1. lm Mathematikunterricht der letzten iahre haben Sie gelernt, auf
verschiedene Arten zu argumentieren. Sie haben über Mathematik
mithilfe von Fachbegriffen und alltäglichen Begriffen gesprochen
und Alltagssituationen mithilfe mathematischer Darstellungen be-
schrieben.
Egal mit welchen mathematischen Leitideen Sie sich beschäftigen:
immer sind mathematische Vermutungen, korrekte Formulierun-
gen, gute Gründe und nachvollziehbare Argumentationen gefragt.
Welche lnformation enthält der Graph? Finden Sie eine passende
Alltagssituation und schreiben Sie eine Geschichte zum Graphen.
Lösung
- An der Beschriftung der x- und y-Achse kann man erkennen, dass es sich
um eine Bewegungssituation handelt. Nach einer bestimmten Zeit hat
etwas oder jemand eine bestimmte Strecke zurückgelegt.
- Die Zuordnung der Maßeinheiten der beiden Achsen (Minuten und Meter)
lässt vermuten, dass es sich um einen Menschen handelt, der sich mit
verschiedenen Verkehrsmitteln unterschiedlich schnell fortbewegt.
- Die unterschiedlichen Steigungen des Graphen in den verschiedenen
Abschnitten verdeutlichen die ieweilige Geschwindigkeit (Weg ie
Zeiteinheit), mit der die Person sich fortbewegt. Die Länge dieser
Abschnitte entspricht der Länge des ieweiligen Zeitintervalls.
Die Beschreibung der vier Abschnitte des Graphen muss folgende Aspekte
enthalten:
- Bei allen Abschnitten handelt es sich um lineare Funktionen, also
gleichförmige Bewegungen ohne Beschleunigung oder Bremsen.
- ln den ersten drei Minuten legt jemand oder etwas 1000m zurück.
(2.8. Traktot Fahrrad, langsamer Bus ...) Zeit in min
- Darauf folgt eine Minute Stillstand.
(2. B.Bushaltestelle, Ampel, Gespräch, Fahrrad abschließen, ...) 12345678 9 10111213141516
- Danach legt jemand oder etwas innerhalb von sechs Minuten weitere
1000m zurück, also mit der halben Geschwindigkeit wie im ersten
Abschnitt. (2.8. zügiges Gehen, langsames Fahrrad ...)
- ln den letzten fünf Minuten werden sogar nur 500m zurückgelegt.
(2.8. Gehen, Fahrrad schieben, ...)
Mara und Leon haben ihre Hausaufgaben auf unterschiedliche Art und Weise gelöst.
Sie sollten den Flächeninhalt einer Figur mithilfe eines Terms beschreiben.
Maras Lösung: Leons Lösung:
A = a'(b + d) + c'd A=(a+c)(b+d)-bc
a) Versuchen Sie, die beiden Lösungswege zu verstehen und die
Gedankengänge der beiden nachzuvollziehen. Beschreiben Sie ihr Vorgehen.
Haben die beiden richtig gedacht?
b) Wie würden Sie vorgehen? Finden Sie eine dritte Lösungsmöglichkeit.
6 AllgemeineKompetenzen

2. Lösung
Mara hat die Figur in die beiden Teilfiguren F, und F, unterteilt und den lnhalt der beiden Einzelflächen addiert.
Leon hingegen hat ein Rechteck F, betrachtet und von dessen Flächeninhalt den eines kleineren Rechtecks Fo subtrahiert.
Durch eine horizontale Unterteilung der Fläche in zwei Teilfiguren Fu und Fu gelangt manzu einem dritten Term:
A = a.b + (a + c).d
Welcher der beiden Körper hat die größere Oberfläche?
Lösung
Die beiden Körper haben die gleiche Oberfläche. Diese Behauptung ist richtig, reicht als Antwort jedoch
nicht aus. In der Mathematik müssen Behauptungen stets
begründet oder sogar bewiesen werden.
Mögliche Begründung:
Vom Ausgangswürfel wurden die Eckwürfel entfernt. Beim Begründen ist es wichtig, alle Schritte des
Jeder Eckwürfel trägt zur Oberfläche drei kleine Gedankenganges mithilfe der Fachbegriffe oder eindeutiger
Quadratflächen bei. Nach dem Entfernen der Eckwürfel Beschreibungen verständlich darzustellen und so von der
- und damit der drei kleinen Quadratflächen - entsteht Ausgangssituation zur Behauptung zu gelangen.
jeweils eine Lücke, die wiederum drei kleine
Quadratflächen
zur Gesamtoberfläche beiträgt. Somit bleibt die Oberfläche
gleich groß.
Um eine Behauptung zu beweisen, muss man von einer
bereits bewiesenen Aussage oder einer Definition ausgehen
und in logischen Schritten (die selbst wieder auf bewiesenen
Aussagen beruhen) zur Behauptung gelangen.
Um eine Behauptung zu widerlegen, reicht ein einziges
Gegenbeispiel aus.
AllgemeineKompetenzen 7

3. Probler*e m*themetisch lösen I §asiswissem
Es gibt Aufgaben, bei denen es im ersten Moment so scheint, als
ob alles bereits Gelernte hier nicht passt - kein vertrautes mathe-
matisches Verfahren und auch nicht der aktuelle Mathematik-Un-
terricht. Hier müssen eigene Strategien entwickelt werden.
