2. En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da
entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser
iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser
comparados.
En las desigualdades se utilizan los siguientes símbolos:
< > ≤ ≥ ≪ ≫
3. < Menor que
> Mayor que
≥ Mayor o igual que
≤ Menor o igual que
≫ Mucho mayor que
≪ Mucho menor que
≠ No es igual a
4. La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b;
estas relaciones se conocen
como desigualdades estrictas, puesto que a no
puede ser igual a b; también puede leerse
como "estrictamente menor que" o
"estrictamente mayor que".
5. La notación a ≤ b significa a es menor o igual
que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual
que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre
de desigualdades amplias (o no estrictas).
6. La notación a ≪ b significa a es mucho menor
que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor
que b;
Esta relación indica por lo general una diferencia
de varios órdenes de magnitud.
7. La notación a ≠ b significa que a no es
igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son
comparables.
8. Las desigualdades están gobernadas por las siguientes
propiedades. Notar que, para las propiedades
transitividad, adición, sustracción, multiplicación y
división, la propiedad también se mantiene si los
símbolos de desigualdad estricta (< y >) son
reemplazados por sus correspondientes símbolos de
desigualdad no estricta (≤ y ≥).
9. Para números reales arbitrarios a, b y c:
Si a > b y b > c entonces a > c.
Si a < b y b < c entonces a < c.
Si a > b y b = c entonces a > c.
Si a < b y b = c entonces a < c.
Ejemplo:
Si 12 < 15 y 15 < 23, entonces 12 < 23
Si 9 > 5 y 5 = (3 + 2) entonces 9 > (3 +2)
10. Para números reales arbitrarios a, b y c:
Si a < b entonces a + c < b + c
Y a − c < b − c.
Si a > b entonces a + c > b + c
Y a − c > b − c.
Ejemplo:
Si 789 < 987 y aplicamos la propiedad
adicionando 143 resulta así:
789 + 143 < 987 + 143
932 < 1130
11. Para números reales arbitrarios a y b,
y c diferente de cero:
Si c es positivo y a < b entonces ac < bc
y a/c < b/c.
Si c es negativo y a < b entonces ac > bc
y a/c > b/c.
12. Para números reales arbitrarios a y b:
Si a < b entonces −a > −b.
Si a > b entonces −a < −b.
Ejemplo:
Si 45 < 86 entonces -45 > -86
Si 70 > 49 entonces -70 < -49
Cambia el sentido de la desigualdad.
13. Para números reales a y b distintos de cero,
ambos positivos o negativos a la vez:
Si a < b entonces 1/a > 1/b.
Si a > b entonces 1/a < 1/b.
Si a y b son de distinto signo:
Si a < b entonces 1/a < 1/b.
Si a > b entonces 1/a > 1/b.
Ejemplo:
-8 < -3 entonces -1/8 > -1/3
6 > -4 entonces 1/6 > -1/4
14. Se puede definir el valor absoluto por medio de
desigualdades:
∣a∣ ≤ b si y solo si, -b ≤ a ≤ b
∣a∣ ≥ b si y solo si, a ≥ b ⋁ a ≤ -b
Ejemplo:
∣8∣ ≤ 17 si y solo si, -17 ≤ 8 ≤ 17
∣-12∣ ≥ 5 si y solo si, 12 ≥ 5 ⋁ 12 ≤ -5 y la
verdadera es 12 ≥ 5
15. En matemática, una inecuación es
una desigualdad algebraica en la que aparecen
una o más incógnitas en los miembros de la
desigualdad. Si la desigualdad es del
tipo > o < se denomina inecuación en sentido
estricto y si es del tipo ≥ o ≤ se
denomina inecuación en sentido amplio.
16. Del mismo modo en que se hace la diferencia
entre igualdad y ecuación, una inecuación que es
válida para todas las variables se
llama inecuación incondicional y las que son
válidas solo para algunos valores de las variables
se conocen como inecuaciones
condicionales. Los valores que verifican la
desigualdad, son sus soluciones.
17. Según el número de incógnitas,
◦ De una incógnita. Ejemplo: x < 0
◦ De dos incógnitas. Ejemplo: x < y
◦ De tres incógnitas. Ejemplo: x < y + z
◦ etc.
18. Según la potencia de la incógnita:
◦ De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la
incógnita de la inecuación es uno.
Ejemplo: x + 1 < 0
◦ De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor
exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo:
x2 + 1 < 0
◦ De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de
cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: x3 + x2 < 0
◦ etc.
Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes,
como se muestra en el último ejemplo
19. Inecuaciones de segundo grado con una
incógnita
Se expresan a través de cualquiera de las
desigualdades siguientes (con a, b y c números
reales, y a distinto de cero):
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≤ 0
ax2 + bx + c ≥ 0
20. Un intervalo (del latín intervallum) es
un conjunto comprendido entre dos valores.
Específicamente, un intervalo real es
un subconjunto conexo de la recta real , es
decir, una porción de recta entre dos valores
dados.
21. El intervalo real I es la parte de R que verifica
la siguiente propiedad:
Si a y b pertenecen a I con a ≤ b, entonces
para todo x tal que a ≤ x ≤ b , se tiene
que x pertenece a I
Nota: I es el intervalo y R es el conjunto de
los números reales.
22. Existen dos notaciones principales: en un
caso se utilizan corchetes y corchetes
invertidos, en el otro corchetes y paréntesis.
[ ] ( ) ] [ [ ) ( ]
23. Intervalo abierto
No incluye los extremos.
(a , b) o bien ]a , b[
Notación conjuntista o en términos de
desigualdades:
El intervalo (a , b), es aquel que para todo x
que pertenece al intervalo, a < x < b
24. Intervalo cerrado
Sí incluye los extremos.
Que se indica: [a , b]
Notación conjuntista o en términos de
desigualdades
En el intervalo [a , b], es aquel que para todo x
que pertenece al intervalo, se representa
a ≤ x ≤ b
25. Intervalo semiabierto
Incluye únicamente uno de los extremos.
Con la notación [a , b) o bien [a , b[ indicamos.
En notación conjuntista:
[a ,b), para todo x que pertenece al intervalo, el
primer extremo está incluido así: a ≤ x < b
Y con la notación (a , b] o bien ]a, b],
En notación conjuntista:
(a ,b], para todo x que pertenece al intervalo, el
primer extremo está incluido así: a < x ≤ b
