resumo

1. DALILÉIA RIBEIRO
MATEMÁTICA APLICADA
SÃO PAULO - SP
2014

2. UNIVERSIDADE PAULISTA - UNIP
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
DALILÉIA RIBEIRO RA: A32JDA-5
MATEMÁTICA APLICADA
Trabalho de Graduação apresentado a
Universidade Paulista – UNIP para conclusão da
ementa de Matemática Aplicada do 2°Semestre
de 2014 do Curso de Administração.
Orientador: Prof. XXXXXXX
SÃO PAULO - SP
2014

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SUMÁRIO
1 A FUNÇÃO DEMANDA.......................................................................................................................... 8
2 A FUNÇÃO OFERTA.............................................................................................................................. 10
3 O PONTO DE EQUILÍBRIO ............................................................................................................. 19
4 A FUNÇÃO CUSTO TOTAL................................................................................................................ 30
5 RECEITA TOTAL......................................................................................................................................... 33
6 A FUNÇÃO LUCRO .......................................................................................................................... 34
7 PONTO DE NIVELAMENTO.............................................................................................................. 33
8 OUTRAS APLICAÇÕES............................................................................................................... 34

4. 4
1. A FUNÇÃO DEMANDA
A função demanda relaciona preços e quantidades de uma mercadoria,
estudando essa relação sob o ponto de vista dos consumidores.
A quantidade de uma mercadoria ou de um serviço que um consumidor deseja
ou está disposto a consumir, em um certo período de tempo, depende de vários
fatores, tais como: o preço da mercadoria, a renda do consumidor, o preço de outras
mercadorias ou bens substitutos, o gosto pessoal do consumidor, o preço de outras
mercadorias ou bens complementares, etc.
A representação gráfica da função demanda é geralmente chamada de curva
de demanda.
Por meio de análises empíricas do comportamento dos consumidores, os
economistas observaram que à medida que o preço de uma mercadoria aumenta, a
sua quantidade demandada diminui. Da mesma forma, se o preço de uma mercadoria
diminui, a sua quantidade demandada tende a aumentar. Essa relação é o que os
economistas chamam de Lei da Demanda. Dessa forma, observou-se que a função
demanda é uma função estritamente decrescente.
Para um indivíduo, a demanda por uma certa mercadoria relaciona-se com o
preço de acordo com a tabela abaixo.
preço 8 7 6 5 4 3 2 1 0
quantidade 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Construindo o gráfico da curva de demanda referente a esses dados temos a
seguinte representação:

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O gráfico revela que a curva de demanda é na verdade uma reta, ou seja, trata-se
de uma demanda linear. Observe nesse gráfico que consideramos a quantidade (q)
no eixo vertical e o preço (p) no eixo horizontal. Isso indica que estamos considerando
a quantidade como variável dependente e o preço como variável independente, ou
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seja, q = f(p).
1.1. A demanda individual e a demanda de mercado
A demanda individual indica o quanto um determinado consumidor está
propenso a consumir de um produto a certo nível de preço. Já a demanda de mercado
ou demanda agregada nos mostra as quantidades nas quais esse produto é procurado,
num certo período de tempo, por todos os indivíduos que compõem o mercado. A
demanda de mercado depende de todos os compradores da mercadoria existentes no
mercado.
Se todos os n consumidores forem idênticos, a demanda de mercado será um
múltiplo da demanda individual de um consumidor:
qm = n.q

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Se os consumidores tiverem funções de demanda distintas, a demanda de
mercado será dada pela soma das funções demanda individuais de todos os n
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consumidores:
qm = q1 + q2 + ... + qn
1.2. A função demanda linear
Admitindo que q = f(p), podemos escrever a função demanda como:
q = a + b.p, com b ¹ 0
Essa função só será estudada no primeiro quadrante do gráfico, pois não faz
sentido pensar em preço negativo ou em quantidade negativa.
Outro detalhe importante é que, como a função demanda é sempre
decrescente, o parâmetro b será negativo, ou seja, b < 0.
Com objetivo de exemplificar essa função, determinamos graficamente a partir
das seguintes premissias; A função que relaciona os preços e quantidades de um certo
produto é dada por:
2q + 4p = 10.
Isolamos a variável q:
2.q = 10 – 4p
q = (10 – 4p)/2
q = 5 – 2p

