1. Cours de syst`mes asservis.
e
´
´
REPRESENTATION D’ETAT
J.P. CHEMLA
Abstract
Ce chapitre pr´sente un autre aspect des asservissements. Ici, la
e
description du syst`me a asservir est bas´e sur un syst`me d’´quations
e
`
e
e
e
diff´rentielles lin´aires du premier ordre. L’int´rˆt de ce type de reprsene
e
e e
tations vient, d’une part, que tout syst`me lin´aire d’ordre quelconque
e
e
peut se ramener a un tel syst`me d’´quations diff´rentielles et, d’autre
`
e
e
e
part, que l’on sait r´soudre directement ces syst`mes (sans passer par
e
e
la transform´e de Laplace). De plus, les r´sultats pr´sent´s ici sont
e
e
e
e
directement appliquables aux syst`mes multivariables.
e
1
INTRODUCTION
1.1
Exemple
On consid`re le syst`me pr´sent´ en figure 1 : Les variables d’entr´es (cad
e
e
e
e
e
de commande) sont e1 et e2. La sortie est la tension S aux bornes de L 1 .
Soit U le vecteur contenant ces deux variables.
e1
e2
U=
.
Les ´quations de ce syst`me sont :
e
e
e1 = R1 .i1 + L1 .
e2 = L 2 .
di2
+V
dt
1
di1
+V
dt
2. S
i1
L1
R1
e1
L2
i2
C
V
e2
Figure 1: Circuit ´lectrique
e
dV
dt
1
.(i1 + i2 )
C
di1
S = L1 .
dt
=
A un instant donn´ t, on peut consid´rer que le syst`me se trouve dans
e
e
e
un certain ”´tat” d´fini par les valeurs prises par i 1 , i2 et V . Soit X le
e
e
vecteur
T
T
.
X = x1 x2 x3
= i1 i2 V
On appelle ce vecteur l’´tat du syst`me. Toutes les ´quations d’´volution
e
e
e
e
de ce syst`me peuvent s’´crire en fonction des entr´es et de x 1 , x2 et x3 et
e
e
e
de leurs d´riv´es :
e e
R
1
1
.x1 −
.x3 +
.e1
L1
L1
L1
1
1
= − .x3 +
.e2
L2
L2
1
1
=
.x1 + .x2
C
C
x1 = −
˙
x2
˙
x3
˙
Ce qui peut s’´crire :
e
−R
L1
˙
X = 0
1
C
0
0
1
C
1
1
− L1
L1
1
− L2 .X + 0
0
0
0
1
L2
0
.U
Autrement dit, en appelant A la premi`re matrice et B la deuxi`me :
e
e
˙
X = A.X + B.U
2
3. D
U
B
X
+
X
1
p
+
C
+
Y
+
A
Figure 2: sh´ma bloc g´n´ral
e
e e
On peut exprimer la sortie Y par une ´quation du type :
e
Y = C.X + D.U
o` Y est le vecteur des sorties (ici de dimension 1 car on a une seule sortie).
u
Ici, Y = [S] avec S = e1 − R.i1 − V . D’o` :
u
S=
1.2
−R 0 −1
.X +
1 0
.U
G´n´ralisation
e e
Un syst`me lin´aire continu est d´crit par des ´quations d’´tat de type :
e
e
e
e
e
˙
X = A.X + B.U
Y = C.X + D.U
o` :
u
U est le vecteur des commandes ou des entr´es.
e
X est le vecteur d’´tat.
e
Y est le vecteur des sorties.
A est la matrice d’´volution du syst`me.
e
e
B est la matrice d’application de la commande.
C est la matrice d’observation.
D est la matrice de transmission directe.
Dim(U ) = m,
Dim(X) = n,
Dim(Y ) = p,
Dim(A) = (n × n),
Dim(B) = (n × m),
Dim(C) = (p × n),
Dim(D) = (p × m),
Ces ´quations peuvent se repr´senter par le sh´ma bloc g´n´ral de la
e
e
e
e e
figure 2, 1/p ´tant l’op´rateur d’int´gration dans le domaine de Laplace.
