DErivada de una transformada

1. Tema 8
Transformada de Laplace
8.1 Introducci´on. Transformadas Integrales
Puede decirse que los m´etodos cl´asicos para la resoluci´on de problemas de valores en la
frontera en la F´ısica Matem´atica se derivan del trabajo precursor de Fourier. Una nueva
t´ecnica, la de las transformadas integrales, cuyo origen se encuentra en los trabajos de
Heaviside (electrot´ecnico ingl´es de fines del siglo pasado), ha sido desarrollada durante
los ´ultimos a˜nos, y tiene ciertas ventajas sobre el m´etodo cl´asico.
Heaviside (aproximadamente 1.890) se interes´o originalmente en la resoluci´on de E.D.O.
con coeficientes constantes que aparecen en la teor´ıa de circuitos el´ectricos. M´as tarde, ´el
mismo extendi´o su m´etodo a las E.D.P. que aparecen en electromagnetismo y conducci´on
de calor. Fue tal el poder de su m´etodo, que resolvi´o muchos problemas hasta entonces
irresolubles y obtuvo soluciones a problemas ya resueltos en una forma m´as adaptable al
C´alculo Num´erico. Posteriores investigaciones efectuadas por Bronwich, Carson y Van
der Pool, fundamentaron el c´alculo de Heaviside sobre una base m´as s´olida.
En un trabajo reciente, efectuado por Doetsch y otros, sobre la transformaci´on de
Laplace, se unifica la teor´ıa desarrollada por Heaviside, Bronwich y Carson. General-
mente, el empleo de una transformada integral reducir´a una E.D.P. en n variables
independientes a una con n − 1 variables, reduciendo por lo tanto, la dificultad del pro-
blema en estudio. En algunos casos, operaciones sucesivas de este tipo pueden reducir el
problema a la resoluci´on de una E.D.O. cuya teor´ıa ha sido ampliamente desarrollada. De
hecho, operaciones sucesivas pod´ıan reducir el problema a la resoluci´on de una ecuaci´on
algebraica, pero s´olo algunas veces merece la pena hacerlo.
A´un cuando la transformada de Laplace es de empleo m´as com´un y es particular
(conveniente para problemas regidos por E.D.O. y para problemas sobre la conducci´on de
calor), otras transformaciones integrales pueden ser de gran utilidad en la resoluci´on de
problemas de valores en la frontera en la F´ısica Matem´atica. En la resoluci´on de este tipo
de problemas se han empleado con ´exito diferentes transformaciones integrales y no existe
raz´on alguna para que el m´etodo no pueda extenderse mediante el uso de otros n´ucleos.
1

2. 2 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
En este tema no se har´a un estudio te´orico riguroso de la transformada de Laplace,
sino su utilizaci´on pr´actica en la resoluci´on de E.D.O. con condiciones iniciales dadas.
8.1.1 Transformadas Integrales
Definici´on 8.1 Gran n´umero de importantes funciones del An´alisis Matem´atico pueden
expresarse como integrales de la forma
g(y) =
∞
−∞
K(x, y) · f(x) · dx
Una funci´on g definida por una ecuaci´on de este tipo (en la que la variable y puede
ser real o compleja) se llama Transformada Integral de f .
La funci´on K se denomina N´ucleo de la Transformada.
Como se ha indicado anteriormente, las transformadas integrales se utilizan amplia-
mente en las matem´aticas puras y aplicadas y son especialmente ´utiles en la resoluci´on
de ciertos problemas de contorno y de ciertos tipos de ecuaciones integrables. Algunas de
las transformadas m´as convenientemente usadas son:
• Transformada exponencial de Fourier: ∞
−∞ e−ixy
f(x)dx
• Transformada coseno de Fourier: ∞
0 cos(xy)f(x)dx
• Transformada seno de Fourier: ∞
0 sen(xy)f(x)dx
• Transformada de Laplace: ∞
0 e−xy
f(x)dx
• Transformada de Mellin: ∞
0 xy−1
f(x)dx
Como e−ixy
= cos(xy) − i sen(xy) , las transformadas seno y coseno son meros casos
particulares de la transformada exponecial de Fourier en las que la funci´on f se anula
en el eje real negativo.
Asimismo, la transformada de Laplace est´a relacionada con la transformada de Fourier:
si consideramos un valor complejo de y, y = u + iv, u, v ∈ IR podemos escribir
∞
0
e−xy
f(x)dx =
∞
0
e−ixv
· e−xu
f(x)dx =
∞
0
e−ixv
φu(x)dx
donde φu(x) = e−xu
f(x) . Luego la transformada de Laplace puede considerarse como
un caso particular de la transformada exponencial de Fourier.
Nota Una ecuaci´on del tipo g(y) = ∞
−∞ K(x, y) · f(x) · dx puede escribirse en la
forma g = T(f) ´o g = Tf donde T representa el ”operador” que convierte f en g .
Ya que la integraci´on est´a involucrada en esa ecuaci´on, el operador T se designa con el
nombre de Operador Integral.
Es evidente que T es lineal, es decir T(af1 + bf2) = aT(f1) + bT(f2), a, b ∈ IR
De esta forma, el operador definido por la transformada de Fourier se representa por
F y el definido por la transformada de Laplace por L.

