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動的計画法入門(An introduction to Dynamic Programming)
- 1. 的計画法入門
- 2. 目次 グラフの基礎知識 無向グラフ、有向グラフ 閉路、DAG、トポロジカル順序 グラフの表現方法 DAGの問題の解き方 最短経路、最長経路 最大/最小の重みの合計 連結しているか 動的計画法とDAG DAGを使った動的計画法 問題解説 DAGへの落とし方
- 3. グラフの基礎知識
- 4. グラフとは 丸が線で繋がれた図 丸に情報をいれ、線で情報のつながりを表す 丸に「駅名」、線で「電車でつながっている駅」を表す、 など
- 5. グラフとは エッジ ノード エッジ ノード エッジ ノード エッジ ノード エッジ ノード エッジ 丸を「ノード」や「頂点」 線を「エッジ」や「辺」という あるノードから別のノードに行く行き方を「パス」や 「経路」という エッジにも情報を持たせることがある。（重み）
- 6. 有向グラフ グラフの中で、一方通行なエッジがあるもの 一方通行のエッジがないものは「無向グラフ」 ノードから出て行くエッジを「出力辺」 ノードに入っていくエッジを「入力辺」 仕事順などを表せる 両方向通行可 の場合
- 9. トポロジカル順序 DAGにおいて、「ノードAからノードBにエッジがあ るとき、必ずAがBより前にあるように並び替えた順 序」のこと A B C トポロジカル順序は、 「A → B → C → D → E」 「A → B → D → C → E」 D E
- 10. トポロジカル順序 トポロジカル順序は複数存在するときもある DAGを仕事の順序を表したグラフと考えると、 「仕事が成立する順序」とも考えられる。 トポロジカル順序にノードを並び替えることを 「トポロジカルソート」という。 A B C A → B → C → D → E または 仕事が成立する。 D E A → B → D → C → E なら
- 11. グラフの表現（構造体） 構造体の配列での表現 typedef struct _node { int data; //ノードの情報 } Node; typedef truct _edge { Node *pNode1; Node *pNode2; int weight; //重み } Edge; Node nodes[100]; Edge edges[10000]; 色々なグラフを表現可能。しかし若干めんどくさい。
- 12. グラフの表現（配列） 配列での表現 int nodes[100]; int nodes[10][20]; ノードが線、長方形、直方体状に並んだグラフを簡単に再 現できる エッジはプログラミングでどうにか表現する nodes[i] = nodes[i-3] + 2; // node iとnode i-3を関連付け 動的計画法の問題に適している ノードの番号（座標）も情報として活用できる 複雑なグラフは再現しにくい
- 13. グラフの表現（配列）例 node i と node i-3 を関連付けした場合 i: 0 1 2 3 4 5 6 このグラフはDAGです（トポロジカル順序はiの昇順） nodes[i] = nodes[i-3] + 2 とすれば、エッジの重み が２のDAGが完成
- 14. DAGの問題の 解き方
- 15. グラフを使った問題 グラフの問題には、例えば以下があります。 ノードAからノードBに行くとき、 通るエッジ数（ノード数）の最大/最小 通るエッジの重みの合計の最大/最小 総経路数（行き方の場合の数） ノードAとノードBがつながっているかどうか 実は、グラフが配列を使ったDAGの時は、これらの問 題は簡単に解くことができます
- 17. 配列DAGの問題を解く（２） 次に、調べ終わっているノードの値から、調べている ノードの値を確定します。 通るエッジの重みの合計の最大/最小なら あるノードに保存する情報は、「ノードAから、そのノー ドに至るまでの重みの合計の最大/最小」とする あるノードに至るまでの重みの最大/最小は、その入力 ノードの情報＋エッジの重みの中で、最大/最小のもの 4 2 8 3 10 1 ←4+3、2+10、8+1の中で 最大/最小の値を書き込む
