Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

อนุพันธ์

211,383 views

Published on

Published in: Education
  • Hi there! I just wanted to share a list of sites that helped me a lot during my studies: .................................................................................................................................... www.EssayWrite.best - Write an essay .................................................................................................................................... www.LitReview.xyz - Summary of books .................................................................................................................................... www.Coursework.best - Online coursework .................................................................................................................................... www.Dissertations.me - proquest dissertations .................................................................................................................................... www.ReMovie.club - Movies reviews .................................................................................................................................... www.WebSlides.vip - Best powerpoint presentations .................................................................................................................................... www.WritePaper.info - Write a research paper .................................................................................................................................... www.EddyHelp.com - Homework help online .................................................................................................................................... www.MyResumeHelp.net - Professional resume writing service .................................................................................................................................. www.HelpWriting.net - Help with writing any papers ......................................................................................................................................... Save so as not to lose
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Sex in your area is here: ❤❤❤ http://bit.ly/2F7hN3u ❤❤❤
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Follow the link, new dating source: ♥♥♥ http://bit.ly/2F7hN3u ♥♥♥
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • very good.
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

อนุพันธ์

  1. 1. บทที่ 2 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (the derivative of function ) ประโยชน์ของอนุพันธ์ 1. การเจริญเติบโตของร่างกายในแต่ละวัน 2. การเพิ่มของประชากรแต่ละประเทศ 3. การเกิดและการตายของพืชและสัตว์ 4. การละลายของสารเคมี 5. การเคลื่อนที่ของวัตถุ 2.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง ถ้า y = f (x) เป็นฟังก์ชันใดๆ เมื่อค่าของ x เปลี่ยนเป็น x + h โดยที่ h  0 ค่าของ y เปลี่ยนจาก f (x) เป็น f (x + h )แล้ว 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ h xfhxf )()(  2. อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ (อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง) คือ 0 lim h h xfhxf )()(  ตัวอย่างที่ 1 ให้ y = 3x2 – 2 x จงหา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 2 วิธีทา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4 จาก y = 3x2 – 2 x อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ จาก h xfhxf )()(  = 24 )2()4(   ff f (4 ) = 3 ( 4 )2 – 2 ( 4 ) = 48 – 8 = 40 f (2 ) = 3 ( 2 )2 – 2 ( 2 ) = 12 – 4 = 8 แทนค่า 24 )2()4(   ff = 2 840  = 2 32 = 16 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4 เท่ากับ 16 @ 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ ขณะ x = 5
  2. 2. 2 อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ คือ 0 lim h h xfhxf )()(  ถ้า f(0) = 0 0 = หาค่าไม่ได้ จาก ( x + h )2 = x2 + 2xh + h2 จะได้ 3 ( x + h )2 = 3 ( x2 + 2xh + h2 ) = = 3x2 + 6xh + 3h2 จัดรูป ดึงตัวร่วม f (x) = 3x2 – 2 x f ( x + h ) = 3 ( x + h )2 - 2 ( x + h ) = 3x2 + 6xh + 3h2 – 2x - 2h อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ คือ 0 lim h h xfhxf )()(  0 lim h h xfhxf )()(  = 0 lim h h xxhxhxhx )23(22363 222  ; = 0 lim h h xxhxhxhx 2322363 222  = 0 lim h h hhxh 236 2  = 0 lim h h hxh )236(  ; h  0 = 0 lim h 6x + 3h – 2 = 6x – 2 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 2 คือ 6 (2) – 2 = 10 โจทย์อัตราการเปลี่ยนแปลง 1. โจทย์เกี่ยวกับพื้นที่และปริมาตร สูตรของพื้นที่ 1. พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = (ด้าน)2 2. พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว 3. พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า = 4 3 = (ด้าน)2 4. พื้นที่วงกลม = r2 สูตรของปริมาตร 1. ปริมาตรของทรงกระบอก = r2 h 2. ปริมาตรของกรวย = 3 1 r2 h 3. ปริมาตรของทรงกลม = 3 4 r3
  3. 3. 3 ตัวอย่างที่ 1 วงกลมวงหนึ่ง มีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 12 เซนติเมตร 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 15 เซนติเมตร วิธีทา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ให้ f (r) แทนพื้นที่วงกลม มีรัศมียาว r เซนติเมตร f (r) = r2 จาก h rfhrf )()(  = 812 )8()12(   ff f (12) = (12)2 = 144  f (8) = (8)2 = 64  แทนค่า 812 )8()12(   ff = 4 64144   =  4 80 = 20  ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมี เปลี่ยน จาก 8 เป็น 12 เซนติเมตร เท่ากับ 20  ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 15 เซนติเมตร 0 lim h h xfhxf )()(  f (r) = r2 f (r + h) = ( r + h)2 = ( r 2 + 2r h + h2 ) = r 2 + 2r h + h2 แทนค่า = 0 lim h h rhrhr 222 2(   = 0 lim h h hrh 2 2   = 0 lim h h hrh )2(   ; h  0 = 0 lim h 2 r + h = 2 r + (0) = 2 r ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 15 เซนติเมตร เท่ากับ 2  ( 15) = 30  ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร
  4. 4. 4 2.2 ความหมายของอนุพันธ์ ถ้าให้ y = f (x) เป็นฟังก์ชัน และให้ f / เป็นฟังก์ชันใหม่ โดยที่ 0 lim h h xfhxf )()(  เรียก f / (x) ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ( อ่านว่า เอฟไพร์มของเอกซ์ ) และเรียก f / ว่าการหาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชัน f บทนิยาม ให้ y = f (x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นเซตของจานวนจริง และ 0 lim h h xfhxf )()(  หาค่าได้ เรียกค่า ลิมิตที่ได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ f / (x) สัญลักษณ์ของอนุพันธ์ เช่น อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ (อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง) คือ 0 lim h h xfhxf )()(  f / (x) dx dy y/ หมายเหตุ 1. dx dy  x y เพราะ dx dy คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ไม่ได้หมายถึง d คูณ x หารด้วย d คูณ y 2. หนังสือบางเล่มใช้สัญลักษณ์ x อ่านว่าเดลต้าเอกซ์ 3. dx dy มีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ 4. เมื่อ t แทนเวลา S แทนระยะทาง ที่บอกตาแหน่งวัตถุนิยมใช้ t แทน x และ S แทน y ดังนั้น y = f (x) จึงเป็น S = f (t) และ dx dy เป็น dt ds การหาอนุพันธ์มี 2 วิธี วิธีที่ 1 ใช้ลิมิต วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์ สูตรอนุพันธ์ สูตรที่ 1 ถ้า y = c แล้ว dx dy = 0 ; c เป็นค่าคงตัว (constant) เช่น ถ้า y = 3 แล้ว dx d )3( = 0 สูตรที่ 2 ถ้า y = x แล้ว dx dy = 1 เช่น ถ้า y = x แล้ว dx dx = 1 สูตรที่ 3 ถ้า y = c f(x) แล้ว dx dy = dx xdf c )( เช่น ถ้า y = 5x แล้ว 5 dx xd )( = 5
  5. 5. 5 สูตรที่ 4 *** ถ้า y = xn แล้ว dx dy = n xn – 1 4.1 ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก เช่น dx )x(d 2 = 2x2 - 1 = 2x dx xd )( 3 = 3x3 - 1 = 3x2 dx xd )( 4 = 4x4 - 1 = 4x3 ___ dx xd n )( = nxn - 1 4.2 ถ้า n เป็นจานวนเต็มลบ (จากนิยาม n x 1 = x- n ) เช่น dx xd )( 1 = -1 x- 1 - 1 = - x- 2 = 2 1 x  dx xd )( 2 = - 2x- 2 - 1 = - 2x- 3 = 3 2 x  dx xd )( 3 = - 3x- 3 - 1 = - 3x- 4 = = 4 3 x  ___ dx )x(d n = - nx- n -1 = 1  n x n 4.3 ถ้า n เป็นเศษส่วนบวก จานวนที่ติดค่ารากที่ n นิยาม 1. รากที่สอง x = 2 1 x 2. รากที่สาม 3 x = 3 1 x 3. รากที่ n n m x = n m x ตัวอย่างที่ 4.3 ถ้า y = x จงหา dx dy วิธีทา จาก y = x = 2 1 x dx dy = 2 1 x dx d = 1 2 1 2 1  x = 2 1 2 1  x = x2 1 4.4 ถ้า n เป็นเศษส่วนลบ ตัวอย่างที่ 4.4 ถ้า y = 3 1 x จงหา dx dy วิธีทา จาก y = 3 1 x = 3 1  x dx dy = 3 1  x dx d = - 1 3 1 3 1  x = - 3 4 3 1  x = - 3 4 3 1 x = 3 3 1 xx
  6. 6. 6 สูตรที่ 5 อนุพันธ์ผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน ถ้า y = f(x)  g(x) แล้ว dx dy = )(xf dx d )(xg dx d ตัวอย่างที่ 5.1 กาหนดให้ y = x5 – x4 + 2x3 จงหา dx dy วิธีทา y = x5 – x4 + 2x3 dx dy = )2( 345 xxx dx d  = )( 5 x dx d - )( 4 x dx d + )2( 3 x dx d = )( 5 x dx d - )( 4 x dx d + )(2 3 x dx d = 5x4 - 4x3 + 2 (3x2 ) = 5x4 - 4x3 + 6x2 ตัวอย่างที่ 5.2 กาหนดให้ y = 5x3 – 3x2 - 4x – 7 จงหา f / (- 1) วิธีทา y = 5x3 – 3x2 - 4x – 7 dx dy = dx d ( 5x3 – 3x2 4-x – 7) = dx d ( 5x3 ) - dx d ( 3x2 )- dx d (4x) - dx d (7) = 5 dx d ( x3 ) - 3 dx d ( x2 )- 4 dx d (x) - dx d (7) = 5(3x2 ) - 3(2x) - 4 = 15x2 – 6x - 4 f / (- 1) = 15 (- 1)2 – 6( - 1 ) - 4 = 15 + 6 - 4 = 17 สูตรที่ 6 อนุพันธ์การคูณของฟังก์ชัน ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ y = f(x) g(x) แล้ว dx dy = g(x) )(xf dx d + f(x) )(xg dx d = g(x) )(/ xf + f(x) )(/ xg สมบัติของการคูณเลขยกกาลัง 1. xm  xn = xm + n จงหาค่าต่อไปนี้ 1.1 23 x 22 = ………………..1.2 x3  x =…………… 1.3 23 x 2 =………………. 1.4 x  x2 = ………….. ตัวอย่างที่ 6.1 กาหนดให้ y = x3 ( 2x – 1 ) จงหา dx dy วิธีที่ 1 หาผลคูณ y = x3 ( 2x – 1 ) = 2x4 - x3 dx dy = )2( 34 xx dx d  = 2( 4x3 ) - 3x2 = 8x3 - 3x2 วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์ผลคูณ y = )()( xgxf  = x3 ( 2x – 1 ) dx dy = )()()()( xg dx d xfxf dx d xg  = )12()12( 3 3  x dx d x dx dx x = (2x – 1 ) 3x2 + x3 ( 2 ) = 6x3 – 3x2 + 2x3 = 8x3 - 3x2
  7. 7. 7 ตัวอย่างที่ 6.2 กาหนดให้ y = x ( x2 – 2 ) จงหา dx dy วิธีที่ 1 หาผลคูณ y = x ( x2 – 2 ) y = 2 1 x ( x2 – 2 ) = 2 5 x - 2 2 1 x = dx d ( 2 5 x - 2 2 1 x ) = 2 3 2 5 x - 2 2 1 ) 2 1 (  x = xx 2 5 - x 1 วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์ผลคูณ y = )()( xgxf  y = x ( x2 – 2 ) y = 2 1 x ( x2 – 2 ) y = )()( xgxf  dx dy = )()()()( xg dx d xfxf dx d xg  = )2()2( 22 12 1 2  x dx d x dx dx x = ( x2 – 2 ) ( 2 1 2 1  x ) + )2(2 1 xx = 2 1 2 3 2 1   xx + 2 2 3 x = xx 2 5 - x 1 ตัวอย่างที่ 6.3 กาหนดให้ y = ( 2x – 3 )( 3x + 5) จงหา dx dy วิธีทา y = ( 2x – 3 )( 3x + 5) = 6x2 + x - 15 dx dy = dx d (6x2 + x - 15) = 12x + 1 สูตรที่ 7 อนุพันธ์การหารของฟังก์ชัน ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ y = )( )( xg xf แล้ว dx dy = 2 )]([ )()()()( xg xg dx d xfxf dx d xg  เมื่อ 0)( xg = 2 // )]([ )()()()( xg xgxfxfxg  เมื่อ 0)( xg สมบัติของการหารเลขยกกาลัง 1. n m x x = xm - n จงหาค่าต่อไปนี้ 1.1 2 5 2 2 = ………………..1.2 4 6 x x =……………
  8. 8. 8 1.3 2 23 =………………. 1.4 2 x x = ………….. ตัวอย่างที่ 7.1 กาหนดให้ y = 3 6 3 x x  จงหา dx dy วิธีที่ 1 หาผลหาร y = 3 6 3 x x  = x3 – 3x- 3 dx dy = )3( 33   xx dx d = 3x2 – 3( - 3 ) x- 4 = 3x2 + 4 9 x วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์ผลหาร สูตรที่ 7 ถ้า y = )( )( xg xf = 3 6 3 x x  แล้ว dx dy = 2 // )]([ )()()()( xg xgxfxfxg  dx dy =  23 3 663 )( )3()3( x dx dx xx dx d x  = 6 2653 )3)(3()6( x xxxx  = 6 288 936 x xxx  = 6 28 93 x xx  = 3x2 + 4 9 x ตัวอย่างที่ 7.2 กาหนดให้ y = x x 23  จงหา dx dy วิธีที่ 1 หาผลหาร y = x x 23  = 2 1 3 2 x x  y = 2 5 x - 2 1 2  x dx dy = 2 3 2 5 x - 2 3 ) 2 1 (2   x = xx 2 5 + xx 1 วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์ผลหาร สูตรที่ 7 ถ้า y = x x 23  = )( )( xg xf dx dy = 2 // )]([ )()()()( xg xgxfxfxg  dx dy =  2 2 1 33 )( )2()2( x dx dx xx dx d x  = x xxxx 2 1 322 1 2 1 )2()3(   = x xxx 2 1 2 5 2 5 2 1 3   = x xx 2 1 2 5 2 5   = 1 2 5 2 5  x - 1 2 1  x = 2 3 2 5 x - 2 3  x
  9. 9. 9 = xx 2 5 + xx 1 ตัวอย่างที่ 7.3 ให้ y = 13 2 x x จงหา dx dy ตัวอย่างที่ 7.4 ให้ y = 42 42   x x จงหา dx dy วิธีทา ใช้สูตรที่ 7 อนุพันธ์การหาร y = 13 2 x x = )( )( xg xf dx dy = 2 // )]([ )()()()( xg xgxfxfxg  =   2 )13( 13)2()2()13(   x x dx d xx dx d x =   2 )13( 3)2()2)(13(   x xx = 2 )13( 626   x xx = 2 )13( 2 x วิธีทา จัดรูปโดยใช้การแยกตัวประกอบ y = 42 42   x x = )2(2 )2)(2(   x xx ; x  2 y = )2( 2 1 x dx dy = )2( 2 1 x dx d = 2 1 )2( x dx d = 2 1 ( 1 + 0 ) = 2 1 สูตรที่ 8 กฎลูกโซ่ ( chain rule ) ถ้า y = [ f (x) ]n แล้ว dx dy = n [ f (x) ]n – 1 )(xf dx d = n [ f (x) ]n – 1 )(/ xf ตัวอย่างที่ 8.1 กาหนดให้ y = ( 3x – 1 )2 จงหา dx dy วิธีที่ 1 หาผลคูณ y = ( 3x – 1 )2 = 9x2 – 6x + 1 dx dy = dx d (9x2 – 6x + 1 ) = 18x - 6 วิธีที่ 2 ใช้กฎลูกโซ่ y = ( 3x – 1 )2 dx dy = dx d ( 3x – 1 )2 dx d ( 3x – 1 ) = 2 ( 3x – 1 )(3) = 6 ( 3x – 1 ) = 18x – 6 ตัวอย่างที่ 8.2 กาหนดให้ y = ( 2x – 1 )5 จงหา dx dy วิธีที่ 2 ใช้กฎลูกโซ่ y = ( 2x – 1 )5 dx dy = dx d ( 2x – 1 )5 dx d ( 2x – 1 ) = 5 ( 2x – 1 )4 (2) = 10 ( 2x – 1 )4