3. 8.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3
8.2 Transformada de Laplace
Definici´on 8.2 Sea f(t) una funci´on definida en [0, +∞) . Se define la transformada
de Laplace de f(t) a la funci´on F(s) o L{f(t)} definida por la integral
F(s) =
∞
0
e−st
f(t)dt
para aquellos valores de s ∈ IR ( o lC) para los que est´e definida la integral.
N´otese que la integral que aparece es una integral impropia, que est´a definida por
∞
0
e−st
f(t)dt = lim
A→∞
A
0
e−st
f(t)dt
siempre que el l´ımite exista.
Antes de discutir sobre la existencia o no de la transformada de Laplace, resulta
conveniente definir ciertos t´erminos.
Definici´on 8.3 Se dice que una funci´on f(t) es continua por segmentos o seccional-
mente continua en un intervalo cerrado [a,b] si f(t) es continua en todo punto de [a,b],
excepto en un n´umero finito de puntos en los que f(t) tiene una discontinuidad de salto.
Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0, ∞) si lo es en cada intervalo de la
forma [0,N] con N > 0.
Definici´on 8.4 Se dice que una funci´on f(t) es de orden exponencial α si existen cons-
tantes positivas T y M tales que | f(t) |≤ Meαt
∀t ≥ T.
8.2.1 Condiciones suficientes para la existencia de la transfor-
mada de Laplace
La forma m´as conveniente para probar la convergencia o divergencia de una integral
impropia es por medio del siguiente teorema de comparaci´on, que es an´alogo a un teorema
similar para series infinitas.
Teorema 8.1 (Criterio de comparaci´on para integrales impropias)
Si f es seccionalmente continua para t ≥ a, si | f(t) |≤ g(t) cuando t > M, para
alguna constante M > 0 y si ∞
M g(t)dt converge, entonces ∞
a f(t)dt tambi´en converge.
Por otra parte, si f(t) ≥ g(t) ≥ 0 para t ≥ M y si ∞
M g(t)dt diverge, entonces ∞
a f(t)dt
tambi´en diverge.
De acuerdo con este teorema, la funci´on f deber´a satisfacer ciertas condiciones para
que su transformada de Laplace F exista.

