เอกนาม การบวก การลบ การคูณและการหาร

1. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
1
ครู เสวตร
084 - 1284087
บทที่ 2 พหุนาม
1) เอกนาม
่
เอกนามเป็ นนิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยูในรู ปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป โดยที่เลขชี้
กาลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็ นศูนย์หรื อจานวนเต็มบวก
2 3
xy ,  4 x 2 yz , 7 , 0.2a 2bc3 เป็ นเอกนาม
3
3
2
x
5
3x ,
, 2 , 3x 3 y 2 z , 3a  b5 , 6  x 2 ไม่เป็ นเอกนาม
y t
เช่น นิพจน์
3x ,  5 x 2 ,
ส่วนนิพจน์
ดังนั้นเอกนามจึงประกอบด้วยสองส่วน คือ ส่วนที่เป็ นค่าคงตัวเรี ยกว่า สั มประสิ ทธิ์ของเอกนามและส่วนที่
เป็ นตัวแปรและเรี ยกผลบวกของเลขชี้กาลังของตัวแปรว่า ดีกรีของเอกนาม เช่น 3x 2 y5 มีสมประสิทธิ์เป็ น 3
ั
และดีกรี เป็ น 7
2) การบวกและการลบเอกนาม
่
เอกนามสองเอกนามคล้ายกันก็ตอเมื่อเอกนามทั้งสองมีตวแปรชุดเดียวกันและเลขชี้กาลังของตัวแปรตัว
ั
เดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน เช่น
2x คล้ายกับ 5x
3x 2 y คล้ายกับ 5x 2 y
2 2 3
abc
3
คล้ายกับ
3 2 3
abc
5
5a 2b0
คล้ายกับ
3a 2b0c0
เอกนามที่คล้ายกันสามารถหาผลบวกและผลลบได้โดยใช้สมบัติแจกแจง ส่วนเอกนามทีไม่คล้ายกันจะไม่
่
สามารถหาผลบวกได้ เช่น 3x2  4 x กับ 2 x2  3x มีผลบวกเป็ น 5x2  x
ส่วน 3x 2 กับ 2x มีผลบวกเป็ น 3x2  2 x
่ ้
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาผลบวกและผลลบของเอกนามในแต่ละคู่ต่อไปนี้โดยใช้เอกนามที่อยูดานหน้าเป็ นตัวตั้ง
1.
5x
กับ
2.
4xy
3.
7x 2 y
3x
กับ
กับ
2xy
มีผลบวกเป็ น ……………….
มีผลลบเป็ น ……………………...
มีผลบวกเป็ น ……………….
มีผลลบเป็ น ……………………...
9x 2 y
มีผลบวกเป็ น ……………….
มีผลลบเป็ น ……………………...

2. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
2
ครู เสวตร
084 - 1284087
3) พหุนาม
พหุนามเป็ นนิพจน์ที่สามารถเขียนในรู ปเอกนามหรื อสามารถเขียนในรู ปการบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอก
นามขึ้นไป เช่น 3x2  4 x , xy 2  4 xy  2 x เป็ นต้น
เพือความสะดวกต่อไปนี้จะเรี ยกแต่ละเอกนามว่า พจน์ ดังนั้นเอกนามทีคล้ายกันจะเรี ยกว่า พจน์ที่คล้ายกัน
่
่
และถ้าพหุนามใดมีพจน์ที่คล้ายกันจะสามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันได้ซ่ ึงพหุนามทีไม่มีพจน์ที่คล้ายกันจะเรี ยกว่า
่
พหุนามในรู ปผลสาเร็จ และดีกรี สูงสุดของพจน์ในพหุนามจะเป็ นดีกรีของพหุนาม
เช่น พหุนาม 9x2 y  3xy  4x2 y  7 xy  3
มีพหุนามในรู ปผลสาเร็ จ คือ 5x2 y  10xy  3 และมีดีกรี เป็ น 3
ตัวอย่ างที่ 2 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เป็ นพหุนามในรู ปผลสาเร็จ พร้อมทั้งบอกดีกรี ของพหุนามนั้น
1)
3 y2  5 y  3 y  2
ผลสาเร็จ คือ …………………………… มีดีกรี เท่ากับ …………
2)
3xy 2  2 xy  2 y 2 x  5  xy
ผลสาเร็จ คือ …………………………… มีดีกรี เท่ากับ …………
3)
6 x 3  3x 4  x  7  x 3  4 x 5  6 x 4
ผลสาเร็จ คือ …………………………… มีดีกรี เท่ากับ …………
หมายเหตุ ในการเขียนพหุนามในรู ปผลสาเร็จนิยมเขียนเรี ยงพจน์ตามลาดับดีกรี ของแต่ละพจน์จากดีกรี มากไป
น้อยหรื อจากดีกรี นอยไปมาก เช่น พหุนาม 4x3  3x2  5x4  7 x  9
้
เรี ยงดีกรี ของแต่ละพจน์จากมากไปน้อยได้เป็ น 5x4  4x3  3x2  7 x  9
เรี ยงดีกรี ของแต่ละพจน์จากน้อยไปมากได้เป็ น 9  7 x  3x2  4x3  5x4
4) การบวกและการลบพหุนาม
การบวกและการลบพหุนามสามารถทาได้โดยการนาพจน์ที่คล้ายกันมาบวกหรื อลบกัน
่ ้
ตัวอย่ างที่ 3 จงหาผลบวกและผลลบของพหุนามในแต่ละคู่ต่อไปนี้โดยใช้พหุนามที่อยูดานหน้าเป็ นตัวตั้ง
1) 3x  5 y  4 กับ 2xy  5x  7 y  1

3. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
2)
5 y2  3y  2
กับ
3
ครู เสวตร
084 - 1284087
y3  y 2  2 y  7
5) การคูณพหุนาม
(5.1) เอกนามคูณกับเอกนาม ทาได้โดยให้ค่าคงที่คูณกับค่าคงที่และตัวแปรคูณกับตัวแปร
เช่น  5xy   2 xy 2   ………………………………………
3x   4 x2 y 5 yz 3   ………………………………….
 6ab c    3 bc   a b   …………………………..


 2

2
2
3
(5.2) เอกนามคูณกับพหุนาม ทาได้โดยนาเอกนามไปคูณทุกๆ พจน์ของพหุนาม
เช่น  2 x  3xy  5x2 y3   …………………………………………………….
5xy  4x y
2
3
 2 z   3xyz  
…………………………………………………….
(5.3) พหุนามคูณพหุนาม ทาได้โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับทุกๆพจน์ของพหุนามหนึ่ง แล้วนาผลคูณ
เหล่านั้นมาบวกกัน เช่น
 2 x  13x  2  ………………………………………………………………………………………..
5x  y  2 x  3 y   ………………………………………………………………………………………..
x
2
 2 y  3xy  2 x  y 2  
……………………………………………………………………………………

4. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
4
ครู เสวตร
084 - 1284087
ตัวอย่ างที่ 4 จงหาผลคูณของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1)  2 x  y   x2  5xy  y 2   ……………………………………………………………………………..
2) 3x  y  2 z  2 x  y  3z   …………………………………………………………………………….
3)  x  y   x2  xy  y 2   ……………………………………………………………………………..
4)  a  b  c  a  b  c   ……………………………………………………………………………..
6) การหารพหุนาม
(6.1) เอกนามหารด้วยเอกนาม ทาได้โดยให้ตวคงที่หารกับตัวคงที่และตัวแปรหารกับตัวแปร
ั
เช่น
12 x3 y 2

3x 2 y
……………………………………………….
20a 2b5c3

5a 2b3c
……………………………………………….
(6.2) การหารพหุนามด้ วยเอกนาม ทาได้โดยนาเอกนามไปหารพหุนามทีละพจน์
เช่น
12 x 4  6 x3  4 x 2  2 x

2x
6 x3 y 2  9 x 2 y  3xy

3xy
……………………………………………….
…………………………………………………………..

5. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
5
ครู เสวตร
084 - 1284087
(6.3) การหารพหุนามด้วยพหุนาม ทาได้โดยใช้วิธีต้งหารแต่ก่อนจะตั้งหารควรเขียนพหุนามทั้งที่เป็ นตัวตั้งและ
ั
ตัวหารให้เป็ นพหุนามที่มีการเรี ยงพจน์จากดีกรี มากไปดีกรี นอย
้
เช่น จะหารพหุนาม 6x3  x2  22  2x ด้วย 2 x  3
ตัวอย่ างที่ 5 จงหาผลหารของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) พหุนาม 5x2  4x3  4x4  4 14x หารด้วย 1  2x
2) พหุนาม
26 y  10 y3  23 y 2  21
หารด้วย
2y  3

6. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
3) พหุนาม
5x4  28x2 19 x3  26 x  11
ตัวอย่ างที่ 6 จงหาค่า
k
ที่ทาให้
6
ครู เสวตร
หารด้วย
3 y 2  12  ky  y3
2  3x  x2
หารด้วย
y2  y  3
ลงตัว
084 - 1284087

7. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
7
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 7 จงหาค่า
a
ที่ทาให้
2 x3  5x2  ax  4
หารด้วย
x2  2 x  3
ตัวอย่ างที่ 8 จงหาค่า
k
ที่ทาให้
4 x3  kx2  5x  7
หารด้วย
x 1
เหลือเศษ
เหลือเศษ
10
084 - 1284087
11x  7