  10. 10. 10 ตัวอย่างที่ 8.3 กาหนดให้ y = xx 43 2  จงหา dx dy วิธีทา ใช้กฎลูกโซ่ y = xx 43 2  = 2 1 2 )43( xx  dx dy = dx d 2 1 2 )43( xx  dx d ( 3x2 – 4x ) = 2 1 2 1 2 )43(   xx ( 6x - 4) = 2 1 2 )43(2 )23(2 xx x   = xx x 43 23 2   ตัวอย่างที่ 8.4 กาหนดให้ y = 3 2 31 1 x จงหา dx dy วิธีทา การแทนค่าในรูปของ u ให้ u = 1 - 3x2 y = 3 2 31 1 x = 3 1 u = 3 1  u dx dy = dx du du dy  = dx d ( 3 1  u ) )31( 2 x dx d  = ( 3 4 3 1   u ) ( - 6x) = 3 4 2 u x = 3 2 uu x = 3 22 31)31( 2 xx x 
  11. 11. 11 2.3 ความชันของเส้นโค้ง ในหัวข้อ ได้กล่าวถึงฟังก์ชัน f และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x คือ f / (x) ซึ่งมีค่าเท่ากับ 0 lim h h xfhxf )()(  กราฟของฟังก์ชัน f เป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งก็ได้ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึง และอัตราส่วนของ 0 lim h h xfhxf )()(  ว่ามีความหมายทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับกราฟของ ฟังก์ชันอย่างไร กาหนดฟังก์ชัน f (x) = mx + c จะได้ f / (x) = m ในกรณีนี้ กราฟของฟังก์ชัน f (x) = mx + c เป็นเส้นตรงมีความชัน ผ่านจุด (x1 , y1) อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าคงตัวและเท่ากับความชันของเส้นตรงเส้นนั้น ความหมายของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ถ้ามีวงกลมวงหนึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C และ P เป็นจุดๆหนึ่งบนวงกลม เส้นสัมผัสวงกลมที่จุด P คือ เส้นตรงที่ผ่านจุดP และตั้งฉากกับรัศมี CP แต่ถ้า P เป็นจุดบนเส้นโค้งอื่นๆ เส้นสัมผัส จะเส้นโค้งที่จุด P จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P และอยู่ในตาแหน่งใกล้เคียงกับเส้นตรง ที่ลากผ่านจุด P และจุดอีกจุดหนึ่งบนเส้น โค้งเกือบทับจุด P ดังนั้น ความชันความชันของเส้นโค้งที่จุด P จะมีค่าเท่ากับ 0 lim h h xfhxf )()(  ซึ่งก็คือ f / (x) นั่นเอง บทนิยาม ถ้า y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P (x , y) ใดๆจะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ มีความชันเท่ากับ f / (x) บทนิยาม ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P (x , y) ใดๆ บนเส้นโค้งหมายถึงความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P
  12. 12. 12 ใบความรู้ 1.1 การหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง จุดประสงค์ หาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ได้ ขั้นตอนการคานวณ 1. หาความชัน 1.1 หาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง f / (x) หรือ dx dy 1.2 แทนค่า x ในอนุพันธ์ข้อ 1.1 2. สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง (เส้นตรง) y – y1 = m ( x – x1 ) ตัวอย่างที่ 1 ให้ y = x2 – 4x เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา 1) ความชันของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) 2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) 3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) วิธีทา y = x2 – 4x เป็นสมการเส้นโค้ง 1) ความชันของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) f / (x) = 2x – 4 f / (1) = 2(1) – 4 = - 2 ความชัน (m) = - 2 2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) y – y1 = m ( x – x1 ) y - (-3) = - 2 ( x – 1 ) y + 3 = - 2x + 2 y = - 2x + 2 -3 y = - 2x - 1 ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) คือ y = - 2x – 1 ใบความรู้ 1.2 การหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
  13. 13. 13 จุดประสงค์ หาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ได้ สมบัติของความชัน 1. ความชัน (m) > 0 ถ้าเส้นตรง L ทามุมแหลมกับแกน X 2. ความชัน (m) < 0 ถ้าเส้นตรง L ทามุมป้ านกับแกน X 3. ความชัน (m) = 0 ถ้าเส้นตรง L ขนานกับแกน X 4. ความชัน (m) = หาค่าไม่ได้ ถ้าเส้นตรง L ตั้งฉากกับแกน X 5. เส้นตรงสองเส้นขนานกันความชันเท่ากัน 6. เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากซึ่งกันและกันผลคูณของความชันเท่ากับ – 1 ( m1 x m2 = - 1) ตัวอย่างที่ 1(ต่อ) ให้ y = x2 – 4x เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา 3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) วิธีทา y = x2 – 4x เป็นสมการเส้นโค้ง จากสมบัติของความชันข้อ 6. เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากซึ่งกันและกัน ผลคูณของความชันเท่ากับ – 1 ( m1 x m2 = - 1) ดังนั้น m1 = - 2 m2 = 2 1 y – y1 = m ( x – x1 ) y - ( - 3) = 2 1 ( x – 1 ) 2 (y + 3) = x - 1 2y + 6 = x – 1 0 = x – 1 – 2y - 6 0 = x – 2y - 7 x – 2y - 7 = 0 ดังนั้น สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) คือ x – 2y - 7 = 0 แบบฝึกทักษะ ให้ y = .....................................เป็นสมการเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา 1) ความชันของเส้นโค้ง 2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ใบความรู้ 1.3 การหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
  14. 14. 14 ตัวอย่างที่ 2 ให้ y = (1 - 3x)2 เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา 1) ความชันของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 ) 2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 ) 3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4) วิธีทา y = (1 - 3x)2 เป็นสมการเส้นโค้ง 1) ความชันของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 ) f / (x) = 2(1-3x) (-3) = - 6 + 18x f / (2) = - 6 + 18(1) ความชัน (m) = 12 2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 ) y – y1 = m ( x – x1 ) y - 4 = 12 ( x – 1 ) y - 4 = 12x - 12 y = 12x – 12 + 4 y = 12x - 8 ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 ) คือ y = 12x - 8 3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4) จากสมบัติของความชันข้อ 6. เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากซึ่งกันและกัน ผลคูณของความชันเท่ากับ – 1 ( m1 x m2 = - 1) ดังนั้น m1 = 12 m2 = 12 1  y – y1 = m ( x – x1 ) y - 4 = 12 1  ( x – 1 ) 12(y – 4) = - (x - 1) 12y - 48 = - x + 1 x + 2y - 48 - 1 = 0 x + 2y - 49 = 0 ดังนั้น สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 ) คือ x + 2y - 49 = 0 ใบความรู้ที่ 1.4