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Em uma função do 1º grau, o intercepto do eixo vertical é dado pelo
parâmetro a, que nesse caso vale 5, o intercepto do eixo horizontal, é dado pelo valor
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de x correspondente a y = 0, ou, no nosso caso, o valor de p correspondente a q = 0.
Assim, substituindo 0 na variável q, temos:
0 = 5 – 2p
2p = 5
p = 5/2 = 2,5
Agora podemos construir o gráfico, tomando por base os interceptos do eixo
horizontal e do eixo vertical. Observe abaixo que a linha do gráfico deve ficar tracejada
no trecho que está fora do primeiro quadrante. Observe também o aspecto decrescente
do gráfico.
2. FUNÇÃO OFERTA
2.1. Visão Geral
Em Economia, é possível relacionar preços e quantidades de uma mercadoria
por meio de funções matemáticas. Empiricamente, ou seja, por meio de verificações
objetivas de dados coletados em situações práticas, podemos verificar uma forte

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correlação entre essas variáveis econômicas. Assim, isso pode ser observado nos
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diversos níveis de preço e entre quaisquer mercadorias.
2.2. FUNÇÃO OFERTA
Entendemos a função oferta como a quantidade de um bem ou serviço que os
produtores ou fabricantes (vendedores) estão dispostos a ofertar a um dado nível de
preço, em um certo período de tempo. Assim, podemos escrever:
q = f(p)
Onde q representa a quantidade ofertada e p representa o preço de uma
mercadoria, em uma análise meramente lógica ou baseada no bom senso, podemos
afirmar que:
(i) Um aumento dos preços irá provocar um aumento na quantidade ofertada,
isto é, se a um preço p1 a quantidade ofertada for q1, a um preço p2 > p1 a quantidade
ofertada será q2 > q1. Resumidamente, temos:
p2 > p1 à q2 > q1
(ii) Uma queda nos preços irá provocar uma diminuição na quantidade ofertada,
isto é, se a um preço p1 a quantidade ofertada for q1, a um preço p2 < p1 a quantidade
ofertada será q2 < q1. Resumidamente, temos:
p2 < p1 à q2 < q1
Uma questão a ser respondida seria porque os vendedores ofertam maior
quantidade de um produto quando o seu preço aumenta? A resposta a esse
questionamento pode ser melhor entendida se tomarmos um exemplo no mercado
agrícola. Imagine que os preços do milho, por exemplo, aumentam no mercado
internacional e, por consequência, no mercado interno também. Os produtores

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agrícolas ficam incentivados a produzirem mais milho, pois assim podem obter mais
lucro, visto que os preços estão altos. Da mesma forma, se o preço de um produto
agrícola cair, os produtores irão ficar inclinados a produzir menos, buscando plantar
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outros produtos que dêem a eles melhores retornos financeiros.
Admitindo, então, o fato de que as quantidades ofertadas aumentam quando os
preços aumentam e, analogamente, diminuem quando os preços caem, podemos
entender que a função oferta, que relaciona preços e quantidades, é uma função
estritamente crescente.
Os estudiosos de Economia não fazem distinção em relacionar preços e
quantidades como q = f(p) ou p = f(q). Para fins didáticos, em nossos estudos vamos
considerar apenas a primeira opção, ou seja, a quantidade (q) é a variável dependente
(y) e o preço (p) é a variável independente (x).
2.3. A função oferta pelo modelo linear
Admitindo que q = f(p), podemos escrever:
q = a + b.p, com b ¹ 0
Devemos também chamar a atenção para o fato de que essa função só será
estudada no primeiro quadrante do gráfico, pois não faz sentido pensar em preço
negativo nem quantidade negativa.
Outro detalhe importante é que, como a função oferta é sempre crescente, o
parâmetro b será positivo, ou seja, b > 0.

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2.4. A oferta de mercado de uma mercadoria
A oferta de mercado, também chamada de oferta agregada de uma
mercadoria, fornece as quantidades da mercadoria que são ofertadas, num dado
período de tempo, aos vários preços alternativos, por todos os produtores dessa
mercadoria que operam no mercado. A oferta de mercado depende dos mesmos
fatores que determinam a oferta dos produtores individuais, sendo, portanto, obtida
com base na função oferta individual dos produtores.
Se todos os produtores forem idênticos, ou seja, se tiverem a mesma função
oferta individual, para se obter a função oferta de mercado, basta tomar a função oferta
individual e multiplicá-la pelo número de produtores.
Se os produtores forem diferentes, ou seja, se tiverem funções oferta
individuais distintas, a função oferta de mercado será dada pela soma algébrica das
funções oferta individuais dos produtores.
3. PONTO DE EQUILIBRIO
3.1. Visão Geral
Conforme demonstrado anteriormente existem duas funções que relacionam os
preços e as quantidades de uma mercadoria:
a) a oferta de mercado é uma função que indica a quantidade de uma
mercadoria que os produtores estão dispostos a ofertar a um certo nível de preço;
b) a demanda de mercado é uma função que indica a quantidade de uma
mercadoria que os consumidores estão dispostos ou desejam consumir a um certo
nível de preço.

