定規とコンパスで足し算科学勉強会第二回公開発表会

科学勉強会第二回公開発表会発表資料
http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/open/2.html

定木とコンパスで
足し算
辻順平
@tsujimotter
http://tsujimotter.hatenablog.com

自己紹介

• 所属：北海道大学大学院情報科学研究科
博士課程３年
• 研究：位置情報技術
• 趣味：数学
2014/2/23

2

本日のテーマ

2014/2/23

3

目次
「定木とコンパスで足し算」

今日は作図の
話をします

0. イントロダクション
1. 作図の基本
2. 正多角形の作図法
3. 定木とコンパスを使った計算
2014/2/23

4

Q. 「作図」と言えば何を思い浮かべますか？

2014/2/23

5

いろいろな作図

今回扱う作図

2014/2/23

6

作図と義務教育
•

第３学年では，二等辺三角形，正三角形，円について，定規やコンパスによる作図を指導す
る。また，二等辺三角形，正三角形によって敷き詰められた模様や，円によって作られた模
様の観察を通して，それらの図形を指導する。

•

第４学年では，平行四辺形，ひし形，台形などの四角形を観察することを通して，共通の性
質を持つ図形に分類したり，それぞれの性質を調べたりする。また，図形の定義（約束）や性
質を基にして，定規やコンパスを使って作図することを指導する。

•

第５学年では，辺の長さや角の大きさに着目し，合同な図形を作図することを通して，平面
図形についての理解を深める指導をする。

•

第６学年では，縮図や拡大図，図形の対称性という観点から，これまで学習してきた図形を
観察し，見直すことを通して，・・・具体的な活動には，紙を折ったり，切ったり，図形を移動さ
せたり，切り離したり，変形したり，定規やコンパスを用いて作図したりするなどの活動があ
る。

2014/2/23

文部科学省「小学校学習指導要領解説算数編」平成20年度より抜粋

7

古代ギリシャの作図

作図問題はギリシャ時代から伝わる知的なパズルゲーム
2014/2/23

8

目次
1. 作図の基本
2014/2/23

9

定木とコンパスを使った作図
目盛りは使っちゃダメ

定木（じょうぎ）
2014/2/23

コンパス
10

作図の基本ルール (1/4)
1. 定木（じょうぎ）
与えられた2点を通る直線を引く
二点

2014/2/23

11

2. コンパス
与えられた中心と半径の円を描く

半径

2014/2/23

中心

12

3. 直線・円のそれぞれの交点だけが作図に利用できる

2014/2/23

13

4. ただし、２点は最初に与えられて作図に利用できる

2014/2/23

14

作図の基本ルール
1.

定木（じょうぎ）・・・与えられた2点を通る直線を引く

2.

コンパス・・・与えられた中心と半径の円を描く

3. 直線・円のそれぞれの交点だけが作図に利用できる
4.

２点は最初に与えられて作図に利用できる

2014/2/23

15

作図の基本技法
1. 垂直二等分線

2014/2/23

これさえあれば
大体のことはできる！

2. 平行線

16

垂直二等分線

二点

二点を通る直線
二点を通る直線に
垂直で点を二等分する線を引きたい
2014/2/23

17

垂直二等分線 (1/4)

2014/2/23

18


2014/2/23

19


2014/2/23

20


2014/2/23

21

平行線
この点を通る
下線に平行な線

2014/2/23

22

平行線 (1/6)

2014/2/23

23

平行線 (2/6)

2014/2/23

24

平行線 (3/6)

2014/2/23

25

平行線 (4/6)

2014/2/23

26

平行線 (5/6)

2014/2/23

27

平行線 (6/6)

2014/2/23

28

平行線

ひし形
2014/2/23

29

作図の基本技法(再掲)
1. 垂直二等分線

2014/2/23

2. 平行線

30

目次
1. 作図の基本
2014/2/23

31

本日のお題：正多角形

2014/2/23

32

正５角形の作図

Q. 正５角形は作図可能か？

2014/2/23

33


2014/2/23

(1/20)

