente. a. Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de ellas sean defectuosas b. que entre 40 y 50 sean defectuosas 21. Un negocio recibe en promedio 30 clientes potenciales por hora. a. Hallar la probabilidad de que lleguen menos de 25 clientes en la siguiente hora b. Hallar la probabilidad de más de 40 clientes en una hora determinada c. Hallar la probabilidad de entre 32 y 40 clientes por hora 22. En una investigación de mercado se ha encontrado que el 40% de los clientes de un Supermercado no quieren contestar cuando son encuestados. Si se pregunta a 1000 clientes, cual es la probabilidad de que menos de 500, se nieguen a contestar. 23. Las notas obtenidas en un examen siguen una distribución normal. El profesor decide catalogar una nota sobresaliente, si está por encima de la media más 2 desviaciones estándar. Qué porcentaje de estudiantes estaban por encima de este valor. Si la prueba la presentan 200 personas, cuántos de estos se espera saque sobresaliente.
  4. 4. 24. Entre los diabéticos, el nivel de glucosa en sangre X, en ayunas, puede suponerse de distribución aproximadamente normal, con media 106 mg/100 ml y desviación típica 8 mg/100 ml, es decir = 106; = 64 . a. Hallar P[X ≤ 120] b. ¿Qué porcentaje de diabéticos tienen niveles comprendidos entre 90 y 120? c. Hallar P[106 < X ≤<110 ] d. Hallar el punto x caracterizado por la propiedad de que el 25% de todos los diabéticos tiene un nivel de glucosa en ayunas inferior o igual a x. 25. La probabilidad de muerte resultante del uso de píldoras anticonceptivas es de 3/100.000. De 1.000.000 de mujeres que utilizan este medio de control de natalidad: 1. ¿Cuántas muertes debidas a esta causa se esperan? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya, como máximo, 25 de estas muertes? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de muertes debidas a esta causa esté entre 25 y 35 inclusive? 26. Se supone que en una cierta población humana el índice cefálico i, (cociente entre el diámetro transversal y el longitudinal expresado en tanto por ciento), se distribuye según una Normal. El 58% de los habitantes son dolicocéfalos (i ≤ 75), el 38% son mesocéfalos (75 < i ≤ 80) y el 4% son braquicéfalos (i > 80). Hállese la media y la desviación típica del índice cefálico en esa población. 27. Se supone que la glucemia basal en individuos sanos, Xs sigue una distribución normal con media 80 y desviación estándar (d.e) de 10 mientras que en los diabéticos Xd, sigue una distribución normal con media 160 y d.e de 31,4. b. Si se conviene en clasificar como sanos al 2% de los diabéticos: ¿Por debajo de qué valor se considera sano a un individuo? ¿Cuántos sanos serán clasificados como diabéticos? c. Se sabe que en la población en general el 10% de los individuos son diabéticos ¿cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar y diagnosticado como diabético, realmente lo sea? 28. Una prueba de ingles tiene 200 preguntas de selección múltiple con tres opciones y solo una correcta. Si se gana la prueba con al menos el 60% de las preguntas. Cuál es la probabilidad de ganara la prueba por simple azar?. Si el estudiar para el examen le agrega 2,5 veces más valor a la probabilidad de ganar por simple azar. Cuál es la probabilidad de ganar la prueba?

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