Metode numerik pada persamaan integral (new)

MATEMATIKA 4
METODE NUMERIK PADA
PERSAMAAN INTEGRAL
Bagus Hario Setiadji
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Universitas Diponegoro

DEFINISI
• Numerical Integration adalah suatu tool yang digunakan untuk
memperoleh jawaban perkiraan (approximate answer) dari suatu integral
tertentu (definite integral) yang tidak dapat diselesaikan secara analitis.
• Tujuan dari numerical integration adalah untuk menyelesaikan suatu
persamaan integral tertentu f(x) pada suatu interval [a, b] dengan
melakukan evaluasi terhadap f(x) pada sejumlah titik sampel N.
• Ada 2 metode yang digunakan disini, yaitu:
– Penjumlahan luas (Riemann sum)
– Quadrature formula

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• Menghitung luasan yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x
• Luasan dibagi menjadi N bagian pada interval [a, b], dimana a = x0 < x1 < …
< xn = b dan xi = xi – xi-1; i = 1, 2, …, N
• Hitung luas Li, dimana Li = f(xi) . xi
x0 x1 x2 x3 x4 xn
y = f(x)
L0 L1 L2
x1 x2

• 3 pendekatan pada metode penjumlahan Riemann:
– Persegi panjang kiri (left sum), yaitu apabila sudut kiri atas masing-
masing persegi panjang menyentuk kurva
– Persegi panjang kanan (right sum), yaitu apabila sudut kanan atas
masing-masing persegi panjang menyentuk kurva
– Persegi panjang tengah (middle sum), yaitu apabila titik tengah sisi
atas masing-masing persegi panjang memotong kurva
Left sum Right sum Middle sum

• Persamaan umum penjumlahan Riemann:
L = L1 + L2 + L3 + … + Ln
= f(x1). x1 + f(x2). x2 + f(x3). x3 + … + f(xn). xn
= dimana xi = x1 = x2 = … = xn = = h
Maka: L = dan xi = a + ih
– Untuk left sum, L =
– Untuk right sum, L =
– Untuk middle sum, L =
N
i
ii
xxf
1
.
N
ab
b
a
N
i
i
xfhdxxf
b
a
N
i
i
xfhdxxf
1
0
b
a
N
i
i
xfhdxxf
1
b
a
N
i
ii
xx
fhdxxf
1
1
2

• Contoh 1 Penjumlahan Riemann:
Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1] dengan N = 10
Solusi:
Hitung nilai x = h = = 0.1
Maka:
Untuk Left Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i
L = L0 + L1 + L2 + … + L9 = 0.1 {(0)2 + (0.1)2 + (0.2)2 + … + (0.9)2}
= 0.1 (2.85) = 0.285
10
01
9
0
2
1
0
1.0
i
i
N
i
i
xxfh

Untuk Right Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i
L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {(0.1)2 + (0.2)2 + (0.3)2 + … + (1.0)2}
= 0.1 (3.85) = 0.385
Untuk Middle Sum, L =
dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i
L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {0.5(0.1+0)2 + 0.5(0.2+0.1)2 + 0.5(0.3+0.2)2 +
… + 0.5(1.0+0.9)2}
= 0.1 (3.325) = 0.3325
10
1
2
1
1.0
i
i
N
i
i
xxfh
210
1
1
1
1
2
1.0
2 i
ii
N
i
ii
xxxx
fh

Solusi eksak y =
Galat/error:
Dengan left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048
Dengan right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052
Dengan middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005
333.0
3
1
0
31
0
2 x
dxx

• Contoh 2 Penjumlahan Riemann:
Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5] dengan N
= 10
Solusi:
Hitung nilai x = h = = 0.4 dan xi = 1 + i (0.4) = 1 + 0.4i
Maka:
Untuk Left Sum, L =
L = L0 + L1 + L2 + … + L9
10
15
ix
i i
N
i
i
e
x
xfh
2
9
0
1
0
1
4.0
8803.12175.0...5829.07751.01353.14.0
6.4
1
...
8.1
1
4.1
1
14.0
2.96.38.22
eeee

