競技プログラミング練習会のフロー回で発表したスライド

1. ネットワークフロー

2. 最大フロー問題
次の問題を考える
「下のグラフにおいてS(source)からT(sink)までフロー(非圧縮性流体みたいな
もの)を流すことを考える。但し、各辺には流せるフローの最大値(整数)が設
定されている。流すことのできるフローの最大値を求めよ。」

3. 1.フローを流す余裕のある辺のみを用いたsからtへのパスを
見つける
2-A.そのようなパスが存在しなければ終了
2-B.そのようなパスが存在したら、そのパスに流せる限り
のフローを流す。1に戻る
取り敢えず次のようなgreedyを実行してみる

4. s→1→2→t に沿って5流す (流したフロー/流せるフロー)

5. s→1→3→t に沿って5流す
これで流せるパスはなくなった

6. 実はまだs→2→1→3→tに沿ってフロー1流すことができる
既にフローをfだけ流した路には最大でfまでフローを「逆流させる」ことができる
以上の手続きでフローの最大値が求まっている(後で証明)

7. Ford-Fulkerson法
まとめると次のようなアルゴリズムを実行している
1.フローを流す余裕のある辺、またはフローを「逆流できる」辺を用いたsか
らtへのパスを見つける
2-A.そのようなパスが存在しなければ終了
2-B.そのようなパスが存在したら、そのパスに流せる限りのフローを流す。1
に戻る
Step1でパスの探索はO(|E|)で行うことができ、少なくともフローは1だけ流れ
るから、計算量はO(F|E|)

8. //Ford-Fulkerson's algorithm
struct edge{int to,cap,rev;};
const int INF=1e9;
//g[e.to][e.rev] で逆辺を操作できる
void addEdge(vector<vector<edge> > &g,int from,int to,int cap){
g[from].push_back((edge){to,cap,(int)g[to].size()});
g[to].push_back((edge){from,0,(int)g[from].size()-1});
}
int dfs(vector<vector<edge> > &g,vector<bool> &used,int v,int t,int f){
if(v==t) return f;
used[v]=true;
for(int i=0;i<(int)g[v].size();i++){
edge& e=g[v][i];
if(!used[e.to] && e.cap>0){
int d=dfs(g,used,e.to,t,min(f,e.cap));
if(d>0){
e.cap-=d;
g[e.to][e.rev].cap+=d;
return d;
}
}
}
return 0;
}

9. int FordFulkerson(vector<vector<edge> > &g,int s,int t){
int flow=0;
for(;;){
vector<bool> used(g.size(),false);
int f=dfs(g,used,s,t,INF);
if(f==0) return flow;
flow+=f;
}
}

10. 最小カット
カット：ある頂点集合𝑆 ⊂ 𝑉に対して、Sから出ていく辺の集合
カットの容量: カットの各要素の容量の和
𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑉 ∖ 𝑆 であるとき、カットに含まれるすべての辺を除去することでsか
らtへのパスが存在しなくなる。このようなカット(S,V＼S)をs-tカットと呼ぶ。
ここで次の問題を考えることができる
「sからtへのパスが存在しなくなるために除去しなければならない辺の容量の和
の最小値を求めよ」(最小カット問題)

11. このとき(最小)カットの容量は14である

12. 最大フロー最小カット定理
任意のs-tフローFと任意のs-tカットを考える
sourceとsink以外の頂点では出るフローと入るフローは等しいから
(Fの流量)=(Sから出る辺の流量) - (Sに入る辺の流量)
従って、
(Fの流量)<=(Sから出る辺の流量)=(カットの容量)
これは任意のフローとカットについて成り立つから、あるフローF’について
(F’の流量)=(カットの容量)
が成り立てばF’は最大フローである。
ここでFord-Fulkerson法で得られるフローは上式を満たす

13. 実際、Ford-Fulkerson法で得られたフローF’’に対して、その点までは
フローを流せる又は逆流させられる点の集合をSとすると、(S,V＼S)は
s-tカットである(もしsからtへのパスが存在すれば、そのパスにそって
フローを流しているはず)。ある辺にフローを流せないということは、
既に最大までフローを流していること(或いは全く逆流がないこと)と同
値であるから、
(F’’の流量) =(Sから出る辺の流量) - (Sに入る辺の流量)
=(Sから出る辺の容量) – 0
=(カットの容量)
故にF’’は最大フローである。また、最小カットが最大フローが等しいこ
とも示された。

14. 二部マッチング
「二部グラフに対し、互いに端点を共有しないような辺集合の大きさの最大値
を求めよ」

15. この問題はsinkとsourceを追加することで最大フロー問題に帰着される

16. 最小費用流
流量Fのフローを流したいとする。各辺eには流せるフローの上限c(e)があり、フ
ローをx流すとコストがd(e)xかかる。必要なコストの最小値を求めよ

17. 各辺eに流しているフローをfとしたとき、容量がc(e)-f,フローを1流すごとのコス
トが-d(e)であるような逆辺をネットワークに追加して、最短路にフローを流して
いけば最小コストが得られる。このとき、負のコストをもつ辺があるため、
Dijkstra法ではなくBellman-Ford法を使う。(証明は適当なグラフ理論の本を参照し
て下さい)

18. s→2→tに沿って2流す

19. s→1→3→2→tに沿って3流す

20. s→1→3→tに沿って3流す

21. s→1→2→3→tに沿って1流して流したフローの総量が9になった

22. 実装例
Ford-Furkerson法
http://ideone.com/5LsbdT
(Verified by AOJ 1163)
最小費用流
http://ideone.com/WxaIbd
(Verified by AOJ 2293)