4. 4 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema 8.2 Si f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden exponencial α,
entonces L{f}(s) existe ∀s > α.
Teorema 8.3 Supongamos que f(t) no est´a acotada cuando t → 0. Adem´as: f(t) es
continua por segmentos en cualquier intervalo N1 ≤ t ≤ N con N1 > 0, limt→0 tn
f(t) = 0
para cualquier n con 0 < n < 1 y f(t) es una funci´on de orden exponencial α.
Entonces, existe L{f(t)} ∀s > α.
Nota:
Estas condiciones son suficientes, no necesarias.
8.3 Propiedades de la transformada de Laplace
Siempre que no se diga lo contrario, supondremos en esta secci´on que f es seccionalmente
continua y de orden exponencial.
I. Linealidad
Teorema 8.4 Si c1, c2 ∈ IR y f1(t), f2(t) son funciones cuyas transformadas respectivas
son F1(s), F2(s), entonces
L(c1f1(t) + c2f2(t)) = c1L(f1) + c2L(f2) = c1F1(s) + c2F2(s)
II. Traslaci´on
Teorema 8.5 Si L{f(t)} = F(s), entonces L{eat
f(t)} = F(s − a).
Teorema 8.6 Si L{f(t)} = F(s) y g(t) =
f(t − a) t > a
0 t < a
entonces L{g(t)} =
e−as
F(s).
III. Cambio de Escala
Teorema 8.7 Si L{f(t)} = F(s) =⇒ L{f(at)} =
1
a
F(
s
a
)
IV. Transformada de la derivada
Teorema 8.8 Supongamos que f y f’ son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden
exponencial. Entonces existe L{f (t)} y
L{f (t)} = sL{f(t)} − f(0)

5. 8.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 5
Teorema 8.9 Si en el teorema anterior f(t) no es continua en x = 0, pero en lim
t→0+
f(t) =
f(0+
) entonces
L{f (t)} = sF(s) − f(0+
)
Teorema 8.10 Si en las condiciones anteriores (teorema 11.8), f(t) no es continua en
t=a, entonces
L{f (t)} = sF(s) − f(0) − e−as
[f(a+
) − f(a−
)]
Teorema 8.11 Si f, f’ y f” son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden exponen-
cial, entonces existe L{f (t)} y
L{f (t)} = s2
L{f(t)} − sf(0) − f (0)
Corolario 8.12 Si f, f , . . . , fn−1
son continuas y f(n)
es seccionalmente continua en
[0, ∞) y de orden exponencial, entonces existe L{f(n)
(t)} y se verifica
L{f(n)
(t)} = sn
L{f(t)} − sn−1
f(0) − sn−2
f (0) − . . . − sf(n−2)
(0) − f(n−1)
(0)
V. Transformada de Laplace de una integral
Teorema 8.13 Si L{f(t)} = F(s) =⇒ L{ t
0 f(u)du} = F(s)
s
VI. Derivada de la transformada
Teorema 8.14 Supongamos que f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden
exponencial α. Entonces ∀s > α
F (s) = L{−tf(t)}(s)
Corolario 8.15 Supongamos que f(t) es continua por segmentos y de orden exponencial
α. Entonces ∀s > α
(−1)n dn
F
dsn
= L{tn
f(t)}(s)
8.4 Transformada inversa de Laplace
Ahora nos planteamos el problema de encontrar una funci´on f(t) dado que conocemos su
transformada de Laplace F(s).

6. 6 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definici´on 8.5 La transformada inversa de Laplace de F(s) es aquella funci´on ´unica f(t)
que es continua en [0, ∞) y satisface
L{f(t)}(s) = F(s) (∗)
La funci´on se denota L−1
{F}(t).
Si todas las funciones que satisfagan (*) son discontinuas en [0, ∞), se elige a L−1
{F}
como una funci´on continua por segmentos que satisfaga(*).
Aclaremos la definici´on.
Dos funciones distintas f(t) y g(t) pueden tener la misma transformada de Laplace
Ejemplo:
f(t) =
0 si t = kπ
1 si t = kπ
L{f} = 0
g(t) =
0 si t = kπ
2
1 si t = kπ
2
L{g} = 0 g = f
Luego L−1
{0} , para estar bien definida, tendr´ıa que tener un valor, es decir, una ´unica
funci´on soluci´on. Dicha soluci´on ser´ıa h(t) = 0 ∀t, la ´unica funci´on continua que verifica
que L{h} = 0.
8.5 Propiedades de la transformada inversa de Laplace
I. Linealidad
Teorema 8.16 Sean c1, c2 constantes arbitrarias y f1(t), f2(t) tales que L{f1(t)} = F1(s), L{f2(t)} =
F2(s) entonces
L−1
{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t)
II. Teoremas de Traslaci´on
(a) Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{F(s − a)} = eat
f(t)
(b) Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{e−as
F(s)} =
f(t − a) t > a
0 t ≤ a
III. Cambio de escala
Teorema 8.17 Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L{F(ks)} = 1
k
f( t
k
)
IV. Transformada inversa de Laplace de una derivada
Teorema 8.18 Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{F(n)
(s)} = L−1
{
dn
dsn
F(s)} = (−1)n
tn
f(t)
V. Transformada inversa de Laplace de una integral
Teorema 8.19 Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{ s
0 F(u)du} = −
f(t)
t

