Le premier objectif de ce travail est de réaliser une macro VBA qui permet de calculer et visualiser la droite d’ajustement (régression linéaire) au sens des moindres carrés d’un nuage de points (x,y). La macro a été étendue afin de tracer les courbes d’ajustement (régression polynomiale) d’ordre 2 et 3.

1. TP Algorithmique Master 1 – IMI 2010/2011 TP-Algorithmique
CourbesSujet : Approximation linéaire - droite VBA
d’ajustement au sens des moindres carrées avec d’ajustement au sens des moindres carrés
Réalisation : Kamel MOUATS
Master 1 – IMI Université Henri Poincaré 2010/2011
1. Objectif du travail :
Le premier objectif de ce travail est de réaliser une macro VBA qui permet de calculer
et visualiser la droite d’ajustement (régression linéaire) au sens des moindres carrés d’un
nuage de points (x,y).
La macro a été étendue afin de tracer les courbes d’ajustement (régression polynomiale)
d’ordre 2 et 3.
2. Définitions :
2.1. Courbe d’ajustement au sens des moindres carrées :
L'ensemble des points répartis sur un système d'axes donne l'aspect d'une nuée de particules
de poussière qui se disperse dans l'air. Ce système est d'ailleurs appelé diagramme de
dispersion. Dans la plupart des cas, on peut, à partir de ce diagramme, faire la représentation
d'une courbe continue autour de laquelle les points semblent se regrouper. Cette courbe est
nommée courbe d'ajustement.
Il existe plusieurs types communs de courbes d'ajustement possédant chacun leurs propres
équations. La liste ci-dessous en fait l'énumération (non exhaustive):
Droite:
Parabole:
Courbe cubique:
Courbe du 4e degré:
Courbe du ne degré:
Hyperbole:
…. etc
2.2. Méthode graphique d'ajustement d'une courbe:
On peut facilement déterminer une courbe d'ajustement d'un ensemble de données. C'est
l'action de faire l'esquisse d'une courbe qui soit proche de l’ensemble des points (x,y)
considérés.
2.3. La droite d’ajustement
La droite est certes le type de courbe d'approximation le plus simple. Tel que mentionné ci-
dessus, son équation est:
K.MOUATS 1

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Courbes d’ajustement au sens des moindres carrées avec VBA
Considérons deux points quelconques: et qui se retrouvent sur la droite. À partir
de ceux-ci, il devient possible de découvrir les constantes et . L'équation de la droite
prend alors la forme suivante:
On peut encore réduire l'équation si ont remplace
par m qui est la pente de la droite. Celle-ci représente la variation de Y sur la variation de x
correspondante. Reprenant l'équation de la droite à sa forme initiale, la constante est égale à
la pente et la seconde constante est égale à la valeur de Y lorsque X = 0.
2.4. La méthode des moindres carrés
Tel que mentionné plus haut, il est préférable d'éviter de porter un jugement personnel pour
l'obtention d'une courbe d'ajustement. On doit donc trouver la meilleure courbe d'ajustement.
C'est le rôle de la méthode des moindres carrés.
Examinons la figure suivante:
Figure 1. Exemple de courbe d’ajustement au sens des moindres carrés
Pour une valeur quelconque de X, par exemple X1, il y aura une différence ou erreur entre la
valeur de Y1 et la valeur qui lui correspond sur la courbe. Cette erreur est indiquée par E sur
la figure 1. Les valeurs que peuvent prendre celles-ci peuvent être positives, négatives ou
simplement, nulles.
On peut mesurer l'efficacité d'un ajustement en effectuant la somme des carrés des erreurs de
l'ensemble des données. Si cette somme est petite, l'ajustement est considéré comme étant
bon. À l'inverse, si elle est grande, l'ajustement est mauvais. On dit donc que parmi toutes les
courbes possibles qui s'approchent d'un ensemble de données, celle révélant le meilleur
ajustement est celle qui correspond à la propriété suivante:
K.MOUATS 2