  15. 15. 15 จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง ตัวอย่างที่ 1 ให้ y = x2 – x + 3 เป็นสมการของเส้นโค้ง ความชันของเส้นโค้งเท่ากับ 3 จงหา จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง วิธีทา จากโจทย์ ความชัน (m) = dx dy = f / (x) = 3 …………………….. y = x2 – x + 3 เป็นสมการเส้นโค้ง ………………. dx dy = f / (x) = 2x – 1 จะได้ว่า 2x – 1 = 3 x = 2 แทนค่า x = 2 ในสมการเส้นโค้ง y = 22 – 2 + 3 = 5 ดังนั้น จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (2 , 5) ตัวอย่างที่ 2 จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x3 – 3x เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านี้ขนานกับแกน X วิธีทา จากโจทย์ y = x3 – 3x เป็นสมการเส้นโค้ง ……………..(1) ความชัน ( m) หรือ f/ (x) = 3x2 - 3 เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านี้ขนานกับแกน X จากสมบัติของความชัน ข้อ 3 ถ้า ความชัน ( m = 0 ) แสดงว่า เส้นตรง L ขนานกับ x จะได้ว่า f/ (x) = 3x2 - 3 = 0 3x2 = 3 x2 = 1 x =  1 แทนค่าในสมการเส้นโค้ง ……….(1) ถ้า x = 1 จะได้ y = - 2 ถ้า x = - 1 จะได้ y = 2 ดังนั้น จุดบนเส้นโค้งคือ ( 1 , - 2 ) และ ( - 1 , 2 ) 2.4 การประยุกต์ของอนุพันธ์ 2.4.1 ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด สมการกาลังสอง y = ax2 + bx + c ; a  0 มีลักษณะเป็นกราฟพาราโบลา การหาจุดต่าสุด หรือจุดสูงสุดของกราฟสามารถหาได้โดยใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง หรือวิธีอื่นๆ
  16. 16. 16 การหาค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุดของกราฟพาราโบลามีหลายวิธี เช่น วิธีที่ 1 เขียนกราฟ วิธีที่ 2 ทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์ วิธีที่ 3 ใช้สูตร วิธีที่ 4 ใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันดีกรีสาม ขั้นตอนการคานวณหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ 1. หาค่าวิกฤติ ( ค่า c ) 1.1 หาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง f / (x) 1.2 หาค่า x ( ค่า c ) โดยให้ f / (x) = 0 แก้สมการหาค่า x 1.3 ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด แทนค่า x ในสมการ y = f (x) หาค่า y 2. ตรวจสอบค่าวิกฤติ *** 2.1 หาอนุพันธ์อันดับที่สอง f / / (x) 2.2 หาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ กรณีที่ 1 ถ้า f // ( c ) > 0 แล้ว f (c) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ กรณีที่ 2 ถ้า f // ( c ) < 0 แล้ว f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ กรณีที่ 3 ถ้า f // ( c ) = 0 ไม่สามารถสรุปได้ ค่า x ที่มีโอกาสจะทาให้ เป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดได้ จึงต้องเป็นค่า x ที่ทาให้ dx dy = 0 ดังนั้น ค่าของ x ที่จะให้ y มีค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุด จึงเป็นค่า x ที่ได้จากการแก้สมการ dx dy = 0 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -15 -10 -5 5 10 15 f x  = x3-6x2 +8x เมื่อสังเกตจากกราฟจะเห็นว่า ถ้าลากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดซึ่งให้ ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด เส้นสัมผัส นั้นจะขนานกับแกน X ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดสูงสุดหรือจุดต่าสุด นี้จึงเป็นศูนย์แต่ความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดก็ตาม ก็คือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น ดังนั้น ค่าของอนุพันธ์ที่จุดสูงสุดหรือต่าสุด จึงต้องเป็นศูนย์ ใบความรู้ที่ 1 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดโดยวิธีเขียนกราฟ จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด สมการ y = x2 - 4x - 1 โดยวิธีเขียนกราฟ
  17. 17. 17 การเขียนกราฟมีขั้นตอนดังนี้ 1. สร้างตารางคู่อันดับ 1.1 กาหนดค่า x 1.2 แทนค่า x ในสมการ หาค่า y X - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 y 11 4 - 1 - 4 - 5 - 4 - 1 4 11 2. เขียนกราฟ 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 A:(2.01,-5.00) f x  = x2-4x-1 A ลักษณะกราฟ 1. เป็นกราฟ พาราโบลาหงาย เพราะ ค่า a = 1 ( เป็นบวก ) 2. จุดต่าสุด คือ ( 2 , - 5 ) ค่าต่าสุด คือ - 5 ใบความรู้ที่ 2 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดโดยวิธีทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์ วิธีทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์ ของสมการในรูป y = ax2 + bx + c มีขั้นตอนดังนี้ 1. ดึงตัวร่วม a (ถ้ามี)
  18. 18. 18 2. กาลังสองสมบูรณ์ 2.1 นา 2 หารสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีตัวแปรกาลังหนึ่ง(พจน์กลาง) ได้ค่าหนึ่งแล้วนาไปยกกาลังสอง บวกเข้าและลบออกอย่างละ 1 ตัว 2.2 จัดรูป y = x2  bx + 2 2       b = น2  2นxล + ล2 2.3 แยกตัวประกอบ x2  bx + 2 2       b = ( x  2 b )2 เช่น x2 - 6x + 9 = ( x - 3)( x - 3) = ( x - 3)2 3. จัดสมการในรูป y = a(x - h)2 + k 3.1 จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด คือ ( h , k ) 3.2 พาราโบลาคว่าหรือหงายพิจารณาดังนี้ ก. ถ้า a > 0 (เป็นบวก) พาราโบลาหงาย ได้จุดต่าสุด ข. ถ้า a < 0 (เป็นลบ) พาราโบลาคว่า ได้จุดสูงสุด ตัวอย่างที่ 2 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ y = x2 - 4x - 1 วิธีทา y = x2 - 4x -1 + 22 - 22 = ( x2 - 4x + 22 ) -1 - 22 = ( x - 2)( x - 2) -1 - 4 = ( x - 2 )2 - 5 y = a(x - h)2 + k ลักษณะกราฟ a = 1 (เป็นบวก) พาราโบลาหงาย ได้จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 5) โจทย์ปัญหา จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ สมการ y = x2 - 6x + 4 (นักเรียนลองฝึกทาดูซิคะ) …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ใบความรู้ที่ 3 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดโดยวิธีใช้สูตร วิธีใช้สูตร มีขั้นตอนดังนี้
  19. 19. 19 เนื่องจากการแสดงการหาค่า x และ y ค่อนข้างยุ่งยากจึงสรุปได้ดังนี้ 1. จาสูตรได้ ค่า x = a b 2  และ ค่า y = a bac 4 4 2  2. ใช้สูตรเป็น เช่น y = 2x2 - 3x + 4 จะได้ a = 2 b = - 3 c = 4 3. เห็นคาตอบ จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด คือ ( x , y ) ตัวอย่าง 3 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ y = - 3x2 - 12x - 5 วิธีทา y = - 3x2 - 12x - 5 จะได้ a = - 3 b = - 12 c = - 5 จากสูตร x = a b 2  y = a bac 4 4 2  = )3(2 )12(   = - 2 = )3(4 )12()5)(3(4 2   = 12 14460   = 7 a = - 3 (เป็นลบ) พาราโบลาคว่า ได้จุดสูงสุดคือ ( - 2 , 7 ) # โจทย์ปัญหา จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ สมการ y = - 2x2 + 8x - 13 (นักเรียนลองฝึกทาดูซิคะ) …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ใบความรู้ที่ 4 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดโดยวิธีใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง วิธีใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง มีวิธีการดังนี้