34


2014/2/23

(2/20)

35


2014/2/23

(3/20)

36


2014/2/23

(4/20)

37


2014/2/23

(5/20)

38


(6/20)

垂直二等分線

2014/2/23

39


2014/2/23

(7/20)

40


2014/2/23

(8/20)

41


2014/2/23

(9/20)

42


2014/2/23

(10/20)

43


(11/20)
平行線

2014/2/23

44


2014/2/23

(12/20)

45


2014/2/23

(13/20)

46


2014/2/23

(14/20)

47


(15/20)
垂直二等分線

2014/2/23

48


2014/2/23

(16/20)

49


2014/2/23

(17/20)

50


2014/2/23

(18/20)

51


2014/2/23

(19/20)

52


2014/2/23

(20/20)

53


2014/2/23

54


A. 正５角形は作図可能

2014/2/23

55

正７角形の作図

Q. 正７角形は作図可能ですか？

2014/2/23

56

正７角形の作図

A. 正７角形は作図不能！

2014/2/23

57

ギモン

正５角形は作図可能

2014/2/23

正７角形は作図不能！

Q. なぜ正５角形は作図できて
正７角形は作図できないのか？

58

Q. 「正多角形を作図できる」とはどういうことか？

2014/2/23

59

正５角形の作図のポイント

正五角形の
一辺

2014/2/23

60


★
2014/2/23

61


A. ★を描ければ正５角形も描ける
★
2014/2/23

62

正５角形の作図への道(1/10)

1
2014/2/23

63


1
2
2014/2/23

64

5
2

1
1
2

2014/2/23

65

5
2

1
1
2

2014/2/23

66

5
2

1
1
2

2014/2/23

1
2

2

ほげほげの定理

+1 =
2

𝟓𝟓
𝟐𝟐

2
67

5
2

1
1
2

2014/2/23

1
2

2

ピタゴラスの定理

+1 =
2

𝟓𝟓
𝟐𝟐

2
68

5
2
1
2
2014/2/23

69

5
2
1
2
2014/2/23

5
2
70

5
2
1
2
2014/2/23

5 1
− =
2
2

𝟓𝟓 − 𝟏𝟏
𝟐𝟐

引き算

71


2014/2/23

𝟓𝟓 − 𝟏𝟏
𝟒𝟒

72


2014/2/23

𝟓𝟓 − 𝟏𝟏
★＝
𝟒𝟒

73


★=

2014/2/23

𝟓𝟓−𝟏𝟏
𝟒𝟒

を作図できれば正５角形が作図できる
𝟓𝟓 − 𝟏𝟏
★＝
𝟒𝟒

74

★=

𝟓𝟓−𝟏𝟏
𝟒𝟒

が作図できる

正５角形が作図できる

★
2014/2/23

75

「正５角形の作図」の流れ
𝟏𝟏

スタート

𝟏𝟏,

…

作図で使用できる数の集合

, ★=

𝟓𝟓−𝟏𝟏
𝟒𝟒

ゴール


𝟏𝟏

スタート

𝟏𝟏,

𝟏𝟏,

𝟏𝟏,

𝟏𝟏,


1
2

1 5
,
2 2

1 5
, ,
2 2

1 5
, ,
2 2

5−1
,
2

5−1
2

★=

𝟓𝟓−𝟏𝟏
𝟒𝟒

ゴール


𝟏𝟏

スタート

𝟏𝟏,

𝟏𝟏,

𝟏𝟏,

𝟏𝟏,


1
2

1 5
,
2 2

1 5
, ,
2 2

1 5
, ,
2 2

5−1
,
2

5−1
2

★=

作図ルールを繰り返し
数を計算

𝟓𝟓−𝟏𝟏
𝟒𝟒

ゴール


𝟏𝟏

スタート

𝟏𝟏,

Q.


