1. СЭДЭВ I. ЭХ ФУНКЦ БА ИНТЕГРАЛ ТООЛОЛ
МОНГОЛ УЛСЫН ГАВЬЯАТ БАГШ Б.СОДНОМДОРЖ
Тодорхойлолт 1.1: Хэрэв (a; b) завсар дээр дифференциалчлагдах F (x) функцийн F ' ( x)
уламжлал нь өгсөн y  f (x) функцтэй тэнцүү байвал F (x) функцийг f (x) функцийн (a; b)
завсар дээрх эх функц гэнэ.
Эх функцууд нь төгсгөлгүй олон байх ба хоорондоо тогтмол нэмэгдэхүүнээр ялгагдана.
1
Жишээ 1.1: f ( x) 
Бодолт: 2 x  
'
функцийн эх функц F (x) –ийг ол.
x
1
x
тул F ( x)  2 x . Иймд F ( x)  2 x  C, C  R нь мөн өгсөн функцийн эх
функц болно.
Санамж: Эх функцийн ойлголтыг хэрчим болон төгсөглөг, төгсгөлгүй хагас завсрууд дээр
өгч болно.
Тодорхойлолт 1.2: f (x) функцийн бүх эх функцийн F ( x)  C олонлогийг түүний
тодорхойгүй интеграл гэж нэрлээд
 f ( x)dx  F ( x)  C
(1.1)
гэж тэмдэглэнэ.
Энд:  - интегралын тэмдэг, f (x) - интегралд орох функц, f ( x)dx - интегралд орох илэрхийлэл
гэж тус тус нэрлэнэ.
1
 f ( x)dx   x dx интегралыг бод.
Жишээ 1.2:
Бодолт: ln | x |' 
1
1
тул ln | x | нь f ( x)  функцийн эх функц болно. Иймд
x
x
1
 x dx  ln | x | C
болно.
1.1 Тодорхойгүй интегралын чанарууд
1. Хэрэв f (x) нь эх функцтэй бол
 f ( x)dx'  f ( x) , d  f ( x)dx  f ( x)dx байна.
 f ' ( x)dx  f ( x)  C ,  df ( x)  f ( x)  C байна.
a  0 бол  af ( x)dx  a   f ( x)dx байна.
2. Хэрэв f (x) дифференциалчлагдах функц бол
3. Хэрэв f (x) нь эх функцтэй бөгөөд a  R ,
4. Хэрэв f1 ( x) ба f 2 ( x) нь эх функцтэй бол f1 ( x)  f 2 ( x) функцийн хувьд
  f1 ( x)  f 2 ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx биелнэ.
5. Хэрэв f1 ( x) –ийн эх функц F (x) бол
1
 f (ax  b)dx  a  F (ax  b)  C
байна.
1.2 Хялбар интегралын таблиц
x m 1
C
m 1
dx
 ln | x | C
x
2.

x
x
 e dx  e  C
4.
x
 a dx 
5.
 cos xdx  sin x  C
6.
 sin xdx   cos x  C
7.
 cos
8.
 sin
1.
m
 x dx 
3.
9.
11.
dx
2
dx  tgx  C
x
 shxdx  chx  C
10.
dx
 x  a dx  ln x  a  C
12.
1
ax
C
ln a
dx
 ctgx  C
x
 chxdx  shx  C
x
2
2
dx
1
x
dx   arctg  C
2
a
a
a

2. dx
x
C
a
13.

15.
 tgxdx   ln | cos x | C
17.
 sin x  ln tg 2  C
19.

21.

a x
2
 arcsin
2
dx
x a
 cos x  ln tg 2  4   C


20.
 ln x  x 2  a
 ctgxdx  ln | sin x | C
18.
2
x
16.
x
dx
dx
1
xa

 ln
C
xa
 a 2 2a
14.

2
dx
x
a2
 x2  a2 
 ln x  x 2  a 2  C
2
2
3x 2  4 x  2shx dx интегралыг бод.
x
a 2  x 2 dx 

a2
x x
 arctg   a 2  x 2  C
2
a 2
a  const
x 2  a 2 dx 

Жишээ 1.3: а)  
Бодолт: Хялбар интегралын таблицийн 1, 4, 9-р томъѐо болон 3, 4, 5-р чанарыг хэрэглэвэл:
 3x
2

 4 x  shx(3x  2) dx  3   x 2 dx   4 x dx   sh(3x  2)dx  3 
x3 4 x 1
4x 1

 ch (3x  2)  C  x 3 
 ch (3x  2)  C
3 ln 4 3
ln 4 3
б)  tg 2 xdx интегралыг бод.
sin x
, sin 2 x  cos 2 x  1 байдгийг санавал:
cos x
sin 2 x
1  cos 2 x
dx
tg 2 xdx  
dx  
dx  
 dx  tgx  x  C

2
2
cos x
cos x
cos 2 x 
Бодолт: tgx 
в)  x 2  9dx интегралыг бод.
Бодолт: Хялбар интегралын таблицийн 21-р томъѐог хэрэглэвэл:

x 2  9dx   x 2  32 dx 
x
9
 x 2  9   ln x  x 2  9  C
2
2
1.3 Тодорхойгүй интегралыг бодох аргууд
1. Хувьсагчийг солих буюу орлуулах арга.
Интегралд орж байгаа функц нь f ( ( x)) хэлбэртэй бөгөөд t   (x) функц нь тасралтгүй,
дифференциалчлагддаг,  f (t )dt интеграл оршин байвал  f ( ( x))   ' ( x)dx –ийг
 f ( ( x))   ' ( x)dx   f (t )dt t  ( x)
(1.2)
гэж орлуулж болно. Үүнийг орлуулан интегралчлах арга гэнэ. Харин  ' ( x) –ийг олоход
төвөгтэй бол
 ( x)  t  x   1 (t )
(1.3)
болох тул
 f (t )dt  f ( ( x))   ' ( x)dx x
1
(t )
(1.4)
биелнэ. Эцсийн хариуг гаргахдаа хуучин хувьсагчаа буцааж орлуулан тавина.
Жишээ 1.4:
cos 4 x
 sin 5 4 x dx
интегралыг бод.
Бодолт: sin 4 x  t гэж орлуулж дифференциал авбал
4  cos 4 xdx  dt  cos 4 xdx 
1
dt болно.
4
Эдгээрийг интегралдаа орлуулбал
cos 4 x
1 1
1
1 t 4
1
dx   5  dt    t 5 dt  
C  
C
5
4
4  4 t sin 4 x
4x
t 4
16 sin 4 4 x
 sin
Жишээ 1.5:  (3x  5) 2011 dx интегралыг бод.
Бодолт: 3x  5  t гэж орлуулбал x 
t 5
1
 dx  dt ; f (t )  t 2011 болно. Эдгээрийг интегралдаа
3
3
орлуулбал
2

3.  (3x  5)
2011
dx 
1
1 t 2012
(3x  5) 2012
  t 2011dt  
C 
C
3
3 2012 t 3 x 5
6036
2. Хэсэгчилэн интегралчлах арга.
Тодорхойлолт 1.3: Хэрэв u( x) , v( x) функцүүд тасралтгүй дифференциалчлагдаж байвал
 u( x)  v' ( x)dx  u( x)  v( x)   u' ( x)  v( x)dx
(1.5)
байна. Үүнийг хэсэгчилэн интегралчлах арга гэнэ.
Энд: u (x) функцийн дифференциалыг олоход болон v(x) –ийн интегралыг олоход хялбар
байхаар сонговол зохимжтой.
Жишээ 1.6:  x 2  ln xdx интегралыг бод.
1
x
Бодолт: Энд u( x)  ln x , v' ( x)  x 2 гэвэл u' ( x)  , v( x)  2 x болох бөгөөд (1.5) ѐсоор
'
 x3 
x3
x3
x3
x3 1
x3
x3
x  ln xdx      ln xdx 
 ln x  
 (ln x) ' dx 
 ln x  
 dx 
 ln x 
C

 3 
3
3
3
3 x
3
6
 
болж
2
бодогдоно.
Жишээ 1.7:  x  sin xdx интегралыг бод.
Бодолт: Энд u( x)  x , v' ( x)  sin x гэвэл u' ( x)  1, v( x)   cos x болох бөгөөд (1.5) ѐсоор
 x  sin xdx   x  ( cos x) dx  x  ( cos x)   ( x)  ( cos x)dx   x  cos x   cos xdx   x  cos x  sin x  C болно.
Жишээ 1.8:  e x  sin xdx интегралыг бод.
Бодолт:  e  sin xdx   (e )  sin xdx  e  sin x   e  (sin x) dx  e  sin x   e  cos xdx 
 e x  sin x   (e x ) '  cos xdx  e x  sin x  e x  cos x   e x  (cos x) ' dx  e x  sin x  e x  cos x   e x  sin xdx 
  e x  sin xdx  e x  sin x  e x  cos x   e x  sin xdx  2  e x  sin xdx  e x  sin x  e x  cos x
'
x
'
x '
x
 e  sin xdx 
x
e x  sin x  e x  cos x
2
x
'
x
x
болно.
Санамж: Хэсэгчилэн интегралчлах аргыг хэд хэдэн удаа хэрэглэж болно.
Бие даалтын бодлогууд
Бодлого №1: Дараах тодорхойгүй интегралыг бод.
2
1.1
 x 2  3 dx
1.2

1.3

1.4
 x 2  9 dx
1.14
1.5

4  x 2 dx
1.15
1.6

x 2  6dx
1.16
1.7
 ctg
2
1.8
 7tg
2
3
1 x
2
8
x2 1
1.11
dx
1.12
dx
1.13
1
1  cos 2 x
dx
sin 4 x
1  sin 2 x
 cos 4 x dx
 3 x2  5


 3 x dx
 x



4
3
5
 2 x  x

 2 x dx
  x2




3
 x 2  5 dx
5
 9  x 2 dx
8
 x 2  4 dx
4
 x 2  36 dx

cos 2 x
1.21
 sin 2 x dx
1.22
 cos 2 x dx
1.23
 tg(4x  5)dx
1.24
 ctg (3x  5)dx
1.25



1.26



1.27

1.28

cos 2 x
xdx
1.17
xdx
1.18
1.9
 sin(3x  8)dx
1.19

25  x 2 dx
1.29

1.10
 cos(2x  1)dx
1.20

x 2  16dx
1.30

3
3
4
x 2  5shx  e x dx


x 3  chx  e x dx


9
x  11
13
2
dx
dx
49  x 2
2
dx
x 2  25
5
dx
2
x  81

4. Бодлого №2: Дараах тодорхойгүй интегралыг орлуулах аргаар бод.
sin 2 x
2.1
 1  3 cos 2 x dx
2.11
2.2
3x 3
 1  4 x 4 dx
2.12
2.3
 3  cos 3x dx
2.4
 2e x  3 dx
2.5
 cos 2 x  4 dx
2.6
 2e 3x  4 dx
2.7
sin 3x
4x  5
 2 x 2  5x  17 dx
7x3
 2 x 4  5 dx
cos 3x
2.21
2.22
2.13

2.14

2.15
 1  3 cos x dx
2.16
 4  sin 2 x dx
2.26
 7  5x 3 dx
2.17
e
e 3x
dx
5
2.27
2.8
sin 2 x
 3 sin 2 x  4 dx
2.18
x2
 7  3x 3 dx
2.28
2.9
e2x
 5  e 2 x dx
2.19
 x 2  2 x dx
2.10
x2
 7  5x 3 dx
2.20
ex
sin 2 x
6e 3 x
x2
sin 3x  2
sin 2 x
1  cos 2 x
2.23
dx
2.24

2.25

sin 2 x
3x
3x  3

2.29
dx
e2x  3
x5
 3x 6  7 dx
x4
 x 5  3 dx
3x 2  2
dx
sin x
e2x
3x 2  1
 x 3  x  10 dx
2.30
2x 3  4x
cos 7 x
dx
dx
5  sin 7 x
sin 4 x
 cos 4 x  3 dx
12 x 2  5 x 4
dx
4x 3  x 5
4e 2 x
 1  e 2 x dx
sin 2 x
 6  cos 2 x dx
7x
 5x 2  4 dx

Бодлого №3: Дараах тодорхойгүй интегралыг хэсэгчилэн интегралчлах аргаар бод.
3.1  (2 x  5)  e x dx
3.11  5x  e x8 dx
3.21  9 x  e  x dx
3.2
3.3
3.4
 x  ln(x  1)dx
 ( x  3)  sin 2xdx
 arctg3xdx
2x  1
3.5
 cos 2 x dx
3.6
 x  e 2 dx
 (2x  3)  ln 3xdx
 ( x  5)  cos xdx
 arcsin 2 xdx
3.7
3.8
3.9
3.10
x
x2
 sin 2 2 x dx
 (2x  1)  ln(x  1)dx
3.13  3x  cos 5xdx
3.14  arcctg 4 xdx
3.12
3.15