  20. 20. 20 1. หาอนุพันธ์ dx dy หรือ f / (x) 2. หาค่า x , y 2.1 หาค่า x แทนค่า dx dy = 0 แก้สมการหาค่า x 2.2 หาค่า y แทนค่า x ในสมการ y = f(x) 3. จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดคือ ( x , y ) ตัวอย่าง 4 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ y = - 3x2 - 12x - 5 วิธีทา 1. หาอนุพันธ์ dx dy หรือ f / (x) y = - 3x2 - 12x - 5 dx dy = - 6x - 12 2. หาค่า x , y 2.1 หาค่า x แทนค่า dx dy = 0 แก้สมการหาค่า x 0 = - 6x - 12 x = - 2 2.2 หาค่า y แทนค่า x ในสมการ y = f(x) y = - 3 (-2)2 - 12 (-2) - 5 = - 12 + 24 - 5 = 7 3. จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดคือ ( x , y ) # a = - 3 (เป็นลบ) พาราโบลาคว่า ได้จุดสูงสุดคือ ( - 2 , 7 ) # โจทย์ปัญหา จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ สมการ y = - 2x2 + 8x - 13 (นักเรียนลองฝึกทาดูซิคะ) …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… 2.5 อนุพันธ์อันดับสูง กาหนด f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ f / (x) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ซึ่ง ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุด สัมพัทธ์ ของ f (x) = x3 + 3x2 – 24x – 20
  21. 21. 21 สามารถหาอนุพันธ์ได้แล้ว จะเรียกอนุพันธ์ของ ฟังก์ชัน f ที่ x หรืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน f / ที่ x ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ ฟังก์ชัน f ที่ x และเขียนแทน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f / ที่ x ด้วย f // (x) สัญลักษณ์แทนอนุพันธ์ f / (x) หรือ dx dy แทนอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ f (x) f // (x) หรือ 2 2 dx yd แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f (x) f /// (x) หรือ 3 3 dx yd แทนอนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ f (x) f4 (x) หรือ 4 4 dx yd แทนอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของf (x) --- fn (x) หรือ n n dx yd แทนอนุพันธ์อันดับที่ n ของf (x) ตัวอย่างที่ 1 จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของฟังก์ชัน f (x) = 2x5 + 3x4 – 2x3 + 5x2 วิธีทา f (x) = 2x5 + 3x4 – 2x3 + 5x2 f / (x) = 10x4 + 12x3 – 6x2 + 10x f // (x) = 40x3 + 36x2 – 12x + 10 f /// (x) = 120x2 + 72x– 12 f 4 (x) = 240x + 72 วิธีทา จาก f (x) = x3 + 3x2 – 24x – 20 จะได้ f / (x) = 3x2 + 6x – 24 ถ้า f / (x) = 0 3x2 + 6x – 24 = 0 นา 3 หาร ; 3x2 + 6x – 24 = 0 x2 + 2x – 8 = 0 ( x+ 4 ) ( x – 2 ) = 0 เพราะฉะนั้น x = - 4 หรือ x = 2 ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชันคือ - 4 และ 2 ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 f // (x) = 6x + 6 f // (- 4 ) = 6 ( - 4 ) + 6 = - 18 < 0 ( กรณีที่ 2) f // (2 ) = 6 ( 2 ) + 6 = 18 > 0 ( กรณีที่ 1) f (-4) = (-4)3 + 3(-4)2 – 24(-4) – 20 = - 64 + 48 + 96 - 20 = 144 – 84 = 60 ดังนั้น มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = - 4 และ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ f(-4 ) = 60 f (2) = (2)3 + 3(2)2 – 24(2) – 20 = 8 + 12 – 48 – 20 = - 48 มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และ ค่าต่าสุดสัมพัทธ์คือ f(2 ) = - 48 โจทย์ของค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด ขั้นตอนการคานวณโจทย์การหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ 1. เปลี่ยนประโยคภาษาเป็นประโยคสัญลักษณ์ 1.1 กาหนดตัวแปร x แทนสิ่งที่โจทย์ต้องการหา 1.2 สร้างความสัมพันธ์ ในรูป y = f(x) 2. หาค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด 2.1 หาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง f / (x) 2.2 หาค่า x โดยให้ f / (x) = 0 3. ตรวจสอบค่าวิกฤติ 3.1 หาอนุพันธ์อันดับที่สอง f / / (x) 3.2 หาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์
  22. 22. 22 กรณีที่ 1 ถ้า f // ( c ) > 0 แล้ว f ( c ) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ กรณีที่ 2 ถ้า f // ( c ) < 0 แล้ว f ( c ) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ กรณีที่ 3 ถ้า f / ( c ) = 0 ไม่สามารถสรุปได้ 1. โจทย์เกี่ยวกับจานวน ตัวอย่างที่ 1 จานวนบวกสองจานวนซึ่งรวมกันได้ 12 โดยที่ผลคูณของจานวนทั้งสองมีค่ามากที่สุด วิธีทา ให้ x แทนจานวนๆหนึ่ง อีกจานวน 12 – x ให้ y เป็นผลคูณของจานวนทั้งสอง y = x ( 12 – x ) = 12x – x2 หาอนุพันธ์ dx dy = 12 – 2x 0 = 12 – 2x 2x = 12 x = 6 อีกจานวน 12 – 6 = 6 ดังนั้นจานวนทั้งสอง คือ 6 กับ 6 ตัวอย่างที่ 2 จานวนบวกสองจานวนซึ่งรวมกันได้ 12 โดยที่ผลคูณของจานวนแรกกับจานวนที่สอง ยกกาลังสองมีค่ามากที่สุด วิธีทา ให้ x แทนจานวนๆหนึ่ง อีกจานวน 12 – x ให้ y เป็น ผลคูณของจานวนแรกกับจานวน ที่สองยกกาลังสอง y = x ( 12 – x )2 = x ( 144 – 24x + x2 ) = 144x – 24x2 + x3 หาอนุพันธ์ dx dy = 144 – 48x + 3x2 3x2 – 48x + 144 = 0 x2 - 12x + 48 = 0 ( x – 4 ) ( x - 12 ) = 0 x = 4 , 12 ดังนั้นค่าวิกฤตคือ 4 , 12 ตรวจสอบค่าวิกฤต หาอนุพันธ์อันดับที่สอง จาก f (x) = 144x – 24x2 + x3 f // (x) = 6x – 48 และ f // (4) = 6(4) – 48 = - 24 f // (12) = 6(12) – 48 = 24 นั่นคือ f // (4) < 0 แสดงว่า ที่ x = 4 ทาให้ f (x) มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ดังนั้นจานวนบวกจานวนแรกคือ 4 และ อีกจานวนคือ 8 2. โจทย์เกี่ยวกับพื้นที่และปริมาตร ตัวอย่างที่ 2.1 มีลวดหนามทารั้วยาว 400 เมตร จะกั้นรั้วรอบที่ดินเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง และ ความยาวเท่าใด จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด
  23. 23. 23 วิธีทา ให้ x เป็นความยาว ( เมตร) A(x) เป็น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นรอบรูป = 400 2( ก + ย ) = 400 ก = 200 - ย = 200 – x พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = ก x ย A(x) = ( 200 – x ) x = 200x – x2 อนุพันธ์ A/ (x) = 200 – 2x จะได้ 200 – 2x = 0 x = 100 กว้าง = 200 – 100 = 100 ดังนั้นต้องกั้นที่ดินกว้าง 100 เมตร ยาว 100 เมตร จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด ตัวอย่างที่ 2.2 กระดาษแข็งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาวด้านละ 12 เซนติเมตร ถ้าตัดมุมทั้งสี่ ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ x เซนติเมตร แล้วพับตามรอยเส้นประเพื่อเชื่อมกล่องฝาเปิด x ควรจะมีค่าเท่าใดจึงจะทาให้กล่องมีปริมาตรมากที่สุดและกล่องมีปริมาตรมากที่สุดเป็นเท่าไร วิธีทา ให้ v ( x ) เป็นปริมาตรของกล่อง ( ลูกบาศก์เซนติเมตร) x เป็นความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่ถูกตัดออก(สูง) กว้าง 12 – 2x ยาว 12 – 2x ปริมาตร = พื้นที่ฐาน สูง v ( x ) = (12 – 2x) (12 – 2x) x = ( 12 – 2x)2 x = (144 – 48x + 4x2 ) x = 144x – 48x2 + 4x3 = 4x3 – 48x2 + 144x อนุพันธ์ v / ( x ) = 12x2 – 96x + 144 12x2 – 96x + 144 = 0 x2 – 8x + 12 = 0 ( x – 2 ) ( x – 6 ) = 0 ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน v ( x ) คือ 2 , 6 ตรวจสอบค่าวิกฤต หาอนุพันธ์อันดับที่สอง จาก v ( x ) = 4x3 – 48x2 + 144x v // (x) = 24x – 96 และ v // (2) = 24(2) – 96 = - 48 v // (6) = 24(6) – 96 = 48 นั่นคือ v // (2) < 0 แสดงว่า v (x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x = 2 v ( x ) = ( 12 – 2x)2 x v ( 2) = [ 12 – 2(2)]2 2 = 128 แสดงว่า v (x) มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ ที่ x = 6 v ( 6) = 0 นั่นคือ x = 2 ( กล่องสูง 2 ซม. ) กล่องจึงจะมีปริมาตรมากที่สุด 3. สมการของการเคลื่อนที่ ( ความเร็วและความเร่ง )
