Explicación detallada para la aplicación de la fórmula de derivación de un cociente.

1. 흏풚 흏풙
Fórmulas de derivación
G. Edgar Mata Ortiz

2. 흏풚 흏풙
Fórmula para el cociente de dos funciones
Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a derivar es un cociente cuya obtención sería muy laboriosa o incluso imposible.
En lugar de efectuar la división indicada, se aplica la fórmula: 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

3. 흏풚 흏풙
Fórmula para el cociente de dos funciones
La fórmula se lee:
La derivada de 풖entre 풗es igual a:
풗por la derivada de 풖menos
풖por la derivada de 풗entre
El denominador al cuadrado 풗ퟐ
Se emplean colores para identificar las dos funciones y sus derivadas 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

4. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Derivar
푦= 풙 (풙ퟐ−ퟏ)ퟑ
La fórmula es:
Es necesario identificar claramente cuál de las funciones se identificará como 풖y cuál como 풗 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

5. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Derivar
푦= 풙 (풙ퟐ−ퟏ)ퟑ
푢=풙 푑푢 푑푥 =ퟏ 푣=푥2−ퟏퟑ 푑푣 푑푥 =ퟑ푥2−ퟏퟐퟐ푥 푑푣 푑푥 =ퟔ푥푥2−ퟏퟐ
La función 풖y su derivada se identifican con color rojo.
La función 풗y su derivada se identifican con color azul 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

6. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Las funciones y sus derivadas se sustituyen en la fórmula.
푦= 풙 (풙ퟐ−ퟏ)ퟑ
푣=푥2−ퟏퟑ푑푢 푑푥 =ퟏ푢=풙 푑푣 푑푥 =ퟔ푥푥2−ퟏퟐ 풅풚 풅풙 = 풙ퟐ−ퟏ ퟑ ퟏ−풙ퟔ풙(풙ퟐ−ퟏ)ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟑퟐ
푣=푥2−ퟏퟑ풂풍풄풖풂풅풓풂풅풐 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

7. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Se efectúan las operaciones indicadas (multiplicaciones y potencia). 풅풚 풅풙 = 풙ퟐ−ퟏ ퟑ ퟏ−풙ퟔ풙(풙ퟐ−ퟏ)ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟑퟐ 풅풚 풅풙 = 풙ퟐ−ퟏ ퟑ −ퟔ풙ퟐ(풙ퟐ−ퟏ)ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

8. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Se efectúan las operaciones indicadas (multiplicaciones y potencia). 풅풚 풅풙 = 풙ퟐ−ퟏ ퟑ −ퟔ풙ퟐ(풙ퟐ−ퟏ)ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ
Se observa que puede tomarse factor común en el numerador. 풅풚 풅풙 = 풙ퟐ−ퟏ ퟑ −ퟔ풙ퟐ(풙ퟐ−ퟏ)ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

9. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Se obtiene factor común.
푦= 풙 (풙ퟐ−ퟏ)ퟑ 풅풚 풅풙 = 풙ퟐ−ퟏ ퟑ ퟏ−풙ퟔ풙(풙ퟐ−ퟏ)ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟑퟐ 풅풚 풅풙 = 풙ퟐ−ퟏ ퟑ −ퟔ풙ퟐ(풙ퟐ−ퟏ)ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ(풙ퟐ−ퟏ)ퟏ−ퟔ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ
El paréntesis rectangular se emplea solamente para visualizar, con mayor claridad, los factores que quedan después de extraer el factor común. 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

10. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Se efectúan las operaciones dentro del paréntesis rectangular.
푦= 풙 (풙ퟐ−ퟏ)ퟑ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ(풙ퟐ−ퟏ)ퟏ−ퟔ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ풙ퟐ−ퟏ−ퟔ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ
La expresión algebraica dentro del paréntesis rectangular se puede simplificar reduciendo términos semejantes. 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

11. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Operaciones.
푦= 풙 (풙ퟐ−ퟏ)ퟑ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ(풙ퟐ−ퟏ)ퟏ−ퟔ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ풙ퟐ−ퟏ−ퟔ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ−ퟏ−ퟓ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ
Se puede simplificar el numerador y el denominador. 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

12. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Operaciones.
푦= 풙 (풙ퟐ−ퟏ)ퟑ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ(풙ퟐ−ퟏ)ퟏ−ퟔ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ풙ퟐ−ퟏ−ퟔ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ−ퟏ−ퟓ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ
Se puede simplificar el numerador y el denominador. 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

13. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Operaciones.
푦= 풙 (풙ퟐ−ퟏ)ퟑ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ(풙ퟐ−ퟏ)ퟏ−ퟔ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅풚 풅풙 = (풙ퟐ−ퟏ)ퟐ−ퟏ−ퟓ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏퟔ 풅풚 풅풙 = −ퟏ−ퟓ풙ퟐ 풙ퟐ−ퟏ ퟒ
Este último es el resultado. 풅 풅풙 풖 풗 = 풗 풅풖 풅풙 −풖 풅풗 풅풙 풗ퟐ

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