3.16
ln x
dx
x2
 ( x  1)  ln(x  1)dx
3.23  ( x  3)  sin 2 xdx
3.24  x  arctg x dx
3.22
3
x
3.25
 cos 2 3x dx
3.26
3.19
 ( x  6)  e dx
 ln(5x  7)dx
 (4x  1)  cos 6xdx
 arccos xdx
 x  ln xdx
 arctg (2x  3)dx
 x  sin x cos xdx
 x  arctgxdx
3.20
 ( x  1) 2
3.30
3.17
3.18
2 x
ln( x  1)
dx
3.27
3.28
3.29
2
x
 e 5 x dx
СЭДЭВ II. РАЦИОНАЛЬ ИЛЭРХИЙЛЛИЙГ ИНТЕГРАЛЧЛАХ
Тодорхой биш интегралыг бодох ерөнхий дүрэм байдаггүй боловч тодорхой функцийн ангид
тохирсон интегралчлах аргууд байдаг.
Тодорхойлолт 2.1: Pm ( x)  b0  b1 x  b2 x 2  ... bm x m , bm  0
Qn ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ... an x n , an  0 , m  0 , n  0 , m, n  Z алгебрийн 2 олон
гишүүнтийн харьцаагаар тодорхойлогдох f ( x) 
Pm ( x)
Qn ( x)
функцийг рационоль функц буюу
рациональ илэрхийлэл гэнэ.
Хэрвээ m  n бол f (x) –ийг зөв рациональ бутархай, m  n бол f (x) –ийг зөв биш рациональ
бутархай гэнэ. Олон гишүүнтийг олон гишүүнтэд үлдэгдэлтэй хуваах алгоритм ѐсоор дурын
зөв биш рациональ бутархайг ямар нэг олон гишүүнт ба зөв рациональ бутархай 2-ын
нийлбэрт тавьж болно.
4

5. x3  5x  9
функцийг зөв бутархайд шилжүүл.
x 2  5x  6
P3 ( x)  x3  5x  9 , m  3 , Q2 ( x)  x 2  5x  6 , n  2 байна. m  n
Жишээ 2.1: f ( x) 
Бодолт:
бутархай байна.
x3  5x  9
x 2  5x  6
x 5
x3  5x 2  6 x
тул зөв биш рациональ
бүхлийн орон
f ( x)  x  5 
 5x  11x  9
 5x 2  25x  30
36 x  39
2
36 x  39
x 2  5x  6
Үлдэгдэл гишүүн
Дараах хэлбэрийн рациональ функцийг хялбар бутархай гэнэ.
1.
A
xa
3.
Mx  N
x  px  q
2.
A
, k2
( x  a) K
4.
Mx  N
, k2
( x 2  px  q) k
2
Энд: A, a, M , N , p, q  const , k  Z , ( x 2  px  q) нь үл задрах квадрат 3-н гишүүнт. Ө.х p 2  4q  0
байна.
Рациональ бутархайг интегралчлахын тулд хялбар бутархайнуудын интегралыг олоход
хүрэлцээтэй юм.
A
1.
 x  a dx  A  ln | x  a | C
2.
 ( x  a) K
3.
 x 2  px  q dx 
4.
 ( x 2  px  q) k
A
dx 
A
C
(1  k )  ( x  a) k 1
Mx  N
Mx  N
2 N  Mp
M
 ln( x 2  px  q) 
 arctg
2
4q  p 2
dx  M  
2x  p
4q  p 2
C
t
2N  M
dt
dt 
 2
2
(t 2  a 2 ) k
(t  a 2 ) k
p
dt

,
t  x  
2 k
2
(t  a )

1
Ik  2
 2 I k  2a 2 k  I k 1 , k  N
2 k
(t  a )
Ik  
2
Жишээ 2.2: а)
5
 ( x  6) 4 dx
тодорхойгүй интегралыг бод.
Бодолт: Хялбар бутархайнуудыг интегралчлах 2-р томъѐо ѐсоор
5
5
5
 ( x  6) 4 dx  (1  4)( x  6) 41  C   3( x  6) 3  C
б)
x
 x 2  3x  3 dx
байна.
тодорхойгүй интегралыг бод.
Бодолт: ( x 2  3x  3) нь үл задрах квадрат 3-н гишүүнт тул хялбар бутархайнуудыг
интегралчлах 3-р томъѐогоор бодно. Энд: M  1, N  0 , p  3 , q  3 байна.
x
2
x
1
2  0  1  (3)
2x  3
1
2x  3
dx   ln( x 2  3x  3) 
 arctg
 C   ln( x 2  3x  3)  3  arctg
C
2
2
2
2
 3x  3
3
4  3  (3)
4  3  (3)
Теорем 2.1: /Рациональ функцийг интегралчлах тодорхой биш коэффициентийн арга/
f ( x) 
Pm ( x)
, mn
Qn ( x)
зөв
бутархай
ба
Qn ( x)  ( x  a1 ) k  ( x  a2 ) k  ... ( x  a ) k  ( x 2  p1 x  q1 ) n  ... ( x 2  ps x  qs ) n үржигдэхүүн болон задарч
1
2

1
s
байг.
Энд: a i тоо нь k i удаа давхардсан бодит язгуур бөгөөд ( x 2  p j x  q j ) нь үл задрах квадрат 3-н
гишүүнт юм.
5

6. Хэрэв Qn (x) нь дээрх байдлаар үржигдэхүүн болон задарсан бол f (x) –ийг дараах хэлбэртэй
хялбар бутархайнуудын нийлбэрээр тавьж болно.
Ak
A1k1
Pm ( x)
A1
A 2
A11
A12


 ... 
 ... 

 ... 

2
k1
2
Qn ( x) ( x  a1 ) ( x  a1 )
( x  a ) ( x  a )
( x  a1 )
( x  a  ) k
Bsn x  C sn s
B1n x  C1n1
B x  C s1
B11 x  C11
 ...  2 1
 ...  2 s1
 ...  2 s
n1
( x  p1 x  q1 )
( x  ps x  qs )
( x  p1 x  q1 )
( x  p s x  q s ) ns

2
Энд байгаа A , B , C тогтмолууд тодорхойгүй бөгөөд тэдгээрийг олохын тулд дээрх
тэнцэтгэлийн баруун талд ерөнхий хуваарь өгч эдгээрийн коэффициентүүдээс зохиосон
шугаман тэгшитгэлийн системд хүрнэ.
6x 2  x  2
dx тодорхойгүй интегралыг бод.
3
 x 1
6x 2  x  2
6x 2  x  2
A
Bx  C
A  (2 x 2  2 x  1)  ( Bx  C )  ( x  1)
Бодолт: 3


 2

2 x  x  1 ( x  1)( 2 x 2  2 x  1) x  1 2 x  2 x  1
( x  1)( 2 x 2  2 x  1)
Жишээ 2.3: а)
 2x
6x 2  x  2
2 Ax 2  2 Ax  A  Bx 2  Bx  Cx  C (2 A  B) x 2  (2 A  B  C ) x  A  C


( x  1)( 2 x 2  2 x  1)
( x  1)( 2 x 2  2 x  1)
( x  1)( 2 x 2  2 x  1)


x : 1  2 A  B  C   A  1, B  4 , C  3

1:  2  A  C

x2 : 6  2A  B
2x  3
6x 2  x  2
4x  3 
1
 1
2 dx 
dx   
 2
dx  
dx   2

 2x 3  x  1
x  1 2x  2x  1 
x 1

x x 1
2
1

 ln | x  1 |  ln x 2  x    arctg (2 x  1)  C
2

x 4  3x 3  3x 2  5
 x 3  3x 2  3x  1 dx тодорхойгүй интегралыг бод.
Бодолт: P4 ( x)  x 4  3x 3  3x 2  5 , m  4 , Q3 ( x)  x 3  3x 2  3x  1, n  3
б)
байна. m  n тул зөв биш
рациональ байна.
x 4  3x 3  3 x 2  5
x 4  3x 3  3 x 2  x
x  5
x 3  3x 2  3 x  1
x бүхлийн орон
Үлдэгдэл гишүүн

dx 


x5
A
B
C
Ax 2  2 Ax  A  Bx  B  C
x5
Ax 2  (2 A  B) x  A  B  C






( x  1) 3 ( x  1) ( x  1) 2 ( x  1) 3
( x  1) 3
( x  1) 3
( x  1) 3


x 4  3x 3  3x 2  5
x5
dx    x 
3
2

x  3x  3x  1
( x  1) 3


x2 : 0  A

x : 1  2 A  B  A  0 , B  1, C  4
1: 5  A  B  C 


1
  x  ( x  1)


2

4
( x  1) 3

x2
1
2
dx 


C

2 x  1 ( x  1) 2

Дүгнэлт: Дурын рациональ функцийг интегралчилж болох ба рациональ функцийн эх функц
нь элементар функцуудаар илэрхийлэгдэнэ.
Жишээ 2.4:
dx
 4x 2  6x  1
тодорхойгүй интегралыг бод.
Бодолт: Хуваарьт байгаа квадрат 3-н гишүүнтээс бүтэн квадрат ялгавал
2
4 x 2  6 x  1  ( 2 x) 2  2  2 x 
2
2
3 3 3
3
7

       1   2 x    болно. Иймд дээрх интеграл нь
2 2 2
2
2

6

7. 
dx
, 2x 
2
3
1
 t  2dx  dt ; dx  dt
2
2
3 7
 2x   
2 2

1
dt
1 1
2 t  7
2
 2 7  2  14  ln 2  t  7
t 
2
1
C 
t 2 x
3
2
 ln
2 14
4 2 x 3 2 2 7
4 2 x 3 2  2 7
C
Бие даалтын бодлогууд
Бодлого №4: Дараах тодорхойгүй интегралыг бод.
dx
4.1
 4 x 2  5x  4
4.2
 x 2  4 x  10
4.3
 9x 2  7x  1
4.4
 x2  x  6
4.5
 25x 2  2 x  7
4.6
 16 x 2  2 x  1
4.7
 x 2  11x  2
4.8
 x2  x  2
4.9
 9 x 2  12 x  3
4.10
 4 x 2  3x
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
4.11
 x 2  5x  6
4.12
 2x  5  4x 2
4.13
 9 x 2  8x  3
4.14
 8  2x  x 2
4.15
 5x  x 2  6
4.16
 x 2  4 x  25
4.17
 4 x 2  8x  30
4.18
 9 x 2  9 x  16
4.19
 4x 2  2x  5
4.20
 4 x 2  3x  2
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
4.21
 4x 2  6x  1
4.22
 4 x 2  3x  2
4.23
 x 2  7 x  11
4.24
 4 x 2  3x  1
4.25
 25x 2  10 x  25
4.26
 4 x 2  6 x  13
4.27
 x 2  6x  8
4.28
 1  2x  9x 2
4.29
 4 x 2  3x  6
4.30
 9 x 2  5x  1
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
Бодлого №5: Дараах рациональ функцийг интегралчил.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
1  2x  x3
 1  x 2 dx
7  x2
 1  x dx
x3  2
 x 2  1 dx
8x 3
 2 x  1 dx
x5  2
 x 2  4 dx
2x 4  3
 x 2  1 dx
x3 1
 2 x  3 dx
x5
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.8
 1  x 3 dx
5.9
 x 2  3 dx
5.19
6x3  x 2  2x  1
dx

2x  1
5.20
5.10
x2
5.18
x4
 x 2  3 dx
x 3  5x
 x 2  1 dx
x 2  5x  6
 x 2  4 dx
x3 1
 x  3 dx
x3
 x 2  1 dx
x4 1
 x 2  1 dx
x 4  2x 2  1
 x 2  1 dx
x4  2
 x 2  4 dx
x3  3
 x  5 dx
x3  1
 x 2  1 dx
Бодлого №6: Дараах рациональ функцийг интегралчил.
7
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
1  2x 4
 x 2  1 dx
2x3  3
 x  2 dx

2x 2  5
dx
x 1
x 3  3x  1
 x 2  2 dx
x2  x
 2  x dx
2x 2  5
dx
x7
5.26

5.27
2x3  3
 x  1 dx
5.28
 x 2  4 dx
5.29

5.30
2x3
 2 x 2  1 dx
1 x4
x2  4
dx
x3

8. 
x 3  6 x 2  13x  9
dx
( x  1)( x  2) 3
6.11

x 3  6 x 2  13x  7
dx
( x  1)( x  2) 3
6.21
6.2

x 3  6 x 2  13x  8
dx
x( x  2) 3
6.12
x 3  6 x 2  14 x  6
 ( x  1)( x  2) 3 dx
6.3

x 3  6 x 2  13x  6
dx
( x  2)( x  2) 3
6.13


x 3  6 x 2  14 x  10
dx
( x  1)( x  2) 3
6.14

6.5

x 3  6 x 2  11x  10
dx
( x  2)( x  2) 3
6.15
3x 3  9 x 2  10 x  2
 ( x  1)( x  1) 3 dx
6.6

x 3  6 x 2  11x  7
dx
( x  1)( x  2) 3
6.16

6.7

2x 3  6x 2  7 x  1
dx
( x  1)( x  1) 3
6.17

6.8

x 3  6 x 2  10 x  10
dx
( x  1)( x  2) 3
6.18
2 x 3  6 x 2  5x
 ( x  2)( x  1) 3 dx
6.9