Vor allem aber gilt: Ruhe bewahren, sortieren, überlegen und im
Zweifelsfall alles wieder neu denken.
Ein paar mögliche Ansätze sind hier zusammengestellt.
Auch wenn sich das zunächst vielleicht nicht so richtig mathematisch anhört: Wie heißt die größte Zahl, die mit
Manchen Problemlösungen kommt man näher; wenn man erst einmal ein einmaligem Benutzen der abgebildeten
paar Möglichkeiten ausprobiert. Zunächst probiert man noch ohne spezielles Tasten eines Taschenrechners berechnet
Ziel, aber wenn man ein paar Ergebnisse gesehen hat, ergibt sich daraus oft werden kann?
schon eine Probierstrategie. ll,),?-,tr,ttl,E,t' =
Lösung
5432.1= 5432
4321'5 = 21605
Wenn man eine vierstellige mit einer einstelligen Zahl multipliziert,
ist das untere der beiden Ergebnisse das größtmögliche.
Kann das Ergebnis größer werden, wenn man eine zweistellige und eine
dreistellige Zahl miteinander multipliziert?
321.54 = 17334
421.53 = 22313
531'42= 22302
521.43 = 22403
Es scheint auch darauf anzukommen, an welcher Stelle die größten Ziffern
stehen. Eine 3 an der Zehnerstelle beispielsweise bringt ein höheres
Ergebnis als die 3 an der Einerstelle.
Es wird außerdem klat dass die 4 und die 5 an der ersten Stelle der beiden
zwei- und dreistelligen Zahlen stehen müssen und dass die 1 an einer
anderen Stelle stehen muss.
Es gibt für diesen Fall acht Möglichkeiten:
s31.42=22302 431'52=22412
532'41=21812 432'51=22032
521.43=22403 421.53=22313
523-41 ist in jedem Fall kleiner als 532'41. 423'51: siehe links
Das größte Ergebnis erhält man bei 431'52 = 22412.
Eine Tabelle kann helfen, die lnformationen übersichtlich darzustellen. Marc und seine Mutter sind heute zusammen
65 lahre alt. Vor 10 Jahren war die Mutter
4-mal so alt wie Marc.
Lösung
Alter vor 10 lahren
t,
1 'tl
Gleichung: x - 10 = 4'((05 - x) - 10)
Marcs Mutter ist heute 46 lahre und Marc 19 Jahre alt.
10 AllgemeineKompetenzen

4. Manchmal eignet sich eine skizze besser zum Darstellen der lnformationen. ln einem Bus ist ein Drittel der plätze mit
Kindern besetzt. Sechs Plätze mehr werden
durch Erwachsene belegt. Neun plätze bleiben
f rei.
Lösung
11
Ein Drittel entspricht also 6 + 9 = 15 plätze.
----l-
I ---t--
(xinaer) -L------L-i----
t--;i--T---r*,rs)---i
r
Kinder besetzen demnach 15 Plätze und somit
gibt es insgesamt 45 Plätze.
Bevor man ein Problem lös! kann es sinnvoll sein, mit einem einfacheren Wie viele Quadrate befinden sich auf einem
Teilproblem zu beginnen und das Ergebnis auf das komplexe problem zu Schachbrett?
übertragen.
Lösung
'1. Man beginnt mit einem 3x 3-Brett. Auf dem Brett befinden sich
9 kleine 1x1-Quadrate,
4 größere2x2-Quadrate,
1 großes 3x3-Quadrat.
2. Nun betrachtet man das 4x4-Brett. Auf diesem befinden sich
16 1x'1-Quadrate,
9 2x2-Quadrate,
4 3x3-Quadrate,
1 4x4-Quadrat.
Es fällt auf, dass die Anzahl der Quadrate immer eine Quadratzahl ist.
Das hängt mit der Anzahl der Möglichkeiten zusammen, wie die
kleineren Quadrate auf dem großen platziert werden können.
3. Für das 8 x 8-Quadrat gilt also: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + g + 4 + 1 = 204
t ." ,':-..,.
:
Ein Kaufmann reist von Pisa nach Lucca. Dort verdoppelt er durch gute
Geschäfte sein Kapital, muss aber 16 Denare ausgeben. Er reist n"c-h Floren.
weiter. Dort verdoppelt er sein neues Kapitel wieder und hat wieder Kosten
von 16 Denaren. Nach Pisa zurückgekehrt, erlebt er wieder dasselbe. Als er
in seine Geldkatze schau! findet er darin - nichts. Mit wie vielen Denaren
ist der Kaufmann aus Pisa abgereist?
Lösung
Man kann diese Aufgabe sowohl durch Vorwärts- als auch durch
Rückwärtsrechnen lösen.
Vorwärtsrechnen:
Startkapital: x Gleichung: ((2x - 16). 2 - 16).2 - 16= 0
Rückwärtsrechnen:
Pisa Lucca Florenz pisa
&_-- .--"dA
-x/ --/ "dd /'-"*} .d /- @ &§
- w§w*
Anhand der Grafik lässt sich leicht rückwärts rechnen:
Endkapital nach den Ausgaben in pisa:0
0 + 16 = 16, das entspricht zweimal dem Kapital nach Florenz.
Also verlässt er Florenz mit 8 Denaren.