  24. 24. 24 ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง ( S ) กับเวลา ( t ) อยู่ในรูปฟังก์ชัน คือ S = f (t) เรียกว่า สมการของการเคลื่อนที่ การหาความเร็วและความเร่ง 1. ความเร็ว ( Veocity ) 1.1 ความเร็วเฉลี่ย ( Average Veocity ) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลา Vavg = t s   = h tfhtf )()(  1.2 ความเร็วขณะเวลา t ใดๆ หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง ( Instantaneous Veocity ) คือ อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง ความเร็ว (v ) = 0 lim x h tfhtf )()(  ความเร็ว (v ) = dt ds = f / (t) 2. ความเร่ง ( Accerlition )คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเทียบกับเวลา 2.1 ความเร่งเฉลี่ย (Average accerlition ) aavg = t v   2.2 ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง ( Instantaneous accerlition ) คือ อนุพันธ์อันดับที่สอง ความเร่ง ( a ) = 2 2 dt sd = dt dv = f // (t) การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งข้อสังเกตในการคานวณ 1 1. เครื่องหมาย V , S ถ้ามีทิศทางตามความเร็วต้น + และสวนทางกับความเร็วต้นเป็น - 2. เมื่อโยนวัตถุขึ้นไปในแนวดิ่ง ณ จุดใดๆ ความเร็วขาขึ้นย่อมเท่ากับความเร็วขาลง 3. ช่วงเวลาขาขึ้นเท่ากับช่วงเวลาขาลง 4. ที่จุดสูงสุดความเร็วเท่ากับ 0 1 อารมณ์ ปุณโณทก , ( 2525 ). ว 021 ฟิสิกส์ ม. 4 . พิมพ์ครั้งที่ 1 กรุงเทพมหานคร : สานักพิมพ์กราฟิคอาร์ต. 3. โจทย์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ ตัวอย่างที่ 3 ก้อนหินถูกโยนขึ้นไปในอากาศตามแนวดิ่ง โดยมีความเร็วต้นเท่ากับ 112 ฟุต/วินาที และ สมการของการเคลื่อนที่ของก้อนหินคือ S = 112 t – 16 t2 จงหา
  25. 25. 25 1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4 2) ความเร็วขณะเวลา t = 3 วินาที 3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด 4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 96 ฟุต วิธีทา 1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4 Vavg = h tfhtf )()(  f (4) = 112 (4) – 16 (4)2 = 192 f (2) = 112 (2) – 16 (2)2 = 160 แทนค่า Vavg = 2 160192  = 2 32 = 16 ดังนั้นความเร็วเฉลี่ย เท่ากับ 16 ฟุต /วินาที 2) ความเร็วขณะเวลา t = 3 วินาที จาก S = 112 t – 16 t2 ความเร็ว (v) = f / (t) = 112 – 32 t ถ้า t = 3 จะได้ f / (3) = 112 – 32 (3) = 112 – 96 = 16 ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา t = 3 วินาที เท่ากับ 16 ฟุต/วินาที 3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด จาก S = 112 t – 16 t2 ความเร็ว (v) = f / (t) = 112 – 32 t ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นได้สูงสุด v = 0 จะได้ว่า 112 – 32 t = 0 t = 3.5 แทนค่า t = 3.5 ในสมการการเคลื่อนที่ S = 112 (3.5) – 16 (3.5)2 = 392 – 196 = 196 ดังนั้น ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด 196 ฟุต 4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 96 ฟุต( S = 96) จาก S = 112 t – 16 t2 96 = 112 t – 16 t2 16 t2 - 112 t + 96 = 0 t2 - 7 t + 6 = 0 ( t – 6 ) ( t – 1 ) = 0 t = 6 ,1 ดังนั้น ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 96 ในวินาทีที่ 1 หรือวินาทีที่ 6 4. โจทย์อื่นๆ ตัวอย่างที่ 4 .1 ในการเกิดปฏิกิริยาเคมีครั้งหนึ่ง หาอุณหภูมิได้จากสมการ  = 4 t - 0.1t2 เมื่อ  เป็นอุณหภูมิซึ่งมีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส และ t เป็นเวลามีหน่วยเป็นวินาที
  26. 26. 26 เมื่อใดที่อุณหภูมิจะขึ้นสูงสุดและอุณหภูมิสูงสุดเป็นเท่าใด วิธีทา จาก  = 4 t - 0.1t2 dt d = 4 - 0.2 t 4 - 0.2 t = 0 t = 2.0 4 = 20 แทนค่า t = 20  = 4 (20) - 0.1 (20)2 = 80 - 40 = 40 ดังนั้น เมื่อเวลา 20 วินาที อุณหภูมิสูงสุดเท่ากับ 40 องศาเซลเซียส ตัวอย่างที่ 4 .2 โรงงานแห่งหนึ่ง สามารถขายสินค้าที่ผลิตได้ชนิดหนึ่ง จานวน x ชิ้นต่อ 1 สัปดาห์ ขายไปชิ้นละ 400 – 0.02x บาท และต้องเสียค่าทุนในการผลิตสินค้า x ชิ้น เป็นเงิน 80x + 3000 บาท จงหาว่าโรงงานแห่งนี้จะต้องผลิตสินค้าสัปดาห์ละกี่ชิ้น จึงจะได้กาไรมากที่สุด วิธีทา ให้โรงงานผลิตสินค้า จานวน x ชิ้นต่อ 1 สัปดาห์ ค่าลงทุน 80x + 3000 บาท ขายสินค้า ชิ้นละ 400 – 0.02x จานวน x ชิ้น เป็นเงิน 400x – 0.02x2 ให้ f(x) แทนกาไรของการขายสินค้า x ชิ้น กาไร = ราคาขาย – ราคาทุน f(x) = (400x – 0.02x2 ) – ( 80x + 3000 ) = 400x – 0.02x2 – 80x - 3000 = 320x – 0.02x2 - 3000 f / (x) = 320 – 0.04x 0 = 320 – 0.04x 04.0 320 = x x = 8000 ชิ้น ดังนั้น ต้องผลิตสินค้า สัปดาห์ละ 8000 ชิ้น จึงจะได้กาไรมากที่สุด แบบฝึกหัดที่ 2.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง 1. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x 1. y = 3x2 - 1 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 3 เป็น 5
  27. 27. 27 2. y = x2 - 2x = 5 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 1 เป็น 3 3. y = 2x2 + 3x - 4 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 5 4. y = 3x2 - 2x + 1 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4 5. y = 2x2 - 3x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 3 เป็น 5 2. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใดๆ 1. y = 3x2 – 5 ขณะ x = 2 2. y = 2x2 + 3x ขณะ x = 3 3. y = x2 – 4x + 1 ขณะ x = 5 4. y = 3x2 – 2x + 1 ขณะ x = 4 5. y = 2x2 – 3x + 7 ขณะ x = 5 3. วงกลมวงหนึ่ง มีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 10 เซนติเมตร 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของด้าน ขณะรัศมียาว 8 เซนติเมตร 4. สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง มีด้านยาว x หน่วย จงหา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 12 เซนติเมตร 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้าน ขณะด้านยาว 12 เซนติเมตร 5. ปริมาตรของทรงกลมมีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรทรงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 6 เป็น 9 เซนติเมตร 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรทรงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 5 เซนติเมตร แบบฝึกหัดที่ 2.2 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ ชุดที่ 1 สูตรที่ 1 - สูตรที่ 4 1. ถ้า y = 2x จงหา dx dy 16. ถ้า y = 2 4 3 x x  จงหา dx dy