2x 3  6x 2  7x  2
dx
x( x  1) 3
6.19
 ( x  2)( x  1)
6.10

x 3  6 x 2  13x  8
dx
x( x  2) 3
6.20

6.1
6.4

x 3  6 x 2  4 x  24
dx
( x  2)( x  2) 3
6.22

x 3  6 x 2  14 x  4
dx
( x  2)( x  2) 3
x 3  6 x 2  10 x  10
dx
( x  1)( x  2) 3
6.23

x 3  6 x 2  18 x  4
dx
( x  2)( x  2) 3
x3  x  2
dx
( x  2) x 3
6.24

x 3  6 x 2  10 x  12
dx
( x  2)( x  2) 3
6.25

x 3  6 x 2  14 x  4
dx
( x  2)( x  2) 3
2x 3  x  1
dx
( x  1) x 3
6.26

x 3  6 x 2  15 x  2
dx
( x  2)( x  2) 3
2x 3  6x 2  7x  4
dx
( x  2)( x  1) 3
6.27

2x 3  6x 2  7 x  4
dx
( x  2)( x  1) 3
6.28
2x 3  6x 2  7x
 ( x  2)( x  1) 3 dx
6.29

x 3  6 x 2  10 x  52
dx
( x  2)( x  2) 3
6.30

x 3  6 x 2  13x  6
dx
( x  2)( x  2) 3
2x 3  6x 2  7 x
3
dx
2 x 3  6 x 2  5x  4
dx
( x  2)( x  1) 3
СЭДЭВ III. ЗАРИМ ИРРАЦИОНАЛЬ ИЛЭРХИЙЛЛИЙГ ИНТЕГРАЛЧЛАХ
ТРИГНОМЕТР ИЛЭРХИЙЛЛИЙГ ИНТЕГРАЛЧЛАХ
3.1 Иррациональ функцийг интегралчлах
Ихэнх тохиолдолд иррациональ функцийн интеграл нь янз бүрийн орлуулах аргаар рациональ
функц болгон интегралыг бодно. Иррациональ функцийн зарим хэлбэрийг авч үзье.
  ax  b 
R x, 
   cx  d 


1.
1
2
 ax  b 
 ax  b 
,
 , ..., 

cx  d 

 cx  d 
n

dx


(3.1)
a, b, c, d  R, ad  cb  0,  1 ,  2 , ...,  n  Q
ax  b
tp
Тэгвэл (3.1) хэлбэрийн интеграл нь
cx  d
p нь  1 ,  2 , ...,  n  Q –ийн ерөнхий хуваарь.
Жишээ 3.1: а)

x  3 x2  6 x
x(1  3 x )
dx
орлуулгаар рациональ функц руу шилжинэ. Энд
интегралыг бод.
1
1
Бодолт: Интегралд 1 ( x)  x, 2 ( x)  x 3 , 3 ( x)  x 6 функцууд орж байгаа ба a  d  1, b  c  0,
a b
1
1
p1  1, p2  , p3 
m  6,
1 0
c d
3
6
байна.
Иймд
орлуулгаар
x  t 6  dx  6t 5 dt
рациональчилна. Иймд

x  3 x2  6 x

3 3 2
 x  6  arctg 6 x  C
2
dx
б)
x(1  3 x )

3
dx  
(2  x)( 2  x)5
t6  t4  t
t5  t3 1
dt
6
 6t 5 dt  6  
dt  6   t 3dt  6  
  t 4  6  tgt  C

6
2
2
2
4
t (1  t )
1 t
1 t
tx
6
интегралыг бод.
8

9. 1
Бодолт: Эхлээд хувиргалт хийж
a  1, b  2, c  1, d  2
x  2

3
a b
тул
c d
3
40
болно. Тэгвэл
1 t
t dt
1
1 t3
, dx  12 
,

1 t3
(1  t 3 ) 2 2  x
4t 3
3
2
2 x
dx
(1  t 3 ) 2

 t 
2
2  x ( 2  x)
(4t 3 ) 2

 R x,

2.

2 x
dx
2  x 3
1

гэж бичвэл 1 ( x)  x,  2 ( x)  

 , n  1, p1 
2
2  x ( 2  x)
2 x
3

2 x 3
 t орлуулга хийвэл:
2 x
болох тул

t 2 dt 
3 dt
3 1
3
    3    2 C   3
   12 
3 2 

4 t
4 2t
8
(1  t ) 

2
2 x

 C
2 x
гарна.
ax 2  bx  c dx ; a  0, b 2  4ac  0


(3.2)
(3.2) хэлбэрийн интеграл нь дараах Эйлерийн орлуулгуудаар рациональ функц руу шилжинэ.
а) a  0 үед ax 2  bx  c  t  a  x
б) c  0 үед ax 2  bx  c  tx  c
в) b2  4ac  0 үед ax 2  bx  c  t  ( x  x1 ) эсвэл ax 2  bx  c  ( x  x2t ) гэж орлуулна. ( x1 , x2 ) – нь
ax 2  bx  c квадрат 3-н гишүүнтийн бодит язгуурууд.

Жишээ 3.2: а)
1  1  x  x2
x  1  x  x2
dx интегралыг бод.
Бодолт: 1  x  x 2  tx  1 гэе. 2 талыг нь квадрат зэрэг дэвшүүлбэл x 
1  x  x 2 1
x
t
болно.
Иймд
1  1  x  x2
 x
1  x  x2
dx  
2t  1
1  t t 2
, dx  2 
dt ,
2
1 t
(1  t 2 ) 2
1  tx  1 2  2t  2t 2
 2t

dt  
dt  ln | 1  t 2 | C
2 2
x(tx  1) (1  t )
1 t2
гарна.
б)

2dx
интегралыг бод.
2  x  x2
2
9
1
Бодолт: Эхлээд 2  x  x 2 -аас бүтэн квадрат ялгавал 2  x  x 2    x   болно. Иймд



4

2dx
2 x x
2

2dx
9 
1
x  
4 
2
2
 x
1
 t , dx  dt  2  
2
dt
9 2
t
4
 2  arcsin
2
2
2x  1
t  C 2  arcsin
C
3
3
гарна.
Гэвч дээрх орлуулгууд нь ихэнхдээ нүсэр тооцоонд хүргэдэг тул (3.2) хэлбэрийн интегралыг
бодохдоо голдуу дараах аргуудыг хэрэглэдэг. Алгебрийн хувиргалтаар (3.2) интегралд орж
байгаа функцийг
R x, ax 2  bx  c  




P ( x)
1
ax  bx  c
2
 P2 ( x)
хэлбэрт оруулж болно. / P1 ( x), P2 ( x) - рациональ функц/
Иймд (3.2) интеграл нь дараах 3-н төрлийн шугаман комбинаци хэлбэртэй тавигдана.
а)

Pn ( x)
ax  bx  c
2
dx
(3.3)
б)
 ( x  a)
dx
n
 ax 2  bx  c
(3.4)
в)
 (x
Mx  N
2
 px  q) n  ax 2  bx  c
dx
(3.5)
(3.3) хэлбэрийн интегралыг бодохдоо дараах томъѐог ашиглана.

Pn ( x)
ax  bx  c
2
dx  Q( x)  ax 2  bx  c    
dx
ax  bx  c
2
(3.6)
9

10. (3.6) тэнцэтгэлийг дифференциалчлаад 2 талыг нь 2 ax 2  bx  c -ээр үржүүлбэл
2Pn ( x)  2Q' ( x)  (ax 2  bx  c)  Q( x)  (2ax  b)  2
(3.7)
болно. Энд: Pn ( x)  Qn1 ( x) нь тодорхой биш коэффициенттэй олон гишүүнт.
Жишээ 3.3: а)

x2
x2  x  1
dx интегралыг бод.
Бодолт:
x

2
x  x 1
2
тул
P2 ( x)  x 2  Q1 ( x)  Ax  B, Q'1 ( x)  A
dx  ( Ax  B)  x 2  x  1    
dx
x  x 1
2
байна.
Энд
A, B,  –г
дараах
тэнцэтгэлээс олно.
2 x 2  2 A  ( x 2  x  1)  ( Ax  B)  (2 x  1)  2  2 x 2  4 Ax 2  (3 A  2 B) x  2 A  B  2
x 2 : 2  4 A

1
3
1
 A , B ,  
x : 0  3 A  2B
2
4
8
1 : 0  2 A  B  2

x2
3
1
dx
3
1 
1
1
1

2
2
2
 x 2  x  1 dx   2 x  4   x  x  1  8   x 2  x  1   2 x  4   x  x  1  8  ln x  2  x  x  1   C






dx
б)
 ( x  1) 
интегралыг бод.
x2  x  1
1
1
1
 t гэж орлуулбал x   1  dx   2 dt байна. Иймд
Бодолт:
x 1
t
t
1
1
 2 dt
 2 dt
dt
d (t  1)
t 1
t
t

 

 arcsin
C

2
2
2
1 1 2
1
2
1  2t  t
2  (t  1)
1 1  1 

 1 11
   1    1  1
t t2 t
t
t t  t 
dx
x2
 ( x  1)  x 2  x  1  arcsin 2  ( x  1)  C
2


 R x, ax  bx  c dx


-ийн хувьд ax 2  bx  c  a   x 


2
b 
4ac  b 2
 
2a 
4a
бүтэн квадрат ялгаж x 
b
t
2a
орлуулга хийвэл дараах интегралуудын аль нэгэнд шилждэг. Үүнд:
 R (t;
*
 R (t;
1  t 2 )dt ,
*
t 2  1)dt ,
 R (t;
*
t 2  1)dt
Энд: R * нь рациональ функц болно. Эдгээрийг тригнометрийн орлуулга t  sin u, t  cos u, t  tgu
юмуу эсвэл гиперболлог функцийн орлуулга t  shu, t  chu , t  thu хэрэглэн интегралчилж
болно.
3. Дифференциалт бином.
x
m
 (ax n  b) p dx , a, b  R, a  b  0, m, n, p  Q
(3.8)
Энэ интеграл нь дараах 3-н тохиолдолд рациональ функц руу шилжинэ.
а) p  Z бол x  t q орлуулгаар / q нь m, n тоонуудын ерөнхий хуваарь/
m 1 
n
s
б) 

  Z бол ax  b  t орлуулгаар
 n 
m 1

 p   Z бол a  bx  n  t s орлуулгаар тус тус шилжинэ. / s нь p бутархайн хуваарь/
в) 

 n

Бусад тохиолдолд рациональ бутархай луу шилжихгүй.
Жишээ 3.4:

3
1 4 x
x
dx   x

1
2
1 1
 (1  x 4 ) 3 dx
интегралыг бод.
1
1
1
m 1
m , n , p 
 2Z
2
4
3
n
x  (t 3  1) 4  dx  12(t 3  1)3  t 2 dt болно. Иймд
Бодолт:
тул
10
1
1 x 4  t3
орлуулга
хийвэл

11. 
3
1 4 x
x
dx   x

1
2
1
1
 (1  x 4 ) 3 dx   (t 3  1) 2  t  12(t 3  1) 3  t 2 dt  12   (t 6  t 3 )dt 
7
4
 t7 t4 
12
 12      C   (1  4 x ) 3  3  (1  4 x ) 3  C
7 4
7


Бие даалтын бодлогууд
Бодлого №7: Дараах тодорхойгүй интегралыг бод.
7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

dx
4  8x  x
dx
2
3x 2  4 x  1
dx
2  3x  2 x 2
dx
x2  6x  8
dx
2  8x  2 x 2
dx
3  2x  2x2
dx
2  2 x  3x 2
dx
1  x  x2
dx
5 x 2  10 x  4
dx
3  2x  x2
7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

dx
4 x  8x  3
dx
2
1  2x  x2
dx
4x2  x  4
dx
2  4 x  3x 2
dx
4x2  2x  4
dx
2  3x  2 x 2
dx
2 x 2  8x  1
dx
x 2  5x  6
dx
3x  2 x 2
dx
2x2  x  3
7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

dx
2  x  2x2
dx
x 2  3x  1
dx
5  7 x  3x 2
dx
3x 2  x  5
dx
1  x  x2
dx
1  2x  x2
dx
4  3x  x 2
dx
x2  4x  1
dx
3  x  x2
dx
x2  4x  1
Бодлого №8: Дараах иррациональ функцийг интегралчил.
dx
8.1
 ( x  1)
8.2
 ( x  1)
8.3
 ( x  1)
8.4
x
8.5
x
8.6
x
8.7
x
8.8
x
8.9
x
8.10
x
x 1
dx
2
x2  1
dx
x2  1
dx
1  x2
dx
x 1
dx
2
x 2 1
dx
x2  x  1
dx
x2  x  1
dx
x2  x  1
dx
x2  x  1
dx
8.11
x
8.12
x
8.13
 ( x  1)
8.14
 ( x  1)
8.15
 ( x  1)
8.16
 ( x  1)
8.17
 (1  x)
8.18
 ( x  1)
8.19
 ( x  1)
8.20
 ( x  1)
1 x  x
dx
2
x2  x  2
dx
x2  x  1
dx
x2  x  1
dx
x  x 1
dx
2
x2  x  2
dx
1  x  x2
dx
x2  x  1
dx
x2  x  2
dx
x2  x  1
8.21
 ( x  1)
8.22
 ( x  1)
8.23
 ( x  1)
8.24
 ( x  1)
8.25
x
8.26
x
8.27
 ( x  1)
8.28
x
8.29
 ( x  1)
8.30
x
dx
x2  x  1
dx
1  x  x2
dx
1  x  x2
dx
1  x  x2
dx
1  x  x2
dx
x2  x  3
dx
x 2  3x  2
dx
x 2  3x  2
dx
2  x  x2
dx
1  3x  x 2
Бодлого №9: Дараах иррациональ функцийг интегралчил. /Биномт дифференциал/
11