8 + 16 = 24, das entspricht zweimal dem Kapital nach Lucca.
Also verlässt er Lucca mit 12 Denaren.
12 + 15 = 28, das entspricht zweimal dem Startkapital aus pisa.
Also verlässt er Pisa mit 14 Denaren.
AllgemeineKompetenzen 11

5. ii::ji;=E+.!€]idi1:1:;i:t=i+,E.=.=a
natürliche Zahlen Die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4; ... werden als natürliche
Zahlen bezeichnet. Für die Menge der natürlichen 01234567
1.3 7>5
Zahlen schreibt man lN = {0;1;2;3;...}.
ganze Zahlen Die Zahlen ...-3; -2; -1;0;'l;2;3; ... werden als
ganze Zahlen bezeichnet. Zu jeder Zahl gibt es eine -4-3-2-101234
Gegenzahl. Für die Menge der ganzen Zahlen schreibt
man Z = L..; -2; -1; 0; 1; Z; ...1.
Brüche Gebrochene Zahlen können als Brüche oder DezimaF ]= o,ts,0,1=|
brüche geschrieben werden. leden Bruch kann man in
1=? =32 =
einen Dezimalbruch umwandeln und umgekehn. 2464
Der Wert eines Bruches ändert sich durch Küzen und
Erweitern nicht.
rationale Zahlen Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen
einschließlich der Null zusammen nimmt erhält man
die rationalen Zahlen Q.
_zL -0,5 'i "zi
Potenzen Produkte aus gleichen Faktoren kann man mithilfe 5.5.5 = 53
von Potenzen schreiben:
a.a.....a=an
!.....-..-a-
n Faktoren
Zehnerpotenz- Sehr große Zahlen und Zahlen nahe bei Null schreibt 50000000 = 5.107
schreibweise man oft als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer 0,000023 = 23.10-6
Zehnerpotenz (einer Potenz mit der Basis 10).
Wurzeln Die Quadratwuzel einer positiven Zahl b ist die ,/u=s
positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die ,/o,t+g = o,l
Zahl b ergibt: a2 = b, also: y'6- = a 3-
Die dritte Wurzel einer Zahl b ist die Zahl a, deren
/27 =3
dritte Potenz die Zahl b ergibt: a3 = b, also: VU = a 'r/d§64 = o,+
irrationale Zahlen Es gibt auf der Zahlengeraden Punkte, denen keine = l,t+lt+Zl! ...
^/2
rationale Zahl zugeordnet werden kann. Diese kön- t = 3141592 ...
nen nicht als Bruch geschrieben werden. Es handelt
sich um nicht abbrechende und nicht periodische
Dezimalbrüche. Sie werden als irrationale Zahlen
bezeichnet und vervollständigen die Zahlengerade.
reelle Zahlen Rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden zu-
sammen die reellen Zahlen IR. Zu jedem Punkt auf der
Zahlengeraden gehört eine reelle Zahl und zu jeder
reellen Zahl gehört ein bestimmter Punkt.
S+:j;§i!+,-i1:*;;t##&;d!
=U.
Beim Rechnen gelten für die verschiedenen Rechenarten unterschiedliche Rechengesetze. Wenn man diese Rechengesetze
geschickt anwendet, können sie einem das Rechnen erleichtern.
Kommutativgesetz Beim Addieren und Multiplizieren können die Sum- 3,2 + 2,8 = 2,8 + 3,2
manden und Faktoren vertauscht werden: 2x '7,5 = 7,5 ' 2x
6+[=§+6
a'b=b'a
Assoziativgesetz ln Summen mit drei oder mehr Summanden und in 11,3 + 2,7 + l,$ = (11,3 + 2,7) + 1,8
Produkten mit drei oder mehr Faktoren dürfen be- = 11,3 + (2,7 + 1,8)
liebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden. 2 - 2,3 .11 = (2.2,3).11 = 2. (2,3.11)
a + b + c = (a + b) + 6 = 6 + (b + c)
a. b.c = (a. b). c = a.(b.c)
Distributivgesetz und
Das Distributivgesetzerlaubtdas Ausklammern 6a(2a+ 4b) = 6a .2a+ 6a'4b=12a2+24ab
Ausmultiplizieren in Rechenausdrücken. 4 a (3 b - 2a) = 4a . 3b - 4a ' 2a = 12ab - 8a2
a'(b+c)=ab+ac
a'(b-c)=ab-ac
20 lnhaltsbezogene Kompetenzen

6. Klammern zuerst, ln Rechenausdrücken müssen Klammern zuerst be- ((6,s - 21,5) :(-5» - 1,5 . 8
Punktrechnung rechnet werden. Dann folgen die Punkt- und dann = ((-15):(-5» - 1,5.8
vor Strichrechnung die Strichrechenarten. Die-Anwendung der Rechen- = 3 - 1,5.8
gesetze erleichtert häufig das Rechnen. = 3-12
=-9
binomische Formeln Es gelten die drei binomischen Formeln:
(a+b)2=72+)x§a12
(a-b)2 =a2-zab+b2
(a+b)(a-b)=62-62
Rechnen mit Für das Rechnen mit Potenzen gilt:
Potenzen und an.am=an+m a2.a3=a5
Wurzeln an:am = an-m mit a + 0 2s.23=22=4
(an)m = s n'm 132y3 =3e -r*
,n.6n=(a.b)n 24 .34 = Q.3)4 = 64 =1296
Für das Rechnen mit Wurzeln gilt entsprechend:
,/d ./6 = 6:b für a, b 0
=
./-erl/E = {EE für a z 0, b > 0
üt'b - /F.Vb =a.y'u tur a, b ä o
Prozent Brüche mit dem Nenner 100 werden auch als Prozent
ffi=zsu,
bezejchnet. p% ist also eine andere Schreibweise
62,50/o = 0,625
für fi,r.