- 18. 配列DAGの問題を解く（３） 最大/最小を求めるときは、以下の式が便利です。 node[i] = max(node[i],node[j]+edge_val); or node[i] = min(node[i],node[j]+edge_val); この式をiの全部の入力ノードjに対して実行します iは固定でjが変わっていき、node[i]を更新するイメージ 例えば、あるノードが、それより6つ前までのノード 全てとつながっている時は（範囲チェックは割愛） for(int k=1;k<=6;k++) { node[i] = min(node[i],node[i-k]+edge_val); } 最大/最小のエッジ数なら、重みを１で固定します
- 19. 配列DAGの問題を解く（４） ノードAからノードBまでの総経路数の問題ならもっ と話は簡単です。 ノードに保存する情報は「ノードAからそのノードま での総経路数」とします ノードをトポロジカル順序で調べていきます 調べる内容は、ただ入力ノードの値を足すだけです。 「確率」も同様にして求められます。 ノードに確率を保存し、そのp倍を出力先ノードに足す 4 0.4 確率1/4 0.6 確率1/4 2 8 ↑4+2+8通り ↑0.4*1/4 + 0.6*1/4
- 20. 配列DAGの問題を解く（５） 「ノードAとノードBが連結しているか」も同じように考えます。 面倒臭かったら、経路数が０かどうかを調べても良いです ノードに保存する情報は、ノードAとそのノードがつながってい るなら１、そうでないなら０とします ノードAはノードAと連結していると考えます。 ノードAの値は１、それ以外はとりあえず０ トポロジカル順序で考えた時、全ての入力ノードの内、一つでも １があれば１、一つもなければ０としていきます 若干効率は悪いですが… 今回はこれで行きましょう 1 0 0 ←1があるので、 1を書き込みます
- 21. 配列DAGの問題を解く（６） 初期条件には注意が必要です。 最大を求める問題なら、最初から最大値が決定している ノード以外のノードの値は、－∞で初期化します 実際には－∞は入れられないので、-INTMAXで我慢します 最小ならば、＋∞で初期化します 経路数なら、明らかなところを１で、そうでないところ を０で初期化します。 連結しているかどうかは、連結しているかどうかの対象 ノードの値を１に、それ以外を０に初期化します。
- 22. 配列DAGの問題を解く（７） 実際に考えてみましょう 線状に並んだ101個のノードが数直線上にある。これ らのノードは「素数個」後のノードと繋がっている ２個後、３個後、５個後、７個後、１１個後…と隣接 範囲外のノードは繋がっていないと考える。 この時１個目のノードから１０1個目のノードに行く 行き方は何通りあるか 最小のエッジ数は何個か
- 24. 配列DAGの問題を解く（９） 行き方 int nodes[101] = {0}; //行き方を格納 int primes[25] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71 ,73,79,83,89,97}; nodes[0] = 1; //0番に行く行き方だけは１ //トポロジカルソート順に調べる for(int i = 0; i < 101; i++) { for(int j = 0; j < 25; j++) { if (i – primes[j] >= 0) { //範囲チェック nodes[i] += node[i - primes[j]]; } } } std::cout << nodes[100] << std::endl;
- 25. 配列DAGの問題を解く（１０） 最小のエッジ数 int nodes[101]; //最小のエッジ数を格納 int primes[25] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71 ,73,79,83,89,97}; nodes[0] = 0; //0番は0個のエッジ数で到達できる for(int i = 1; i < 101; i++) nodes[i] = 10000000; //+∞ //トポロジカルソート順に調べる for(int i = 0; i < 101; i++) { for(int j = 0; j < 25; j++) { if (i – primes[j] >= 0) { //範囲チェック nodes[i] = min(nodes[i], nodes[i - primes[j]] + 1); } } } std::cout << nodes[100] << std::endl;