12. 9.1

9.2

1 x
x  4 x3
1 x
3
x  3 x2
1 3 x

9.3

9.4

9.5

9.6
x x
1 3 x
3
x  9 x4
3
dx
9.11
dx
9.12

9.13
dx
1  3 x2
9.14
dx
1  x 
x  9 x5
9.7


9.8
3
9.15
1  x 
dx
9.16
9.10
9.17
5
9.18
dx

9.9
x
1 x
 x

9.23

dx
x2  8 x
3
3



5
9.24
1  4 x3
dx
x2
9.25
1  4 x 3 




dx
2 4
x  x
1  x 
1  x 
9.26
x x
5
9.19
dx
9.20
5

5

dx
x2  5 x
1  5 x4
3
dx
x 2  15 x
3
4


9.27

dx
9.28

9.29

9.30

1  3 x 2 




dx
2 5
x  x
1  4 x 3 




x 2  20 x 7
4
dx
1  5 x 4 




dx
x2  3 x

dx
4
3
dx
 25 x11
1  5 x4
3
4
x  10 x 9
5
2
2
1  4 x3


1  3 x 2 




dx
2 6
x  x
4
1  3 x2
dx
x2
2
9.22
3
3
x  12 x 7

2
x x
9.21
dx
1  x 
1  5 x4
5
x
dx
2
1  3 x 2 




dx
x2  9 x
6
4
4
2
3
3
x  8 x7
2
3
1  x 
3
dx
x  9 x8
3

4
1  5 x 4 




3
x2  5 x2
3
1 4 x
x3 x
3
x  12 x 5
4
1 3 x
x  12 x 5
4
1  3 x2
x  6 x5
3
dx
1  x 
4
1 5 x
x  15 x 4
dx
2
dx
dx
dx
dx
3.2 Тригнометрийн функцийг интегралчлах

 R(sin x; cos x)dx интеграл нь
tg
x
 t , x  ( ;  ) тригнометрийн
2
универсаль орлуулгаар
рациональ функцийн интеграл руу шилжинэ.
x
2t
1 t2
2
 t  sin x 
, cos x 
, dx 
dt
2
1 t2
1 t2
1 t2
 2t 1  t 2  2
 R(sin x; cos x)dx  2 R 1  t 2 ; 1  t 2   1  t 2 dt




tg
(3.9)
Жишээ 3.5
dx
 3  2 sin x  cos x
интегралыг бод.
2t
1 t 2
2
, cos x 
, dx 
dt универсаль орлуулга хийвэл интеграл нь
2
1 t
1 t 2
1 t 2
2
dt
dx
dt
d (t  1)
1 t2



 arctg (t  1)  C
 3  2 sin x  cos x
2t
1  t 2  t 2  2t  2  (t  1) 2  1
3 2

1 t2 1 t2
dx
 x 
 3  2 sin x  cos x  arctg  tg 2  1  C


x
2
Бодолт: tg  t  sin x 
Гэвч (3.9) орлуулга нь ихэнхдээ нилээд их тооцоонд хүргэдэг. Хэрвээ (3.9) интегралын нь
дараах нөхцлүүдийг хангадаг байвал
а) R( sin x; cos x)  R(sin x; cos x)] бол t  cos x, x [0;  ] гэж орлуулна.
(3.10)
12

13.  
б) R(sin x;  cos x)  R(sin x; cos x)] бол t  sin x, x   ;  гэж орлуулна.
 2 2


(3.11)
в) R( sin x;  cos x)  R(sin x; cos x)] бол t  tgx эсвэл t  cos 2x гэж орлуулна.
(3.12)
Жишээ 3.6
3
cos x
 5  sin x dx интегралыг бод.
( cos x)3
cos 3 x

 R(sin x;  cos x)   R(sin x; cos x)
5  sin x
5  sin x
1
sin x  t , x  arcsin t  dx 
dt гэж орлуулна. Тэгвэл
1 t2
Бодолт:
тул
cos x  cos(arcsin t )  1  t 2
(1  t 2 ) 3
cos 3 x
1
1 t2
24 
t2

dx  

dt  
dt    5  t 
dt  5t   24 sin | t  5 | C
 5  sin x
5t
5t
t 5
2

1 t2
cos 3 x
sin 2 x
 5  sin x dx  5 sin x  2  24 ln | sin x  5 | C
  sin x  cos xdx; m  Z , n  Z хэлбэрийн интегралыг авч үзье.
m
n
Энэ үед дараах дүрмийг баримтлана.
а) Хэрэв m  n  2k бол t  tgx эсвэл t  cos 2x гэж орлуулна.
б) Хэрэв m  n  2k  1 бол t  sin x эсвэл t  cos x гэж орлуулна.
Жишээ 3.7
dx
 cos 6
интегралыг бод.
x
Бодолт: m  0, n  6  m  n  6 тэгш тоо тул tgx  t , x  arctgt  dx 
cos x  cos( arctgt ) 
1
dt гэж орлуулна. Тэгвэл
1 t2
1
1 t2


6
dx
1
2t 3 t 5
   1 t2  
dt   (1  t 2 ) 2 dt   1  2t 2  t 4 dt  t 
 C


6
 cos x 

3
5
1 t2
dx
2 3
1 5
 cos 6 x  tgx  3  tg x  5  tg x  C
dx
Жишээ 3.8:  2
интегралыг бод.
sin x  2 sin x  cos x  5 cos 2 x
Бодолт: Интегралд орж байгаа илэрхийллийн хүртвэр хуваарийг cos 2 x –д хуваая! Тэгвэл
dx
dx
dt
d (t  1)
1
t 1
cos 2 x
 tg 2 x  2tgx  5  tgx  t  cos 2 x  dt   t 2  2t  5   (t  1) 2  4  2  arctg 2  C
dx
1
tgx  1
 sin x  2 sin x  cos x  5 cos x  2  arctg 2  C
 cos mx  cos nxdx ,  sin mx  sin nxdx ,  sin mx  cos nxdx ,
2
2
(m  n)
хэлбэрийн
тригнометрийн дараах томъѐонууд
1
[cos( m  n) x  cos( m  n) x]
2
1
sin mx  sin nx  [cos( m  n) x  cos( m  n) x]
2
1
sin mx  cos nx  [sin(m  n) x  sin(m  n) x]
2
cos mx  cos nx 
(3.13)
ашиглан бодох нь зохимжтой байдаг.
Жишээ 3.9:  cos 4 x  sin 3xdx интегралыг бод.
1
2
1
2
Бодолт: sin 3x  cos 4 x  [sin 7 x  sin( x)]  [sin 7 x  sin x] тул
1
1
1
 cos 4x  sin 3xdx  2  (sin 7 x  sin x)dx   14  cos 7 x  2  cos x  C
13
гарна.
интегралуудыг

14. Санамж: Зарим трансцендент хэлбэрийн функцийн эх функц нь элементар функцуудаар
илэрхийлэгддэгүй байна. Тухайлбал:
1.  e  x dx
Пуассоны интеграл
2
2.
 sin x dx
2
 cos x dx
3.
 ln x
2
Френелийн интеграл
dx
Интеграл логарифм
sin x
dx
x
cos x
5. 
dx
x
4.

Интеграл синус
Интеграл косинус
Бие даалтын бодлогууд
Бодлого №10: Дараах тодорхойгүй интегралыг бод.
10.1  sin 3x  cos xdx
10.11  sin 5x  sin 7 xdx
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
 sin 2x  cos 2xdx
 sin 3x  cos 3xdx
 sin 5x  cos 5xdx
5
2
3
x
x
 sin 2  cos 2 dx
 sin 9x  cos xdx
 sin 2x  cos 2xdx
4
x
 sin 4x  cos 2xdx
10.13  sin 4 x  cos 3 4 xdx
10.14  sin 2 x  cos 3 2 xdx
10.12
10.15
 sin x  cos 9xdx
 sin 2x  cos 4xdx
10.17  sin 3x  cos xdx
10.16
10.8
 sin 2  cos
3x
dx
2
10.18
 sin
10.9
 sin x  cos
xdx
10.19
 cos 3 x dx
10.10
 cos 2x  cos 3xdx
10.20
 sin 4 2 x dx
5
3
 sin 3x  cos xdx
10.22  sin 3x  cos xdx
10.23  sin 3x  cos xdx
10.24  sin 3x  cos xdx
10.21
10.25
 sin 3x  cos xdx
 sin 3x  cos xdx
10.27  sin 3x  cos xdx
10.26
sin x
cos 2 x
10.28
 sin 3x  cos xdx
10.29
 sin 3x  cos xdx
10.30
 sin 3x  cos xdx
11.21
7 x  cos 7 xdx
ctg 5 4 x
 sin 2 4 x dx
 cos
Бодлого №11: Дараах тригнометр функцийг интегралчил.
11.1
tg 3 x
 cos
11.2
 cos
11.3
 sin
11.4
2
2
2
11.11
dx
x
dx
x  tg x
3
dx
x  ctg 4 x
tg 4 x
dx
2
4x
11.7
11.8
11.9
3

3
tg 5 x
2
5x
ctg 2 x
2
3x
 cos
tg 7 x
dx
2
7x
11.22
11.13
ctg 5 6 x
 sin 2 6 x dx
11.23
3
11.14
tg 5 4 x
 cos
2
4x
dx
ctg 3x
 sin 2 3x dx
dx
11.16
 cos
dx
11.17
 sin 2 3x  ctg 3 3x
11.18
 cos 2 6 x dx
11.19
 sin 2 x  ctg 3 x
sin 2 x
dx
 sin 2 x  ctg 3 x
dx
 cos 2 3x  tg 4 3x
dx
2
4 x  tg 4 x
dx
tg 6 x
dx
14
3
5
11.24
4
11.15
 cos
 cos
 sin
11.12
3
11.6
ctg 3x
4
ctg 5 2 x
 sin 2 2 x  dx
11.5
5
tg 7 x
2
3x
tg 2 3x
 cos
2
3x
dx
dx
ctg 3 5 x
 sin 2 5x dx
dx
11.25
 sin
11.26
 cos
11.27
 cos
11.28
11.29
2
2
x  5 ctg 4 x
dx
x  5 tg 2 x
tg 5 2 x
dx
2
2x
ctg 5 x


sin 2 x
5
ctg 2 x
sin 2 x
dx
dx

15. 11.10
ctg 7 x
 sin
2
7x
11.20
dx
ctg 4 x
 sin
2
4x

x
12.2
 1  2 sin 5 


12.3
 sin (1  x)dx
 cos 5x  sin 5xdx
 cos (1  x)dx
 (3  sin 2x) dx
12.4
12.5
12.6
12.7
dx
3
3
3
2
2  3x 
 sin  2 dx
 
 sin
3
 4x 
 dx
 5 
 sin 6 xdx
12.14  sin (2 x  1)dx
12.15  sin 2 (0.5x)dx
12.16  cos 2 xdx
12.21
 (1  cos 3x)
 cos
2
3
x

 1  2 cos 2  dx


3
 cos 3xdx
 sin
12.20  sin
12.19
4
12.27
 sin
2
 3x 
 dx
 4
 (sin x  5)
12.29  sin 4 xdx
12.30  cos 7 xdx
12.28
2
dx
3
2 xdx
2
 2x 
 dx
 5 
4
2
12.18
dx
3
12.23
2
2
2
2
 sin 5xdx
12.24  sin xdx
12.25  cos 4 xdx
12.26  cos 4 xdx
3
12.13
12.17
 (cos x  3) dx
12.9  cos 3 ( x  3)dx
12.10  sin 2 (2 x  1)dx
12.8
12.12
 cos 2 3x dx
12.22
Бодлого №12: Дараах тригнометр функцийг интегралчил.
12.1  sin 2 (1  x)dx
12.11  (1  cos x) 2 dx
2
tg 7 3x
11.30
dx
3xdx
2
Бодлого №13: Дараах тригнометр функцийг интегралчил.
13.1
13.2
 x
6 x 
   cos  dx
4