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Uma analise passível de questionamento seria: É possível a oferta dos
produtores ser igual à demanda de mercado dos consumidores por uma mercadoria a
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um certo nível de preço?
A função oferta é uma função estritamente crescente e a função demanda é
uma função estritamente decrescente. Sendo assim, se colocássemos essas duas
funções em um mesmo gráfico, haveria um ponto de interseção entre elas? Se positivo
esse ponto de interseção, o que ele significa?
3.2. O equilíbrio
Na Economia, o equilíbrio se refere às condições do mercado, as quais, uma
vez atingidas, tendem a persistir. Isso ocorre quando a quantidade ofertada de uma
mercadoria se iguala à sua quantidade demandada num mesmo período de tempo.
Geometricamente, o equilíbrio ocorre na interseção das curvas de demanda e oferta de
mercado.
Sobre essa interseção, este ponto, se existir, é único, pois a curva de demanda
é decrescente e a curva de oferta é crescente. Assim, neste ponto a quantidade que os
consumidores desejam comprar é exatamente igual à quantidade que os produtores
desejam vender. Existe uma coincidência de desejos.
No ponto de equilíbrio não existem pressões para alterações nos preços, pois
os planos dos vendedores são consistentes com os planos dos compradores, o preço e
a quantidade referentes ao ponto de equilíbrio são chamados de preço de equilíbrio e
quantidade de equilíbrio, respectivamente.

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Um equilíbrio é considerado estável se qualquer desvio em relação a esta
posição provocar a interferência de forças do mercado que fazem com que preços e
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quantidades retornem à condição de equilíbrio inicial.
Se houver uma tendência a preços e/ou quantidades se afastarem da condição
de equilíbrio, então este é dito instável.
Uma análise econômica das condições fora do ponto de equilíbrio revelam que
há um intervalo no qual ocorre excesso de demanda e outro intervalo no qual ocorre
excesso de oferta. Essa análise pode ser feita por meio dos preços ou das
quantidades.
3.3. Determinação do ponto de equilíbrio
O ponto de equilíbrio pode ser determinado geometricamente, traçando-se os
gráficos das funções oferta e demanda o obtendo-se o seu ponto de interseção.
Entretanto, uma determinação algébrica pode ser mais eficiente. Para isso, basta
igualarmos as quantidades ofertada e demandada, dadas por suas respectivas
funções. Matematicamente, isso equivale a resolver um sistema formado por duas
equações e duas incógnitas.
4. FUNÇÃO CUSTO TOTAL
4.1. Introdução
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa,
indústria ou loja, na produção ou aquisição de algum produto. Todo custo, em geral,
possui dois componentes: um fixo e outro variável.

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4.2. A Função Custo
Representamos a função custo total por meio da seguinte expressão:
Ct = Cf + Cv
Na qual:
Ct é o custo total
Cf é o custo fixo
Cv é o custo variável
Os custos fixos independem da quantidade produzida e estão sempre
presentes na linha de produção, como salários e aluguel. Em termos relativos,
quanto maior for o volume de produção ou venda, menores serão os custos fixos por
unidade.
Cf = K (K>0)
(Sendo K uma constante de produção)
Como o custo fixo constante, se quisermos representá-lo graficamente,
teremos que fazê-lo por meio do gráfico da função constante, que é uma reta paralela
ao eixo horizontal. Veja o exemplo abaixo:
Já o custo variável tem relação direta com o nível de produção e, quando zero
unidades é produzida, o custo variável é zero. Os custos variáveis compreendem a
matéria-prima e as embalagens, entre outros itens.