- 26. 動的計画法とDAG
- 27. 動的計画法とDAG すでに分かっている答えを組み合わせて、新しい答え を作っていく方法 具体的には、制約が簡単な問題の答えから、より難しい制 約の問題を解いていく。 DP(Dynamic Programming)と言われる 通常の調べ上げより処理が圧倒的に軽い（𝑎 𝑛 → 𝑛 𝑎 ） 動的計画法の問題は、基本的にDAGに落とせる DAGに落とせれば、先程の解法が使える 配列を使ったDAGに落とすことが多いが、その時の添 字も情報として活用する
- 28. 例題 １００を素数の和で表すとき、その最小項数を求めよ 例：8 = 2+2+2+2 = 2+3+3 = 5+3 数は2 だから、最小項
- 29. 例題：ヒント １００を素数の和で表すとき、その最小項数を求めよ ターゲットの自然数をいきなり分解しようとすると難 しい。 とりあえず、DAGに落とせないか考えよう dp[i]に「iを素数の和で表すときの、最小項数」を入 れてみる。 なぜこの配列を考えようと思ったのかは、後解説します dp[i]とdp[i-素数]の関係を考えると…
- 30. 例題：解説 dp[i] := iを素数の和で表すときの、最小項数 足した素数分だけ右に行き、使ったエッジ数が１増える 「ノード0からノード１００に行くときの、最小エッジ 数を求めよ」と同義 先ほどの問題と全く一緒 i: 0 1 2 3 4 5
- 31. 問１ 100万円以下の金額が与えられる。10種類の小切手(𝑖 種類目の小切手の金額は𝐴[𝑖](> 0))で支払いをする時、 支払う合計枚数の最小値を出力しなさい。 出典：『最速最強アルゴリズマー養成講座』（編）
- 32. 問１：解説 dp[i] := i万円払うときの小切手の最小枚数 １枚使うごとに枚数が増える。iはA[i]だけ増える 「枚数」は「使ったエッジ数」に置き換えられる 例題と同じ！
- 34. 問２：ヒント 地形がある問題は、その地形の形でノードを置くと良 いです。 dp[i][j]など。 その上でノードのつながりを考えます。今回は銀が移 動するので、左上、上、右上、右下、左下のノードと繋 がっていると考えられます しかしこれだとDAGになりません。こういう時はもう 一次元何かを増やすとうまくいくことが多いです。何か もう一つ制約は無かったでしょうか？ 銀の動きをグラフに してみたがDAGにならない→
- 35. 問２:解説（１） 今回は、ターン数でもう一次元拡張します。 dp[i][j][k] :=kターンで座標(i,j)に行く行き方 一回移動すると、ターンが１増えるのでノードを一階 層ずらしてつなぎます。 j 全てのノードが一階層下の 左上、上、右上、右下、左下 と繋がっている k i
- 36. 問２：解説２ 「３０ターンちょうどで」→ 「３０階層目で」 求めるものは、「ノード(0,0,0) j から(9,9,35)に行く総経路数 を求めよ」と同義 k これはDAGで、トポロジカル 順序はkの昇順 i
- 37. 問２：解説（３） int dp[10][10][36] = {0}; //kターンで(i,j)に行く進み方の数 int dirX[5] = {-1,0,1,-1,1}; //銀の進む方向（ｘ） int dirY[5] = {1,1,1,-1,-1}; //銀の進む方向（ｙ） dp[0][0][0] = 1; for(int k = 1; k <= 35; k++) { //トポロジカル順序はｋの昇順 for(int i = 0; i < 10; i++) { for(int j = 0; j < 10; j++) { for(int l=0;l<5;l++) { int px = i - dirX[l]; int py = j - dirY[l]; if(isIN(px,py)) { //範囲チェック dp[i][j][k]+=dp[px][py][k-1]; } } } } } std::cout << dp[9][9][35] << std::endl;