4
4
4
 sin x  cos xdx
 sin
2
13.4
16 sin x  cos
 2  sin xdx
13.5
16 cos
13.6
 256  sin
13.7
16 sin
13.3
6
8
2
xdx
8
8
6
x  cos 2 xdx
13.9
13.10
16 sin
 cos
8
4
8
 256  sin x  cos xdx
13.14 16 sin x  cos xdx
4
13.13
13.15
 16 sin
13.16
xdx
 x
 dx
4
2
6
 sin x  cos xdx
13.8
13.12
 x
 dx
2
6
2
 256  sin x  cos xdx
16 sin
2
 x
 dx
2
8
13.11
 sin
 cos
13.17
13.18
13.19
6
4
6
 x
2 x 
   cos  dx
2
2
x
dx
4
8
xdx
8
 x
6 x 
   cos  dx
2

2
2
6
 256  sin x  cos xdx
 16 sin
2
13.21
13.22
 x
2 x 
   cos  dx
4

4
8
 sin xdx
 sin
6
 256  cos xdx
13.24  256  sin 2 x  cos 6 xdx
8
13.23
13.25
16 sin
13.26
16  sin
13.27
 sin
13.28
 sin
13.29
6
4
 x
4 x 
   cos  dx
2
2
8
xdx
x  cos 2 xdx
 x
4 x 
   cos  dx
4

4
4
4
 256  sin x  cos xdx
4
13.20 16 cos xdx
13.30  256  sin 8 xdx
СЭДЭВ IV. ТОДОРХОЙ ИНТЕГРАЛ, ТҮҮНИЙ ЧАНАРУУД
БА БОДОХ АРГУУД
x  cos xdx
4
8
4.1 Интеграл нийлбэр, Тодорхой интегралын тодорхойлолт
Математикийн анализын үндсэн ойлголтын нэг болох тодорхой интеграл нь математик,
физик, механикт судалгааны хүчтэй аппарат болон хэрэглэгддэг. Тухайлбал дүрсийн талбай,
муруй нумын урт, биеийн эзэлхүүн, материал цэгийн хийх ажил, хурд, статик момент,
инерцийн момент, муруйн хүндийн төвийг олох зэрэг асуудал нь тодорхой интегралд
шилжинэ.
[a; b] хэрчим дээр тасралтгүй y  f (x) функц өгөгдсөн гэе!
байх цэгүүдийн олонлог x0 , x1 , x2 ,...,xn –ийг [a; b] хэрчмийн хуваалт гэж
нэрлэнэ. Хуваалтын [ xi 1 ; xi ] хэрчмийн уртыг x1  xi  xi 1 –ээр тэмдэглэж, тэдгээрийн хамгийн
уртыг нь  гээд хуваалтын алхам гэж нэрлэе! Тэгвэл   max xi болно. [ xi 1 ; xi ] , i  i, n тус
бүрээс  i цэг сонгон авч дараах нийлбэрийг зохиоѐ!
a  x0  x1  x2  ...  xn  b
 n  f (1 )  x1  f ( 2 )  x2  ...  f ( n )  xn
(4.1)
15

16. (4.1) нийлбэрийг y  f (x) функцийн [a; b] хэрчмийн өгсөн хуваалт,  i цэгийн сонголтонд
харгалзсан Риманы интеграл нийлбэр гэнэ.
Тодохойлолт 4.1: Хэрэв [a; b] хэрчмийн хуваалтын алхам тэг рүү тэмүүлэх үед (4.1) интеграл
нийлбэр нь [a; b] хэрчмийг хуваах аргаас болон  i цэгийн сонголтоос үл хамааран төгсөглөг
хязгаартай бол y  f (x) функцийг [a; b] хэрчим дээр Риманаар интегралчлагдах функц, уг
хязгаарыг тодорхой интеграл гэнэ.
b
I   f ( x)dx
a
(4.2)
Мөн түүнийг заримдаа y  f (x) функцийн [a; b] хэрчим дээрх Риманы интеграл нийлбэр гэнэ.
Тэгвэл (4.2) нь тодорхойлолт ѐсоор
b
n
I   f ( x)dx  lim  f ( i )  xi
 0
a
i 1
(4.3)
Функцийн тодорхой интеграл I нь төгсөглөг тоо байна.
4.2 Тодорхой интегралын үндсэн чанарууд
a
1.
 f ( x)dx  0
Интегралын дээд ба доод хязгаар тэнцүү бол интеграл тэг байна.
a
b
2.
 dx  b  a
a
b
a
a
3.
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
4. a, b, c, (a  b  c) тооны хувьд
c

b
c
a
b
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a
b
b
b
a
a
5.  ,   const бол    f ( x)    g ( x)dx     f ( x)dx     f ( x)dx
a
6. Хэрэв x  [a; b]: f ( x)  0 бол
b
 f ( x)dx  0
байна.
a
b
8.

a
b
b
a
7. Хэрэв x  [a; b]: f ( x)  g ( x) бол
a
 f ( x)dx   g ( x)dx
байна. Монотон чанартай.
b
f ( x)dx   f ( x) dx
a
b
9. m  inf  f ( x), M  sup f ( x) байг. Тэгвэл m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) байна.
a
Теорем 4.1: /Дундаж утгын тухай теорем/ [a; b] хэрчим дээр тасралтгүй y  f (x) функцийн
тодорхой интегралын утга нь ]a; b[ завсрын ямар цэг c дээрх функцийн утга f (c) –г хэрчмийн
урт | b  a | –аар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл:
b
 f ( x)dx 
f (c) | b  a |, c ]a; b[
a
(4.4)
Теорем 4.2: y  f (x) функц нь [a; a] хэрчим дээр интегралчлагдах функц байг. Тэгвэл
 a
2 f ( x)dx ,
a f ( x)dx   0


0 ,
a
f ( x) тэгш функц бол
f ( x) сондгой функц бол
(4.5)
16

17. Теорем 4.3: Хэрэв y  f (x) нь T үетэй функц бөгөөд төгсөглөг хэрчим бүр дээр
интегралчлагдах бол a  R тооны хувьд
a T

a
f ( x)dx   f ( x)dx
0
0
(4.6)
4.3 Ньютон-Лейбницийн томъѐо
Тодорхойлолт 4.2: [a; b] хэрчим дээр интегралчлагдах y  f (x) функц өгөгдсөн гэе! Тэгвэл
x  [a; b] цэгийн хувьд y  f (x) функц [a; x] хэрчим дээр интегралчлагдана. Энэ интегралыг
x
( x)   f (t )dt
a
(4.7)
гэж тэмдэглээд хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэнэ.
Теорем 4.4: Хэрэв y  f (x) функц [a; b] хэрчим дээр интегралчлагдах бол (x) функц энэ
завсар дээр дифференциалчлагдах ба түүний уламжлал нь
'
x

' ( x)    f (t )dt   f ( x)


a

(4.9)
Теорем 4.5: Хэрэв [a; b] хэрчим дээр тасралтгүй y  f (x) функцийн эх функц нь F (x) бол
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
(4.10)
гэсэн Ньютон-Лейбницийн томъёо хүчинтэй байна. (4.10) томъѐо нь тодорхой интегралыг
бодох үндсэн томъѐо юм.
a
Жишээ 4.1: а)  x 3 dx интегралыг бод.
0
a
x4
Бодолт:  x dx 
4
0
a

3
b
0
a 4 04 a 4
болно.


4
4
4
b
б)  e x dx  e x a  e b  e a
a
в)
e2

e

г)
dx
e
 ln | x | e  ln | e 2 |  ln | e | 2  1  1
x
2

2




 sin xdx  2   sin xdx   2  cos x 0 2  2   cos 2  cos 0   2


0

2
2
4.4 Тодорхой интегралыг бодох аргууд
1. Хувьсагчийг солих арга
хэрчим дээр тасралтгүй
функц, [ ;  ] хэрчим тасралтгүй,
[a; b]
y  f (x)
дифференциалчлагдах ба  [ ;  ]  [a; b] байх x   (t ) функц өгөгдсөн байг. Тэгвэл
тодорхой интегралд хувьсагчийг солих томъѐо нь
b





f ( x)dx   f  (t )    ' (t )dt   f  (t ) d  (t ) 
a
(4.11)
Жишээ 4.2: а)
4

0
Бодолт:
олбол
x
x 1
dx интегралыг бод.
x  t буюу x  t 2  dx  2tdt орлуулга хийе! Шинэ хувьсагчаар интегралчлах мужийг
17

18. t1  x
t2  x
x 0
x4
 0 0
 4 2
 0  t  2;
2
2
2
 t2

t
t2
1 

 2tdt  2  
dt  2    t  1 
dt  2    t  ln | t  1 |   2 ln 3
 t 1
2

t 1
t 1


0
0
0
2
0
б)
1

интегралыг бод.
2  x 2 dx
0
Бодолт: Интегралд x  2  sin t орлуулга хийгээд интегралчлалын хилээ соливол
x
dx  2  cos t , t  arcsin
, ( x 2  2 sin t )
2
t1  arcsin
t 2  arcsin
x
 arcsin 0  0
2
x
2  x dx 
4

0
0

2
x 1

2
1
 arcsin
2
1

x 0

 0t

4
;
4



1  cos 2t
t 1
 4  2
2  2 sin t  2 cos tdt  2   cos tdt  2  
dt  2    sin 2t  
2
4
2 4
0
0
0
4
2
4
2
2. Хэсэгчилэн интегралчлах арга
[a; b] дээр дифференциалчлагдах u (x) ба v(x) функцууд өгөгдсөн байг. Тэгвэл хэсэгчилэн
интегралчлах томъѐо нь
b
b
 u( x)  v' ( x)dx  u( x)  v( x) a   u' ( x)  v( x)dx
b
a
a
(4.12)
1
Жишээ 4.3: а)  arcsin xdx интегралыг бод.
0
Бодолт:
1
u ( x)  arcsin x , u ' ( x) 
0
v' ( x)  1,
 arcsin xdx 

1
v( x)  x

1
1
   x
dx    2 1  x 2
2
2 0
2 2
1 x
1
1
1
'
'
1  x 2   ( x)  arcsin xdx  x  arcsin x 0   x  (arcsin x) dx 
1
0
1

0

2
1 
0
 2
2
1
б)  xe x dx интегралыг бод.
0
Бодолт:
1
u ( x)  x ,
 xe dx  v' ( x)  e
x
0
x
u ' ( x)  1
, v( x)  e
x
1
1
1
1
0
0
1
  x  (e x ) ' dx  x  e x   ( x) '  e x dx  e   e x dx  e  e x  e  e  1  1
0
0
0
4.5 Өргөтгөсөн интеграл
y  f (x) функцийн [a;  ) завсар дээр тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байг. Тэгвэл b  a
байх [a; b] хэрчим дээр y  f (x) тасралтгүй тул
b
 f ( x)dx
интеграл оршин байна. Иймд a  b  
a
үед өгсөн интеграл нь дээд хилээсээ хамааран тасралтгүй функц болно.
b  
үеийн интеграл

 f ( x)dx –ийг авч үзье!
a
18

19. Тодорхойлолт 4.3: a  x   завсар дээр функц тасралтгүй учир y  f (x) функцийн хувьд
b
lim  f ( x)dx төгсөглөг хязгаар оршин байвал энэхүү хязгаарыг f (x) функцээс [a;  [ завсраар
b
a
авсан өргөтгөсөн интеграл гээд

 f ( x)dx
гэж тэмдэглэнэ. Иймд тодорхойлолт ѐсоор:
a


b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx
b
a
a
(4.13)
Дээрх хязгаар төгсөглөг оршин байвал

 f ( x)dx
интегралыг нийлдэг интеграл гэх ба төгсөглөг
a
хязгаар оршин байхгүй бол сарнидаг өргөтгөсөн интеграл гэнэ. Үүнтэй төстэйгээр y  f (x)
функц ]  ; b] завсар дээр тасралтгүй байвал уг завсар дээрх өргөтгөсөн интеграл нь
b
b


f ( x)dx  lim  f ( x)dx
a
a
(4.14)
хязгаараар тодорхойлогдоно.
Хэрэв f (x) функц бүх тоон шулуун дээр тасралтгүй байвал c тооны хувьд (;  ) завсраар
авсан өргөтгөсөн интеграл нь

c



c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
(4.15)
гэж тодорхойлогдоно. Дээрх томъѐоны баруун талын хоѐр өргөтгөсөн интеграл нийлж байвал
зүүн талын интеграл нийлнэ. Энэ тохиолдолд

 f ( x)dx –ийг нийлдэг интеграл гэх ба


c

f ( x)dx ;

 f ( x)dx
интегралуудын аль нэг нь сарнидаг бол түүнийг сарнидаг интеграл гэнэ.
c
Жишээ 4.4: а)

dx
 1 x
өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг судал.
2
0
Бодолт:
б)

dx
dx

b
 1  x 2  blim  1  x 2  blim arctgx 0  blim arctgb  arctg 0  2



0
0
b
тул нийлнэ.

dx
 x p өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг судал.
1
Бодолт:
b

b
 x1 p 
 b1 p
dx
dx
1 
 lim  p  lim 
 x p b 1 x b (1  p)   blim  (1  p)  (1  p) 





1


1
Энэ хязгаар нь b –ийн зэргийн илтгэгч 1  p  0 үед төгсөглөг гарах ба 1  p  0 үед  гарна.
Иймд энэ өргөтгөсөн интеграл зөвхөн p  1 үед л нийлнэ.
Теорем 4.5: /Жиших шинжүүр 1/ f ( x) , g ( x) функцүүд нь a  x үед 0  g ( x)  f ( x) нөхцөлийг
хангах тасралтгүй функцүүд байг.
а) Хэрэв


f ( x)dx
интеграл нийлж байвал
a
б) Хэрэв
мөн нийлэх бөгөөд
a

 g ( x)dx
интеграл сарниж байвал
a
Жишээ 4.6:
 g ( x)dx

 f ( x)dx
интеграл сарнина.
a


2
dx
x 1
өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг судал.
19


a

a
 g ( x)dx 
 f ( x)dx
биелнэ.

