Este documento describe los métodos de interpolación polinómica de Lagrange y Newton. La interpolación polinómica consiste en encontrar un polinomio que pasa a través de puntos conocidos de una función para aproximar valores desconocidos. Los polinomios de Lagrange y Newton generan la misma aproximación polinómica pero de diferentes formas, siendo el método de Newton más estable numéricamente. La interpolación polinómica se usa comúnmente para estimar valores de funciones tabuladas.

1. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
El problema de la interpolación consiste en estimar el valor de una función en un punto
a partir de valores conocidos en puntos cercanos.
La interpolación Polinómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado,
los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número
finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se
dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas.
El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita
hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión
deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula
del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del mismo.
Plantearemos tres formulaciones diferentes para este problema que nos llevan al mismo
polinomio interpolador:
1) Planteando directamente las condiciones anteriores se obtiene un sistema de
ecuaciones lineales con solución única, pero generalmente mal condicionado o de difícil
solución si el número de puntos es elevado.
2) Los polinomios de Lagrange permiten obtener una expresión explícita del polinomio
de interpolación cuyo interés es más bien teórico, pues es difícil de evaluar en puntos
concretos.
3) Numéricamente es mucho más útil la forma de Newton del polinomio de
interpolación. Aunque no tiene expresión explícita, su obtención es más estable que por
los métodos anteriores, su evaluación no presenta los inconvenientes de los polinomios de
Lagrange, y sobre todo, se puede actualizar fácilmente si se añaden nuevos nodos de
interpolación.
Se dispone de dos métodos generales de interpolación polinómica que permiten
aproximar una función por un polinomio de grado m.
Uno de los métodos es la interpolación de Lagrange, siendo el otro la interpolación de
Hermite.
Forma de Lagrange del polinomio de interpolación

2. Definición
Dado un conjunto de k + 1 puntos
donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de
Lagrange es la combinación lineal
de bases polinómicas de Lagrange
Uso
Ejemplo
Se desea interpolar f(x) = tan(x) en los puntos
x0 = − 1.5 f(x0) = − 14.1014
x1 = − 0.75 f(x1) = − 0.931596
x2 = 0 f(x2) = 0
x3 = 0.75 f(x3) = 0.931596
x4 = 1.5 f(x4) = 14.1014
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es
decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base
polinómica.
La base polinómica es:

3. Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre
los y los valores de las abscisas:
INTERPOLACION DE NEWTON
Se propone el siguiente polinomio:
Puede observarse que cuando toma el valor de , los términos que siguen al -
ésimo se anulan. Para calcular los coeficientes se utilizan diferencias divididas, que
se definen como:

4. y así sucesivamente (es recursivo).
Entonces, el polinomio de Newton es:
El error es el mismo cometido por el polinomio de Lagrange. Esto se debe a que resultan
ser el mismo polinomio, dado que existe un único polinomio de grado menor o igual a
que pasa por puntos.
Conclusiones
El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función
tabulada, en las abscisas que no aparecen en la tabla.
El aumento de grado no siempre mejora la aproximación.
El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.