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O custo variável de um produto pode ser obtido multiplicando-se seu custo
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unitário de produção pela quantidade produzida, ou seja:
Cv = pu . q
No qual
pu é o preço de custo ou o custo unitário de produção
q é a quantidade produzida, que é aqui é considerada variável
Cv é o custo variável de produção
Observe que a função custo total somente é definida no primeiro quadrante do
sistema de eixos, pois não faz sentido pensarmos em custo negativo ou quantidades
negativas.
Podemos inferir também que a função custo depende diretamente das parcelas
de custo fixo e custo variável nas quais incorre a produção de um determinado bem. A
função de custo representa o custo total da empresa na produção de um item e é uma
função estritamente crescente.
Podemos, escrever a função custo total como:
Ct = Cf + Cv
Ct = Cf + pu.q

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4.3. Custo médio
Para melhor avaliação de custos por parte do empresário, é importante que ele
saiba o custo médio por unidade fabricada de sua linha de produção, o custo médio
total da produção é obtido por meio da divisão do custo total pelo número de unidades
produzidas:
Cm = Ct/q
5. RECEITA TOTAL
5.1. Função receita total (RT)
As receitas são geradas pelas atividades-fim e que uma emprese se dedica,
dessa fora, se uma empresa foi constituída para vender mercadorias que ela fabrica,
essa é sua fonte de receitas. Por outro lado, se seu fim é a prestação de serviços, daí a
advêm seus recursos. De um modo geral, as receitas vão depender das quantidades
de mercadorias vendidas ou dos serviços prestados e dos preços dessas mercadorias
ou serviços. Em linguagem matemática, podemos escrever:
RT = f(q, p)
5.2. A Função Receita Total Linear
A função receita total representa o faturamento bruto da empresa e depende do
número de vendas de determinado produto, sabe-se, no entanto, que as receitas de
vendas de qualquer unidade produzida está vinculada ao preço fixado para o produto,
bem como à quantidade vendida desse produto, logo:
Rt = p.q
No qual:
Rt = receita total obtida com a venda de um produto;
p = preço unitário de venda do produto;
q = quantidade vendida do produto

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A função Receita total é linear, isto é, ela não tem o termo constante,
independente da variável. Isso quer dizer que seu gráfico é uma linha reta que corta o
eixo y na origem (0, 0). Isso parece bastante lógico, pois se pensarmos que a
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quantidade vendida é zero, não haverá receita alguma para a empresa.
Também devemos observar que, sendo o preço constante, a variável é a
quantidade (x) e a receita total (y). Como o preço é obrigatoriamente um valor positivo,
essa função é estritamente crescente, ou seja, quanto maior for a quantidade vendida,
maior será a receita auferida pela empresa.
Usualmente, representamos o preço no eixo das abscissas (x) e a receita ($)
no eixo das ordenadas (y).Se quisermos nos referir à receita total auferida pela venda
de n produtos, devemos fazer:
Rt = R1 + R2 + ... + Rn
Rt = p1.q1 + p2.q2 + ... + p3.q3
Rt = Σ pi.qi
O gráfico da função receita típica é uma reta que passa pela origem do sistema
de eixos.

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6. FUNÇÃO LUCRO
6.1. Visão Geral
A função lucro está relacionada aos valores arrecadados pela atividade-fim da
empresa (receitas) e aos gastos efetuados (custos) por ela, seja uma indústria, uma
loja revendedora ou uma firma de prestação de serviços, a função lucro diz respeito ao
lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a
função custo.
LUCRO = RECEITA TOTAL - CUSTO TOTAL
A função custo total mais atentamente, poderemos observar que ela agrega
dois tipos de custos: os custos explícitos e os custos implícitos, custos explícitos são os
custos que a empresa incorre de fato, isto é, são pagos monetariamente,custos
implícitos (ou custos de oportunidade) são os custos que a empresa incorre quando faz
uma opção por um projeto ao invés de, por exemplo, aplicar seu capital nos
investimentos disponíveis do mercado financeiro, essa diferenciação de custos tem
como consequência duas diferentes abordagens quanto ao lucro da empresa:
O Lucro Econômico refere-se à Receita Total menos Custo Total (incluindo os
custos de oportunidade). Já o Lucro Contábil registra apenas os Custos Explícitos,
ignorando dos custos de oportunidade. No Brasil, em geral, o lucro econômico é menor
que o lucro contábil, devido às altas taxas de juros que prevalecem no mercado
financeiro. Essas altas taxas geram oportunidades de ganhos excessivos em Finanças
em detrimento da área de projetos empresariais produtivos.
Sabemos que a Receita total é uma função crescente, pois quanto maior a
quantidade vendida, maior será o valor arrecadado pela empresa. Da mesma forma,
também sabemos que a função Custo total é uma função crescente, pois quanto maior