20. 1
Бодолт: Интегралд орж байгаа f ( x) 
болно.


2
dx
1
1
2
; p
x
функцийг g ( x) 
x 1
1
x
1
функцтэй жишвэл
x 1

1
x
тул энэ өргөтгөсөн интеграл сарнина. Тэгвэл теорем 4.5 ѐсоор өгөгдсөн
өргөтгөсөн интеграл сарнина.
Теорем 4.6: /Жиших шинжүүр 2/ [a;  [ завсар дээр тодорхойлогдсон эерэг функцүүд
f ( x), g ( x) нь ямар нэг төгсөглөг хэрчим [a; b] дээр интегралчлагддаг байг. Тэгвэл
lim
x
f ( x)
L0
g ( x)
(4.16)


a
төгсөглөг хязгаар оршин байвал
a
 f ( x)dx ,  g ( x)dx
гэсэн интегралуудын нийлэлт сарнилт нь яг
ижил байна.
Жишээ 4.7:

x

2
dx
 x 1
өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг судал.
Бодолт: Интегралд орж байгаа
L  lim
x 
f ( x)
x2
 lim 2
1 0
g ( x ) x  x  x  1
f ( x) 
1
x  x 1
2
функийг
g ( x) 
болно. Иймд теорем 4.6 ѐсоор

1
x2
dx
x
2
функцтэй жишвэл
өргөтгөсөн
; p  2 1
1
интеграл нийлдэг тул өгөгдсөн интеграл нийлнэ.
Тодорхойлолт 4.4:


f ( x) dx

 f ( x)dx –ийг
интеграл нийлж байвал өргөтгөсөн интеграл
a
a
абсалют нийлэх интеграл гэнэ. Харин

 f ( x)dx
интеграл нийлэх ба
a


f ( x) dx интеграл сарниж
a
байвал нөхцөлт нийлэх интеграл гэнэ.
Бие даалтын бодлогууд
Бодлого №14: Дараах тодорхой интегралыг бод.
2
0
14.1
2
 ( x  5x  6) cos 2 xdx
14.11
2
2
 ( x  4) cos xdx
2
 ( x  4 x  3) cos xdx
14.13
cos 3xdx
14.14
2
2
 ( x  7 x  12) cos xdx
4
2
 (2 x  4 x  7) cos 2 xdx
 (x
2
 ( x  6 x  9) sin 2 xdx
14.27
2
0
0
2
 (3x  5) cos 2 xdx
0
dx
 ( x  1) ln
2
( x  1)dx
 ( x  1)
ln 2 ( x  1)dx
3
 ( x  2)
3
ln 2 ( x  2)dx
1
 ( x  1)
2
ln 2 ( x  1)dx
e
2
 17.5) sin 2 xdx
14.28

x  ln 2 xdx
1
0
14.19
x2
0
4
 (x

2
3
2
3

14.18
ln 2 x
0
14.26
0
2
 (8x  16 x  17) cos 4 xdx
dx
x
3
14.25
 5 x  6) sin 3xdx

14.9
14.24
0
14.17
ln 2 x
2
2
 (x
2
 (9 x  9 x  11) cos 3xdx
xdx
0
0
14.8
 3x) sin 2 xdx
0
14.16
2
1
2
2
 ( x  3x  2) sin xdx


1

14.7
14.23

14.15

14.6
8
0
0
14.5
2
 ( x  2 x  1) sin 3xdx
3
2

1
1
0
 ( x  2)
e2
14.22
0
1
14.4
2
 (1  8x ) cos 4 xdx
0
0
 x ln
1
2
14.12
2
14.3
2
14.21
0
0
14.2
2
 (3  7 x ) cos 2 xdx
1
2
 (1  5x
2
0
20
) sin xdx
14.29

x
2
 x  e 2 dx
1

21. 2
14.10
2
 (2 x  15) cos 3xdx
1
3
2
 (3x  x ) sin 2 xdx
14.20

0
14.30
x
2
 e 3 x dx
0
4
Бодлого №15: Дараах тодорхой интегралыг бод.
e 2 1
x 1 x
1  ln( x  1)
1 x  1 dx
e
15.11
15.2
( x 2  1)
 ( x 3  3x  1) 2 dx
0
15.12
arctgx  x
 1  x 2 dx
0
15.3
4arctgx  x
 1  x 2 dx
0
15.13
x  (arctgx) 4
 1  x 2 dx
0
15.1
8

3
1
15.4
x
x
dx
4
0
2
15.5
0
15.6
2 cos x  3 sin x
 (2 sin x  3 cos x) 3 dx
0
1
15.7
15.8

1
1 2 x 1

1
15.9


8

x 1 x
x 1
2
3
x  ( x  1)
1
8
 x
15.17
3
2
 x
15.19
2
dx
15.26
dx
2

15.20
1
1 x2
x 1
2
15.27
x2 1
2
dx
dx
sin x  cos x
4
 (cos x  sin)
5
dx
0

15.28
x  cos x  sin x
dx
( x  sin x) 2
2


4
x3  x
dx
x4 1
1
dx
1  cos x

 ( x  sin x)

dx
(arccos x) 3  1
2

0
15.25
2
dx
x  ln x
dx
x
e
tg ( x  1)
dx
2
( x  1)
 cos
1
1  ln x
 x dx
1
15.18
 tgx  ln cos xdx
1
1 x

15.16
4
0
15.24
1 x2
3
15.23
e
dx
x
dx
4
x 1
0
15.10
xx
2

2
0
2
4
(arcsin x)  1

15.15
4
8 x  arctg 2 x
 1  4 x 2 dx
0
x
dx
4
sin 1
dx
x3
 ( x 2  1) 2 dx
0
0
2
0
x  x2 1
4
1
15.22
3
x
15.14
x  cos x
dx
x 2  sin x


2
x

0
3
3
2
15.21
3
1
2
x 1
2
1
dx
15.29

0
3
2
15.30
x

x  x2 1
4
2
dx
Бодлого №16: Дараах тодорхой интегралыг бод.
2 arctg 2


16.1
dx
2
sin x  (1  cos x)

16.11
2

16.2


dx
2
sin x  (1  cos x)
16.12
16.13

16.5
cos x  sin x
 (1  sin x) 2 dx
0
16.15
16.6
16.7
dx
sin x  (1  sin x)
2 arctg (1 3)


0

2
cos x
dx
(1  sin x)(1  cos x)
cos x
dx
1  cos x  sin x
3
2
dx
sin x
2
dx
0
16.23



sin x
dx
(1  cos x  sin x) 2
2
0
16.24
16.25

 2
3
sin 2 x
 (1  sin x  cos x) 2 dx
0
2
2
16.26
cos 2 x
dx
(1  cos x  sin x) 2

3
0
cos 2 x
dx
(1  sin x  cos x) 2
2 arctg 2
16.27


2
21
2
 (1  sin x  cos x)

0
16.17
1  sin x
dx
(1  sin x) 2
cos x
 1  sin x  cos x dx
0
16.16
2 arctg (1 2 )
16.22
2
2 arctg (1 3)
2 arctg 3
dx
 2 cos x  (1  cos x)
2 arctg



0
sin x
 1  sin x  cos x dx
0
0
2
sin x
 (1  sin x)
2
16.14
2
0
2
2 arctg (1 2 )
2
cos x
(1 2) (1  cos x) 3 dx
2 arctg
1  cos x
 1  sin x  cos x dx
0

2

16.21
3
2 arctg 2
16.4
cos x
 1  sin x  cos x dx


2
cos x
 2  cos x dx
0
16.3

2
dx
sin x  (1  sin x)

22. 
16.8
dx
(1 2) (1  sin x  cox ) 2
2 arctg

16.9
16.18
cos x
 1  sin x  cos x dx
0





2
2
16.10
0
2
3
0
16.19
cos x
dx
(1  cos x  sin x) 2


16.20
0
1  sin x
dx
cos x  (1  cos x)
dx
2
0
2
cos x
 (1  sin x  cos x) 2 dx
0
2
 (1  sin x  cos x)
16.28
2
2 arctg (1 2 )
1  sin x
dx
1  sin x  cos x

2
sin x
 2  sin x dx
16.29
0

4
dx
 cos x  (1  cos x)
16.30
0
Бодлого №17: Дараах өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг судал.

17.1
 16 x
4
0

17.2
1
17.3
x
 16 x


1
1


( x  4)
2
17.7
17.8
dx
3
4
dx
x
x 2  4x  1
17.16
17.10
x
1
2
2



17.17
17.23
17.18
2
17.24
x
dx
 4x  5
17.20
 2x
dx
 2x  1
2
0
1  4x
2
dx
x
(4  x 2 )    arctg
2
7
 ( x 2  4 x) ln 5 dx


dx
 x2
x 
 x 3  1  x 2  1 dx



 

17.26
dx

2
2
1 3 (1  9 x )  arctg 3 x
x
2
1
dx
(x  1)

17.27
dx
 x(ln x  1)
e
17.28

1
dx
(6 x  5 x  1)  ln
2

17.29
 9x
1

17.30
2
2

dx

3 x

1
17.19
 xe
0
dx
4
 x  (1  ln 2 x) dx
1

dx
 2 x)  ln 3 x
2
0
17.25
arctg 2 x

dx
 (x
1

dx
dx
1  ( x 2  4 x  5)


17.22

3  x2
 x 2  4 dx
0
0

17.9
 3 ( x 2  4 x  1) 4
0

 4 (16  x 2 ) 5
0

17.15
2
x

0
x
dx
 4x  5
( x  2)
 x  sin xdx


 3 ( x 3  8) 4
0

2

17.14
dx
x
x
 4x
0
16 x 4  1

17.6
17.13
dx
x
17.21
16
2 (4 x 2  4 x  5) dx
1

0
17.5
17.12
3
4
arctg 2 x
  (1  4 x 2 ) dx
0

16 x
dx
4
1
0
17.4
1
17.11
dx
 16 x



x
x
3
2
2
3
4
dx
 9x  2
dx
 3x  2
СЭДЭВ V. ТОДОРХОЙ ИНТЕГРАЛЫН ХЭРЭГЛЭЭ
5.1 Тодорхой интегралын геометр хэрэглээ
1.
Муруй шугаман трапецийн талбай.
а) Хэрэв x  [a; b] хувьд f ( x)  0 бол Ox тэнхлэг, x  a, x  b шулуунууд, y  f (x) функцийн
графикаар хүрээлэгдсэн муруй шугаман талбай
b
S   f ( x)dx
a
(5.1)
б) Хэрэв x  [a; b] хувьд f ( x)  0 бол
b
S

a
b
f ( x)dx    f ( x)dx
a
(5.2)
в) Хэрэв муруй шугаман трапец нь f1 ( x)  0 , f 2 ( x)  0 , a  x  b шугамуудаар хүрээлэгдсэн
бол
22

23. b
S    f 2 ( x)  f1 ( x) dx
a
(5.3)
г) Муруй шугаман трапецийн хүрээлж байгаа нь x  x(t ) , y  y(t ) ,   t   тэгшитгэлээр
өгөгдсөн бол
b

a

S   f ( x)dx   y(t )  x' (t )dt
(5.4)
Жишээ 5.1: а) y  x , y  2  x 2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
Бодолт: Дээрх шугамуудын огтлолцолын цэгийн координатыг олбол
y  x
 x  2  x 2 ; x 2  x  2  0  x1  2 , x 2  1

y  2  x2

байна.
Өөрөөр
хэлбэл
a  2 , b  1, f1 ( x)  x, f 2 ( x)  2  x 2
x  [2;1]: 2  x 2  x тул (5.3) томъѐо ѐсоор
1
1

x3 x 2 
13 12
(2) 3 (2) 2 1
  2  1    2  (2) 
S   (2  x 2  x)dx   2 x 




3
2 
3 2
3
2
2

 2
2
б)
x2 y2

 1 эллипсийн талбайг ол.
a2 b2
 x  a  cos t
Бодолт: Эллипсийн параметрт тэгшитгэлийг бичвэл 
; 0  t  2 Тэгвэл (5.4) томъѐо
 y  b  sin t
ѐсоор
2
2
2
0
0
0
S   b  sin t  (a  cos t ) ' dt   b  sin t  (a  sin t )dt  ab  sin 2 tdt  
2
2
ab
ab  1