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Courbes d’ajustement au sens des moindres carrées avec VBA
minimum =
On appelle courbe des moindres carrées une courbe qui vérifie cette propriété.
La droite des moindres carrés ajustant les points , ,..., possède
l'équation suivante:
Les constantes et peuvent être déterminées en résolvant les équations suivantes
simultanément:
Ces équations se nomment 'équations normales de la droite des moindres carrés'. On peut
calculer les constantes et à l'aide des formules suivantes:
et
K.MOUATS 3

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Courbes d’ajustement au sens des moindres carrées avec VBA
3. Réalisation :
La Macro VBA qui calcule les paramètres de la courbe d’ajustement au sens des moindres
carrés :
Nous avons réussi à implémenter la macro qui lit une série de données (x,y), affiche la
dispersion (nuage de points) dans un graphique et calcule les paramètres de la droite
d’ajustement (pente et déplacement). En voici le programme associé.
‘Lecture des coordonnées (x,y) et calcul des paramètres de la droite d’ajustement
Dim dimension As String; Dim nb_pt As String; Dim degre_MC As String
Dim espace_MC As Integer; Dim point As Integer; Dim x_point As String
Dim y_pont As String; Dim i As Integer
dimension = InputBox("donner le degre de MC :") ‘ MC = Moindres carrées
espace_MC = CSng(dimension)
nb_pt = InputBox("donner le nombre de points :")
point = CSng(nb_pt)
Option Explicit
Option Base 1
Dim x(point) As Single ; Dim y(point) As Single ; Dim x_moy As Single
Dim y_moy As Single; Dim s_num As Single ;Dim s_den As Single
Dim A As Single; Dim B As Single
For i = 1 To point
x_point = InputBox("donner la valeur de x" & i)
x(i) = CSng(x_point)
y_point = InputBox("donner la valeur de y" & i)
y(i) = CSng(y_point)
Next i
x_moy = 0
y_moy = 0
For i = 1 To point
x_moy = x_moy + x(i)
y_moy = y_moy + y(i)
Next i
x_moy = x_moy / point
y_moy = y_moy / point
If espace_MC = 1 Then
s_num = 0
s_den = 0
For i = 1 To point
s_num = s_num + (x(i) - x_moy) * (y(i) - y_moy)
s_den = s_den + (x(i) - x_moy) ^ 2
Next i
A = s_num / s_den ‘ la pente de la droite
B = y_moy - A * x_moy ‘ le déplacement
End If
‘ Droite d’ajustement au sens des moindres carrées : Y = AX + B
End Sub
K.MOUATS 4

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Courbes d’ajustement au sens des moindres carrées avec VBA
Nous n’avons pas réussi à trouver la fonction/procédure VBA qui permet de tracer une courbe
à partir des deux paramètres précédemment calculé. Nous avons alors décidé d’opter pour le
principe de la feuille de calcul EXCEL.
Dans la deuxième partie, les données X et Y sont introduites dans une feuille de calcul
EXCEL (2 colonnes). La macro affiche le nuage de points dans une fenêtre graphique
EXCEL. En voici le corps de la macro
‘Lecture des coordonnées (x,y) et calcul des paramètres de la droite d’ajustement
La macro pour graphique par selection
Dim mongraph As Chart, mafeuille As Worksheet, plagedonnees As Range
Set mafeuille = ThisWorkbook.Worksheets("Feuil1")
With mafeuille
Set plagedonnees = .Range(.Cells(1, 1), .Cells(1, 1).End(xlDown)).Resize(, 2)
plagedonnees.Select
End With
Set mongraph = ThisWorkbook.Charts.Add
mongraph.ChartType = xlXYScatter
‘Sélection de 2 premières colonnes de données dans la feuille de calcul et affichage du
graphique EXCEL – nuage de points
A l’aide de ce programme, on sélectionne la feuille de calcul, source des données pour
lesquelles on veut tracer la courbe d’ajustement au sens des moindres carrées.
Les deux colonnes X et Y sont délimitées (sélectionnées) et le nuage de points est affiché
dans un graphique.
On fait appel à une fonction VBA, Trendelines(), paramétrable, et qui permet de tracer la
courbe d’ajustement (régression, tendance) : linéaire, parabolique et cubique.
Pour la première partie de la réalisation, nous avons implémenté une macro que nous avons
insérée dans la barre d’outils et qui peut être lancée en ouvrant le fichier TP-Moindres-
Carrees.xls.
La macro trace la droite d’ajustement associée aux données sélectionnée X et Y et trace
également leur dispersion (nuages de point).
L’icône associée à la macro est Macro1
:
NB. Remplir les colonnes des données X et Y
La macro permet également d’afficher l’équation de la droite d’ajustement.
K.MOUATS 5