  28. 28. 28 2. ถ้า y = x5 จงหา dx dy 3. ถ้า y = 2x3 จงหา dx dy 4. ถ้า y = 4x2 + 5x จงหา dx dy 5. ถ้า y = 3x3 – 2x2 + x จงหา dx dy ชุดที่ 2 n x dx d = nxn - 1 6. ถ้า y = x- 4 จงหา dx dy 7. ถ้า y = 2 3 x จงหา dx dy 8. ถ้า y = 3 2 x จงหา dx dy 9. ถ้า y = 3 x จงหา dx dy 10. ถ้า y = x 2 จงหา dx dy ชุดที่ 3 การคูณ dx dy = g(x) )(/ xf + f(x) )(/ xg 11. ถ้า y = x2 ( 2x2 – 3x + 1 ) จงหา dx dy 12. ถ้า y = ( x + 3 )2 จงหา dx dy 13. ถ้า y = ( 3x - 2 )2 จงหา dx dy 14. ถ้า y = ( 2x + 5)(3 x - 2 ) จงหา dx dy 15. ถ้า y = x ( 3x2 – 4x ) จงหา dx dy ชุดที่ 4 การหาร dx dy = 2 // )]([ )()()()( xg xgxfxfxg  17. ถ้า y = 2 3 x x จงหา dx dy 18. ถ้า y = 62 92   x x จงหา dx dy 19. ถ้า y = 12 12   x x จงหา dx dy 20. ถ้า y = x xx 532 24  จงหา dx dy ชุดที่ 5 กฎลูกโซ่ dx dy = n [ f (x) ]n – 1 )(/ xf 21. ถ้า y = ( x - 2 )6 จงหา dx dy 22. ถ้า y = ( 2x - 1 )4 จงหา dx dy 23. ถ้า y = 5 )23( 1 x จงหา dx dy 24. ถ้า y = 2 21 x จงหา dx dy 25. ถ้า y = 2 21 1 x จงหา dx dy ชุดที่ 6 ระคน 26. ถ้า y = ( 4x - 1 )6 จงหา dx dy 27. ถ้า y = xx 23 2  จงหา dx dy 28. ถ้า y = xx 23 1 2  จงหา dx dy 29. ถ้า y = 4 13 13         x x จงหา dx dy 30. ถ้า y = 5 12 12         x x จงหา dx dy แบบฝึกหัดที่ 2.3 ความชันและสมการเส้นโค้ง 1. จงหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ และสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น 1. y = x2 – 3x ที่จุด ( 2 , -2 ) 2. y = x - 2x2 ที่จุด ( 2 , - 6 )
  29. 29. 29 3. y = x2 + 4x - 2 ที่จุด ( - 3 , - 5 ) 4. y = (2x- 1 )2 ที่จุด ( 2 , 9 ) 5. y = x x 22  ที่จุดซึ่ง x = 1 2. จงหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ ความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส และ สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น 1. y = x2 – 3x ที่จุด ( 2 , -2 ) 2. y = x - 2x2 ที่จุด ( 2 , - 6 ) 3. y = x2 – 4x + 2 ที่จุด ( - 3 , 3 ) 4. y = (2x- 1 )2 ที่จุด ( 2 , 9 ) 5. y = x x 22  ที่จุดซึ่ง x = 1 3. จงหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้นและสมการของเส้น ที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 1. y = x2 – 4x + 2 ที่จุด ( - 3 , 3 ) 2. y = (1 - 2x)2 ที่จุด ( 2 , 9 ) 3. y = x x 22  ที่จุดซึ่ง x = 1 ชุดที่ 2 1. ให้ y = x2 – 3x – 4 เป็นสมการเส้นโค้ง มีความชันของเส้นโค้งเท่ากับ 3 จงหาจุดที่สัมผัสเส้นโค้ง 2. ให้ y = 2x2 + 5x – 13 เป็นสมการเส้นโค้ง มีความชันของเส้นโค้งเท่ากับ - 3 จงหาจุดที่สัมผัสเส้นโค้ง 3. ให้ y = 8x - x2 เป็นสมการเส้นโค้ง มีความชันของเส้นโค้งเท่ากับ 2 จงหาจุดที่สัมผัสเส้นโค้ง 4. ให้ y = - x2 + 6x – 3 เป็นสมการเส้นโค้ง มีความชันของเส้นโค้งเท่ากับ 4 จงหาจุดที่สัมผัสเส้นโค้ง 5. ถ้าเส้นตรง y = 2ax ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 2x3 + 5 ที่จุด ( 1 , 7 ) จงหาค่าของ a 6. จงหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = x3 – 2x2 + 5x ที่จุด ( 1 , 4 ) 7. จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x3 – 3x เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านั้นขนานกับแกน X 8. จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x3 – 27x เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านั้นขนานกับแกน X แบบฝึกหัดที่ 2.4 โจทย์ของการเคลื่อนที่ 1. กาหนดให้ S แทนระยะทาง (เมตร) t แทนเวลา ( วินาที) v แทนความเร็ว ( เมตร/วินาที )
  30. 30. 30 วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = t2 - 2t + 3 จงหา 1) อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลา ตั้งแต่ t = 2 ถึง t = 5 วินาที 2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลาขณะเวลา t = 3 วินาที ( ความเร็ว) 2. วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = 96 t – 8 t2 จงหา 1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4 2) ความเร็วขณะเวลา t = 5 วินาที 3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด 4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 256 ฟุต 5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที 3. วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = 72 t – 4 t2 จงหา 1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 3 ถึง t = 5 2) ความเร็วขณะเวลา t = 4 วินาที 3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด 4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 288 ฟุต 5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 4 วินาที 4. วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = t3 – 6t2 + 9t + 4 จงหา 1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4 2) ความเร็วขณะเวลา t = 6 วินาที 3) ระยะทางเมื่อความเร็วของวัตถุเท่ากับ 0 4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 128 ฟุต 5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที
  31. 31. 31 แบบฝึกหัด 2.5 ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด 1. จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) y = x2 – 4x – 2 2) y = 2x2 – 8x + 3 3) y = 4x – x2 4) y = - 3x2 – 18x – 20 5) y = x2 – 6x + 5 6) y = 6 – 2x – x2 7) y = x3 – 27x 8) y = 12x – x3 9) y = x3 – 3x2 – 9x + 1 10) y = 2x3 – 9x2 + 12 x – 3 11) y = ( x- 2 )3 12) y = x ( 12 – 2x )2 13) y = x3 – 3x 14) y = 2x3 + 3x2 – 12x – 7 15) y = x3 + x2 – 8x - 1 2. มีรั้วยาว 200 เมตร ล้อมที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 3 แปลง เท่าๆกัน ดังรูป จะล้อมได้พื้นที่มากที่สุดเท่าใด x x x y y y x x x 3. จานวนสองจานวนบวกกันได้16 ถ้าผลคูณของสองจานวนมีค่ามากที่สุด 4. กระดาษแข็งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาวด้านละ 10 เซนติเมตร ถ้าตัดมุมทั้งสี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ x เซนติเมตร แล้วพับตามรอยเส้นประเพื่อเชื่อมกล่องฝาเปิด x ควรจะมีค่าเท่าใดจึงจะทาให้กล่องมี ปริมาตรมากที่สุดและกล่องมีปริมาตรมากที่สุดเป็นเท่าไร 5. แผ่นโลหะรูปสี่เลี่ยมผืนผ้ากว้าง 10 เซนติเมตร และยาว 16 เซนติเมตร ตัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มุมทั้งสี่ สมมติว่าด้านของรูปจัตุรัสยาว x เซนติเมตร แล้วพับตามรอยเส้นประ เพื่อเชื่อมทากล่องเปิดฝา x จะมีค่าเท่าไร กล่องจึงจะมีปริมาตรมากที่สุด