  (1  cos 2t )dt  
  t   sin 2t   ab
2 0
2  2
0
S | ab | ab байна.
2.
Муруй шугаман секторын талбай.
Г муруй туйлын координатын системд r  r ( ) тэгшитгэлээр өгөгдсөн байг. Тэгвэл
r  r ( ) ,    ,    , (r  0 ,      ) шугамуудаар хүрээлэгдсэн муруй шугаман секторын
талбай

S
1 2
 r ( )d
2
(5.5)
Жишээ 5.2 r 2  a 2  cos 2 , 0     Бернуллийн лемнискатийн талбайг ол.
 4
 4
1
1
a2
Бодолт: (5.5) томъѐо ѐсоор S    a 2  cos 2d   sin 2
4
2 0
4
0
3.

a2
 S  a2
4
Муруй нумын уртыг олох.
а) Хэрэв y  f ( x) , a  x  b тэгшитгэлээр өгөгдсөн Г муруйн уртыг
b
   1   f ' ( x)  dx
2
a
(5.6)
б) Хавтгайд Г муруй нь x  x(t ) , y  y(t ) ,   t   гэсэн параметрт тэгшитгэлээр өгөгдсөн
бол түүний уртыг


x' (t )2   y' (t )2 dt

(5.7)
в) Огторгуйд Г муруй нь x  x(t ) , y  y(t ) , z  z(t ) ,   t   гэсэн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол
түүний уртыг
23

24. 
x' (t )2   y' (t )2  z' (t )2 dt


(5.8)
г) Хэрэв Г муруй туйлын координатын системд r  r ( ) ,      тэгшитгэлээр өгөгдсөн
бол

 
 r ( )  r ' ( )

2
2
d
(5.9)
Жишээ 5.3: а) y  chx функцээр өгөгдсөн муруйн 0  x  a завсар орших нумын уртыг ол.
a
a
0
0
Бодолт: (chx ) '  shx тул (5.6) томъѐог ашиглавал    1  sh 2 x dx   chxdx  shx 0  sha байна.
a
 x  a  cos t
б) 
функцээр өгөгдсөн муруйн 0  x  2 завсар орших нумын уртыг ол.

3
3
 y  a  sin t

 x' (t )  3a  cos 2 t  sin t
Бодолт: 
тул (5.7) томъѐо ѐсоор

2
 y ' (t )  3a  sin t  cos t

1

4
 2
  3a  cos
2
  3a  sin
2
2
 2

2
t  cos t dt 
0
 3a cos t  sin tdt 
0
 2

t  sin t
3a
 cos 2t
4
0

3a
3a
 (cos   cos 0) 
   6a
4
2
3
в) r  3e 4 функцээр өгөгдсөн муруйн 
9
4
 2
3a
 sin 2tdt 
2 
0

2
x

2
завсар орших нумын уртыг ол.
3
Бодолт: r ' ( )  e 4 тул (5.9) томъѐо ѐсоор
 2




4.
2
 3
 3e 4


2
  9 3
  e 4
 4
 
2
 2
 2
3
3
3
3

81
15 4
15 4
 dt 
9e 2  e 2 dt  
e dt    e 4


16
4
4 3
 2
 2

 2
 2
3
 3

 5  e 8  e 8



  10  sh 3

8

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох.
а) Хэрэв y  f ( x) , a  x  b тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруй шугаман трапецийг Ox
тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биеийн эзэлхүүнийг
b
V    x  f ( x)dx
a
(5.10)
б) Дээрх муруй шугаман трапецийг Oy тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биеийн
эзэлхүүнийг
b
V  2  f 2 ( x)dx
a
(5.11)
в) Хөндлөн огтлолын талбай нь өгөгдсөн үед биеийн эзэлхүүнийг /  (x) –хөндлөн
огтлолын талбай/
b
V    ( x)dx
a
(5.12)
Жишээ 5.4: а) y  sin x , y  0 , 0  x   шугамуудаар хүрээлэгдсэн муруй шугаман трапец Ox
тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүсэх биеийн эзэлхүүнийг ол.

Бодолт: (5.10) томъѐог ашиглавал V     sin 2 xdx 
0

2

  (1  cos 2 x)dx 
0
 

1
2

  x   sin 2 x  
2 
2
2
0
байна.
б) y  ( x  1) 2 , y  0 , 0  x  2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн муруй шугаман трапец Oy тэнхлэгийг
тойрон эргэхэд үүсэх биеийн эзэлхүүнийг ол.
24

25. Бодолт:
2
 x 4 2x 3 x 2
V  2   x  ( x  1) 2 dx  2  
 4  3  2

0
в)
томъѐог
(5.11)
2
ашиглавал
2

16
4
  2   4   2  
байна.



3
3

0
0
x2 y2 z2


 1 эллипсоидийн эзэлхүүнийг ол.
a2 b2 c2
Бодолт:
y2 z2
x2
 2  1 2 
2
b
c
a
a
1
V   bc
2
0
5.
y2

x2 
b 2  1  2 
 a 



x2 
 1  2 dx  bc
 a 




x2 
 1   ( x)  bc  1  2 
 a 

x2 


c 2  1  2 
 a 



x3
x  2

3a

z2
a

2abc
4abc
 
  V 


3
3
0
Эргэлтийн биеийн гадаргуугийн талбайг олох.
а) Хэрэв y  f ( x) , a  x  b тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруй нум Ox тэнхлэгийг тойрон
эргэхэд үүсэх биеийн гадаргуугийн талбайг
b
P  2  f ( x)  1   f ' ( x)  dx
2
a
(5.13)
б) Хэрэв нум x  x(t ) , y  y(t ) ,   t   гэсэн параметрт тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол

P  2  y(t ) 
x' ( x)2   y' ( x)2 dt

(5.14)
в) Хэрэв муруй нум туйлын координатын системд r  r ( ) ,      тэгшитгэлээр
өгөгдсөн бол

P  2  r ( )  sin 
r ' ( )2  r ( )2 d

(5.15)
Жишээ 5.5: R радиустай бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг ол.
Бодолт: y  R 2  x 2 хагас тойрог Ox тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн гэж үзнэ.
f ' ( x)  
x
R2  x2
R
тул (5.13) томъѐо ѐсоор P  2   R 2  x 2  1 
R
R
x2
dx  2R   dx  4R 2
R2  x2
R
байна.
5.2 Тодорхой интегралын физик хэрэглээ
1.    (x) тасралтгүй массын нягттай саваа Ox тэнхлэгийн [a; b] хэрчмийн дагуу байрласан
бол түүний масс нь
b
m    ( x)dx
a
(5.16)
2. Хэрэв AB муруй y  f ( x) , a  x  b тэгшитгэлтэй бөгөөд    (x) нягттай бол координатын
тэнхлэгүүдтэй харьцуулсан статик момент нь
b
M x    ( x)  f ( x) 1   f ' ( x)  dx
2
a
b
M y    ( x)  x 1   f ' ( x)  dx
2
a
(5.17)
3. Хэрэв AB муруй y  f ( x) , a  x  b тэгшитгэлтэй бөгөөд    (x) нягттай бол координатын
тэнхлэгүүдтэй харьцуулсан инерцийн момент нь
25

26. b
I x    ( x)  f 2 ( x) 1   f ' ( x)  dx
2
a
b
I y    ( x)  x 2 1   f ' ( x)  dx
2
a
(5.18)
4. Хэрэв AB муруй y  f ( x) , a  x  b тэгшитгэлээр өгөгдвөл түүний C ( xc ; yc ) хүндийн төвийн
координатыг
b
xc 
x
a
b

b
1   f ' ( x)  dx
2
1   f ' ( x)  dx
;
yc 
 f ( x)
1   f ' ( x)  dx
2
a
2
b

a
1   f ' ( x)  dx
2
a
(5.19)
Энд муруй нь нэгэн төрлийнх бол массын нягтыг  ( x)  1 гэж авна.
Бие даалтын бодлогууд
Бодлого №18: Муруй шугаман трапецийн талбайг ол.
18.1
y  ( x  2) 2 ,
18.11
y  4x  8
y  4 x ,
2
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.12
1
, y  0,
1  cos x
x   2, x   2
y
y  x 9  x2 , y  0,
0 x3
1
x 1  ln x
x  1, x  e
18.13
18.14
, y  0,
18.15
3
y  x2 4  x2 , y  0,
0 x2
y  cos x  sin x , y  0 ,
18.16
2
18.7
18.8
18.9
18.10
y2  x 1
y  2x  x  3,
18.21
2
y  x 2  2x
y
y  ( x  1) 2 ,
0 x 2
y  ex 1, y  0,
x  ln 2
y  sin x  cos 2 x , y  0 ,
0 x 2
y  arccos x , y  0 ,
x  ln 2
y  x 2  4x  3
1x
e
, y  0,
x2
x  2, x  1
x  arccos y ,
y
x  0, y  0
y
18.22
x
1 x
x 1
, y  0,
y  x2 8  x2 , y  0,
0 x2 2
x  e 1, x  0,
18.23
18.24
18.25
18.18
18.19
18.20
y  ln 2
y  x 4  x2 , y  0,
0 x2
y  arctgx ,
y  0, x  3
y  4  x2 , y  0,
x  0, x  1
x  4y  8
y  sin 2 x  cos 5 x , y  0 ,
0 x 2
x
, y  0,
( x 2  1) 2
x 1
x  4  y2 ,
y
x  y2  2y
1
x
, x  0,
y 1  ln y
y  1, y  e 3
18.26
y
18.17
x  ( y  2) 2 ,
18.27
18.28
18.29
18.30
y  x 36  x 2 , y  0 ,
0 x6
y  x 2 16  x 2 , y  0 ,
0 x4
x  4  y2 , x  0,
y  0, y  1
y  ( x  1) 2 ,
y2  x 1
y  x 2  cos x , y  0
0 x 2
Бодлого №19: Муруй шугаман трапецийн талбайг ол.
19.1
19.2
 x  4 2 cos 3 t ,


 y  2 2 sin 3 t ,

x  2 , ( x  2)
 x  2 cos t ,


 y  2 2 sin t ,

y  2 , ( y  2)
19.1
1
19.1
2
 x  2 2 cos t ,


 y  3 2 sin t ,

y  3 , ( y  3)
 x  6(t  sin t ) ,

 y  6(1  cos t ) ,
y  9 , (0  x  12 , y  9)
26
19.2
1
19.2
2
 x  t  sin t ,

 y  1  cos t ,
y  1, (0  x  2 , y  1)
 x  8 cos 3 t ,


 y  8 sin 3 t ,

x  1, ( x  1)

27. 19.3
19.4
19.5
19.6
19.7
 x  4(t  sin t ) ,

 y  4(1  cos t ) ,
y  4 , (0  x  8 , y  2)
3

 x  16 cos t ,

 y  2 sin 3 t ,

x  2 , ( x  2)
 x  2 cos t ,

 y  6 sin t ,
y  3 , ( y  3)
 x  2(t  sin t ) ,

 y  2(1  cos t ) ,
y  3 , (0  x  4 , y  3)
 x  16 cos 3 t ,


 y  sin 3 t ,

x  6 3 , (x  6 3)
19.8
19.9
19.1
0
 x  6 cos t ,

 y  2 sin t ,
19.1
3
3

 x  32 cos t ,

 y  sin 3 t ,

x  4 , ( x  4)
19.1
4
 x  3 cos t ,

 y  8 sin t ,
y  4 , ( y  4)
19.1
5
 x  6(t  sin t ) ,

 y  6(1  cos t ) ,
y  6 , (0  x  12 , y  6)
19.1
6
19.1
7
 x  8 cos 3 t ,


 y  4 sin 3 t ,

x  3 3 , (x  3 3)
 x  6 cos 3 t ,


 y  4 sin 3 t ,

x  2 3 , (x  2 3)
19.2
3
19.2
4
19.2
5
19.2
6
19.2
7
20.2
20.3
 x  3 cos t ,

 y  8 sin t ,
y  4 3 , ( y  4 3)
 x  2(t  sin t ) ,

 y  2(1  cos t ) ,
y  2 , (0  x  4 , y  2)
 x  3(t  sin t ) ,

 y  3(1  cos t ) ,
y  3 , (0  x  6 , y  3)
19.1
9
 x  2 2 cos 3 t ,


 y  2 sin 3 t ,

19.2
9
 x  2 2 cos t ,


 y  5 2 sin t ,

 x  8 2 cos 3 t ,


 y  2 sin 3 t ,

19.2
0
 x  2 cos t ,


 y  4 2 sin t ,

y  3 , ( y  3)
x  4 , ( x  4)
x  1, ( x  1)
y  4 , ( y  4)
19.3
0
r  4 cos 3 ,
r  2 , (r  2)
1
r   cos 
2
r  3 cos  , r  sin  ,
0  2
20.11
20.12
20.13
r  2 sin(   4) ,
r  sin 3
r  2 cos  ,
r  6 cos 3 ,
r  3 , (r  3)
1
r   sin 
2
r  cos  , r  sin  ,
0   2
20.21
20.22
20.23
20.14
20.15
r  2 cos(   4) ,
0    3 4
r  cos  ,
20.24
 x  4(t  sin t ) ,

 y  4(1  cos t ) ,
y  6 , (0  x  8 , y  6)
r  6 sin 3 ,
r  3 , (r  3)
3
5
r  cos  , r  cos 
2
2
r  2 cos  , r  2 3 sin  ,
0   2
r  2 cos(   4) ,
r  2 cos 
20.25
r  2 sin 4
r  cos   sin 
20.26
20.7
r  1 2 sin 
20.17
r  1 2 cos 
20.27
20.8
r  cos 3
20.18
r  cos 2
20.28
20.19
r
r  2 , (r  2)
y  5 , ( y  5)
0    3 4
r  cos   sin 
r  4 sin 3 ,
x  2 , ( x  2)
r  sin  ,
r  2 sin(   4) ,
20.16
20.9
x  9 3 , (x  9 3)
19.2
8
r  3 cos 
20.6
 x  24 cos 3 t ,


 y  2 sin 3 t ,

19.1
8
 4  2
20.5
 x  8(t  sin t ) ,

 y  8(1  cos t ) ,
y  12 , (0  x  16 , y  12)
 x  4 2 cos 3 t ,


 y  2 sin 3 t ,

r  cos  ,
20.4
y  2 , ( y  2)
 x  10(t  sin t ) ,

 y  10(1  cos t ) ,
y  15 , (0  x  20 , y  15)
Бодлого №20: Муруй шугаман секторын талбайг ол.
20.1
 x  9 cos t ,

 y  4 sin t ,
5
3
sin  , r  sin 
2
2
27
20.29
r  3 sin  ,
r  5 sin 
r  sin  ,
r  2 sin 
r  2 cos 6

