1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite convertir una función del tiempo en otra función compleja, permitiendo resolver ecuaciones diferenciales.
2) Tiene propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia, lo que facilita su uso para resolver ecuaciones.
3) Se puede usar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales al convertirlas en ecuaciones algebraicas mediante la transformada, y luego aplicar la transformada inversa.
2. Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como: donde s es una variable compleja Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge. La transformada de Laplace
3. Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) "Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
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5. Condiciones suficientes de existencia de la TL Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito: Entonces: L{f(t)} = F(s) existe s > a.
6. Unicidad de la TL Si f 1 (t) y f 2 (t) poseen la misma TL: L{f 1 (t) } = L{f 2 (t) }= F(s), entonces el teorema de Lerch garantiza que
16. Funciones periódicas Supongamos que f ( t ) es una función periódica de periodo T . Entonces: donde F 1 ( s ) es la transformada de Laplace de la función f ( t ) sobre el primer periodo y cero fuera. T
19. Tabla de transformadas de Laplace a s e s n t t s t at n n 1 ! s 1 1 1 1 1 2
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25. La TF es un caso particular de la TL Supongamos que es complejo: = + i Antitransformando tendríamos (observa que es la variable conjugada):
26. Recordemos que = + i . Si tomamos constante: Llegamos a la integral compleja:
27. Re ( ) Im( ) - γ es analítica para todo perteneciente a la región en rojo. Camino de integración: cte y de - ∞ a + ∞. Donde suponemos un tal que Haciendo s = i = i( + i ) llegamos a la transformada de Laplace.
28. Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante: conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin. Transformada inversa de Laplace
29. Re(s) Im(s) γ γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas las singularidades de F(s) queden a su izquierda. Con condiciones de existencia:
30. Por ejemplo, determinemos: Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1, entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el contorno de integración C de la figura. Re(s) Im(s) γ=0 -1 C 1 R -R 0 por la desigualdad ML cuando R ->∞ con t ≥0. Haciendo R ->∞ y utilizando teoría de residuos:
31. Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para todo s del semiplano Re(s) γ y |s| > R, tenemos que Entonces si t > 0: En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s) polinomios de grado n y d respectivamente, d > n; entonces podemos usar la igualdad anterior.
33. 1. Linealidad : Si c 1 y c 2 son constantes, f 1 (x) y f 2 (x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F 1 (x) y F 2 (x) , respectivamente; entonces: La transformada de Laplace es un operador lineal. Propiedades
35. 2. Desplazamiento temporal ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s F e t t d f e e dt t t f e dt t t u t t f e s X dt t f e s F st s st t st st st
40. 6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0. La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:
45. Gracias a esta propiedad y a la linealidad de la TL podemos convertir una ec. diferencial como en una ec. algebraica Resolver para y(t) Resolver para Y(s)
47. Si resolvemos la ec. algebraica: y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s) , encontraremos la solución de la ec. diferencial.
59. 10. Teorema del valor final Si existe, entonces: 11. Teorema del valor inicial El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:
60. Recordemos que la operación se conoce como la convolución de y y se denota como La transformada de Laplace de esta operación está dada por: 12. Integral de convolución
61. Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda: Así que para estas funciones podemos definirla convolución como:
66. Raíces del denominador D ( s ) o polos de F(s): Caso I – Polos reales simples Caso II – Polos reales múltiples Caso III – Polos complejos conjugados Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples Desarrollo en fracciones parciales: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.
78. Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III, teniendo en cuenta que trabajamos con complejos. Caso IV – factores complejos conjugados múltiples