Combinatoria: conceptos y ejercicios resueltos

Diagrama de árbol…
¿Y si se pueden repetir las cifras?
123
132
213
231
312
321
¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse
con los dígitos 1, 2,3 sin repetir cifras?

Entre los 5 jugadores de un equipo elijo a 2 para que
recojan los balones
¿cuántas elecciones diferentes puedo hacer?
¿En qué se diferencia este caso de los anteriores?
¿Qué información necesito para responder a estas preguntas
sobre agrupaciones?
- Número de elementos en cada grupo  Orden
- Número de elementos de los que dispongo  Base
- ¿Se puede repetir los elementos?
- ¿Importa el orden? (¿ABC= CBA?)
COMBINATORIA

¿Cuántas palabras de tres letras pueden formarse?
(alfabeto de 25 letras)
¿De cuántas formas diferentes puede quedar la
clasificación de la liga de fútbol?
¿Cuántas “manos de cinco cartas” diferentes pueden
repartirse con una baraja de póker? ¿Cuántas de ellas
son póker (cuatro cartas iguales?
¿Diagramas de árbol?
¡No!
COMBINATORIA

COMBINATORIA
• Estudia los grupos distintos que pueden
formarse con elementos de un conjunto dado
• Permite realizar esos cálculos de modo
sistemático
• Aplicación en:
– Probabilidad
– Estadística
– Organización empresarial
– Optimización de procesos (ingeniería)
– Juegos de azar
– ….

Serán casos distintos en función de:
• ¿Importa el orden de los elementos?
• Nº de elementos en cada grupo
• Número de elementos disponibles
• ¿Se pueden repetir los elementos?

Casos que estudiaremos
• Variaciones
- Sin repetición
- Con repetición
• Permutaciones
- Sin repetición
- Con repetición
• Combinaciones
- Sin repetición
- Con repetición

Variaciones sin repetición
Variaciones ordinarias
Ej: Cuántos números de 3 cifras pueden
formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 sin repetir
ninguna
• Sí importa el orden
(123  no es igual que 213)
Proceso de formación….
Regla de la multiplicación…

Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con las
cifras 1, 2, 3, 4 sin repetir ninguna
• Nº de elementos:
• Nº elementos por grupo:
• ¿Importa el orden?
• ¿Se pueden repetir?
𝑉4,3 = 4 . 3 . 2 = 24
𝑉𝑚,𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑚 − 1 ∙ 𝑚 − 2 ∙ ⋯ ∙ (𝑚 − 𝑛 + 1)
Variaciones sin repetición
4
3
Sí
No
Variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3

• Dispongo de m elementos
• Grupos de n elementos
• No se pueden repetir
• El orden importa
Los grupos se diferencian unos de otros en los elementos que los
componen o en el orden de colocación de los mismos
Variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n
𝑉𝑚,𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑚 − 1 ∙ 𝑚 − 2 ∙ ⋯ ∙ (𝑚 − 𝑛 + 1)
Variaciones sin repetición de m elementos tomados
de n en n
(variaciones ordinarias)
Las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n
se calculan por el producto de n factores enteros consecutivos y
decrecientes siendo el primero de ellos m y el último (m-n+1)

𝑉𝑚,𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑚 − 1 ∙ 𝑚 − 2 ∙ ⋯ ∙ (𝑚 − 𝑛 + 1)
Variaciones sin repetición de m elementos tomados de
n en n
(variaciones ordinarias)
Las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n
se calculan por el producto de n factores enteros consecutivos y
decrecientes siendo el primero de ellos m y el último (m-n+1)
𝑉6,2 = 6 . 5 = 30
𝑉10,4 = 10 . 9 . 8 . 7 = 5040
𝑉8,3 =

¿Cuántas palabras de 3 letras (con o sin significado) pueden
formarse con las letras de la palabra TEJAS sin repetir ninguna
letra?
¿De cuántas formas diferentes pueden entregarse las
medallas en la final olímpica de 100 m lisos (8 participantes)?
Piensa ejemplos y resuélvelos

V5,5= 5 .4 . 3 .2 . 1
Cuando m y n son iguales, se toman todos los elementos, solo
cambia el orden de los elementos…
¿De cuántas formas distintas puede quedar la clasificación de
una carrera si participan 5 personas?
Permutaciones
Los grupos se forman cambiando la posición “permutando” los
elementos
ABCDE , ACBDE, EDCBA….
5
5
Sí
No

𝑉𝑛,𝑛 = 𝑃𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙ ⋯ ∙ 3. 2 .1
Permutaciones
Las Permutaciones sin repetición de m elementos se calculan por
el producto de todos los factores enteros consecutivos y
decrecientes siendo el primero de ellos m y el último 1
𝑃4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
𝑃6 = 6. 5. 4 . 3. 2.1 = 720
Los grupos solo se diferencian unos de otros en la posición de los
elementos

Factorial de un número
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
6!= 6. 5. 4 . 3. 2.1 = 720
𝑃𝑚 = 𝑚!
Muy importante
Por convenio:
1! = 1
0! = 1
Factorial de un número entero m es igual a ….