Untuk Right Sum, L =
L = L1 + L2 + L3 + … + L10
Untuk Middle Sum, L =
L = L1 + L2 + L3 + … + L10
ix
i i
N
i
i
e
x
xfh
2
10
11
1
4.0
5602.12000.0...4668.05829.07751.04.0
5
1
...
2.2
1
8.1
1
4.1
1
4.0
104.46.38.2
eeee
10
1
5.02
11
1
5.0
1
4.0
i
xx
ii
N
i
i
ii
e
xx
xfh
6691.12084.0...5183.06658.09241.04.0
6.455.0
1
...
8.12.25.0
1
4.18.15.0
1
14.15.0
1
4.0
6.455.028.12.25.02
4.18.15.0214.15.02
ee
ee

Solusi eksak y =
Galat/error:
Dengan left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032
Dengan right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709
Dengan middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080
Kesimpulan:
Galat/error terkecil umumnya diperoleh dengan menggunakan middle sum
6771.1
2
ln
1
5
1
25
1
2
x
x e
xdxe
x

QUADRATURE FORMULA
• Anggaplah a = x0 < x1 < … < xN = b. Persamaan dengan bentuk
dimana:
disebut sebagai numerical integration atau quadrature formula.
N
k
NNkk
xfwxfwxfwxfwfQ
0
1100
...
b
a
fEfQdxxf

DEFINISI
• E [f] disebut sebagai truncation error atau kesalahan pemotongan yaitu
kesalahan yang diperoleh dikarenakan tidak melakukan hitungan sesuai
dengan prosedur yang benar (misalnya pada proses tidak berhingga
diganti dengan proses berhingga)
disebut sebagai quadrature nodes. Besarnya nodes ini bisa
bervariasi. Misalnya pada aturan trapezoidal, aturan Simpson dan aturan
Boole, besarnya nodes ini adalah sama. Sedangkan untuk Gauss-Legendre
quadrature, besarnya nodesnya ini adalah sama dengan nol (untuk
Legendre polynomial tertentu).
disebut sebagai weight atau bobot.
N
ii
x 0
N
ii
w 0

NEWTON-COATES QUADRATURE
• Penurunan kuadratur formula didasarkan pada interpolasi polynomial. Jika
terdapat persamaan polynomial PM (x) berderajat (degree) M melalui M
+ 1 titik-titik yang berjarak sama . Jika polynomial ini digunakan
untuk menghampiri persamaan f(x) pada rentang [a, b], dan integral dari
persamaan f(x) dihampiri oleh integral dari PM (x), maka persamaan yang
dihasilkan disebut sebagai persamaan Newton-Coates Quadrature.
• Apabila titik-titik sampel x0 = a dan xm = b digunakan, maka persamaan
tersebut disebut sebagai persamaan Closed Newton-Coates.
M
iii
xfx 0
,

• Persamaan-persamaan Closed Newton-Coates dengan derajat M = 1, 2, 3,
4 pada interval [x0, xM] adalah sebagai berikut.
Step size, h = dan xi = x0 + ih dimana i = 0, 1, 2, …, M
M = 1, trapezoidal rule dengan h = b - a
M = 2, Simpson’s rule dengan h =
M = 3, Simpson’s rule dengan h =
M = 4, Boole’s rule
dengan h =
10
2
1
0
ff
h
dxxf
x
x
210
4
3
2
0
fff
h
dxxf
x
x
8
3
3210
33
8
3
3
0
ffff
h
dxxf
x
x
43210
73212327
45
2
4
0
fffff
h
dxxf
x
x
M
ab
2
ab
3
ab
4
ab