1
2

作図ルールを繰り返し
1 5
𝟏𝟏, ,
数を計算
2 2
作図のルール内でどんな計算ができるのか？

𝟏𝟏,

𝟏𝟏,

1 5
, ,
2 2

1 5
, ,
2 2

5−1
,
2

5−1
2

★=

𝟓𝟓−𝟏𝟏
𝟒𝟒

ゴール


目次
1. 作図の基本
2014/2/23

80

“１＋１＝２”

2014/2/23

81

“１＋１＝２”(1/5)

“１” を決める

1

2014/2/23

82

“１＋１＝２”(2/5)
“１” を測りとる

1

2014/2/23

83

“１＋１＝２”(3/5)

線を引き延ばす

1

2014/2/23

84

“１＋１＝２”(4/5)

1
測りとった
“1” を加える
2014/2/23

85

“１＋１＝２”(5/5)

2
1

2014/2/23

1

86

作図ルールを使った“足し算”
1
1
2
1

1+1 = 2
1
3

1
2014/2/23

1

2+1 = 3
1
87

作図ルール内で出来る計算
•
•
•
•
•

足し算（＋）
引き算（ー）
掛け算（×）
割り算（÷）
ルート（√）

2014/2/23

88

“足し算”

3
7
4
2014/2/23

3+4 = 7
3
89

“引き算”

3
7
4
2014/2/23

7-3 = 4
3
90

“掛け算”
2
1

3
6
2014/2/23

2×3 = 6
91

“割り算”(1/2)
2
1

3
6
2014/2/23

6÷2 = 3
92

“割り算”(2/2)
3
1
𝟐𝟐
𝟑𝟑

2014/2/23

分数が作れる

2

2÷3 =

𝟐𝟐
𝟑𝟑

93

“ルート（√）”(1/2)

1

𝟐𝟐
1

2014/2/23

94

“ルート（√）”(2/2)

1

𝒂𝒂

𝑎𝑎

どんな数に対してもルート（√）を作図できる
2014/2/23

95

作図ルール内で出来る計算
•
•
•
•

足し算（＋）
引き算（ー）
掛け算（×）
割り算（÷）

• ルート（√）

4+3=7
7−3=4
3×2=6
6÷2=3
2, 𝑎𝑎

これらの計算の組み合わせで表せる数

2014/2/23

定木とコンパスで作図できる

96

Q.

2014/2/23

𝟓𝟓 − 𝟏𝟏
𝟒𝟒

は作図できるか？

97

𝟓𝟓 − 𝟏𝟏
𝟒𝟒

ルート

Q.

引き算

は作図できるか？

割り算

A. (＋－×÷√の組み合わせで出来ているので)
作図できる！
2014/2/23

98

1
1
1
− +
17 +
2 17 − 17
16 16
16

1
17 + 3 17 − 2 17 − 17 − 2 2 17 + 17
+
8

Q.この数は作図できるか？

2014/2/23

99

「四則演算」と「ルート」だけで書ける！

1
1
1
− +
17 +
2 17 − 17
16 16
16

1
17 + 3 17 − 2 17 − 17 − 2 2 17 + 17
+
8

A. 作図できる！

2014/2/23

100

正十七角形

★=

1
1
1
− +
17 +
2 17 − 17
16 16
16

★

1
17 + 3 17 − 2 17 − 17 − 2 2 17 + 17
+
8

正十七角形は作図できる！

2014/2/23

101

正十七角形とガウス
古代ギリシャからの難問
「正十七角形は作図可能かどうか」

ガウスが１９歳のときこの問題を解決
実際に作図しなくとも
（目を覚ました瞬間に思い付いた）
作図可能かはわかる
ガウス (1777-1855)
19世紀の大数学者

2014/2/23

このときガウスは
生涯数学に携わることを決意

102

正十七角形の作図例

★

2014/2/23

103

まとめ
1. 作図の基本

• 定木は直線を描くもの
• コンパスは円を描くもの

2. 正多角形の作図

★が作図できること＝正多角形が作図できること

★
2014/2/23

• 作図は「＋、－、×、÷、ルート（√）」と等価
• この計算で作られる数は作図できる
104

定規とコンパスで足し算科学勉強会第二回公開発表会

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