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LóGica Proposicional

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LóGica Proposicional

  1. 1. Lógica Proposicional Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza
  2. 2. ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa , expresa o dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones, preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc. LÓGICA Es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permite llegar a conclusiones generales a partir de observaciones particulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos permite llegar a conclusiones particulares a partir de observaciones generales. ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma de expresión matemática que no es verdadero ni falso. Ejemplos: x < 9 x + 2 = 10 a + b = 1 a 2 + b 2 = c 2
  3. 3. PROPOSICIÓN LÓGICA (enunciado cerrado) es un enunciado informativo que admite la posibilidad de ser Verdadero o Falso, pero no ambos a la vez. La veracidad o falsedad de una proposición se denomina “Valor de verdad de la proposición” 39 es un número primo ( ) Huancayo queda en Junín ( ) 1/2 < 1/4 ( ) SON PROPOSICIONES: Resuelve este problema ¿Puedes prestarme tu libro? Buenos días profesor NO SON PROPOSICIONES: F V F
  4. 4. PROPOSICIÓN SIMPLE : Es aquella que contiene una sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t, ….. a las que llamaremos variables proposicionales <ul><li>Ejemplos: VALOR DE VERDAD </li></ul><ul><li>15 es un número primo : p ( ) </li></ul><ul><li>Lima es la capital del Perú : q ( ) </li></ul><ul><li> 3 2 = 9 : r ( ) </li></ul>PROPOSICIONES COMPUESTAS : Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples o es la negación de una proposición simple. En toda proposición compuesta las proposiciones simples están ligadas mediante palabras conocidas como conectivos lógicos F V F
  5. 5. Conectivos lógicos Son palabras que permiten relacionar dos proposiciones o negar una proposición simple. Cuando se les representan por símbolos se les llama operadores lógicos . <ul><li>Los siguientes conectivos son los más recurrentes: </li></ul><ul><li>“ si y sólo si” </li></ul><ul><li>“ o . . . o” </li></ul><ul><li>“ si…entonces…” </li></ul><ul><li>“ o” </li></ul><ul><li>“ y” </li></ul><ul><li>“ no” </li></ul>
  6. 6. PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD V F V V V V V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F F F F F En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2 n posibilidades 2 1 2 2 2 3 Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta. p p q p q r
  7. 7. 1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es “  ” y se llama conjuntor . Ejemplo : “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica” p q p : Jorge viajó al Cusco q : Luis viajó a Ica Simbología: “p  q” NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc. Definición de Algunos Enunciados Compuestos
  8. 8. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN V V V V F F F F V F F F La conjunción sólo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas. p  q
  9. 9. 2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “  ” y se llama disyuntor . Ejemplo : “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca” r s r : Eliana viajará al Cuzco s : Eliana viajará a Cajamarca Simbología: “r  s”
  10. 10. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN DÉBIL V V V V F F F F V F V V La disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas p  q
  11. 11. 3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ O…..o……. “, cuyo símbolo es “  ” y se llama disyuntor fuerte. Ejemplo : “ O Ricardo radica en Miraflores o en Barranco” p q p : Ricardo radica en Miraflores q : Ricardo radica en Barranco Simbología: “ p  q ”
  12. 12. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN FUERTE V V V V F F F F F F V V La disyunción fuerte es verdadera solo si ambas proposiciones tienen diferentes valores de verdad La disyunción fuerte es falsa solo si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad p  q
  13. 13. 4. EL CONDICIONAL .- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “Si…….entonces…….” , cuyo símbolo es “ -> ” y se llama implicador. Ejemplo: “ Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2” p q p : 12 es un número par ……………….… (antecedente) q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente) Simbología: “ p -> q ”
  14. 14. Notas : 1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por consiguiente q ; p luego q ; p de manera q ; etc. 2. También son expresiones condicionales q ya que p ; q puesto que p ; q siempre que p ; q porque p ; etc. La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3 Ejemplo (antecedente) p (consecuente) q 426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (antecedente) p (consecuente) q La simbología para ambos casos es: p -> q
  15. 15. TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL V V V V F F F F V V V F El condicional solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. p  q
  16. 16. 5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si y sólo si……….” , cuyo símbolo es “ ↔ ” llamado doble implicador. Ejemplo : “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua” p q p : Sicilia es una isla q : Sicilia está rodeada de agua Simbología: “ p ↔ q ”
  17. 17. TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL V V V V F F F F V V F F El bicondicional es verdadero solo si ambas proposiciones poseen idénticos valores de verdad El bicondicional es falso solo si ambas proposiciones poseen diferentes valores de verdad p  q
  18. 18. 6. LA NEGACIÓN .- Es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se le antecede el conectivo no , o equivalentes a él, cuyo símbolo es “  ” y se llama negador . Ejemplo : “Todo número elevado al cuadrado es positivo” p Negación : “No todo número elevado al cuadrado es positivo” Nota : Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición. Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero  p q r Simbología:  ( q  r )
  19. 19. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN V F F V p  p
  20. 20. TABLA RESUMEN Conector Valor de verdad Condición  V Si ambos tienen igual valor de verdad .  V Si tienen valores diferentes de verdad.  F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso  F Si ambos son falsos  V Si ambos son verdaderos ~ V Si la proposición es falsa.
  21. 21. EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: ( p  q)   (p   r) Solución V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V F F F F F F V V V V F F F F F F F F V V V V F F V V V V V V V V F F F F F F F F F F F V V V p q r ( p  q )   ( p   r)
  22. 22. <ul><li>La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos: </li></ul><ul><li>Cuando todos los valores de verdad son verdaderos , el esquema es una TAUTOLOGÍA . </li></ul><ul><li>Cuando todos los valores de verdad son falsos , el esquema es una CONTRADICCIÓN. </li></ul><ul><li>Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA. </li></ul>
  23. 23. Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q   r)  p es FALSA Determinar el valor de verdad de: (  r   p)  (p   r) SOLUCIÓN Primero analizamos la condición F V V V F Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se evalúa la fórmula planteada V V V F V F F El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO ( q   r )  p F (  r   p )  ( p   r )

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