Trapezoidal rule y = P1(x)
pada [x0, x1) = [0.0, 0.5]
Simpson’s rule y = P2(x)
pada [x0, x1) = [0.0, 1.0]
Simpson’s 3/8 rule y = P3(x)
pada [x0, x1) = [0.0, 1.5]
Boole’s rule y = P4(x)
pada [x0, x1) = [0.0, 2.0]

• Pembuktian persamaan Newton-Coates Quadrature
Untuk M = 1, Lagrange interpolating polynomial untuk P1(x) adalah
dengan [x0, xM] = [0, 1]
f0 dan f1 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:
x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, maka:
01
0
1
10
1
01
xx
xx
f
xx
xx
fxP
dth
h
ht
fdth
h
th
f
1
10
dtthfdtthf 1
1
0
1
1
0
0
dth
xhx
xhtx
fdth
hxx
hxhtx
fxP
00
00
1
00
00
01
10
1
0
2
1
1
0
2
0
222
ff
ht
hf
t
thf

dengan [x0, xM] =
[0, 2]
f0 , f1 dan f2 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:
x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, maka:
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
02
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
fxP

22
2
2
2
2
0000
0000
2
0000
0000
1
0000
0000
02
dth
hxhxxhx
hxhtxxhtx
f
dth
hxhxxhx
hxhtxxhtx
fdth
hxxhxx
hxhtxhxhtx
fxP
210210
4
33
2
23
4
3
2
2
fff
h
f
h
hff
h
2
12
2
21
210
dth
hh
thht
fdth
hh
thht
fdth
hh
thth
f
2
223
2
2
0
2
2
2
0
2
1
2
0
2
0
dtttf
h
dttthfdtttf
h
2323
2
2
3
32
2
0
23
2
2
0
2
3
1
2
0
23
0
tt
f
h
t
t
hft
tt
f
h
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
02
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
fxP

Silakan dicoba untuk M = 3 dan M = 4.
dengan menggunakan relasi berikut untuk x dan xi:
x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,
dan x3 = x0 + 3h.
231303
210
3
321202
310
2
312101
320
1
302010
321
03
xxxxxx
xxxxxx
f
xxxxxx
xxxxxx
f
xxxxxx
xxxxxx
f
xxxxxx
xxxxxx
fxP

• Contoh 1 Closed Newton-Coates:
Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1]
Solusi:
Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 1 – 0 = 1
xi = x0 + ih sehingga x0 = 0 dan x1 = 1
Untuk M = 2, Simpson’s rule, h =
xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.5 dan x2 = 1
5.010
2
1
2
22
10
1
0
2
1
0
xfxf
h
dxxdxxf
x
x
5.0
2
01
2
ab
333.015.040
3
5.0
4
3
222
210
1
0
2
2
0
xfxfxf
h
dxxdxxf
x
x

xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.333, x2 = 0.666 dan x3 = 1
Untuk M = 4, Boole’s rule, h =
xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75 dan x4 = 1
333.0
3
01
3
ab
8
3
333.01667.03333.030
8
333.03
33
8
3
2222
3210
1
0
2
3
0
xfxfxfxf
h
dxxdxxf
x
x
25.0
4
01
4
ab
333.01775.0325.01225.03207
45
25.02
73212327
45
2
22222
43210
1
0
2
4
0
fffff
h
dxxdxxf
x
x

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
Trapezoidal rule Simpson’s rule
Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule

Galat/error:
Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048
Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052
Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005
Dengan Trapezoidal Rule = 0.333 – 0.500 = -0.167
Dengan Simpson’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000
Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000
Dengan Boole’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000