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a quantidade produzida, maior será o custo total de produção. De maneira análoga, a
função Lucro total também será crescente, visto que quanto maior for a quantidade
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vendida de um produto, maior será a parcela de lucro da empresa.
Entretanto, a função Lucro total difere em um aspecto importante das funções
Receita total e Custo total. Enquanto não faz sentido pensarmos em receita negativa ou
em custo negativo, em relação ao lucro, é importante sabermos que existe lucro
negativo, também chamado de prejuízo. Assim, se no gráfico representarmos o lucro
no eixo vertical, a função lucro total poderá ser definida nos quadrantes I e IV do
sistema de eixos, conforme esquema abaixo:
7. PONTO DE NIVELAMENTO
7.1. Visão geral
Para uma empresa, é fundamental fazer uma análise criteriosa de seus custos
e de suas receitas. Sabemos que um dos objetivos mais importantes de uma empresa
é o de gerar lucro para seus proprietários ou acionistas. Com base nesse fato, a
empresa deve fazer análises operacionais de modo a buscar eficiência na obtenção de

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resultados, o ponto de nivelamento, ou Break Even Point (BEP), representa o ponto no
qual as receitas totais se igualam aos custos totais, tanto a função Custo total quanto a
função Receita total são crescentes, mas elas tem um ponto em comum, que é o BEP.
Graficamente, podemos observar o ponto de nivelamento na interseção das
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curvas de receita e custo:
Analisando o gráfico, vemos que para quantidades menores que o BEP, o
custo é maior do que a receita, o que acarreta prejuízo. Para quantidades maiores que
o BEP, a receita é maior do que o custo, o que resulta em lucro. No BEP, as receitas e
os custos se igualam, o que pode ser interpretado como lucro nulo, o cálculo do ponto
de nivelamento pode ser feito igualando as funções receita total e custo total:
RT = CT
Fazendo isso e resolvendo a expressão resultante, encontraremos um valor de
q (quantidade). Para obter o valor da receita e do custo basta substituir o valor de q
encontrado nas respectivas funções (receita total e custo total). Você irá observar que o
valor encontrado em ambas as expressões é o mesmo. Sendo assim, o ponto de
nivelamento corresponde a um valor de q associado a uma receita e custo iguais, que
fazem com que o lucro da empresa seja nulo nesse nível de produção.

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8. OUTRAS APLICAÇÕES
8.1. Depreciação
Depreciação é a diminuição do valor de um ativo, provocada pelo desgaste
proveniente do uso ou utilização em processo produtivo, ou simplesmente pelo
decorrer do tempo, que muitas vezes torna o equipamento obsoleto ou ultrapassado
em termos tecnológicos, dessa forma, a contabilidade da empresa deve, a cada
exercício contábil, baixar uma parcela do valor desse ativo, calculada de acordo com o
método de desvalorização adotado. Os principais métodos são:
a) depreciação linear
b) soma dos dígitos
c) estimativa do número de horas de uso
O primeiro método, que pressupõe uma parcela de depreciação constante no
decorrer da vida útil do ativo a ser depreciado. Com essa finalidade, vamos estabelecer
alguns conceitos:
Vn: valor de aquisição do bem ou valor nominal;
Da: a parcela de depreciação anual, no decorrer da vida útil do bem,
que segundo o modelo linear, é constante;
Vr: valor residual, alcançado pelo ativo após ser totalmente
depreciado;
t: tempo de vida útil do bem, isto é, tempo durante o qual o ativo está
sujeito a depreciação;
V: valor do bem em qualquer data, entre 0 e t.
O valor de V é uma função de t. Como, com o passar do tempo, o valor do ativo
cai, essa função é decrescente.

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Cálculo do valor de V:
Ao final do primeiro ano (t = 1), devemos descontar do preço original do ativo
uma parcela de depreciação. Assim, temos:
V = Vn – 1.Da
Ao final do segundo ano (t = 2), devemos descontar mais uma parcela de
depreciação, então o preço do ativo será:
V = Vn – 1.Da – 1.Da
V = Vn – 2.Da
Transcorridos t anos, podemos escrever:
V = Vn – t.Da
Se conhecermos o valor residual do bem e o seu tempo de vida útil, podemos
calcular, com a fórmula acima, o valor da parcela de depreciação anual, fazendo:
Da = (Vn – Vr)/t
Se considerarmos que o valor residual do ativo é diferente de zero, podemos
representar graficamente a função depreciação linear assim:

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BONORA Jr., D. et al. Matemática – complementos e aplicações nas áreas de
Ciências Contábeis, Administração e Economia. 4ª ed. São Paulo: Ícone, 2006.
MEDEIROS DA SILVA, S. et al. Matemática para os cursos de Economia,
Administração e Ciências Contábeis. 6ª ed. São Paulo: Atlas, 2010.
MUROLO, A. C. e BONETTO, G. Matemática Aplicada a administração, economia e
contabilidcade. 2ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.