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Courbes d’ajustement au sens des moindres carrées avec VBA
Voici un exemple de ce que cette macro donne comme résultat.
Données X Données Y(X)
2 111
3 211
1 14
5 22
11 7
17 9
5 32
6 41
21 13
8 11
18 211
9 61
19 14
7 12
27 1
11 3
La droite d’ajustement au sens des moindres carrées résultante el exécutant la macro est :
Droite d ajuustement au sens des moindres carrees
250
200
150
Données Y(X)
Linéaire (Données Y(X))
100
50
y = -1,694x + 66,311
0
0 5 10 15 20 25 30
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Courbes d’ajustement au sens des moindres carrées avec VBA
Pour tester la fiabilité de notre programme, on vire la moitié des données X et Y et on relance
la macro.
Données X Données Y(X)
2 111
3 211
1 14
5 22
11 7
17 9
5 32
6 41
21 13
8 11
La droite d’ajustement calculée :
Droite d ajuustement au sens des moindres carrees
250
200
150
Données Y(X)
100
Linéaire (Données Y(X))
50
0
0 5 10 15 y = -4,4638x + 82,364
20 25
-50
On constate parfaitement le changement de l’équation de la droite et le nombre de points
affichés.
K.MOUATS 7

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Courbes d’ajustement au sens des moindres carrées avec VBA
Dans la deuxième partie de la réalisation, nous avons mis à la disposition de l’utilisateur le
choix entre un ajustement linéaire (droite), parabolique ou cubique via un UseForm1 nommé
Courbes d’Ajustement Khi2.
La transition entre les différentes demandes de formats de courbes d’ajustement doit se faire
obligatoirement en cliquant sur le bouton vert : Again qui préparera la requête suivante.
Les données X et Y peuvent êtres modifiées ou étendues à chaque moment de l’exécution.
Voici quelques imprimes d’écrans de tests réalisés sur le tableau mentionné dans la page 6.
parabole d ajuustement au sens des moindres carrees
250
200
150
Données Y(X)
Polynomial (Données Y(X))
100
50
y = 0,0958x2 - 4,1954x + 76,847
0
0 5 10 15 20 25 30
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Courbes d’ajustement au sens des moindres carrées avec VBA
courbe cubique d ajuustement au sens des moindres carrees
250
200
150
Données Y(X)
100
Polynomial (Données Y(X))
y = -0,0455x3 + 1,9716x2 - 24,804x + 127,59
50
0
0 5 10 15 20 25 30
-50
Remarque :
Pour le bon déroulement des différentes exécutions, il faut que la page active d’EXCEL soit
celle des données. Un graphique affiché pourrait bloquer un lancement du programme
(problème de référence SetSourceData de VBA).
4. Conclusion :
 Dans ce travail, nous avons utilisé VBA pour la mise en œuvre d’un noyau de
réalisation de calcul et traçage de courbes d’ajustement au sens des moindres carrés :
droite d’ajustement linéaire, parabolique et cubique.
 La difficulté à trouver la fonction VBA pour tracer une courbe à partir de sa pente et
son déplacement nous a orientés vers l’utilisation de fonctions VBA prédéfinies pour
le traçage de courbes de tendances.
 Nous avons obtenu une bonne représentation graphique des courbes d’ajustement, un
calcul qui s’adapte avec la plage de données sélectionnées. Un calcul de la qualité de
la solution (courbe) : valeur de l’erreur de l’ajustement aurait été un plus pour
l’évaluation de la solution.
 Un module de traitement d’aléas / erreurs de manipulation, de données … etc. est à
prévoir car il n’a pas été intégré dans cette réalisation.
 Vu la lourdeur de VBA (constat personnel) et la difficulté rencontrée dans son
utilisation, l’exécutable n’a pas été généré mais tout le code source a été fourni.
K.MOUATS 9