Pythagorean Theorem as can be read in Euclids Elements and its applications

1. El Teorema de Pitágoras
G. Edgar Mata Ortiz

2. Pitágoras de Samos
Aproximadamente 570 a. C. – 500 a. C.
Filósofo y matemático griego que
destacó, especialmente, por el
desarrollo de la geometría.
La gran mayoría de las personas
ha escuchado acerca del Teorema
de Pitágoras, sin embargo, se
dispone de poca información
confiable acerca de su vida y, la
mayoría de ella, escrita muchos
años después de su muerte.
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Pitágoras de Samos
Imagen tomada de:
https://theempireoffilms.wordpress.com/2012/0
8/15/pythagoras/

3. El origen del Teorema de Pitágoras
3 of
Contiene ternas de números
que cumplen el Teorema de
Pitágoras, por lo que se les
considera evidencia de que los
Babilonios conocían, hasta
cierto punto, dicho Teorema.
Tablilla Plimpton 322: 1800 a. C.
Es el documento más completo
de la matemática China y
contiene una de los registros más
antiguos del teorema de
Pitágoras en este país
9 Capítulos de Arte Matemático
Entre 100 a. C. y 100 d. C Se tiene conocimiento que Los
Vedas, en la India, empleaban el
teorema de Pitágoras 800 años a.
C. para la construcción de sus
altares.
Página del texto “Lilavati” 1100 d. C.
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4. El libro científico más editado de todos los
tiempos: “Los Elementos” de Euclides,
contiene, en el libro 1, proposición 47, la
demostración de este famoso Teorema:
“En cualquier triángulo rectángulo, el
cuadrado construido sobre el lado opuesto
al ángulo recto, es igual a la suma de los
cuadrados construidos sobre los lados del
ángulo recto.”
4 of
Demostración del Teorema de Pitágoras en el libro de Los Elementos de
Euclides tal como aparece en la copia que se encuentra en el Vaticano.
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El Teorema de Pitágoras

5. El libro científico más editado de todos los
tiempos: “Los Elementos” de Euclides,
contiene, en el libro 1, proposición 48, el
Teorema “inverso” al de Pitágoras:
“Si el cuadrado construido en un lado de
un triángulo, es igual a la suma de los
cuadrados construidos en los otros dos
lados, entonces, el ángulo formado por
esos dos lados, es un ángulo recto .”
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El Teorema de Pitágoras
Demostración del Teorema de Pitágoras en el libro de Los Elementos de
Euclides tal como aparece en la copia que se encuentra en el Vaticano.

6. 6 of 38
Significado del Teorema de Pitágoras

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Ternas Pitagóricas
Cuando tres números enteros son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, se
les llama: Ternas Pitagóricas.

8. 8 of
1. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 3, 4 y 5
cm respectivamente, vamos a verificar si cumplen
con la expresión matemática del teorema:
32
+ 42
= 52
9 + 16 = 25
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Ejemplos de Ternas Pitagóricas

9. 9 of
1. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 3, 4 y 5 cm
respectivamente, vamos a verificar si cumplen con la
expresión matemática del teorema:
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Ejemplos de Ternas Pitagóricas
Estos tres números: 3, 4 y 5
forman una Terna Pitagórica.
32
+ 42
= 52
9 + 16 = 25 Sí cumplen,
por lo tanto:

10. 10 of
2. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 5, 12 y
13 cm respectivamente, vamos a verificar si
cumplen con la expresión matemática del teorema:
52
+ 122
= 132
25 + 144 = 169
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Ejemplos de Ternas Pitagóricas

11. 11 of
2. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 5, 12 y
13 cm respectivamente, vamos a verificar si
cumplen con la expresión matemática del teorema:
52
+ 122
= 132
25 + 144 = 169
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Ejemplos de Ternas Pitagóricas
Estos tres números: 5, 12 y 13
forman una Terna Pitagórica.
Sí cumplen,
por lo tanto:

12. 12 of
Hemos mostrado dos ejemplos de Ternas Pitagóricas (TP):
3, 4, 5 y 5,12, 13
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Ejemplos de Ternas Pitagóricas
Verifica que estos números son Ternas Pitagóricas.
Los múltiplos de una TP constituyen también una TP:
6, 8, 10 y 10,24, 169

13. 13 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo, sus lados reciben los nombres
señalados en la figura.
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Información del Teorema de Pitágoras

14. 14 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las
medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.
Ejemplo 138
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

15. 15 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las
medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.
Ejemplo 138
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

16. 16 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las
medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.
Ejemplo 138
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

17. 17 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las
medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.
Ejemplo 138
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

18. 18 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las
medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.
Ejemplo 238
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

19. 19 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las
medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.
Ejemplo 238
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

20. 20 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las
medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.
Ejemplo 238
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

21. 21 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las
medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa.
Ejemplo 238
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

22. 22 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa,
tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor.
Ejemplo 338
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

23. 23 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa,
tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor.
Ejemplo 338
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

24. 24 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa,
tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor.
Ejemplo 338
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

25. 25 of
La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa,
tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor.
Ejemplo 338
Ejemplos del Teorema de Pitágoras

26. 26 of
Los Elementos38
El Teorema de Pitágoras
El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el
Teorema de Pitágoras:
Proposición 47:
“En cualquier triángulo
rectángulo, el cuadrado
construido sobre el lado
opuesto al ángulo recto, es igual
a la suma de los cuadrados
construidos sobre los lados del
ángulo recto.”
Proposición 48:
“Si el cuadrado construido en un
lado de un triángulo, es igual a
la suma de los cuadrados
construidos en los otros dos
lados, entonces, el ángulo
formado por esos dos lados, es
un ángulo recto .”

27. 27 of
Los Elementos38
El Teorema de Pitágoras
El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el
Teorema de Pitágoras:
La proposición 47:
“En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre el lado opuesto al
ángulo recto, es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados del ángulo
recto.”
Es la que se emplea para determinar la medida de uno de los lados del triángulo
cuando se conocen los otros dos, como en los ejemplos 1, 2 y 3, resueltos hasta ahora.

28. 28 of
Los Elementos38
El Teorema de Pitágoras
El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el
Teorema de Pitágoras:
La proposición 48:
“Si el cuadrado construido en un lado de un triángulo, es igual a la suma de los
cuadrados construidos en los otros dos lados, entonces, el ángulo formado por esos
dos lados, es un ángulo recto .”
Es la que se emplea para determinar si, dados tres números, estos pueden ser
las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.
Como en los siguientes ejemplos; 4 y 5.

29. 29 of
La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas.
Determina si forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo 438
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
Para que sea un triángulo rectángulo, debe cumplir
con la fórmula del Teorema de Pitágoras:
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Sustituyendo debe obtenerse una
afirmación verdadera:
𝟕𝟒𝟒 𝟐
= 𝟐𝟏𝟔 𝟐
+ 𝟕𝟏𝟑 𝟐

30. 30 of
La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas.
Determina si forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo 438
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
Efectuando operaciones:
𝟕𝟒𝟒 𝟐
= 𝟐𝟏𝟔 𝟐
+ 𝟕𝟏𝟑 𝟐
𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟒𝟔𝟔𝟓𝟔 + 𝟓𝟎𝟖𝟑𝟔𝟗
𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟎𝟐𝟓

31. 31 of
La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas.
Determina si forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo 438
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
𝟕𝟒𝟒 𝟐
= 𝟐𝟏𝟔 𝟐
+ 𝟕𝟏𝟑 𝟐
𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟒𝟔𝟔𝟓𝟔 + 𝟓𝟎𝟖𝟑𝟔𝟗
𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟎𝟐𝟓
NONO

32. 32 of
La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas.
Determina si forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo 438
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟎𝟐𝟓 NONO
No cumple con la fórmula del
Teorema de Pitágoras, por lo
tanto, no es un triángulo
rectángulo.

33. 33 of
La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas.
Determina si forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo 538
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
Para que sea un triángulo rectángulo, debe cumplir
con la fórmula del Teorema de Pitágoras:
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Sustituyendo debe obtenerse una
afirmación verdadera:
𝟖𝟐𝟏 𝟐
= 𝟒𝟐𝟗 𝟐
+ 𝟕𝟎𝟎 𝟐

34. 34 of
La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas.
Determina si forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo 538
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
Efectuando operaciones:
𝟖𝟐𝟏 𝟐
= 𝟒𝟐𝟗 𝟐
+ 𝟕𝟎𝟎 𝟐
𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟏𝟖𝟒𝟎𝟒𝟏 + 𝟒𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏

35. 35 of
La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas.
Determina si forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo 538
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
𝟖𝟐𝟏 𝟐
= 𝟒𝟐𝟗 𝟐
+ 𝟕𝟎𝟎 𝟐
𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟏𝟖𝟒𝟎𝟒𝟏 + 𝟒𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏
SISI

36. 36 of
La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas.
Determina si forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo 538
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏
SISI
Sí cumple con la fórmula del
Teorema de Pitágoras, por lo
tanto, sí es un triángulo
rectángulo.

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Bibliografía

38. GRACIAS
POR SU ATENCIÓN
Fuentes de información en línea:
http://licmata-math.blogspot.mx/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
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https://www.linkedin.com/in/licmata
http://www.slideshare.net/licmata
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