1. Elektrik Alan
Alan nedir????
Bazı fiziksel olağanüstü durumlar tarafından
etkilenen uzaydaki bölge; örneğin, sıcaklık,
yerçekimi, elektrik, manyetik davranışlar
2. Elektrik Alan
• Bir yükün başka bir yük yada yük dağılımı
tarafından etkilenebildiği uzay bölgesi
• Elektrik alanın birimi Newton/Coulomb (N/C)
• Elektrik Alan vektörel bir niceliktir.
• Elektrik alan daima pozitif yükten dışarı doğru
negatif yükte ise içeri doğru yönelir
r
r F
E = lim
q 0 →0 q 0
4. Elektrik alan çizgileri
Michael Faraday 19th Century
Tüm uzayın elektrik alan
“KUVVET” çizgileriyle dolu
olduğunu ve elektrik yüklerinin
bu çizgiler boyunca
ivmelenebileceğini savundu
5. Elektrik Alan
• Elektrik alan vektörleri elektrik alan
çizgilerine teğettir.
• Birim yüzeyden dik olarak geçen
elektrik alan çizgi sayısı, Elektrik alan
şiddeti ile doğru orantılıdır.
• Kısaca, Elektrik alan çizgileri nerede
daha yoğun ise orada elektrik alan daha
şiddetlidir.
6. Elektrik alan çizgileri
Aynı zamanda kuvvet çizgisi olarak ta bilinir
•
Birim yüzeyden geçen çizgi sayısı elektrik alan
•
şiddeti ile doğru orantılıdır.
• Alan çizgileri + dan – ye doğru olarak kabul edilir.
8. • Elektrik alan çizgileri daima pozitif
yükten uzaklaşacak şekilde
yönelirler ve negatif yükün
bulunduğu yere doğru yönelirler.
9. Noktasal yükün elektrik alanı
r
r F
E ≡ lim
q0 → 0 q
0
qq 0
1
ˆ
r
4 πε
r 2
r
E = lim 0
q0 → 0 q0
r q
1
E = lim ˆ
r
q0 → 0 4πε r 2
0
r 1 q
E= ˆ
r
4πε 0 r 2
10. Birden fazla noktasal yükün varlığında
Genel uygulama üst üste binme ilkesini uygulamaktır
yani vektörel toplama yapmaktır
r Nr
E = ∑ Ei
i =1
r N 1 qi
E=∑ ˆ
ri
i =1 4πε 0 ri
2
11. Örnek problem
• P noktasındaki elektrik alanı bulun
• Her bir yük için istenen noktadaki elektrik alan vektörlerini bul
ve bileşke vektörü vektörel toplama ile bul: Simetri var dikkat☺ !
r net 6.93Q ˆ
E (p) = k i
2
d
12. Örnek: Elektrik Dipol
Elektrik Dipol: aralarında 2a mesafesi olan iki eşit ve
zıt yüklü noktasal parçacık
Elektrik alan daima ortadaki ayırıcı düzleme
dikmidir?
r ve q ların aynı olması
P(0,y) sebebiyle yükler aynı elektrik
alan şiddetine sahiptir.
-q θ +q
Alanların y bileşenleri eşit ve
(+a,0)
(-a,0)
ters yönlü olduklarından
toplam y bileşke sıfırdır.
13. Dipole devam
1
q
E+ =
θ
P(0,y)
4πε 0 r+2
-q θ +q 1 q
E+ =
(+a,0)
4πε 0 a + y
(-a,0) 2 2
r =a +y
2 2 2
X bileşkesinin hesabı
1 q
Pozitif yükün x ekseni
cos θ
=
E+ x
doğrultusundaki bileşkesinin
4πε 0 a + y
2 2
hesabı
(− iˆ )
r 1 q a
E+ x =
4πε 0 a 2 + y 2 a +y
2 2
14. Dipole devam
Aynı işlemi negatif yük
içinde yaparsak
P(0,y)
− q (− a )
r 1
E− x = − ˆ
-q i
((− a ) )
θ +q
4πε 0 3
+ y2
2 2
(+a,0)
(-a,0)
Pozitif ve negatif yüklerin
elektrik alanlarının vektörel
(− iˆ )
r toplamı
1 q a
E+ x =
4πε 0 a 2 + y 2 a2 + y2
r − 2 qa
1
E= ˆ
r i
( )
qa
1
4πε 0 a 2 + y 2
E+ x = −
3
ˆ
i 2
( )
4πε 0 a 2 + y 2 3
2
15. Dipole devam
r Dipol [p=2qa] olarak tanımlanır
E
P(0,y) r
r −p
1
E=
-q
( )
θ +q
4πε 0 a + y 3
2 2 2
p (+a,0)
(-a,0)
Eğer y>>a ise yaklaşım?
Eğer y>>a ise a2 , y2 nin
yanında ihmal edilebilir ve
r − 2 qa
1 işlemde ihmal edilebilir.
E= ˆ
i
( )
Böylece sonuç;
4πε 0 a 2 + y 2 r
3
r 1 −p
2
E=
4πε 0 y 3
16. Sürekli yük dağılımı karşısında
elektrik alan
Noktasal yüklerin çok sıkı ve çok miktarda
paketlenmesi sonucu meydana gelen yapı
sürekli bir yük dağılımı olduğunu gösterir.
r 1 dq
E=∫ ˆ
r
4πε 0 r 2
r r
E = ∫ dE
17. Yük Yoğunluğu
Farklı yük dağılımlarının yük yoğunlukları
• çizgisel - λ (C/m) - sembol “lambda” λ
• yüzeysel - σ (C/m2) - sembol “sigma” σ
• hacimsel - ρ (C/m3) - sembol “rho” ρ
18. Örnek: Sürekli yük dağılımı
İnce, düzgün, iletken ve L boyundaki yüklü bir
çubuğun elektrik alanını bulalım .