- 38. 問３ さいころを振って進むすごろくがある。ただし、ちょ うど6𝑛 マス(𝑛 > 0)進むと、スタートに戻される。20 回さいころを振ったとき、スタート地点から30マス以 上進んでいる確率を求めよ。 出典：『最速最強アルゴリズマー養成講座』（編）
- 39. 問３：ヒント 一応、すごろくなので、地形があります。 地形と言っても「何マス進んだか」の一直線ですが… サイコロを振って進むので、各ノードは6つ先までの ノード全てとつながっていると言えます ただし、 6𝑛個目のノードにはつなぐときは、スタートに つなぎ変えます しかし、これではDAGになりません。何か制約を加え てDAGにしましょう。
- 40. 問３：解説（１） 「サイコロを振った回数」を加えて次元を拡張します dp[i][j] := i回サイコロを振った時jマス進んでいる確率 i階層目の各ノードは、i+1階層目の６つ先までのノー ドと繋がっている 6𝑛個目の場合は、i+1階層目のスタートにつなぎ替える。 ある一つのエッジを進む確率は、エッジの出処のノー ドの値の1/6 この値をエッジの先のノードに足していく。 ←1/3*0.4 + 1/3*0.6 0.4 ←1/3*0.4 + 1/3*0.6 0.6 ←1/3*0.4 + 1/3*0.6 皆確率1/3の時
- 42. 問３：解説（３） double dp[21][121]={0}; //i回サイコロを振ってjマス進む確率 dp[0][0] = 1.0; //スタートマスの確率は１ for(int i = 1; i <= 20; i++) { //トポロジカル順序はiの昇順 dp[i][0] = 1.0 / 6.0; for(int j = 1; j < 121; j++) { if (j % 6 != 0) { for(int k = 1; k <= 6; k++) { if (j – k >= 0) { //範囲チェック dp[i][j] += dp[i-1][j-k]/6.0; } } } } } double ans=0.0; for(int j = 30; j < 121; j++) ans += dp[20][j]; std::cout << ans << std::endl;
- 44. 問４：ヒント ビー玉の合計の重さをSとすると、Sが偶数でない場合 不可能。偶数の時、「何個かのビー玉を選んで、合計が S/2となる選び方が存在するか」と言い換えられる。 「～を選んで」の問題の場合、「～をi番目まで考慮し た時の」と機械的に１次元増やすとうまくいく。 これと、合計を配列の添字にすると…
- 45. 問４：解説（１） dp[i][j] := i個目のビー玉まで考慮した時、選んだビー 玉の重さの合計がjとなるか（１：可 ０：不可） 「選択」を「 i個目の～まで考慮した時」とした時は、 選択肢の数だけ、エッジが出ます 今回は、選ぶか選ばないかの２つのエッジが出ます 選んだ場合は、i番目のビー玉の重さだけ右にズレて１階層下 のノードとつながります。選ばない場合は直下のノードとつ ながります。 後は、(0,0)のノードと(1000,S/2)のノードが連結し ているかという問題を解くだけです。 もう少し効率のよい方法もあるらしい
- 47. 問４：解説（３） int dp[1001][5001] = {0}; // i個目のビー玉まで考慮した時、選んだ ビー玉の重さの合計がjとなるか dp[0][0] = 1; int weight[1000]; //ビー玉の重さ int sum = 0; //ビー玉の重さの合計 for(int i = 0; i < 1000; i++) sum += weight[i]; if (sum % 2 == 0) { for(int i = 1; i <= 1000; i++) { //トポロジカル順序 for(int j = 0; j < 5001; j++) { if(j - A[i - 1] >= 0) { //範囲チェック dp[i][j] |= dp[i-1][j-A[i-1]]; } dp[i][j] |= dp[i-1][j]; } } } if (dp[1000][sum/2]) std::cout << “possible” << std::endl; else std::cout << “impossible” << std::endl;
