1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ตรีโกณมิติ
(เนื้อหาตอนที่ 2)
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
โดย
รองศาสตราจารย์ จิตรจวบ เปาอินทร์
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
6. เนื้อหาตอนที่ 5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
12. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกั บการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรีโกณมิติ
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว
ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของ
คู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตรีโกณมิติ (เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2 / 8)
หัวข้อย่อย 1. เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
2. วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถพิสูจน์และประยุกต์เอกลักษณ์ในการคานวณอัตราส่วนตรีโกณมิติได้
2. เกิดความเข้าใจในมโนทัศน์ของการวัดมุมในวงกลมหนึ่งหน่วย
ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถ
1. เขียนแสดงบทพิสูจน์เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติได้
2. ประยุกต์เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติในการคานวณนิพจน์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับ
อัตราส่วนตรีโกณมิติได้
3. อธิบายเกี่ยวกับการวัดมุมทั้งในหน่วยเรเดียน และองศาได้
4. เปลี่ยนหน่วยของมุมได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาทั้งหมด
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติคือ สมการที่มีอัตราส่วนตรีโกณมิติปรากฏอยู่และเป็นจริงเสมอ
สาหรับมุมแหลมใด ๆ ตัวอย่างเช่น
(sin A)2 + (cos A)2 = 1
 