Prozentsatz, ln der Prozentrechnung bezeichnet man die Be- Von 200 Schülern kommen 125 mit dem Bus.
Prozentwert und zugsgröße bzw. das Ganze als den Grundwert G. Das sind 62,57o.
Grundwert Den Anteil, mit dem man sich beschäftigt, nennt man Die 200 Schüler bilden den Grundwert
Prozentwert W und der daraus resultierende Bruchteil 125 den Prozentwert.
heißt Prozentsatz p. 62,50/o sind der Prozentsatz.
Prozentrechnung Der Zusa mmenhang zwischen Prozentwert, Grund- 640/o der 25 Teilnehmer kamen ins Ziel.
wert und Prozentsatz wird beschrieben durch die G=25; W=?
pYo=640/o;
Formel w=25.0,64=16
W=G. poÄ bzw. W-G.* 15 Teilnehmer kamen ins Ziel.
Diese Formel kann nach jeder Variablen umgeformt
werden, wodurch iede gesuchte Größe aus den
beiden anderen Größen berechnet werden kann.
Wenn man ein Kapital K für ein jahr zu einem Zins- Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz
satz von p% anlegt, erhält man für dieses nach Ab- von 3,25o/o angelegt.
lauf des Jahres p7o von G als lahreszins Z. z = 2000€ .0,0325 - 35€
Z=K-p% Das Geld wird nach 2 Monaten abgehoben:
Wenn man das Guthaben nur für t Tage zu einem zm = 2o0o€ . 0,0325 .f,= to,alc
tahreszinssatz von p% anlegt, erhält man nurfi
der lahreszinsen.
Zt = K. p%.#
Für Monate gilt das Entsprechende:
Z. = K. p%.#
Zinseszins Wenn man die gewonnenen Zinsen am lahresende
dem Guthaben hinzufügt, erbringen diese im
kommenden Jahr auch Zinsen. Man nennt sie
Zinseszinsen.
lnhaltsbezogeneKompetenzen 21

7. Zur Berechnung von Flächeninhalt (A), Umfang (u), Volumen (V)
und Oberfläche (O) von Flächen und Körpern sollten alle Größen-
angaben zunächst auf die gleiche Maßeinheit gebracht werden.
Dreieck Für den Umfang des Dreiecks ABC gilt: u = 6 + + c[
Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der
Grundseite a und der Höhe h" gilt: A = f
Viereck Für den Umfang des Rechtecks ABCD gilt:
u = 2a + 2b bzw. für das Quadrat: u = 4a,
da alle Seiten gleich lang sind.
Für den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD gilt:
A = a .b bzw. für das Quadrat: A = a2.
Für den Umfang des Parallelogramms ABCD gilt:
u = 2a + 2b bzw. für die Raute u = 4a, da alle Seiten
gleich lang sind.
Für den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD mit
der Grundseite g und der Höhe h gilt: A = g. h a=g
Für den Umfang des Trapezes ABC gilt:
r.l=6+[+s+d
Für den Flächeninhalt des Trapezes ABCD gilt:
A= T'h"
Kreis Für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser
d bzw. dem Radius r gilt: u = n. d = 2. n. r
Für den Flächeninhalt des Kreises gilt: A= n. r2
Kreisbogen Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel s
gilt für die Länge des Kreisbogens b:
b=2nr.#=nr-#
Kreisausschnitt Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel q
gilt für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes A:
A= n12. *--L = +
zusammengesetzte Der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen be-
Flächen rechnet sich aus der Summe der Einzelflächen.
Der Umfang wird durch die Summe der Länge der
Einzelstrecken ermittelt, die die Gesamtfläche be-
grenzen.
nicht geradlinig Den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flä-
begrenzte Flächen chen kann man schätzen, indem man sie mit einem
Gitter unterlegt und die Gitterflächen abzählt.
Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Fläche mit
einer passenden Fläche (wie Rechteck oder Paralle-
logramm) zu hinterlegen.
26 lnhaltsbezogene Kompetenzen

8. Für das Volumen des Quaders gilt: V = a . b. c
Für die Oberfläche des Quaders gilt:
O = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc + ac) c
'a
Zylinder Für das Volumen des Zylinders mit Grundkreis k und
[
Höhe h gilt: = Ar' h =nr2. h
Für die Obedläche des Zylinders mit Grundfläche G,
Mantelfläche M und Höhe h gilt:
O=2G+M=2r12+2rr.h t:J
fr
Prisma Für das Volumen des Prismas mit Grundfläche G und
Höhe h gilt: V = G.h
Für die Oberfläche des Prismas mit Grundfläche G
und Mantelfläche M gilt: O = 2G + M
A
Kegel Für das Volumen des Kegels mit Radius r und Höhe h
gilt: V=!nr2-h
Für die Oberfläche des Kegels mit Radius r und
Mantellinie s gilt: O = Tr12 + Trrs
Pyramide Für das Volumen der foramide mit Grundfläche G und
Höhehgilt: V=lG.h
Für die quadratische Pyramide mit Seitenlänge a gilt:
V = Ja2.tr
Für die Oberfläche der quadratischen Pyramide mit
Seitenlänge a und der Höhe h, einer Seitenfläche
gilt:
o=a2+4"'!