28. 20.10
r  sin 6
20.20
r  4 cos 4
20.30
Бодлого №21: Муруй нумын уртыг ол.
y  ln x ,
21.1 y  2  chx ,
21.1
0  x 1
1
3  x  15
2
21.1 y  1  ln cos x ,
x
ln x
21.2 y  
, 1 x  2
0 x  6
2
4
2
y  1  x  arcsin x ,
2
21.3
21.4
21.5
0 x7 9
y  ln
5
, 3x 8
2x
y   ln cos x ,
21.1
4
21.1
5
0 x  6
y  e  6,
x
21.6
21.1
3
ln 8  x  ln 15
y  2  x  x  arcsin x ,
21.1
6
2
21.7
21.8
21.9
21.1
0
1 4  x 1
y  ln( x 2  1) ,
2 x3
y  1  x 2  arccos x ,
0 x8 9
y  ln(1  x 2 ) ,
0  x 1 4
21.1
7
21.1
8
21.1
9
21.2
0
21.2
1
21.2
2
y  e x  13 ,
21.2
3
ln 15  x  ln 24
y  x  x 2  arccos x ,
0  x 1 4
y  2e ,
x
21.2
5
ln 3  x  ln 8
y  arcsin x  1  x 2 ,
21.2
6
0  x  15 16
y  1  ln sin x ,
21.2
7
 3 x  2
y  1  ln( x 2  1) ,
r  4 sin 
y  ln sin x ,
 3 x  2
y  ln 7  ln x ,
3x 8
y  chx  3 ,
0  x 1
y  1  1  x 2  arcsin x ,
0 x3 4
y  ln cos x  2 ,
0 x  6
y  e x  26 ,
ln 8  x  ln 24
y
e x  ex
 3, 0  x  2
2
y  arccos
21.2
8
3 x 4
y  x  x 2  arccos
21.2
4
r  2 sin  ,
x  5,
1 9  x 1
y  1  x 2  arccos x  1,
0  x  9 16
0  x 1 2
21.2
9
y
x  x  x2  4,
21.3
0
e x  ex  3
, 0 x2
4
y  ex  e,
ln 3  x  ln 15
Бодлого №22: Муруй нумын уртыг ол.
22.1
22.2
 x  5(t  sin t ) ,

 y  5(1  cos t ) ,
0t 
 x  3(2 cos t  cos 2t ) ,

 y  3(2 sin t  sin 2t ) ,
22.11
 x  6 cos 3 t ,


 y  6 sin 3 t ,

0t  3
 x  e t (cos t  sin t ) ,


 y  e t (cos t  sin t ) ,

 2t 
2

 x  (t  2) sin t  2t cos t ,

 y  (2  t 2 ) cos t  2t sin t ,

0  t  2
3

 x  4 cos t ,

 y  4 sin 3 t ,

 6t  4
22.14
 x  3.5(2 cos t  cos 2t ) ,

 y  3.5(2 sin t  sin 2t ) ,
0t  2
22.24
 x  e t (cos t  sin t ) ,


 y  e t (cos t  sin t ) ,

0  t  3 2
22.15
 x  6(cos t  t sin t ) ,

 y  6(sin t  t cos t ) ,
0t 
22.25
 x  2(t  sin t ) ,

 y  2(1  cos t ) ,
0t  2
22.12
0  t  2
22.3
 x  4(cos t  t sin t ) ,

 y  4(sin t  t cos t ) ,
0  t  2
 x  2.5(t  sin t ) ,

 y  2.5(1  cos t ) ,
22.22
 2t 
22.4
 x  (t  2) sin t  2t cos t ,


 y  (2  t 2 ) cos t  2t sin t ,

22.5
0t 
 x  10 cos 3 t ,


 y  10 sin 3 t ,

22.13
2
0t  2
22.6
22.21
t

 x  e (cos t  sin t ) ,

 y  e t (cos t  sin t ) ,

0t 
 x  8(cos t  t sin t ) ,

 y  8(sin t  t cos t ) ,
0t  4
22.16
 x  (t 2  2) sin t  2t cos t ,


 y  (2  t 2 ) cos t  2t sin t ,

0t  2
28
22.23
22.26
 x  4(2 cos t  cos 2t ) ,

 y  4(2 sin t  sin 2t ) ,
0t 

29. 22.7
 x  3(t  sin t ) ,

 y  3(1  cos t ) ,
22.17
 x  8 cos 3 t ,


 y  8 sin 3 t ,

  t  2
0t  6
22.8
 x  1 2 cos t  1 4 cos 2t ,

 y  1 2 sin t  1 4 sin 2t ,
 2  t  2 3
22.18
22.9
 x  3(cos t  t sin t ) ,

 y  3(sin t  t cos t ) ,
0t  3
22.19
t

 x  e (cos t  sin t ) ,

 y  e t (cos t  sin t ) ,

0  t  2
 x  4(t  sin t ) ,

 y  4(1  cos t ) ,
 2  t  2 3
22.27

 x  (t  2) sin t  2t cos t ,

 y  (2  t 2 ) cos t  2t sin t ,

0t  3
2
22.10
22.20
 x  2(2 cos t  cos 2t ) ,

 y  2(2 sin t  sin 2t ) ,
22.28
22.29
 x  2(cos t  t sin t ) ,

 y  2(sin t  t cos t ) ,
0t  2
2

 x  (t  2) sin t  2t cos t ,

 y  (2  t 2 ) cos t  2t sin t ,

0  t  3
 x  2 cos 3 t ,


 y  2 sin 3 t ,

0t  4
22.30
0t  3
Бодлого №23: Муруй нумын уртыг ол.
23.1 r  3e 3 4 ,   2     2 23.11 r  1  sin  ,  2     6
23.2 r  2e4 3 ,   2     2 23.12 r  2(1  cos  ) ,       2
23.3 r  2e ,   2     2 23.13 r  3(1  sin  ) ,  6    0
23.4 r  5e5 12 ,   2     2 23.14 r  4(1  sin  ) , 0     6
23.5 r  6e12 5 ,   2     2 23.15 r  5(1  cos  ) ,  3    0
23.6 r  3e3 4 , 0     3
23.16 r  6(1  sin  ) ,  2    0
23.7 r  4e4 3 , 0     3
23.17 r  7(1  sin  ) ,  6     6
23.8 r  2e , 0     3
23.18 r  8(1  cos  ) , 2 3    0
23.9 r  5e5 12 , 0     3
23.19 r  2 , 0    3 4
12 5
23.10 r  12e , 0     3
23.20 r  2 , 0    4 3
t

 x  e (cos t  sin t ) ,

 y  e t (cos t  sin t ) ,

 6t  4
23.21
23.22
23.23
23.24
23.25
23.26
23.27
23.28
23.29
23.30
r  2 , 0    5 12
r  2 , 0    12 5
r  4 , 0    3 4
r  3 , 0    4 3
r  5 , 0    12 5
r  2 cos  , 0     6
r  8 cos  , 0     4
r  6 cos  , 0     3
r  2 sin  , 0     6
r  8 sin  , 0     4
Бодлого №24: Дараах гадаргуунуудаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг ол.
24.1
x2 y2
y

 1, z 
,
27 25
3
z  0 , ( y  0)
24.1
1
x2 y2

 1, z  3 y ,
3
4
z  0 , ( y  0)
24.2
1
x2 y2

 1, z  3 y ,
3 16
z  0 , ( y  0)
24.2
z  x2  y 2 , z  2
24.1
2
z  2x2  8 y 2 , z  4
24.2
2
z  4x 2  9 y 2 , z  6
24.3
x2 y2

 z 2  1, z  0 , z  3
9
4
24.1
3
24.2
3
x2 
24.4
x2 y 2 z 2


 1, z  12
9
4 36
24.1
4
24.5
24.6
x2 y 2 z 2


 1, z  1, z  0
16 9
4
24.1
5
x 2  y 2  9 , z  y , z  0 , ( y  0)24.1
6
24.7
z  x2  9 y 2 , z  3
24.1
7
24.8
x2
 y 2  z 2  1, z  0 , z  3
4
24.1
8
x2 y 2 z 2


 1, z  16
9 16 64
x2 y 2 z 2


 1, z  2 , z  0
16 9 16
24.1
9
24.2
0
24.9
24.1
0
x2 y 2

 z 2  1, z  0 , z  2
81 25
x2 y 2 z 2


 1, z  12
4
9 36
x2 y 2 z 2


 1, z  3 , z  0
16 9 36
24.2
4
24.2
5
x2
 y 2  1, z  y , z  0 , ( y  0)24.2
9
6
z  x2  5 y 2 , z  5
x2 y 2

 z 2  1, z  0 , z  4
9
4
x2 y2
z2


 1, z  20
9 25 100
x2 y 2 z 2


 1, z  4 , z  0
16 9 64
29
24.2
7
24.2
8
24.2
9
24.3
0
y2
 z 2  1, z  0 , z  3
4
x2 y2
z2


 1, z  20
25 9 100
x2 y 2
z2


 1, z  3, z  0
16 9 100
x2 y2 z2


 1, z  3, z  0
16 9 196
z  2 x 2  18 y 2 , z  6
x2 y2

 z 2  1, z  0 , z  2
25 9
x2

16
x2

16
y2 z2

 1, z  16
9 64
y2 z2

 1, z  6, z  0
9 144

30. Бодлого №25: Дараах муруй шугаман трапец координатын тэнхлэгүүдийг тойрон
эргэхэд үүсэх биеийн эзэлхүүнийг ол. /25.1-25.16 нь Ox тэнхлэг, 25.17-25.30 нь Oy тэнхлэг/
25.1
y   x 2  5x  6 , y  0
2x  x  y  0 ,
y  x 1, y  0,
25.11
y  x 2 , y 2  x  0,
25.21
25.12
x 2  ( y  2) 2  1
25.22
y  ln x , x  2 , y  0
25.23
y  ( x  1) 2 , y  1
y  1, x  0.5
2
25.2
25.3
25.4
25.5
25.6
25.7
2x 2  4x  y  0
y  3 sin x , y  sin x ,
0 x 
y  5 cos x , y  cos x ,
x  0, x  0
y  sin 2 x , x   2 ,
y0
x  3 y  2 , x  1,
y 1
y  xe x , y  0 , x  1
y  2x  x , y  x  2 ,
25.13
25.9
25.10
x0
y  2x  x 2 , y   x  2 ,
ye
1 x
, y  0,
x  0, x  1
x
y 2, x 1
25.14
y  x , y  1, x  2
25.24
25.15
y  x3 , y  x
25.25
25.16
y  sinx 2, y  x 2
25.26
25.17
2
25.8
y  1 x2 , x  0,
25.18
25.19
2
y  arccos x 3,
y  arccos x , y  0
y  arcsin x 5,
25.27
y  arcsin x , y   2
25.28
y  x2 , x  2, y  0
25.29
y  x  1, y  x ,
2
25.20
x  0, y  0
30
25.30
y2  x  2, y  0,
y  x3 , y  1
y  x3 , y  x 2
y  arccos x 5,
y  arccos x 3, y  0
y  arcsin x ,
y  arccos x , y  0
y  x3 , y  x 2
y  x 2  2 x  1, x  2 ,
y0
y  arcsin x ,
y  arccos x , x  0