sin   A  = cos A
2 
ต่อไปเป็นสมการที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
sin A – cos A = 0
เนื่องจากสมการนี้จะเป็นจริงเมื่อ A เป็นมุมที่มีขนาดเท่ากับ 45 เท่านั้น
จากเรื่องตรีโกณมิติเนื้อหาตอนที่ 1 นักเรียนได้เห็นเอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
(sin A)2 + (cos A)2 = 1
ซึ่งเป็นสมการที่แสดงความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ sin กับ cos และเป็นจริงเสมอทุกมุมแหลม A
พอมาถึงเรื่องตรีโกณมิติเนื้อหาตอนที่ 2 นี้ นักเรียนจะได้เห็นเอกลักษณ์อื่นเพิ่มเติมอีก โดยเริ่มจากการทบทวน
บทนิยามของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุป ตอนนี้เรามีเอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติที่สาคัญ 3 เอกลักษณ์ ดังนี้
sin2A + cos2A = 1
tan2A + 1 = sec2A เมื่อ A เป็นมุมแหลม
cot2A + 1 = cosec2A
ต่อไปเป็นตัวอย่างการใช้เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากตัวอย่างที่ผ่านมา นักเรียนได้เห็นวิธีที่แตกต่างกัน 2 วิธี บางข้อเหมาะกับวิธีหนึ่ง บางข้อเหมาะกับ
อีกวิธีหนึ่ง นักเรียนสามารถเลือกใช้ได้ หรือลองทาทั้ง 2 วิธี แล้วเปรียบเทียบคาตอบกัน แต่ตัวอย่างต่อ ๆ ไป
จะทาเพียงวิธีเดียว คือใช้เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นักเรียนได้เห็นแล้วว่าคาตอบของ 2 ตัวอย่างข้างต้นนี้ คงตัวเสมอไม่ว่ามุม A จะมีขนาดเท่าใด
จึงสรุปได้ว่า
sin4A + 2 sin2A cos2A + cos4A = 1
และ (3 sec2A – 2 cos2A) – (3 tan2A + 2 sin2A) = 1
ต่างก็เป็นเอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ตัวอย่าง จงพิสูจน์เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติต่อไปนี้
sin 4 A
1. 2
tan A – sin A = 2
cos 2 A
sin 2 A
วิธีทา 2 2
tan A – sin A = 2
– sin2A
cos A
sin 2 A  sin 2 A cos 2 A
=
cos 2 A
sin 2 A(1  c os 2 A)
=
cos 2 A
sin 2 A sin 2 A sin 4 A
= =
cos 2 A cos 2 A
cot A
2. = cos4A
tan A  cot A
cot A 1
วิธีทา =
tan A  cot A tan A
1
1
cot A
1
=
tan A  1
2
1
= = cos2A
sec 2 A
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
(sin A  cos A) 2  1
3. = 2 cot2A
tan A  sin A cos A
(sin A  cos A) 2  1 sin 2 A  2sin A cos A  cos 2 A  1
วิธีทา =
tan A  sin A cos A sin A
 sin A cos A
cos A
2sin A cos A
=
 1 
sin A   cos A 
 cos A 
2
=
1
1
cos 2 A
2 2
= = = 2 cot2A
sec A  1
2
tan 2 A
cot 2 A
4.  1 = cosec A
cos ec A  1
cot 2 A cot 2 A cos ec A  1
วิธีทา  1 =  1
cos ec A  1 cos ec A  1 cos ec A  1
cot 2 A(cos ec A  1)
= +1
cos ec 2 A  1
cot 2 A(cos ec A  1)
=  1 = cosec A
cot 2 A
sin A 1  cos A
5.  = 2 cosec A
1  cos A sin A
sin A 1  cos A sin A(1  cos A) 1  cos A
วิธีทา  = 
1  cos A sin A 1  cos A
2
sin A
1  cos A 1  cos A
= 
sin A sin A
2
= = 2 cosec A
sin A
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
1. จงพิสูจน์เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติต่อไปนี้
2sin 2 A  1 sin A  cos A
1.1 
2sin A cos A  1 sin A  cos A
1.2 sin A (1 – tan A) + cos A (cot A – 1) = cosec A – sec A
1.3 tan A sin A + cos A = sec A
sin A sin B (sin A  sin B)2
1.4    2
sin B sin A sin A sin B
1.5 sin2 A cos2 B – cos2 A sin2 B = sin2 A – cos2 B
1  cos A
1.6 (cot A + cosec A)2 =
1  cos A
sin 2 A  cos2 A 1  cot 2 A
1.7 
sin 2 A  5cos2 A 1  5cot 2 A
1.8 sin4 A – cos4 A = 1 – 2 cos2 A
cos 2 A  1
1.9 = tan2 A
sin A  1
2
cos A 1  sin A
1.10  = 2 tan A