Kugel Für das Volumen der Kugel mit Radius r gilt:
y = {nr3
Für die Oberfläche der Kugel mit Radius r gilt:
O = 4nrz
zusammengesetzte Das Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlter
Körper Körper berechnet man aus der Summe oder der Diffe-
renz der Einzelkörper.
Die Oberfläche solcher Körper besteht aus der
Summe aller Einzelflächen.
trigonometrische ln einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Beziehungen . Gesenkathete von d
Stnq = -ir*r"n-*-
cosq = &fiffiH"
"-mt
Gesenkathete von d
tanCt=--i-
AnKalnele von a
ln beliebigen Dreiecken gelten der Sinussatz
g sinq. g. sina. 6 sinF
6 = sin ß, c = siny , c - sinl c
und der Kosinussatz: b-A.a
,2=62ac:2-2bc.cosq
62= - cosB
c2= "2*12*2ac cosy
a2+b2-2ab.
X
Ahnlichkeit Werden Flächen und Körper um den Streckfaktor
und
zentrische
k=n=ffi'i
r m Länge der Bildstrecke
gestreckt,gilt:
Streckung ähnlicheStreckenlängen: *=*, ar = k'a1
ähnliche Flächen: =,1 . Az= kz'&
Av
^l'
v.
ähnliche Volumina: V, "r'. Vz = k3'Vr
=
"i'
lnhaltsbezogeneKompetenzen 27

9. Koordinatensystem Das Koordinatensystem unterteilt die Ebene in vier
Quadranten und macht die eindeutige Bestimmung
der Lage eines Punktes möglich.
Man schreibt: P(xly).
Winkel Ein Winkel wird von zwei Schenkeln mit gemeinsa-
men Scheitelpunkt S eingeschlossen. Die Größe eines
o)
Winkels q wird in Grad (kurz: angegeben.
Es gibt spitze (q < 90"), rechte (q = 90'), stumpfe
(90'< q < 180"» gestreckte (q = 180"), überstumpfe
(180o< a . 360') und volle (cx = 360') Winkel.
Winkelsätze Scheitelwinkel sind gleich groß.
Nebenwinkel ergänzen sich zu'180'.
Stufenwinkel sind gleich groß.
Wechselwinkel sind gleich groß.
Symmetrien Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sie
durch eine geeignete Achse (Symmetrieachse) in
zwei spiegelbildliche Teile zerlegen kann. Sie ist
punktsymmetrisch, wenn man sie durch eine halbe
Drehung um den Symmetriepunkt in sich selbst
übedühren kann.
Ahnlichkeit Zwei Figuren sind dann ähnlich, wenn sie in den ent-
sprechenden Seitenverhältnissen und Winkeln über-
einstimmen.
Strahlensätze Werden zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z von zwei
parallelen Geraden in den Punkten A und B bzw. A
und B'geschnitten, so sind die Dreiecke ZAB und
ZAB'ähnlich. Es gelten die beiden Strahlensätze:
1. Strahlensatr, '# =#
2. Strahlensatr, # ='Ä
Dreiecke Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180'
(a + p + y =180'). Man unterscheidet Dreiecke nach
ihren Winkeln und nach ihren Seiten. So klassifiziert
man die Dreiecke in rechtwinklige, spitzwinklige und
stumpfwinklige und in gleichseitige, gleichschenklige
und allgemeine Dreiecke.
Dreiecke
konstruieren
- kongruente
Zwei Dreiecke sind kongruent oder deckungsgleich,
wenn sie übereinstimmen in
- drei Seiten (SSS).
ss1
Dreiecke - einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln
(wsw).
- zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
(sws).
- zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren
S t
Seite gegenüberliegt (SSW). W
Solche Dreiecke können durch die jeweiligen Vorga- S
ben eindeutig konstruiert werden.
Besondere Linien Auf der Winkelhalbierenden liegen die Punkte, die
im Dreieck von den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand
haben. Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks
schneiden sich im lnkreismittelpunkt.
Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke
hat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten.
Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks schneiden
sich im Umkreismittelpunkt. Der Schnittpunkt
der Seitenhalbierenden bildet den Schwerpunkt
des Dreiecks, die Höhen schneiden sich im
Höhenschnittpunkt.
32 Inhaltsbezogene Kompetenzen

10. Satz des Pythagoras ln einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel
bei C gilt: a2 + b2 = c2. Gilt bei einem Dreieck a2 + b2
= c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
Vierecke Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 360"
(« + p + ) + ö = 360"). Es gibt achsensymmetrische
Vierecke (Drachen, symmetrisches Trapez), dreh-
symmetrische Vierecke (Parallelogramm) und solche,
die beides sind (Raute, Rechteck, Quadrat). Ein Vier-
eck ohne Symmetrien heißt allgemeines Viereck.