- 48. DAGへの落とし方（１） まず、問題に関わる制約を全て書き出します。 その制約を「dp配列の添字または値にするもの」と 「グラフのつながりを考えるために使用するもの」にグ ループ分けします 大まかには 範囲指定されている制約は配列の添字になりやすい 求めるものは、配列の値になりやすい その他、問題を解いていく途中に値がコロコロ変わるもの は配列の添字/値になりやすい 選択肢、地形も配列の添字になる それ以外はグラフのつながりを表すものになる
- 49. DAGへの落とし方（２） 特に配列の添字になりやすいもの ターン数、日数、手数、（試行）回数 合計 地形 選択（「i番目まで考慮した時の～」に変更して添字に） 特にグラフのつながり方を表すものになりやすいもの 移動規則（広い意味での「座標」を移動させるルール） 恒等的に同じ中身の配列
- 50. 問１ 100万円以下の金額が与えられる。10種類の小切手(𝑖種類 目の小切手の金額は𝐴[𝑖](> 0))で支払いをする時、支払う合 計枚数の最小値を出力しなさい。 dpの添字または値になるもの 金額…問題を解いていく途中にコロコロ変わる。また、範囲指 定がされていて、金額の合計と言い換えられる。 枚数…求めるものだから、dp配列の値になりやすい。コロコロ 変わる。 グラフのつながりを表すもの 小切手の金額の配列…問題文中は常に一定。金額の合計を移動 させるものと考えることができる 結果：dp[i] := i円払うのにかかる合計枚数の最小値
- 51. 問２ 将棋の「銀」の動きをするコマが、10*10の盤面の一 番左下にある。30ターンちょうどで、一番右上に行く 進み方は何通りあるか。 dpの添字または値になるもの 盤面…立派な地形。添字になりやすい。 ターン…特に添字になりやすいものの代表。解いている途 中にコロコロかわり、３０ターン以内という制限もある 通り…求めるものなので値になりやすい。 グラフのつながりを表すもの コマの動き…移動手段。地形とセットでよく出てくる。 結果：dp[i][j][k] := kターンで(i,j)に行く進み方の数
- 52. 問３ さいころを振って進むすごろくがある。ただし、ちょうど6𝑛 マ ス(𝑛 > 0)進むと、スタートに戻される。20回さいころを振ったと き、スタート地点から30マス以上進んでいる確率を求めよ。 dpの添字または値になるもの 回数…添字になりやすい典型です マス…基本的に、出た目の合計と考えられます。問題を解いている 途中にコロコロ変わり、範囲指定もあります。 確率…求めるものです。値になりやすいです。 グラフのつながりを表すもの さいころ…移動規則です。進んだマスを増やすものと考えられます。 問題文中は一定です。 戻る…さいころと同じで、移動規則です。 結果：dp[i][j] := i回さいころを振った時jマス進んでいる確率
- 53. 問４ ある大小バラバラの1000個以下のビー玉が与えられる。 ビー玉の重さが1～10の整数だとして、これを2人で分ける とき、合計の重さを均等にすることが可能か求めなさい dpの添字または値になるもの ビー玉の個数…二人の内どちらかに振り分けると考えれば、選 択と考えられます。範囲指定もあります。添字です。 合計の重さ…「合計」です。添字になります。 グラフのつながりを表すもの ビー玉の重さ…問題を解く間一定です。合計の重さを移動させ るものと考えることができます 結果：dp[i][j] := i個目のビー玉まで考慮した時、合計の重 さがjとなるか
- 54. 参考文献等 「DPの話」 http://d.hatena.ne.jp/Tayama/20111210/132350209 2 DAGと動的計画法の関連についてわかりやすく、詳しく書いて あります。今回扱っていない高度な話題もたくさんあります。 「最速最強アルゴリズマー養成講座」 http://www.itmedia.co.jp/enterprise/articles/1005/15/n ews002_2.html 今回の問題の出典元です。 「プログラミングコンテスト チャレンジブック」 通称蟻本です。動的計画法含め、様々なアルゴリズムについて 幅広く解説されています。