1  sin A cos A
3 cos A  cot A
2. กาหนดให้ sin A = และ cos A < 0 จงหาค่าของ
5 cos ec A  tan A
7
3. กาหนดให้ sec2 A + tan2 A = และ cos A > 0 จงหาค่าของ cos A + sec A
2
2
4. กาหนดให้ sin A + cos A = จงหาค่าของ sin A cos A
5
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้งหลาย เมื่อกาหนดให้
4
5.1 tan A = , sin A < 0
3
12
5.2 cot A =  , sin A > 0
5
15
5.3 sin A = , cos A < 0
17
5
5.4 cosec A = , cos A > 0
4
4
5.5 sin A =  , tan A > 0
5
4
5.6 tan A =  , cos A > 0
3
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุมและหน่วยของมุม
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุมและหน่วยของมุม
เรื่องที่สาคัญของวิชาตรีโกณมิติ ก็คือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราจะใช้
วงกลมหนึ่งหน่วยเป็นตัวกาหนด ดังนั้นจะทบทวนวงกลมหนึ่งหน่วยกันก่อน
ถึงแม้นักเรียนจะรู้จักมุมกันมาบ้างแล้ว แต่ในตอนนี้จะทบทวนข้อตกลงและเงื่อนไขต่าง ๆ ของมุม
กันก่อน
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หน่วยของมุมมี 2 หน่วย คือ องศาและเรเดียน
ตัวอย่างการวัดมุมที่มีหน่วยเป็นองศา โดยกาหนดมุม 45, 60 และ 90
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1 1 1 1
ต่อไปจะกาหนดมุมจากการหมุนรอบจุดศูนย์กลาง เช่น , , และ รอบ
2 3 4 6
สรุปเป็น
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ถ้าแบ่งมุม 1 องศาย่อยต่อไปอีกจะได้ลิปดาและพิลิปดา ดังต่อไปนี้
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ตัวอย่าง มุม 12 15 มีกี่พลิปดา
ิ
วิธีทา มุม 12 มีค่า 12  60 = 720
มุม 720 + 15 = 735 มีค่า 735  60 = 44100
ดังนั้น มุม 12 15 มีค่า 44,100 พิลิปดา
ตัวอย่าง มุม 518400 เป็นกี่องศา
518400
วิธีทา มุม 518400 มีค่า = 8640
60
8640
มุม 8640 มีค่า = 144
60
ดังนั้น มุม 518400 มีค่า 144
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หน่วยของมุมอีกหน่วยหนึ่งคือเรเดียน กาหนดดังนี้
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเป็นตัวอย่างของมุม 2 เรเดียน 3 เรเดียน และ 4 เรเดียน
มุมที่มีหน่วยเรเดียนมีความสัมพันธ์กับวงกลมหนึ่งหน่วย ดังนี้
 2
ต่อไปเป็นตัวอย่างมุม เรเดียน  เรเดียน และ เรเดียน
2 3
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
มุมในตาแหน่งมาตราฐานของมุมที่มีหน่วยเป็นเรเดียน
 2 
ตัวอย่างของมุมในตาแหน่งมาตราฐาน เรเดียน  เรเดียน และ  เรเดียน
2 3 4
มุมที่เกิดจากการหมุนเกินหนึ่งรอบ
8
ตัวอย่าง มุมที่เกิดจากการหมุน รอบในทิศทวนเข็มนาฬิกา มีค่ากี่เรเดียน
3
8 2
วิธีทา มุมที่เกิดจากการหมุน รอบ จะเท่ากับมุมที่เกิดจากการหมุน รอบ
3 3
2 4
ดังนั้นมุมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ  2 = เรเดียน
3 3
7
ตัวอย่าง มุมที่เกิดจากการหมุน รอบในทิศตามเข็มนาฬิกา มีค่ากี่เรเดียน
4
7 3
วิธีทา มุมที่เกิดจากการหมุน รอบ จะเท่ากับมุมที่เกิดจากการหมุน รอบ
4 4
 3 3
ดังนั้นมุมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ     2 =  เรเดียน
 4 2
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เราสามารถเปลี่ยนหน่วยของมุมได้ โดยถือว่ามุมหนึ่งรอบมีค่าเท่ากับ 360 องศา และมีค่าเท่ากับ 2 เรเดียน
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ตัวอย่าง มุมขนาด 155 องศามีกี่เรเดียน
 31
วิธีทา มุมขนาด 155 องศา = 155   เรเดียน
180 36
5
ตัวอย่าง มุมขนาด เรเดียนมีกี่องศา
24
5
วิธีทา มุมขนาด เรเดียน = 5  180 = 75 องศา = 37 30
24 24  2
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
  