  32. 32. 32 6. ในการเกิดปฏิกิริยาเคมีครั้งหนึ่ง หาอุณหภูมิได้จากสมการ  = 10 + 4 t - 0.2t2 เมื่อ  เป็นอุณหภูมิซึ่งมีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส และ t เป็นเวลามีหน่วยเป็นวินาที เมื่อใดที่อุณหภูมิจะขึ้นสูงสุดและอุณหภูมิสูงสุดเป็นเท่าใด 7. ในการทดลองทางกสิกรรมครั้งหนึ่งเป็นที่ยอมรับกันว่าจะได้ผลผลิตมากขึ้น ถ้าใส่ปุ๋ ยมากขึ้น ( ถ้าไม่ใส่ปุ๋ ยมากจนเกินไป) ให้ f เป็นจานวนปุ๋ ยที่ใช้มีหน่วยเป็นกิโลกรัมต่อไร่ c เป็นปริมาณของผลผลิตที่ ได้หน่วยเป็นถังต่อไร่ ถ้า c = 20 + 24f – f2 จะต้องใช้ปุ๋ ยมากน้อยเพียงใดจึงจะได้ผลผลิตมากที่สุด 8. พ่อค้าคนหนึ่งผลิตสินค้าขายได้ชิ้นใน 1 สัปดาห์ ขายไปชิ้นละ p บาท ราคาและจานวนสินค้าที่ขายได้มี ความสัมพันธ์เขียนในรูปสมการ p = 100 – 0.04x และต้องลงทุน 600 + 22x บาท เขาจะต้องผลิตสินค้าออกขาย สัปดาห์ละกี่ชิ้นจึงจะมีกาไรมากที่สุด 9. กสิกรผู้หนึ่งอยากรู้ว่าสมควรจะใช้ปุ๋ ยมากน้อยเพียงใด เพื่อให้ได้ที่ดินทาประโยชน์แก่เขามากที่สุด ถ้าให้ p เป็นกาไรสุทธิ (มีหน่วยเป็นบาท) ซึ่งเขาจะได้จากการทาไร่หลังจากหักค่าใช้จ่ายทั้งหมดแล้ว F เป็นปริมาณปุ๋ ย ( หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อไร่ ) ความสัมพันธ์ระหว่าง p กับ f เป็นดังนี้ p = 400 + 20f –f2 จงหาว่าจะใช้ปุ๋ ยกี่กิโลกรัมต่อที่ดิน 1 ไร่ จึงจะได้กาไรสุทธิสูงสุดและกาไรสูงสุดจากผลผลิตต่อไร่เป็นเท่าไร 10. สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีความยาวของด้านทั้งสามเป็น 90 , 120 , 150 หน่วย จงหาความกว้างและความ ยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่มากที่สุดที่บรรจุอยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ 11. บริษัทรับส่งสินค้าสั่งให้รถบรรทุกของบริษัทวิ่งระยะทาง 500 กิโลเมตร ด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย กิโลเมตรต่อ ชั่วโมงโดยวิ่งด้วยอัตราเร็วระหว่าง 25 – 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เสียค่าน้ามันลิตรละ 20 บาท และจะใช้น้ามัน ในอัตรา 8 + 150 2 x กิโลเมตรต่อชั่วโมง บริษัทต้องเสียค่าเบี้ยเลี้ยงคนขับ ชั่วโมงละ 44 บาท ควรสั่งให้คนขับรถ ขับด้วยอัตราเร็วเฉลี่ยเท่าใดจึงจะประหยัดที่สุด 12. ท่อนไม้พื้นที่หน้าตัดเป็นวงกลม เส้นผ่าศูนย์กลาง a เซนติเมตรต้องการเลื่อยออกเป็นคานหน้าตัดเป็นรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง w หนา d ให้ s เป็นน้าหนักสูงสุดที่คานรับน้าหนักได้และ s = kwd2 เมื่อ k เป็นค่าคงตัว จะต้องเลื่อยให้คานมีความกว้างและความหนาเท่าใด s จึงจะมีค่ามากที่สุด
  33. 33. 33 ใบความรู้ที่ 1 ค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ f (x) = x3 + 3x2 - 24x - 20 วิธีทา จาก f (x) = x3 + 3x2 - 24x - 20 หาอนุพันธ์อันดับที่ 1 หาค่าวิกฤติ จะได้ f / (x) = 3x2 + 6x – 24 0 = 3 ( x2 + 2x - 8 ) ถ้า f / ( x ) = 0 จะได้ว่า 0 = ( x2 + 2x - 8 ) 0 = ( x + 4 ) ( x – 2) 0 = ( x + 4 ) ( x – 2) ดังนั้น x = - 4 หรือ x = 2 ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน คือ - 4 หรือ 2 หาอนุพันธ์อันดับที่ 2 ตรวจสอบค่าวิกฤติ f / (x) = 3x2 + 6x – 24 f // ( x ) = 6x + 6 = 6 ( x + 1 ) f // ( - 4 ) = 6(-4)+ 6 = - 24 + 6 = - 18 < 0 (สูง) f // ( 2 ) = 6(2)+ 6 = 12 + 6 = 18 > 0 (ต่า) ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = - 4 และค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือ f ( - 4 ) = ( - 4 )3 + 3(- 4)2 – 24(- 4) - 20 = - 64 + 48 + 96 – 20 = - 84 + 144 = 60 f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และค่าต่าสุดสัมพัทธ์คือ f (2) = ( 2 )3 + 3(2)2 – 24(2) - 20 = 8 + 12 – 48 – 20 = 20 – 68 = - 48 กรณีที่ 1 ถ้า f // ( c ) > 0 แล้ว f (c) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ กรณีที่ 2 ถ้า f // ( c ) < 0 แล้ว f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ กรณีที่ 3 ถ้า f // ( c ) = 0 ไม่สามารถสรุปได้
  34. 34. 34 ใบความรู้ที่ 2 ตัวอย่างที่ 2 บริษัทแห่งหนึ่ง ใช้ต้นทุนในการผลิตวิทยุ x เครื่อง เท่ากับ 1000 + 400x บริษัทขายวิทยุ x เครื่อง ต่อสัปดาห์ โดยขายเครื่องละ 800 - 2 3 1 x บาท จงหากาไรสูงสุดที่บริษัทได้รับจากการ ขายวิทยุ x เครื่องต่อสัปดาห์ วิธีทา ให้ x เป็นจานวนวิทยุที่ขายได้ต่อสัปดาห์ y = f(x) เป็นกาไรที่บริษัทได้รับ เนื่องจาก บริษัทขายวิทยุ x เครื่อง ต่อสัปดาห์ โดยขายเครื่องละ 800 - 2 3 1 x บาท ขายวิทยุ x เครื่อง เป็นเงิน = x( 800 - 2 3 1 x ) = 800x - 3 3 1 x บาท ต้นทุนในการผลิตวิทยุ x เครื่อง เท่ากับ 1000 + 400x บาท จาก กาไร = ราคาขาย - ราคาทุน f(x) = 800x - 3 3 1 x - ( 1000 + 400x ) f(x) = 800x - 3 3 1 x - 1000 - 400x f(x) = - 3 3 1 x + 400x – 1000 เมื่อ 0  x  48 อนุพันธ์ f / (x) = - x2 + 400 - x2 + 400 = 0 x =  20 จะได้x = 20,-20 เป็นค่าวิกฤติ ดังนั้น จะได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ f(x) = -2x f(20) = -40 นั่นคือ f(20) < 0 แสดงว่าที่ x = 20 ทาให้ f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ แทนค่า x = 20 ใน f(x) f (20) = 3 1 (20)3 + 400 (20)-1000 = 3 13000 = 4333 3 1 ดังนั้นกาไรสูงสุดที่บริษัทได้รับเท่ากับ 4333 3 1 บาท
  35. 35. 35 ใบความรู้ที่ 3 ตัวอย่างที่ 3 (แนวข้อสอบ เข้ามหาวิทยาลัย ปี 33) บริษัทแห่งหนึ่งขายสินค้า 100 ชิ้น ได้กาไร 7200 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรเทียบกับจานวนสินค้าที่ขายได้คือ 80 – 0.08x ถ้า x เป็นจานวนสินค้า(ชิ้น) ที่ขายได้ในการผลิตสินค้านี้ บริษัทจะมีโอกาสทากาไรมากที่สุดเท่ากับเท่าไร วิธีทา ให้ x แทนจานวนสินค้าและ Y(x) แทนกาไรที่ได้จากการขายสินค้า x ชิ้น จากโจทย์ f/ (x) = dx dy = 80 – 0.08x และ y(100) = 7200 Y =   dx)x08.080( ดังนั้น Y = 80x – 0.04 x2 + c เมื่อ c เป็นค่าคงที่ Y = 80x – 0.04x2 + c จาก 7200 = 80(100) – 0.4(100)2 + c 7200 = 8000 – 400 + c 7200 = c + 7600 - 400 = c ดังนั้น Y = 80x – 0.04x2 – 400 การหากาไรมากที่สุดหาได้จากค่า x ที่ทาให้ dx dy 80 – 0.08x = 0 X = 1000 ดังนั้น Y(1000) = 80(1000) – 0.04(1000)2 – 400 = 80000 – 40000 – 400 = 39600 ดังนั้น บริษัทจะมีโอกาสทากาไรมากที่สุดเท่ากับ 39600 บาท
  36. 36. 36 ใบความรู้ที่ 4 ตัวอย่างที่ 4 ( Ent, 37 ) กาหนดให้รถขนสินค้าชนิดหนึ่งมีการเผาไม้ของน้ามันเป็น ) 1600 ( 400 1 x x  ลิตร / กิโลเมตร ถ้าต้องการขับรถเป็นระยะทาง 600 กิโลเมตร โดยจ่ายค่าน้ามันน้อยที่สุด ขณะที่น้ามันราคาลิตรละ 20 บาท จะต้องจ่ายค่าน้ามันเท่าไร วิธีทา ให้ขับรถด้วยอัตราเร็ว x กิโลเมตร / ชั่วโมง ให้น้ามันที่ใช้เป็น P(x) = ) 1600 ( 400 1 x x  ลิตร / กิโลเมตร ระยะทาง 600 กิโลเมตร จะได้ P(x) = ) 1600 ( 400 600 x x  ลิตร / กิโลเมตร = ) 1600 ( 2 3 x x  = x 2400 + x 2 3 …………………(1) = 2400 x- 1 + x 2 3 P/ (x) = - 2400 x- 2 + 2 3 2 2400 x = 2 3 2400 x 3 2 = x2 1600 = x2 40 = x ขับรถด้วยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตร / ชั่วโมง ( แทนค่า x = 40 )ในสมการที่(1) P(x) = 40 2400 + 40 2 3 x = 60 + 60 = 120 ถ้าน้ามันราคาลิตรละ 20 บาท จะต้องจ่ายค่าน้ามัน = 120 x 20 = 2400 บาท

×