• Contoh 2 Closed Newton-Coates:
Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]
Solusi:
Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 5 – 1 = 4
xi = x0 + ih sehingga x0 = 1 dan x1 = 5
xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 3 dan x2 = 5
6708.2
5
1
1
1
2
4
2
e
1 5212
10
5
1
2x-
1
0
eexfxf
h
dx
x
dxxf
x
x
2
2
15
2
ab
7858.1
5
1
3
1
4
1
1
3
2
4
3
1 523212
210
5
1
2
2
0
eeexfxfxf
h
dxe
x
dxxf
x
x
x

xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2.333, x2 = 3.667 dan x3 = 5
Untuk M = 4, Boole’s rule, h =
xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4 dan x4 = 5
333.1
3
15
3
ab
8
3
7343.1
5
1
667.3
1
3
333.2
1
3
1
1
8
333.13
33
8
3
x
1
52667.32333.2212
3210
5
1
2
3
0
eeee
xfxfxfxf
h
dxedxxf
x
x
x
1
4
15
4
ab
6877.1
5
1
7
4
1
32
3
1
12
2
1
32
1
1
7
45
12
73212327
45
2
x
1
)5(2)4(2)3(2)2(2)1(2
43210
5
1
2
4
0
eeeee
fffff
h
dxedxxf
x
x
x

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Trapezoidal rule Simpson’s rule
Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule

Galat/error:
Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032
Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709
Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080
Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087
Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 1.6771 – 1.7343 = -0.0572
Dengan Boole’s Rule = 1.6771 – 1.6877 = -0.0106
Kesimpulan:
Metode Newton-Coates Quadrature mempunyai kelemahan dalam
menghampiri persamaan yang kompleks.

• Seperti telah disebutkan, bahwa permasalahan utama dari Newton-Coates
Quadrature adalah apabila digunakan untuk menghampiri fungsi y = f(x)
yang kompleks.
• Untuk mengatasi hal ini, maka pendekatan yang dapat dilakukan adalah
mendekati fungsi y = f(x) yang berinterval [a, b] tersebut dengan sejumlah
bentuk trapezoidal.
• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi M subinterval [xi, xi+1] dengan
step size h = (b – a)/M, dengan menggunakan titik-titik yang berjarak sama
xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, M.
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE

• Composit Trapezoidal Rule dengan subinterval M dapat dinyatakan dalam
tiga bentuk sebagai berikut.
Bentuk 1:
atau
Bentuk 2:
atau
Bentuk 3:
M
i
ii
xfxf
h
hfT
1
1
2
,
MMM
ffffff
h
hfT 12210
22...22
2
,
1
12
,
M
i
i
xfhbfaf
h
hfT

• Dari contoh 2 :
Solusi: Asumsikan nilai M = 5, maka h =
xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.8, x2 = 2.6, x3 = 3.4, x4 = 4.2 dan x5 = 5
Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule
8.0
5
15
M
ab
432150
1
1 22
xfxfxfxfhxfxf
h
xfhbfaf
h
h,fTdxxf
M
i
i
b
a
7394.12383.02952.03901.05828.08.02000.01353.14.0
2.4
1
4.3
1
6.2
1
8.1
1
8.0
5
1
1
1
2
8.0
2.424.326.228.12
5212
eeee
ee

Dicoba dengan menggunakan M = 10, maka h =
xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,
x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5
Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule
4.0
10
15
M
ab
921100
1
1 22
xf...xfxfhxfxf
h
xfbfaf
h
h,fTdxxf
M
i
i
b
a
6933.12175.02383.0...5829.07751.04.02000.01353.12.0
6.4
1
2.4
1
...
8.1
1
4.1
1
4.0
5
1
1
1
2
4.0
6.422.428.124.12
5212
eeee
ee

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Comp. Trapezoidal Rule, M = 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Comp. Trapezoidal Rule, M = 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Trapezoidal rule

Galat/error:
Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 5) = 1. 6771 – 1.7394 = -0.0623
Kesimpulan:
Composite Trapezoidal Rule memberikan perbaikan terhadap pendekatan
Trapezoidal Rule, walaupun galat yang diberikan masih relatif cukup besar.
Penghalusan (refinement) bisa dilakukan dengan meningkatkan nilai M.

• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi 2M subinterval [xi, xi+1]
dengan step size h = (b – a)/2M, dengan menggunakan titik-titik yang
berjarak sama xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, 2M.
• Composit Simpson’s Rule dengan subinterval 2M dapat dinyatakan dalam
tiga bentuk sebagai berikut.
Bentuk 1:
atau
Bentuk 2:
atau
Bentuk 3:
COMPOSIT SIMPSON’S RULE
M
i
iii
xfxfxf
h
hfS
1
21222
4
3
,
MMM
fffffff
h
hfS 212223210
42...424
3
,
1
1
12
1
1
2
3
4
3
2
3
,
M
i
i
M
i
i
xf
h
xf
h
bfaf
h
hfS

• Dari contoh 2 :
Solusi: Asumsikan nilai 2M = 10, maka h =
xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,
x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
4.0
10
15
2M
ab

Gunakan bentuk 3 dari Composite Simpson’s Rule
1
1 1
122
3
4
3
2
3
,
M
i
M
i
ii
b
a
xf
h
xf
h
bfaf
h
hfSdxxf
97531
8642
3
4
3
2
3
xfxfxfxfxf
h
xfxfxfxf
h
bfaf
h
6779.1
2175.0...7751.05333.02383.0...5829.02667.0)2000.01353.1(333.1
6.4
1
8.3
1
0.3
1
2.2
1
4.1
1
3
4.04
6.4
1
4.3
1
6.2
1
8.1
1
3
4.02
5
1
1
1
3
4.0
6.428.320.322.224.12
6.424.326.228.12
5212
eeeee
eeee
ee

Galat/error:
Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087
Dengan Composite Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.6779 = -0.0008
Kesimpulan:
Composite Simpson’s Rule memberikan perbaikan yang signifikan terhadap
pendekatan Simpson’s Rule. Dan galat yang diberikan jauh lebih baik
dibandingkan dengan metode Penjumlahan Riemann maupun Composite
Trapezoidal Rule.

• Contoh 3 :
Bandingkan solusi hampiran yang diberikan Composite Trapezoidal Rule
dan Composite Simpson’s Rule untuk y = 2 + pada interval [1, 6]
dengan nilai M = 10 (Composite Trapezoidal Rule) dan M = 5 atau 2M = 10
(Composite Simpson’s Rule).
Mohon dicek jawabannya dan penyelesaian dengan Penjumlahan
Riemann!
x2sin

• Solusi dengan Composite Trapezoidal Rule.
h =
xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,
x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6
5.0
10
16
921100
1
1
...
22
, xfxfxfhxfxf
h
xfhbfaf
h
hfT
M
i
i
5.5...25.161
2
fffhff
h
0002.10287.11083.12432.14353.16831.19793.13081.26382.25.0
0174.19093.2
2
5.0
1939.84244.145.09267.3.250

• Solusi dengan Composite Simpson’s Rule.
h =
xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,
x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6
05.0
20
01
2M
ab
97531
3
4
8642
3
2
61
3
3
4
3
2
3
,
1
1 1
122
fffff
h
ffff
h
ff
h
xf
h
xf
h
bfaf
h
hfSdxxf
M
i
M
i
ii
b
a
0002.11083.14353.19793.16382.2
3
5.04
0287.12432.16831.13081.2
3
5.02
0174.19093.2
3
5.0
1830.81613.8
3
2
2630.6
3
1
9267.3
6
1

Solusi eksak y =
(lihat http://integrals.wolfram.com/index.jsp untuk mencari solusi eksak)
Galat/error:
Dengan Composite Trapezoidal Rule = 8.1835 – 8.1939 = -0.0104
Dengan Composite Simpson’s Rule = 8. 1835 – 8.1830 = 0.0005
1835.8
2
2sin
2cos22sin2
5
1
6
1
x
xxxdxx

AKHIR MATERI METODE NUMERIK
TERIMA KASIH.

Metode numerik pada persamaan integral (new)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Similar to Metode numerik pada persamaan integral (new)

Similar to Metode numerik pada persamaan integral (new) (20)

Metode numerik pada persamaan integral (new)