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่กาหนดหน่วยเป็น เรเดียน เรเดียน และ เรเดียน
6 4 3
ตัวอย่างการหาความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ตัวอย่างเพิ่มเติม
  
ตัวอย่าง จงหาค่าของ 5 cos – 3 sin + sec
4 6 3
   2 1 5 2 1
วิธีทา 5 cos – 3 sin + sec = 5  3  2 
4 6 3 2 2 2
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุมและหน่วยของมุม
1. จงหาว่ามุมที่วัดเป็นเรเดียนต่อไปนี้แต่ละมุมมีขนาดกี่องศา
7 13
1.1 1.2
12 18
5 11
1.3 1.4
6 24
2. จงหาขนาดของมุมต่อไปนี้ในหน่วยเรเดียน
2.1 35 2.2 110
2.3 63 2.4 246

3. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมสองมุมมีขนาด 36 และ เรเดียน จงหาขนาดของมุมที่เหลือ
4
ในหน่วยเรเดียน
4. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีมุมหนึ่งมีขนาด 55 จงหาขนาดของมุมที่เหลือในหน่วยเรเดียน

5. ถ้า A มีขนาด เรเดียน จงหาค่าของ
12
cos 3A  2 cos 4A 2 cos 3A  cos 2A
5.1 5.2
sin 3A  2 sin 4A sin 2A  2sin 3A
tan 2A  sec 4A tan 4A  sec 3A
5.3 5.4
sec 2A  tan 4A sec 4A  tan 3A
cot 3A  cos ec 6A
5.5
cot 4A  cos ec 3A
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เอกสารอ้างอิง
1. ดารงค์ ทิพย์โยธา, เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิกคณิตศาสตร์โลกตรีโกณมิติ,
โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2550.
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด / เนื้อหาเพิ่มเติม
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
4
1. กาหนดให้ cos A = และ sin A > 0 จงหาค่าของ 5 tan A + 4 sec2A
5
ก. 1 ข. 2 ค. 5 ง. 10
1
2. กาหนดให้ sin A =  และ cos A < 0 จงหาค่าของ 3 cosec2 A – 2 cot2A
2
5 7
ก. ข. 6 ค. 3 ง.
4 4
12
3. กาหนดให้ tan A = และ cos A < 0 จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง
5
17 144
ก. sin A + cos A = ข. sec A + cos A = 
13 65
91 3
ค. sec A – cosec A =  ง. cot A + cosec A = 
60 2
4. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ใช่เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
tan 2 A 1
ก. sec A + 1 = ข. sin A + cos A =
sec A  1 sin A  cos A
1 tan A
ค. cosec A – cot A = ง.  1 = sec2A
cos ec A  cot A cot A
 4 
5. จงหาค่าของ 5 cos2 + sin2
3 3 6
19 17 5 13
ก. ข. ค. ง.
12 12 4 12
  2   
6. จงหาค่า x ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ  cot  x   cos ec  x – 48 cos = 0
 4  6 3
ก. 4, – 6 ข. – 4, 6 ค. 4, 6 ง. – 4, – 6
1  cos x
7. จงหาผลเฉลยของสมการ tan2 x = เมื่อ 0<x<
1  sin x
   
ก. ข. ค. ง.
6 4 3 2
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2 1 2
8. จงหามุมแหลม A ที่ทาให้ sin A cos A – sin A – cos A + = 0
2 2 4
 
ก. เรเดียน ข. เรเดียน
6 4

ค. เรเดียน ง. มีคาตอบถูกมากกว่า 1 ข้อ
3
1
9. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี B เป็นมุมฉาก ถ้า sin2 A มากกว่า cos2 A อยู่
2
จงหาค่าของ tan A
1 1
ก. 1 ข. ค. ง. 3
2 3
a sin A  cos A
10. กาหนดให้ tan A = จงหาค่าของ
b sin A  cos A
ab ba ba ab
ก. ข. ค. ง.
ab ab ab ba
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
32 13 21
2. 3. 4. 
55 6 50
5.
ข้อ sin A cos A tan A cosec A sec A cot A
5.1 
4

3 4 
5

5 3
5 5 3 4 3 4
5.2 5

12

5 13

13

12
13 13 12 5 12 5
5.3 15 
8

15 17

17

8
17 17 8 15 8 15
5.4 4 3 4 5 5 3
5 5 3 4 3 4
5.5 
4 
3 4

5

5 3
5 5 3 4 3 4
5.6 
4 3

4 
5 5

3
5 5 3 4 3 4
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง
วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
1. 1.1 105 1.2 130 1.3 150 1.4 82 30 
7 11 7 41
2. 2.1 เรดียน 2.2 เรดียน 2.3 เรดียน 2.4 เรดียน
36 18 20 30
11 7
3. เรดียน 4. เรดียน
20 36
2 2 2 2 3 1 2 3 3 2
5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 0
22 3 1 2 2 5 3
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. ง 2. ข 3. ค 4. ข 5. ก
6. ข 7. ข 8. ง 9. ง 1. ก
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
39