¿De cuántas formas puede quedar la clasificación de la liga de
fútbol (20 equipos)?
𝑃20 = 20 = 20 . 19 . 18 . … 2 . 1
𝑃20 = 2,43 . 1018
20
20
Sí
No

Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con las
cifras 1, 2, 3, 4, (si puedo repetir los números)
𝑉𝑅4,3 = 4 . 4 . 4 = 43
= 64
𝑉𝑅 𝑚,𝑛 = 𝑚n
Variaciones con repetición
4
3
Sí
Sí
Variaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3
Proceso de formación…

¿Cuántas palabras de cinco letras pueden formarse usando
las letras A, B?
2
5
Sí
Sí
Variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 5 en 5
𝑉𝑅2,5 = 𝑉𝑅2
5
= 25
= 32

Permutaciones con repetición
5
5
Sí
Sí**
Permutaciones con repetición
¿Cuántas palabras de cinco letras formarse usando tres veces
la letra A y dos veces la B?

𝑃5
3,2
=
5!
3! ∙2!
=
5.4.3.2.1
3.2.1 .2.1
= 5. 2= 10
𝑃𝑚
𝑎,𝑏,𝑐
=
𝑚!
𝑎! ∙ 𝑏! ∙ 𝑐!
(a+b+c=m)

De un grupo de cinco, selecciono 3 personas para realizar un
trabajo
Combinaciones
5
3
NO
No
Combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3
Combinaciones no importa el orden

De un grupo de cinco, selecciono 3 personas para realizar un
trabajo
Combinaciones
Combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3
A B C D E
A B C
A B D
A B E
A C D
A C E
A D E
B C D
B C E
B D E
C D E
Los grupos se diferencian unos de otros solo en los elementos
que los componen
El orden no influye
10 Combinaciones

Combinaciones
Combinaciones de m elementos tomados de n en
𝐶 𝑚,𝑛 =
𝑚!
𝑛! ∙ 𝑚 − 𝑛 !
𝐶5,3 =
5!
3! ∙ 5 − 3 !
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1
= 5 ∙ 2 = 10
𝐶 𝑚,𝑛 =
𝑉𝑚,𝑛
𝑃𝑛
=
𝑚!
𝑛! ∙ 𝑚 − 𝑛 !

4 personas llegan a una reunión y todos se saludan entre sí
¿Cuántos saludos se producen?
4
2
No
No
𝐶4,2 =
4!
2!∙ 4−2 !
=
4∙3∙2∙1
2∙1 ∙2∙1
= 3 ∙ 2 =6
Combinaciones

Combinaciones frente a Variaciones
¿Influye el orden?
𝐶 𝑚,𝑛 =
𝑚!
𝑛! ∙ 𝑚 − 𝑛 !
𝐶 𝑚,𝑛 =
𝑉𝑚,𝑛
𝑃𝑛
=
𝑚!
𝑛! ∙ 𝑚 − 𝑛 !
𝑉𝑚,𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑚 − 1 ∙ 𝑚 − 2 ∙ ⋯ ∙ (𝑚 − 𝑛 + 1)

En un tren hay personas de tres países diferentes. Se selecciona
a 6 para realizar una encuesta ¿de cuántas formas diferentes
pueden resultar las nacionalidades de los seleccionados?
Combinaciones con repetición
m=3
n=6
No
Combinaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3
no importa el orden, se pueden repetir
Sí
A A B C C C
A A B B B C
B B B C C C
…..

En un tren hay personas de tres países diferentes. Se selecciona
a 6 para realizar una encuesta ¿de cuántas formas diferentes
pueden resultar las nacionalidades de los seleccionados?
𝐶𝑅 𝑚
𝑛
=
𝑚 + 𝑛 − 1 !
𝑛! ∙ 𝑚 − 1 !
𝐶𝑅3
6
=
3 + 6 − 1 !
6! ∙ 3 − 1 !
=
8!
6! ∙ 2!
=
8 ∙ 7 ∙ 6!
6! ∙ 2
= 28
• Nº de elementos: m=3
• Nº element por grupo: n=6
• ¿Importa el orden? No
• ¿Se pueden repetir? Sí

Quieres llevar música en tu teléfono, de tus 6 discos solo te entran 3 ¿de cuántas
formas puedes hacerlo?
El entrenador de baloncesto tiene 10 jugadores y debe poner a 5 a jugar
¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer?
¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 personas en cinco sillas?
Tienes 3 camisas 4 pantalones y 2 pares de zapatos ¿De cuantas formas
diferentes puedes vestirte? (te debes poner una camisa, un pantalón y unos
zapatos)
¿Cuántos números de 3 cifras puedes hacer con los número 0, 1, 2, 3, 4, 5?
a) No pueden repetirse
b) Pueden repetirse
Puedes comprar cinco de los 8 juegos que hay disponibles en una tienda
¿Cuántas compras diferentes puede hacer?

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