e
e
e
En g´n´ral, D est nulle. L’´tat est la sortie des int´grateurs. A, B, C et
e e
e
e
D sont des matrices constantes
3
4. Definition 1.1 L’´tat d’un syst`me est l’ensemble minimum de variables
e
e
qui contient l’information suffisante sur l’histoire du syst`me pour permee
ttre de calculer tous les ´tats futurs. On suppose connu le mod`le et les
e
e
entr´es. Pour un syst`me m´canique, l’´tat peut ˆtre l’ensemble des posie
e
e
e
e
tions et vitesses relatives a chaque degr´ de libert´ (ou toute combinaison
`
e
e
´quivalente). Pour un r´seau ´lectrique, l’´tat peut ˆtre d´fini par le courant
e
e
e
e
e
e
dans chaque inductance et la tension aux bornes de chaque capacit´ (ou toute
e
combinaison ´quivalente).
e
2
DIVERSES REPRESENTATIONS D’ETAT
Pour un syst`me donn´, il existe plusieurs repr´sentations d’´tat possibles.
e
e
e
e
Nous verrons au paragraphe 2.1 que l’on peut passer d’une repr´sentation a
e
`
une autre par l’´quivalent d’un changement de base. Nous verrons ensuite
e
plusieurs formes de repr´sentation particuli`res.
e
e
2.1
Multiplicit´ de la repr´sentation
e
e
Si x est l’´tat d’un syst`me, toute bijection X < − > ζ d´finit des ´quations
e
e
e
e
d’´tat ´quivalentes.
e
e
Soit T une matrice inversible, et soit ζ(t) = T.X(t). On a :
˙
ζ = T.A.T −1 .ζ + [T.B] .U
y = C.T −1 .ζ + [D] .U
ce qui d´finit bien une nouvelle repr´sentation d’´tat.
e
e
e
2.2
Repr´sentation par des variables physiques
e
L’´tat du syst`me peut ˆtre compos´ de variables physiques. Prenons l’exemple
e
e
e
e
du syst`me ´lectro-m´canique de la figure 3
e
e
e
La variable d’entr´e est u, la variable de sortie est θ. Les ´quations du
e
e
syst`me sont :
e
dθ
di
+ k.
dt
dt
2θ
d
dθ
k.i = J. 2 + φ.
dt
dt
K.u = R.i + L.
4
5. K
i
φ
J
k
θ
¡
V
u
L
R
¡
£
£
¢
¢
Figure 3: Un moteur et son alimentation
En suivant ce qui est dit dans la d´finition de l’´tat au chapitre pr´c´dent,
e
e
e e
nous choisissons, pour repr´senter l’´tat du syst`me, les variables :
e
e
e
• position : x1 = θ
• vitesse : x2 =
dθ
dt
• courant : x3 = i.
Ce qui donne les ´quations d’´tat suivantes :
e
e
x1 = x2
˙
k
φ
x2 = − .x2 + .x3
˙
J
J
k
R
K
x3 = − .x2 − .x3 + .u
˙
L
L
L
y = θ
Ces ´quations peuvent se mettre sous la forme :
e
0 1
φ
˙
X = 0 −J
k
0 −L
Y
2.3
=
1 0 0
0
k
J
−R
L
.X
0
.X + 0 .U
K
L
Variables de phase
1er cas : les d´riv´es de l’entr´e n’interviennent pas
e
e
e
On consid`re le syst`me d´crit par
e
e
e
dn−1 y
dn y
+ an . n−1 + · · · + a1 .y = K.e(t)
dtn
dt
5
6. o` y est la sortie et e l’entr´e. On choisit de repr´senter l’´tat du syt`me
u
e
e
e
e
par des variables de phase :
X =
y
dy
dt
.
.
.
dn−1 y
dtn−1
=
x1
x2
.
.
.
xn
Les ´quations d’´tat s’´crivent alors :
e
e
e
x1 = x2
˙
x2 = x3
˙
··· = ···
xn−1 = xn
˙
xn = −a1 .x1 − a2 .x2 − · · · − an .xn + K.e
˙
y = x1
Ce qui donne, sous forme matricielle :
˙
X =
et
Y =
0
1
···
0
0
1
···
··· ···
0
0
0
−a1 −a2 −a3
1 0 ··· 0
···
0
···
0
··· ···
···
1
· · · −an
0
0
.
.
.
.X +
0
K
.U
.X.