Vielecke Man unterscheidet zwischen unregelmäßigen und
regelmäßigen Vielecken. lm regelmäßigen Vieleck
sind alle Seiten gleich lang und alle lnnenwinkel
gleich groß. Der Mittelpunktswinkel eines n-Ecks hat
die Größe ö =360:n und der lnnenwinkel q =180 - ö.
Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt
(n - 2).180'.
Kreis Alle Punkte des Kreises haben vom Mittelpunkt
dieselbe Entfernung. Diese bezeichnet man als
Radius r. Der Durchmesser d ist doppelt so lang
wie der Radius. Ein von zwei Punkten begrenztes
Stück des Kreises heißt Kreisbogen. Ein von zwei
Radien begrenztes Stück der Kreisfläche heißt
Kreisausschnitt.
Satz des Thales Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf dem
Halbkreis über der Strecke AB, so ist y ein rechter
Winkel. Hat ein Dreieck einen rechten Winkel bei C,
dann liegt C auf dem Halbkreis über der Strecke AB.
Wüdel und Quader Ein Quader hat sechs rechteckige Flächen.
I
Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich groß. Je I
I
vier Kanten sind parallel und gleich lang. Der Quader
fl
I
hat acht Ecken, sechs Flächen und zwölf Kanten.
Ein Würfel ist ein besonderer Quader: er besteht aus Quader
sechs Quadraten.
Prisma Ein Prisma wird begrenzt durch Grund- und
Deckfläche und den Mantel. Der Mantel besteht
aus Rechtecken; die Grund- und Deckfläche sind
kongruent und bestimmen den Namen des Prismas.
Pyramide Ein über seiner Grundfläche spitz zulaufender Körper
Würfel
heißt foramide. Er ist begrenzt durch die Grundfläche
und dem aus Dreiecken zusammengesetzten Mantel.
Die Manteldreiecke treffen sich in der Spitze.
Zylinder
Kegel
Schrägbilder
Die Grundfläche bestimmt den Namen der Pyramide.
Ein Zylinder wird begrenzt durch den Grundkreis, den
Deckkreis und das zum Mantel aufgerollte Rechteck.
Der Kegel besteht aus einem Grundkreis und einem
aufgerollten Kreisausschnitt als Mantel.
Körper kann man in Form von Schrägbildern, Netzen
Prisma
H
und Netze und Modellen darstellen. lm Schrägbild bleiben alle
Kanten und Winkel unverändert, die parallel zur
Zeichenebene liegen. Senkrecht zu ihr laufende Linien
Zylinder
werden unter einem 45'-Winkel und auf die Hälfte
verkürzt gezeichnet. Aus Netzen lassen sich Körper
herstellen.
Kugel Eine Kugel ist ein Körpe; der sich nicht aus ebenen Kugel
Flächenstücken zusammensetzen lässt.
lnhaltsbezogeneKompetenzen 33

11. Dreisatz Wenn zum Zweifachen; Dreifachen; Vierfachen ... 1200 t Öl kosten 600€. Wie viel kosten 1700 t?
einer Eingabegröße das Zweifache; Dreifache; Vier-
fache ... der Ausgabegröße gehört, kann man Preis in €
gesuchte Werte der Ausgabegröße mit dem Dreisatz 600
bestimmen. 0,5 ) :1200
Man schließt zuerst durch Division auf die Einheit und 850 )-ooo
dann durch Multiplikation auf das Vielfache.
1700t Heizöl kosten 850€.
umgekehrter Wenn zu einem Drittel; zur Hälfte; zum Zweifachen; Eine Radtour ist mit 7 Etappen zu je 60km
Dreisatz zum Dreifachen;... einer Eingabegröße das geplant. Die Gruppe hat aber nur 5 Tage Zeit.
Dreifache; Doppelte; die Hälfte; ein Drittel; ... der I
Ausgabegröße gehört, kann man gesuchte Werte Anzahl derTage ! Strecke in km
der Ausgabegröße mit dem umgekehrten Dreisatz
,7 50
bestimmen. Der Division der Eingabegröße entspricht '7L 1 420 )'7
die Multiplikation der Ausgabegröße und umgekehrt. '5[ 5 84 ,1,5
Die Tagesstrecke muss 84km betragen.
proPortionale Bei einer proportionalen Zuordnung x - y sind die
Zuordnungen Quotienten zugeordneter Größen gleich.
lst dieser Quotient 2.8.2, so lässt sich der y-Wert mit
der Gleichung y = 2'x berechnen.
Der Graph liegt auf einer Geraden. r,.:2..:L1 {:,!:2.:L
.:r2 :;..,'2
antiproportionale Bei einer antiproportionalen Zuordnung x - y sind
-a . | '-a
....,......
Zuordnungen die Produkte zugeordneter Größen gleich. 'i4
lst dieses Produkt 2.8.4, so lässt sich der y-Wert mit
derGleichung y=* berechnen.
Der Graph liegt auf einer Hyperbel.
lineare Gleichungen Man nennt Gleichungen wie y = mx + b lineare , - Graph der Zuordnung y = 2x + 2
4
Gleichungen. (1 I 4) ist Lösung der Gleichung,
Der Graph liegt auf einer Geraden. 3
denn2.1+2=4
2
lineare Gleichungen Für lineare Gleichungen wie -2x + y = 2 mit den f
mit zwei Variablen Variablenxundygilt:
1. lede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar. -2 1234
'-1
2. Es gibt unendlich viele Lösungen. I
I
(-2 | -2) ist Lösung der Gleichung,
3. Die grafische Darstellung der Lösungen ist eine --a denn2'(-2)+2=-2
Gerade.
lineare Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden (1) x-2y=2;y=lx-1
Gleichungssysteme ein lineares Gleichungssystem (LGS). (2) x+y=5. y=-x+5
(LGS) Eine gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen
mit zwei Variablen heißt Lösung des LGS. Ein LGS hat entweder genau
eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
lösen von LGS Gleichsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfa hren :
Man löst beide Gleichungen des LGS nach derselben
Variablen auf. Durch Gleichsetzen der Terme erhält
)x-1=-x+5 Einsetzen erglbt:
,x=o y=-4+5=1
man eine Gleichung mit einer Variablen.
x= 4 r-={(4t1»
Additionsverfahren Additionsvedahren:
Man formt beide Gleichungen so um, dass beim (1) 3x+5y=10
Addieren beider Gleichungen eine Variable wegfällt. Q) ax'5y=4
(1) + (2):7x=14
Einsetzungsverfahren
x=2
Man löst eine Gleichung nach einer Variablen auf
y=0,8
und setzt diesen Wert der Variablen in die andere
[_=(210,8»
Gleichung ein.
38 lnhaltsbezogeneKompetenzen

12. Funktion Eine Zuordnung die jedem x-Wert jeweils nur einen
y-Wert zuordnet, heißt Funktion.
Die Gleichung y = ax + b, mit der sich die
Funktionswerte y berechnen lassen, heißt
Funktionsgleichung einer linearen Funktion.
Quadratische Funktionen. die eine Funktionsgleichung in der Form
Funktion y = axz + bx + c haben, heißen quadratische
Funktionen.
Der dazugehörige Graph heißt Parabel.
lhren kleinsten bzw. größten Wert nimmt eine
quadratische Funktion im Scheitelpunkt an.
Die Parabel der Funktion y = 0,5(x - 2)2 + 3 ist
gegenüber der Parabel der Funktion y = e5x2 um 2
nach rechts und um 3 nach oben verschoben.
Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion
kann in der Scheitelform y = 2-(x + J)2 + 4 oder
in der Normalform y= 2x2 + 12x + 22 dargestellt
werden.
Sinus- und Die Funktionen sin und cos werden so für alle Winket
Kosinusfunktion q definiert:
Jeder Winkel q mit der positiven x-Achse als erstem
Schenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkel
einen Punkt Po auf dem Einheitskreis. Man legt fest:
Die x-Koordinate des Punktes Po ist cos(s).
Die y-Koordinate des Punktes Po ist sin(u).
Exponential- FunktionenderForm x-ax für a>0 und a+.1
funktionen nennt man Exponentialfunktionen.
Sie sind für alle reellen Zahlen x definier! ihre
Funktionswerte sind stets positiv.
Alle Graphen gehen durch den Punkt (0 l1).
Lineares Wachstum Nimmt die erste Größe um 1 zu, so wächst die zweite Lineares Wachstum n]it Wachstumsrate 4:
Größe jeweils um den gleichen festen Wert. +1 +1 +'l
/'; /'.} ,r-]
:,
+4
Nimmt die erste Größe um 1 zu, so wächst die zweite Exponentielles Wachstum mit
Größe jeweils um einen festen Faktor. Wachstumsfaktor '1,5:
.1,5 -1,5
lnhaltsbezogene Kompetenzen 39

13. Urliste Die Ergebnisse einer statistischen Erhebung können ln einer 10. Klasse mit 25 Schülerinnen und
in einer Liste notiert werden, der sogenannten Urliste. Schülern wird ermittelt, wie viele Bücher
Sie ist in der Regel ungeordnet. (außer für den Unterricht) jeder im letzten
lahr gelesen hat.
Urliste: 0; 3; 1; 3; 17; 5; 6i 4; 4; 3; 2;
0; 0; 4;1; 3; 5;12i 3; 6; 8; 3
Rangliste Eine Liste, in der die Ergebnisse der Größe nach Rangliste: 0; 0; 0; 1; 1;1; 2; 3; 3; 3; 3;
sortiert sind, heißt Rangliste. 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 6; 6;8; 12; 17
Häufigkeitsliste Gibt man zu ledem möglichen Wert der Liste an, wie Häufigkeitsliste:
oft er vorkommt, so erhält man eine Häufigkeitsliste. Bücher absolute relative relative
jti
i Häufigkeit I Häufigkeit i Häufigkeit
i I i ino/o
I I ? ,-9,1'*t *-
1 4 9116 16%
211i0,04 14%o
3.610,24 124o/o
1: :
s i 2 i-.9,1?-l
0,08
l:': -
| * '' '-':
8%
6l 2 .0..98 8%
8i1i0,04,4%o
:
9 1 0,04 40/o
12 I r 1o,o+:
--'.-;-----.,,,,-,,,-,-1,.--,.--.-"..
"..,..-..-..' - . -...'"... -.. -.".^"i.." "...... ..-"
t+Y"
-.-.-.--..- ..----.-
17
Häufigkeiten Die Anzahl, mit der ein bestimmter Wert vorkommt, Sechs Schüler lasen im letzten lahr 3 Bücher.
heißt absolute Häufigkeit des Wertes. Die absolute Häufigkeit des Wertes ,,3 Bücher"
Der Anteil, den die absolute Häufigkeit an der Ge- ist also 5.
samtzahl der erhobenen Daten hat, heißt relative Die relative Häufigkeit dieses Wertes
Häufiekeit. beträgt $=o,za=24o/o.
reratiä Häufi gkeit = "*"::::#:*i*''
Diagramme Mit Diagrammen kann man die erfassten Werte
veranschaulichen.
ln Säulendiagrammen kann man die absoluten
Häufigkeiten der Werte der zugrunde liegenden Liste
ablesen.
Kreis- oder Streifendiagramme machen deutlich,
welchen Anteil ein Wert der zugrunde liegenden
Häufigkeitsliste am Ganzen hat.
Kennwerte (1) Der kleinste Wert einer Rangliste heißt Minimum, der 0 Bücher sind das Minimum.
größte Maximum. Die Differenz von Maximum und 17 Bücher sind das Maximum.
Minimum heißt Spannweite.
Die Spannweite ist ein Maß dafüf wie weit die Werte 17 Bücher- 0 Bücher = 17 Bücher
der Erhebung auseinander liegen, gelegentlich sorgt Die Spannweite beträgt 17 Bücher.
aber ein Ausreißer für eine große Spannweite.
Die Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl der (3. 0 + 4 .1 +1. 2+ 6.3 +3 - 4 + 2- 5 +2- 6
Werte heißt Mittelwert oder arithmetisches Mittel. +1.8+ 1. 9 + 1. 12 + 1. 17) : 25 =ff =+rc
Der Mittelwert ist ein Durchschnittswert. lm Durchschnitt wurden rund 4 Bücher
gelesen.
44 lnhaltsbezogeneKompetenzen

14. Kennwerte (2) Der Wert in der Mitte einer Rangliste heißt Zentral- Da die Liste 25 Werte enthält, liegt der
wert oder Median. Hat die Rangliste eine ungerade Median an derl3. Stelle.
Anzahl von Werten, so ist der mittlere Wert der Das entspricht 3 Büchern:13 Schüler haben
Zentralwert. Hat die Rangliste eine gerade Anzahl 3 Bücher oder weniger gelesen, und
von Werten, so bildet man den Mittelwert der beiden '13 Schüler haben 3 Bücher oder mehr gelesen.
Werte in der Mitte.
Mindestens die Hälfte aller Werte liegt unterhalb des
Zentralwertes, mindestens die Hä lfte oberha b.I
Tritt ein Ergebnis häufiger auf als alle anderen Der Modalwert ist hier derselbe wie der
Ergebnisse der Erhebung, so ist dieser Wert der Zentralwert:
häufigste Weft oder Modalwert." 3 Bücher wurden am häufigsten gelesen.
Der Modalwert ist ein guter Ersatz für den Mittel-
wert in Erhebungen, für die ein Mittelwert nicht
sinnvoll bestimmt werden kann. (Wenn z. B. nach
der Lieblingsfarbe gefragt wird: Der Mittelwert von
Farben ist nicht sinnvoll anzugeben)
Ergebnis Bei einem Zufallsversuch werden die möglichen
Ausgänge als Ergebnisse bezeichnet.
wz
Der Münzwurf mit zwei Münzen stellt einen
Zufallsversuch dar.
mögliche Alle n Ergebnisse, die bei einem Zufallsversuch Es gibt vier mögliche Ergebnisse: (WW» (WZ),
Ergebnisse auftauchen können, heißen mögliche Ergebnisse. (ZW), (U), wobei Z für Zahl, W für Wappen
günstige Alle m Ergebnisse, die zum betrachteten Ereignis steht.
Ergebnisse führen, heißen günstige Ergebnisse. Für das Ereignis,,mindestens ein Wappen
werfen" gibt es die drei günstigen Ergebnisse
Ereignis Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereignis (VWV), (Wz) und (ZW).
zusammenfassen.
Laplace- Sind alle n möglichen Ergebnisse eines ledes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich und
Wahrscheinlichkeit Zufallsversuchs gleich wahrscheinlich, so spricht hat die Wa hrschei nl ic hkeir 1 = 25o/o.
man von einem Laplace-Versuch und berechnet
die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch die Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
Formel p = l. ,,mindestens ein Wappen werfen"
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit m
günstigen Ergebnissen ist dann p(E) = o.
i
beträgt = 75%.
Baumdiagramm Besteht ein Zufallsversuch aus mehreren Teilversu- El-
chen, so spricht man von einem mehrstufigen
Zufallsversuch. Ein Baumdiagramm veranschaulicht E2
die möglichen mehrstufigen Ergebnisse. Mithilfe des
Baumdiagramms lässt sich die Wahrscheinlichkeit E3-
jedes mehrstufigen Ergebnisses bestimmen.
E4
ffadregel Die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufi gen
Summen-
Ergebnisses ist gleich dem Produkt aus allen E.
regel
Wahrscheinlichkeiten entlang des ffades, der im
E.
Baumdiagramm zu diesem mehrstufigen Ergebnis
führt.
E7-
Summenregel Mehrstufige Ergebnisse können wieder zu Ereignissen
zusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit Es
des Ereignisses ist dann die Summe der zugehörigen
E"
Ergebniswahrscheinlichkeiten.
lnhaltsbezogeneKompetenzen 45