L boyunda Q yüklü iletken düzgün bir çubuk ise λ=Q/L
dE θ NOT: Her bir dE (x < 0)
P için, bunun simetriği olan
r
bir dE (x > 0) vardır.
Böylece dE lerin x
θ (L/2,0)
(-L/2,0)
bileşenleri toplamı sıfır
olur.
dx x
19. Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
dE θ dq ve r değerleri yerine yazılırsa
P
λ dx
r 1
sin θ
dE y =
4πε 0 x + y 2 2
θ (L/2,0)
(-L/2,0)
sin θ hesabı
dx x
y
sin θ =
Elektrik alanın y bileşeni.
x +y2 2
dE y = dE sin θ
λ dx
1 y
1
dq dE y =
dE = 4πε 0 x 2 + y 2 x2 + y2
4πε 0 r 2
20. Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
L
dE θ
λy 2
dx
∫
E=
P
(x )
4πε 0 3
r
+y
2 2 2
L
−
2
θ (L/2,0)
(-L/2,0)
İntegral alınırsa
dx x
λ ydx L
1
dE y = ⎡1 ⎤
λy
2
( ) x
4πε 0 x 2 + y 2 3
E= ⎢2 ⎥
2
4πε 0 ⎢y x2 + y2 ⎥−L
⎣ ⎦
2
λ, y ve 1/4πε0 sabitler
21. Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
dE θ ⎤
⎡
⎥
⎢
P
λ L ⎥
⎢
r E=
⎥
4 πε 0 y ⎢ L2 + 4 y 2
⎥
⎢
θ (L/2,0)
(-L/2,0) ⎥
⎢ 4 ⎦
⎣
dx x
⎡ ⎤
λ 2L
⎢ ⎥
E=
4 πε 0 y ⎢ L2 + 4 y 2 ⎥
⎡ L ⎛ L⎞ ⎤ ⎣ ⎦
⎢ − ⎜− ⎟ ⎥
⎢ 2 ⎝ 2⎠ ⎥
λ
E= ⎛ ⎞
4 πε 0 y ⎢ L2 ⎥ r λ⎜ L ⎟$
E=
⎢ + y2 ⎥ j
2πε 0 y ⎜ L2 + 4 y 2 ⎟
⎢4 ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠
22. Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
İletken telimizin sonsuz uzunlukta olduğunu
varsayarsak
• L >> 4y
• 4y2 , L2 nin yanında ihmal edilir, fakat y
hala sonlu bir büyüklük
• Silindirik simetri esasından, y yi r ile
değiştirirsek
r λ
λ ⎛L⎞
r
E=
E= r
$
⎜ ⎟r ˆ
2πε 0 r ⎝ L ⎠
2πε 0 r
26. Örnek: yüklü bir parçacığın
elektrik alandaki hareketi
+X ekseni boyunca yönelmiş 300 N/C luk bir
elektrik alanda serbest bırakılan bir
elektronun 0.5 ms sonraki hızını ve kinetik
enerjisini hesaplayın.
r
( )i
E
F = − 4.80 × 10 −17 N ˆ
-e
F r
r F − (4 .80 × 10 −17 N )i
r r ˆ
a= =
F = qE = − eEi
ˆ
9.11 × 10 − 31 kg
m
r
( )⎛ N ⎞ˆ
−19
F = − 1.60 × 10 C ⎜ 300 ⎟i ⎛ +13 m ⎞ ˆ
r
a = − ⎜ 5 .3 × 10
⎝ C⎠ 2⎟
i
⎝ s⎠
27. Örnek: yüklü bir parçacığın
elektrik alandaki hareketi
E 1
K = mv 2
-e 2
F
2
( )
⎛ +7 m ⎞
1
⎛ +13 m ⎞ ˆ
r − 31
K = 9 .11 × 10 kg ⎜ − 2 .6 × 10 ⎟
a = − ⎜ 5 .3 × 10 2⎟
i ⎝ s⎠
2
⎝ s⎠
− 16
K = 3 . 16 × 10
rr r J
v = vo + a t
( )
ˆ ⎞ 0 .5 × 10 − 6 s
⎛
r +13 m
v = 0 − ⎜ 5 .3 × 10 i⎟
⎠
⎝ s2
r +7 m ˆ
v = − 2 .6 × 10 i
s
29. Elektrik alan içine koyulan bir dipol dönmek ister fakat
dipolün merkezi hareket etmez.
30. Düzgün bir elektrik alanda elektrik dipol
Tork Potansiyel Enerji
rr
r
τ = r×F θ
ΔU = − W = − ∫ τdθ
F = qE θo
θ
ΔU = − ∫ pE sin θdθ
τ = d F sinθ θo
θ
τ = dqE sin θ ∫ sin θdθ
Δ U = pE
θo
τ = pE sin θ θo = 90o da Uo = 0 ise
( )
U = pE cos θ − cos 90 0
rrr
τ = p× E rr
U = pE cos θ U = p ⋅ E
