1. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Modelación Estadística de las Tasas de
Fecundidad del Brasil
Análisis Bayesiano del Censo de 2010
Juan de Jesús Sandoval
UNIVERSIDAD FEDERAL DE MINAS GERAIS
CEDEPLAR/UFMG
Doctorado en Demografía
Fac. de Ciencias Económicas
Lima, Perú
Septiembre de 2012
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

2. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Contenido
1 Introducción
2 Modelación de la Fecundidad
3 Modelacion Bayesiana
4 Resultados
5 Conclusiones
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

3. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Cambios en TGF
En los últimos años se han observado cambios en la
distribución la fecundidad en la mayoría de los países
del mundo y mas recientemente en Latinoamerica.
Esto ha hecho que se piense en que los modelos
estadísticos actuales no dan explicación al cambio en
la distribución de la fecundidad por edad en las
mujeres en edad fértil.
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

4. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Cual es su importancia
La modelación de los patrones de fecundidad es esencial para
que los investigadores comprendan las variaciones mundiales
de los indicadores demográcos en la población. Varios tipos
de modelación de la fecundidad se han reportado en la
literatura que buscan capturar los patrones especícos
especialmente en países desarrollados. Mientras tanto, se ha
hecho un gran esfuerzo en la reducción de las tasas de
fecundidad en latinoamerica. No obstante, hay escasez en la
modelación que describan patrones de fecundidad
metodológicamente descritos.
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

5. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
La modelacion estadistica TGF
La modelación estadística de las tasas de fecundidad permite:
Observar tendencias globales de las tasas de fecundidad de un
determinado país
Calcular percentiles o intervalos de conanza para los
indicadores
Calcular la varianza poblacional
Plantear hipótesis estadística
Construcción de modelos estadísticos que expliquen
determinantes de la fecundidad
Predecir y proponer cambios futuros en los países con base en
tales indicadores
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

6. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
La modelacion estadistica TGF
La modelación estadística de las tasas de fecundidad permite:
Observar tendencias globales de las tasas de fecundidad de un
determinado país
Calcular percentiles o intervalos de conanza para los
indicadores
Calcular la varianza poblacional
Plantear hipótesis estadística
Construcción de modelos estadísticos que expliquen
determinantes de la fecundidad
Predecir y proponer cambios futuros en los países con base en
tales indicadores
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

7. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
La modelacion estadistica TGF
La modelación estadística de las tasas de fecundidad permite:
Observar tendencias globales de las tasas de fecundidad de un
determinado país
Calcular percentiles o intervalos de conanza para los
indicadores
Calcular la varianza poblacional
Plantear hipótesis estadística
Construcción de modelos estadísticos que expliquen
determinantes de la fecundidad
Predecir y proponer cambios futuros en los países con base en
tales indicadores
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

8. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
La modelacion estadistica TGF
La modelación estadística de las tasas de fecundidad permite:
Observar tendencias globales de las tasas de fecundidad de un
determinado país
Calcular percentiles o intervalos de conanza para los
indicadores
Calcular la varianza poblacional
Plantear hipótesis estadística
Construcción de modelos estadísticos que expliquen
determinantes de la fecundidad
Predecir y proponer cambios futuros en los países con base en
tales indicadores
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

9. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
La modelacion estadistica TGF
La modelación estadística de las tasas de fecundidad permite:
Observar tendencias globales de las tasas de fecundidad de un
determinado país
Calcular percentiles o intervalos de conanza para los
indicadores
Calcular la varianza poblacional
Plantear hipótesis estadística
Construcción de modelos estadísticos que expliquen
determinantes de la fecundidad
Predecir y proponer cambios futuros en los países con base en
tales indicadores
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

10. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
La modelacion estadistica TGF
La modelación estadística de las tasas de fecundidad permite:
Observar tendencias globales de las tasas de fecundidad de un
determinado país
Calcular percentiles o intervalos de conanza para los
indicadores
Calcular la varianza poblacional
Plantear hipótesis estadística
Construcción de modelos estadísticos que expliquen
determinantes de la fecundidad
Predecir y proponer cambios futuros en los países con base en
tales indicadores
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11. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
La modelacion estadistica TGF
La modelación estadística de las tasas de fecundidad permite:
Observar tendencias globales de las tasas de fecundidad de un
determinado país
Calcular percentiles o intervalos de conanza para los
indicadores
Calcular la varianza poblacional
Plantear hipótesis estadística
Construcción de modelos estadísticos que expliquen
determinantes de la fecundidad
Predecir y proponer cambios futuros en los países con base en
tales indicadores
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12. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Definición tasa de fecundidad
Nac. periodo 0 a T mujeres edades: x , x +n
n Fx [0, T ] =
Años-per. vividos periodo 0 a T mujeres edad: x , x + n
β−n
TGF [ 0, T ] = n · n Fx [0, T ] (1)
x =α
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13. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos datos del Censo 2010
Tabla: Tasa global de fecundidad TGF del Brasil 2000-2010, resultados
del censo 2010 IBGE
Grande regiones 2000 2010 D. relativa
Brasil 2.38 1.86 -21.9
Norte 3.16 2.42 -23.5
Nordeste 2.69 2.01 -25.2
Sudeste 2.10 1.66 -21.0
Sur 2.24 1.75 -21.7
Centro-oeste 2.25 1.88 -16.3
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14. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos Antecedentes
Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de
las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en
muchas poblaciones:
La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978)
La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973)
Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987)
La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981)
modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks,
1986)
the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972;
Fraid 1973)
Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003)
Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki
(2007)
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

15. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos Antecedentes
Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de
las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en
muchas poblaciones:
La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978)
La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973)
Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987)
La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981)
modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks,
1986)
the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972;
Fraid 1973)
Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003)
Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki
(2007)
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

16. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos Antecedentes
Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de
las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en
muchas poblaciones:
La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978)
La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973)
Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987)
La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981)
modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks,
1986)
the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972;
Fraid 1973)
Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003)
Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki
(2007)
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

17. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos Antecedentes
Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de
las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en
muchas poblaciones:
La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978)
La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973)
Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987)
La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981)
modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks,
1986)
the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972;
Fraid 1973)
Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003)
Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki
(2007)
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18. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos Antecedentes
Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de
las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en
muchas poblaciones:
La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978)
La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973)
Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987)
La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981)
modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks,
1986)
the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972;
Fraid 1973)
Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003)
Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki
(2007)
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19. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos Antecedentes
Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de
las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en
muchas poblaciones:
La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978)
La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973)
Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987)
La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981)
modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks,
1986)
the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972;
Fraid 1973)
Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003)
Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki
(2007)
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20. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos Antecedentes
Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de
las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en
muchas poblaciones:
La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978)
La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973)
Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987)
La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981)
modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks,
1986)
the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972;
Fraid 1973)
Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003)
Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki
(2007)
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21. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos Antecedentes
Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de
las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en
muchas poblaciones:
La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978)
La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973)
Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987)
La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981)
modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks,
1986)
the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972;
Fraid 1973)
Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003)
Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki
(2007)
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22. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Algunos Antecedentes
Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de
las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en
muchas poblaciones:
La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978)
La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973)
Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987)
La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981)
modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks,
1986)
the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972;
Fraid 1973)
Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003)
Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki
(2007)
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

23. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Modelación de las tasas especificas
Sea y una variable aleatoria. Sea θ un parámetro desconocido. Si
condicionamos el valor θ, dado algunos valores conocidos de y , si
p () es la función de masa de probabilidad entonces:
p (θ | y ) ∝ p (θ) · p (y | θ) (2)
Ahora considere que la verosimilitud en la ecuación (1) es de la
forma
a b
p (y | θ) ∝ θ · (1 − θ) (3)
Si adicionalmente asumimos que la distribución apriori del
parámetro θ es es una Beta(α, β):
p (θ) ∝ θα−1 · (1 − θ)β−1 (4)
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

24. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Modelación de las tasas especificas
Si se asume adicionalmente que se pueden seleccionar valores
razonables de α y β , de acuerdo con la teoría de estadística
bayesiana, la densidad posterior de θ dados los valores de y es:
p (θ | y ) ∝ θy · (1 − θ)n−y × θα−1 (1 − θ)β−1
= θy +α−1 (1 − θ)n−y +β−1
= Beta(θ | α + y, β + n − y)
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

25. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Modelación de la TGF
Sea y1 , y2 , · · · yn el numero de hijos nacidos vivos por mujeres en
edad fertil. Vamos a asumir que:
yi ∼ Poisson(xi λ),
Donde los valores xi son conocidos desde una variable explicatoria,
digamos x. λ es un parámetro desconocido de interés. el valor λ es
la tasa de ocurrencia y xi es la exposición en la unidad
i : 1, 2, · · · , n . La verosimilitud extendida de λ al modelo de
poisson es:
y −( x )θ
p (y | λ) ∝ λ e i i
(5)
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

26. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Ademas, si se asume la distribución gamma es la conjugada para λ,
yi ∼ Gamma(α, β),
aplicando la teoría bayesiana, se puede llegar a que la distribución
posterior de λ dados los valores de y , es:
n n
λ | y ∼ Gamma α + yi , β + xi (6)
i =1 i =1
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

27. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Tasas especificas fecundidad apriori
Dist. empírica tasas de fecundidad, Brasil 2000
0.30
0.25
0.20
Probabilidad a priori
0.15
0.10
0.05
0.00
20 30 40 50
Edad
Figura: proporciones especicas de fecundidad, Brasil 2000.
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28. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Modelación a posteriori de fecundidad 2010
posterior
0.3
0.2
0.1
Probabilidad
0.0
prior
0.3
0.2
0.1
0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
P
Figura: Densidad a priori y posterior especicas de fecundidad, Brasil
2000-2010. Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

29. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Modelación a posteriori de fecundidad 2010
Apriori
Verosimilitud
Aposteriori
3
Densidad
2
1
0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
P
Figura: Densidad a priori, verosimilitud y posterior Brasil 2000,
agregando la información de Sandoval
Juan de Jesús 2010. Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

30. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Histograma de la aposteriori vía simulación
Histograma de la D. Posterior
800
600
Frecuencia
400
200
0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
P
Figura: Histograma de la aposteriori vía simulación.
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

31. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Un intervalo de credibilidad del 95% puede ser calculado con base
en la información de la simulación mediante los percentiles 2.5 y
97.5% de la distribución de probabilidades posterior vía simulación.
2.5% y 97.5%
0.2300483 y 1.0068217
indicando que la mayoría de mujeres en edad fértil aun están
teniendo sus hijos entre edades de 17 y 28 años aproximadamente,
con un 95% de credibilidad.
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

32. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Modelación de la tasa global de fecundidad
TGF
TGF CENSO 2000
0.3
Density
D.Apriori
0.2
D.Apost
0.1
0.0
0 2 4 6 8 10
Tasa 2000
TGF CENSO 2100
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
D.Apriori
Density
D.Apost
0 2 4 6 8
Tasa 2100
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

33. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Conclusiones
Las tasas de fecundidad en el Brasil, han sufrido una disminución
importante en los últimos años, lo que indica un cambio en la
dinámica de la población.
La metodología bayesiana es util en la modelación de las tasas
especicas de fecundidad.
En Brasil, se puede concluir con base en los resultados que, en
general no ha habido postergamiento en el embarazo en las mujeres.
Es importante probar con otros modelos empíricos vía MCMC, ya
que la distribución de las tasas aun se muestra un poco extraña.
Es importante evaluar la modelacion de las tasas de fecundidad en
otros paises y comparar con latinomerica.
Los modelos bayesianos son una importante herramienta, cuando no
se tiene claridad el modelo estadístico de los datos
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

34. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
Bibliografía
Peristera, P and Tostación, A. (2007) Modeling fertility in modern populations.
Demographic Research, Vol 16 (6), p 141-194.
Gayawan,E; Adebayo, S.B;Ipinyomi R.A et al (2010). Modeling fertility curves in
Africa. Demographic Research, Vol 22 (10), p 211-236.
Potter,Joseph E.; Schmertmann,Carl P.; Cavenaghi,Suzana M.(2002) Fertility
and Development: Evidence From Brazil.Demography, Volume 39, Number 4,
November, pp. 739-76.
Assunção,Renato M.; Potter, Joseph E.; Cavenaghi,Suzana M.(2002) A Bayesian
space varying parameter model applied to estimating fertility schedules. Statist.
Med.; 21:2057?2075.
Gelman, A; Carlin,H.S; Rubin, S. et al (2004). Bayesian Data Analysis. 2d ed.
Chapman Hill. N.Y
Albert J.(2009). Bayesian Computation with R. 2d edition. Springer. London.
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

35. Introducción
Modelación de la Fecundidad
Modelacion Bayesiana
Resultados
Conclusiones
½ GRACIAS!,
por la atención
Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad