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On the eigenstructure of dft matrices(in japanese only)

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DFT 行列の固有値とその構造について
Signal processing magazine 2011/03 の記事紹介です。

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On the eigenstructure of dft matrices(in japanese only)

  1. 1. 社内教育用 鈴木幸一郎 ON THE EIGEN-STRUCTURE OF DFT MATRICES BY
  2. 2. やること • 元ネタ • Mar 2011のSignal Prcessing Magazine内 記事 • DFT行列と遊んでみよう
  3. 3. DFT行列 • (Discrete) Fourier Transformとは • 時間領域から周波数領域への直交変換 exp( 2 ) ( )fX i ft x t dtπ= − [ ] exp( 2 ) [ ] H f X f i fn x nπ= − =  a x有限・離散化 [exp( 2 0),...,exp( 2 ( 1))] 2 {0,2 / , ,2 ( 1) / } f N i f i f N f N N N π π π π π = − = … − a  周波数ベクトル まとめて 0 ( 1)/, ,...,H N N−  = =  X F x F a a DFT行列 要素で書くと k, n = {0, …, N-1}
  4. 4. • まず、Fはunitaryなので、FHF=I, Fの全ての 固有値の絶対値は必ず1でなければならない。 Fの固有値
  5. 5. Fの固有値 • J=F2を考える • これはpermutation matrix(というか、要素 をひっくり返す行列) x[n] -> x[(-n)N] • であるので、JJは、 (-(-n)N )N=nなので、 JJ=I (・)Nはmod(・, N)
  6. 6. Fの固有値 • Fの固有ベクトルの一つをekとおくと、 2 4 4 4 , ( ) , 1 {1, 1, , } k k k k k k k k k k k k k i i λ λ λ λ λ λ = = = = = = = − − kFe e FFe F e e F e e e であるので こうなって Fの固有値はNがどれだけ増えようともこの4つだけ! でもそう言われればそんな気もする なんとなくだけど。。。
  7. 7. それぞれの固有値がSPANする空間 を考えよう • Fをスペクトル展開 • 固有値別に分類。E1, E2,E3,E4 • それぞれへの射影行列はPi=EiEi H、だけどこい つはそれぞれのiで直交しない。。。Fは正値 対称じゃないから。。。 • 気持ちわるいので別の方法を考える。
  8. 8. ケイリー・ハミルトン的な展開 4 1 1 1 0 ( 1)( 1)( )( ) 0 k i ii i λ λ λ λ λ− − − = − + − + = 前掲の特性多項式=0 1( )p λ なる多項式として、 1( ) ( 1)( )( ) / 4p i iλ λ λ λ= + − + を考える 1 3 2 ( 1)( )( ) / 4 ( ) / 4 i i= + − + = + + + P F F F F F F I λをFに置き替えて ・P1は1以外の固有値を持つ固有ベクトルと直交する! ・P1=P1 H, P1P1=P1 ・∀e1:Fe1=e1にて、P1e1=e1 P1はE1への射影行列! スペクトル展開なしでできた! 林修に似とるな。。
  9. 9. 他の固有値についても とできる 4 1 1 1 0 ( 1)( 1)( )( ) 0 k i ii i λ λ λ λ λ− − − = − + − + = ← これを使うと
  10. 10. その性質(ざっと) ■ さっきやった ■ これも ■ Fが直交変換であることを考えると、 まーそりゃそーだろう ■ 固有ベクトルにバラして考えると、 そりゃそうなるわな ■ P1とP-1でローパス(正解じゃないが)! 確かに!! ■ PiとP-iでハイパス(正解じゃないが) ! なるほど!!
  11. 11. さらにまとめると 任意N次ベクトル x Forward と backwardで引き算 Forward と backwardで足し算 こんな風にそれぞれの固有値の張る空間へ射影されます BCの行列もこんな風にまとめられる、、、と面白いな。。。 x Jx
  12. 12. 固有ベクトルの本数は? • {1,-1,i,-i}な固有値があることはわかったけど、 じゃあそれぞれ何本あるの? • DFT matrix って別に次元は任意だし。。。 • 2nな必要ないし。。。
  13. 13. 天下り的ですが、こうなる ※これからdet(F)もわかります
  14. 14. 固有ベクトルは? • Fからは直で正規直交な固有ベクトルを求め るのは難しい • projection matrix Pkを直交化する EiはP1内で正規直交で、Ei≠i HEi=0!
  15. 15. CONVENTIONAL DFT からの拡張 • Offset DFT • 特別なケースのみ固有値についてよく知ら れている • 多次元の場合 • 個別にやっておk
  16. 16. 他の変換との関係 • Hartley transform • Fractional Fourier Transform (Fのsqrt) • F1/2=P1+iP2+(1+i)/2Pi+(1-i)/2P-i とすると、 F1/2F1/2=F フーリエ Hartley 恒等 flipud
  17. 17. まとめ • DFT行列の性質 • 単なる直交変換と思いきや、興味深い幾何学的な 性質を持つ • 興味深すぎてついていけない。。。 • DFTライクな変換はDFT行列のprojection matricesに帰着することで変換の直感的な理解を 与えることができる(ことがある)。 • Hadamard変換もきっとできる、、、か? • いやちょっとムリかもな。。

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