Les matrices A, B et C ont des structures remarquables. La matrice A
est appel´e matrice compagne (ou bloc compagnon). Le calcul de la fonction
e
de transfert donne :
K
Y (p)
= n
n−1 + · · · + a .p + a
E(p)
p + an .p
2
1
2eme cas : les d´riv´es de l’entr´e interviennent
e
e
e
Le syst`me est alors d´crit par (m < n) :
e
e
dn y
dn−1 y
de
dm e
+ an . n−1 + · · · + a1 .y = K e + b1 . + · · · + bm . m
dtn
dt
dt
dt
6
7. La fonction de transfert de ce syst`me est :
e
Y (p)
K. (1 + b1 p + · · · + bm pm )
= n
E(p)
p + an .pn−1 + · · · + a2 .p + a1
Pour se ramener a des probl`mes connus, on consid`re une variable interne
`
e
e
X(p) telle que :
Y (p) X(p)
Y (p)
=
.
E(p)
X(p) E(p)
avec
X(p)
E(p)
Y (p)
X(p)
=
pn
+ an
.pn−1
K
+ · · · + a2 .p + a1
= 1 + b 1 p + · · · + b m pm
(1)
(2)
L’´quation (1) nous ram`ne au probl`me pr´c´dent. L’´quation (2) est
e
e
e
e e
e
´quivalente a :
e
`
Y (t) = X(t) + b1 .
dm X
dX
+ · · · + bm . m
dt
dt
Par rapport au premier, ce deuxi`me cas diff`re par l’ ´quation suivante :
e
e
e
Y =
2.4
1 b 1 b2 · · · b m 0 · · · 0
.X
Variables canoniques
On utilise ce type de repr´sentation lorsque le syst`me a une entr´e e(t)
e
e
e
et une sortie y(t) et qu’il peut ˆtre d´crit par une fonction de transfert
e
e
rationnelle strictement propre et a pˆles distincts.
` o
(b0 + b1 p + · · · + bm pm )
Y (p)
= K.
E(p)
(p − λ1 ).(p − λ2 ) · · · (p − λn )
avec comme hypoth`se : ∀i = j, on a λi = λj .
e
On peut alors d´composer en ´l´ments simples la fonction rationnelle
e
ee
pr´c´dente :
e e
c2
cn
Y (p)
c1
+
+ ··· +
(3)
=
E(p)
p − λ1 p − λ2
p − λn
o` les ci sont les coefficients de la d´composition.
u
e
On pose :
1
Xi
=
p − λi
E
7
(4)
8. 1
p - λ1
e
x1
c
1
+
1
p - λ2
x2
c
2
+
y
+
xn
1
p - λn
+
c
n
Figure 4: sh´ma bloc de la forme modale
e
Si Xi = T L(xi ) et E = T L(e), l’´quation (4) peut s’´crire :
e
e
xi = λi .xi + e
˙
L’´quation (3) devient :
e
n
y=
ci .xi
i=1
Ceci nous ram`ne a une repr´sentation d’´tat de la forme :
e `
e
e
λ1
0
˙
X = .
.
.
0
Y =
0
··· 0
.
.
λ2 . . .
.
.
.. ..
.
. .
.
· · · · · · λn
.X +
c1 c2 · · · c n
1
.
.
.
.
.
.
1
.U
.X
On dit que ces repr´sentations ont une forme modale. Le sh´ma bloc
e
e
´quivalent est en figure 4
e
3
´
`
REPONSE D’UN SYTEME
Dans ce chapitre, nous cherchons a connaˆ la ou les sorties y i (t) (vecteur
`
ıtre
Y ), connaissant les entr´es ei (t) (vecteur U ) et l’´tat du syst`me a l’instant
e
e
e
`
8
9. initial (X(0)). Il est clair que nous aurons ´galement a calculer X(t). Les
e
`
deux premi`res parties de ce chapitre permettent de poser le probl`me de la
e
e
r´solution des ´quations diff´rentielles. La troisi`me partie montre quelques
e
e
e
e
propri´t´s de la matrice de transition, ce qui nous permettra, dans la quaee
tri`me partie d’aborder le calcul proprement dit.
e
3.1
Cas scalaire
Soit un syst`me d´crit par :
e
e
x = a.x + b.u
˙
y = c.x
o` , a, b, c, x et y sont des scalaires. Dans un premier temps, on consid`re ce
u
e
syst`me autonome (u(t) = 0). L’´quation d’´volution de x devient : x = a.x.
e
e
e
˙
La transform´e de Laplace de cette ´quation donne :
e
e
p.X(p) − x(0) = a.X(p)
x(0)
(p − a)
X(p) =
En prenant la transform´e inverse :
e
x(t) = eat .x(0)
Dans le cas, plus g´n´ral, du r´gime forc´ (u = 0), l’´quation d’´volution de
e e
e
e
e
e
x est : x = a.x + b.u. La transform´e de Laplace de cette ´quation donne :
˙
e
e
p.X(p) − x(0) = a.X(p) + b.U (p)
X(p) =
1
x(0)
+
.b.U (p)
(p − a) (p − a)
En prenant la transform´e inverse :
e
t
x(t) = eat .x(0) +
ea(t−τ ) .b.u(τ ).dτ
0
Le premier membre de cette ´quation correspond au r´gime libre, le deuxi`me,
e
e
e
au r´gime forc´.
e
e
9
10. 3.2
Cas g´n´ral
e e
Notre syst`me est d´crit par les ´quations :
e
e
e
˙
X
= A.X + B.U
Y
= C.X
Dans un premier temps, on consid`re le syst`me autonome (U = 0). L’´quation
e
e
e
˙ = A.X. La transform´e de Laplace de
d’´volution de l’´tat X devient : X
e
e
e
cette ´quation donne :
e
p.X(p) − X(0) = A.X(p)
remarque : Ici X(p) repr´sente le vecteur des TL. des x i .
e
X(p) = (pI − A)−1 .X(0)
Par d´finition, on appelle la matrice
e
eAt = T L−1 (pI − A)−1
la matrice de transition du syst`me. La notation e At rappelle le cas scalaire (eat ).
e
La transform´e de Laplace inverse de l’´quation pr´c´dente est :
e
e
e e
X(t) = eAt .X(0)
Dans le cas du r´gime forc´, l’´quation d’´volution de X est :
e
e e
e
˙
X = A.X + B.U
. La transform´e de Laplace de cette ´quation donne :
e
e
p.X(p) − X(0) = A.X(p) + B.U (p)
X(p) = (pI − A)−1 .X(0) + (pI − A)−1 .B.U (p)
En prenant la transform´e inverse :
e
t
X(t) = eAt .X(0) +
eA(t−τ ) .B.U (τ ).dτ
0
Le premier membre de cette ´qution correspond au r´gime libre, le deuxi`me,
e
e
e
au r´gime forc´.
e
e
Cette ´quation montre que si l’on sait calculer e At , on aura X(t) donc
e
Y (t). Avant de passer au calcul proprement dit de e At , on va en voir quelques
unes de ses propri´t´s.
ee
10
11. 3.3
Propri´t´s de la matrice de transition
e e
La matrice de transition φ(t) = eAt est solution du syst`me autonome :
e
˙
X = A.X
(5)
On peut d´finir, comme dans la partie pr´c´dente, que : φ(t) = T L −1 (pI − A)−1 .
e
e e
Cependant, une seconde d´finition, qui nous aidera a calculer φ(t), est pose
`
sible. Pour cela, on recherche une solution de l’´quation (5) sous la forme
e
suivante :
X(t) = A0 + A1 .t + A2 .t2 + · · · + An .tn + · · ·
o` les A0 , A1 , · · · sont inconnus. L’´quation (5) devient :
u
e
˙
X = A1 +2.A2 .t+3.A3 .t2 +· · ·+n.An .tn−1 +· · · = A. A0 + A1 .t + A2 .t2 + · · · + An .tn + · · ·
Ce qui implique, en notant que A0 = X(0), que :
φ(t) = I + A.t +
An n
A2 2
.t + · · · +
.t + · · ·
2!
n!
Voici quelques propri´t´s ´l´mentaires de cette matrice :
e e ee
• eAt
•
•
deAt
dt
t=0
=I
= A.eAt
t Aτ
0 e dτ
= A−1 . eAt − I
• eAt1 .eAt2 = eA(t1 +t2 )
•
eAt
•
eAt
−1
n
= e−At
= enAt
Toutes ces propri´t´s justifient la notation e At .
ee
3.4
Quelques m´thodes de calcul
e
Il nous reste, pour connaˆ Y (t) donc X(t), le calcul de e At . Nous voyons
ıtre
ici deux m´thodes pour ce calcul.
e
11
12. 3.4.1
Par transformation de Laplace inverse
On peut utiliser la premi`re d´finition de la matrice de transition :
e
e
φ(t) = T L−1 (pI − A)−1
Exemple 3.1.
Soit :
˙
X=
−5 −1
6
0
.X
On va chercher a calculer φ(t).
`
(pI − A)
(pI − A)−1 =
−1
−1
p+5 1
−6 p
=
1
.
(p + 3)(p + 2)
p −1
6 p+5
En formant la transform´e inverse, on trouve :
e
φ(t) =
3.4.2
−2e−2t + 3e−3t −e−2t + e−3t
6e−2t − 6e−3t 3e−2t − 2e−3t
Par l’utilisation du th´or`me de Caley-Hamilton
e e
RAPPELS
On consid`re une matrice A carr´e et λ une valeur propre de A. λ est
e
e
solution de l’´quation caract´ristique :
e
e
P (λ) = det[λ.I − A] = 0
Th´or`me 3.1 A v´rifie son ´quation caract´ristique : P (A) = 0.
e e
e
e
e
Exemple 3.2.
Soit :
A=
2 1
−1 3
On forme l’´quation caract´ristique det[λ.I − A] = 0 c’est a dire :
e
e
`
λ − 2 −1
1
λ−3
12
=0
13. λ2 − 5λ + 7 = 0
Le th´or`me de C.H. permet d’´crire :
e e
e
A2 = 5A − 7I
Ceci se g´n´ralise en : ∀k > 2, Ak = f (A).
e e
Et comme
φ(t) = I + A.t +
An n
A2 2
.t + · · · +
.t + · · ·
2!
n!
avec le th´or`me de C.H., on peut r´´crire φ(t) ainsi :
e e
ee
φ(t) = α0 (t).I + α1 (t).A + α2 (t).A2 + · · · + αn−1 (t).An−1 .
(6)
o` n est la dimension de la matrice carr´e A.
u
e
Proposition 3.1 Si A a n valeurs propres non nulles distinctes : λ 1 , λ2 , · · · , λn ,
les coefficients α0 (t), α1 (t), · · · , αn−1 (t) de l’´quation (6) sont solution du
e
syst`me form´ par les ´quations :
e
e
e
n−1
eλi t = α0 (t) + α1 (t).λi + α2 (t).λ2 + · · · + αn−1 (t).λi
i
Exemple 3.3.
∀i ∈ {1, · · · , n}
On reprend l’exemple 3.1.
A=
−5 −1
6
0
Les valeurs propres de cette matrice sont : λ 1 = −2 et λ2 = −3. D’apr`s la
e
proposition pr´c´dente, on sait que :
e e
φ(t) = α0 (t).I + α1 (t).A
o` α0 (t) et α1 (t) sont solution de :
u
e−2t = α0 (t) + α1 (t).(−2)
e−3t = α0 (t) + α1 (t).(−3)
Ce qui donne :
α0 (t) = 3e−2t − 2e−3t
α1 (t) = e−2t − e−3t
Le calcul de φ(t) donne le mˆme r´sultat que dans l’exemple 3.1.
e
e
13
14. Remarque. Si A est diagonalisable, on peut trouver une matrice T inversible telle que :
T −1 .A.T = ∆ = diag(λi ).
Or e∆t est facile a calculer. Il ne reste plus alors qu’` former :
`
a
eAt = T.e∆t .T −1 .
Remarque a propos de la stabilit´ :
`
e
˙
Definition 3.1 Un syst`me lin´aire X = A.X + B.U est stable si et seulee
e
At = 0.
ment si limt−>inf e
Une condition n´cessaire et suffisante pour qu’un syst`me soit stable
e
e
est : Toutes les valeurs propres de A (qui sont les racines du polynˆme
o
caract´ristique a(p) = det[pi − A]) sont a partie r´elle strictement n´gative.
e
`
e
e
4
´
´
RELATION ENTRE EQUATION D’ETAT ET
MATRICE DE TRANSFERT
Soit un syst`me d´crit par les ´quations d’´tat :
e
e
e
e
˙
X = A.X + B.U
Y = C.X + D.U
(7)
On veut calculer la matrice de transfert (une matrice contenant les fonctions de transfert entre les variables d’entr´es et celles de sortie), qui est,
e
par d´finition :
e
Y (p)
M (p) =
U (p)
On suppose que X(0) = 0. On prend la TL des ´quations d’´tats (7) :
e
e
(pI − A).X(p) = B.U (p)
Y (p) = C.X(p) + D.U (p)
d’o` :
u
M (p) = C.(pI − A)−1 .B + D
14
15. Exemple 4.1.
Soit le syst`me d´crit par :
e
e
˙
X=
−2 1
0 −3
Y =
1 0
1
2
.X +
.U
.X
Dans ce cas, l’entr´e et la sortie du syst`me sont des scalaires. Le calcul de
e
e
la matrice de transfert va en fait donner la fonction de transfert :
M (p) = Y (p)/U (p)
pI − A =
(pI − A)−1 =
p + 2 −1
0
p+3
1
.
(p + 2)(p + 3)
D’o` :
u
M (p) =
p+3
1
0
p+2
p+5
(p + 2)(p + 3)
Remarque. La matrice de transfert est invariante pour tout changement
de la description d’´tat (en particulier, dans le cas d’un changement de base).
e
5
NOTION SUR LA COMMANDE PAR RETOUR
´
D’ETAT
5.1
Notions g´n´rales
e e
On consid`re un syst`me d´crit par :
e
e
e
˙
X = A.X + B.U
Y = C.X
On peut appliquer une commande par retour d’´tat :
e
U
Commande
=
R
Consigne
15
−
G
Correcteur
.X
16. G
R
-
U
X
B
+
+
X
1
p
Y
C
+
A
procédé
Figure 5: sh´ma bloc d’une commande par retour d’´tat
e
e
En boucle ferm´e, l’entr´e est remplac´e par une commande calcul´e en
e
e
e
e
fonction de la consigne et de l’´tat courant (voir figure 5). on obtient :
e
˙
X = (A − B.G).X + B.R
Y = C.X
On note AF = A − B.G la matrice d’´volution du syst`me en boucle ferm´e.
e
e
e
Si le syst`me est de dimention n, alors
e
G=
.
g1 g2 · · · g n
Avec la matrice G, on peut r´gler les valeurs propres de A F . Le sch´ma-bloc
e
e
repr´sentant le principe de cette commande est en figure 5.
e
5.2
Notion sur la commande par placement de pˆles
o
Soit le syst`me d´crit en B.O. par variables de phase (autrement appel´e
e
e
e
forme commandable) suivante :
˙ =
X
0
1
0
0
0
1
··· ··· ···
0
0
0
−a1 −a2 −a3
···
0
···
0
··· ···
···
1
· · · −an
et
Y = b1 b2 · · · bn .X
La fonction de transfert en B.O. est :
T (p) =
.X +
0
b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bn pn−1
a1 + a2 .p + · · · + an .pn−1 + pn
16
0
0
.
.
.
1
.U
17. En boucle ferm´e, le calcul de la matrice d’´volution du syst`me donne :
e
e
e
AF
=
0
1
0
0
0
1
···
..
.
..
.
0
···
···
···
···
0
0
0
···
1
−a1 − g1 −a2 − g2 −a3 − g3 · · · −an − gn
La fonction de tranfert en B.F. est :
H(p) =
0
b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bn pn−1
(a1 + g1 ) + (a2 + g2 ).p + · · · + (an + gn ).pn−1 + pn
Cette m´thode de commande permet de modifier toutes les valeurs proe
pres en B.F., par contre, le num´rateur reste inchang´. On ne peut donc
e
e
pas modifier les z´ros du proc´d´.
e
e e
M´thode de placement des pˆles : On commence par former l’´quation
e
o
e
caract´ristique en B.F., puis on l’´gale au d´nominateur voulu :
e
e
e
n
(a1 + g1 ) + (a2 + g2 ).p + · · · + (an + gn ).pn−1 + pn =
(p − λi )
i=1
On se donne les λi (pˆles souhait´s), les ai sont donn´s par le syst`me, il
o
e
e
e
faut calculer les gi .
Exemple 5.1.
B.O. est :
On consid`re le syst`me dont la fonction de transfert en
e
e
T (p) =
1
p3 + 4p2 + 3p + 2
1. Donner la repr´sentation d’´tat par variables de phase
e
e
2. D´terminer la matrice de retour d’´tat pour obtenir les valeurs propres
e
e
suivantes : λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3.
´
REPONSES
1.
0
1
0
0
˙ = 0
X
0
1 .X + 0 .U
−2 −3 −4
1
Y =
1 0 0
.X
17
18. 2.
3
(p − λi ) = p3 + 6p2 + 11p + 6
i=1
En identifiant, on trouve : g1 = 4, g2 = 8, g3 = 2.
FIN
A
Ce document a ´t´ r´alis´ avec LTEXsur Macintosh.
e e e e
18