7. 8.5. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 7
8.5.1 Transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones
racionales algebraicas
En la pr´actica, al aplicar transformada de Laplace, dado que sea posible, nos conduce a
tener que aplicar transformadas inversas a funciones racionales algebraicas de la forma
F(s) =
p(s)
q(s)
con grado(q(s)) >grado(p(s)).
Para calcular L−1
{F(s)}, descomponemos
p(s)
q(s)
en fracciones simples. Los tipos de
fracciones que pueden presentarse en la descomposici´on son:
• (a) Raices reales simples:
A
s − a
• (b) Raices reales m´ultiples:
A
(s − a)m , m ∈ N, m > 1
• (c) Raices complejas simples:
Ms + N
(s − a)2
+ b2
• (d) Raices complejas m´ultiples:
Ms + N
((s − a)2
+ b2)
m m ∈ N, m > 1
Calculemos la transformada de cada una de ellas.
(a)
A
s − a
L−1
{
A
s − a
} = AL−1
{
1
s − a
} = Aeat
(b)
A
(s − a)n
Sabemos que L{tn
} =
n!
sn+1
, n ∈ N. Por la propiedad de traslaci´on
L{eat
f(t)} = F(s − a) =⇒ L{eat
tn
} =
n!
(s − a)n+1 =⇒ L{eat
tm−1
} =
(m − 1)!
(s − a)m =⇒
L−1
{
A
(s − a)m } =
A
(m − 1)!
eat
tm−1
(c)
Ms + N
(s − a)2
+ b2
Ms + N
(s − a)2
+ b2
=
Ms
(s − a)2
+ b2
+
N
(s − a)2
+ b2
=
M(s − a)
(s − a)2
+ b2
+
aM + N
(s − a)2
+ b2

8. 8 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Recordemos que L{cos bt} =
s
s2 + b2
y L{eat
cos bt} =
s − a
(s − a)2
+ b2
An´alogamente L{eat
sen bt} =
b
(s − a)2
+ b2
Luego:
L−1
{
Ms + N
(s − a)2
+ b2
} = ML−1
{
s − a
(s − a)2
+ b2
} +
aM + N
b
L−1
{
b
(s − a)2
+ b2
}
= Meat
cos bt +
aM + N
b
eat
sen bt
(d)
Ms + N
((s − a)2 + b2)m
S´olo vamos a considerar los tipos que aparecen con mucha frecuencia, que son:
d.1)
s
(s2 + a2)2
d.2)
s2
(s2 + a2)2
d.3)
1
(s2 + a2)2
Estos tres casos lo dejaremos para m´as adelante cuando veamos en qu´e consiste la
Convoluci´on.
8.6 Resoluci´on de problemas de valor inicial
Vamos a aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor incial sin
tener que calcular previamente la integral general de sistema o ecuaci´on diferencial.
8.6.1 M´etodo de la transformada de Laplace
Para resolver un problema de valor inicial:
• Tomar transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuaci´on.
• Aplicar las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones iniciales
para obtener una ecuaci´on de la transformada de Laplace de la soluci´on, y despejar
la transformada en esta ecuaci´on.
• Calcular la transformada inversa de Laplace de la soluci´on.
Ejemplo:
Resolver el problema de valor inicial
ay + by + cy = f y(0) = y0 y (0) = y0

9. 8.7. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES ESPECIALES 9
Sean Y (s) y F(s) las transformadas de laplace de y(t) y f(t) respectivamente.
L{ay + by + cy} = L{f} = F(s)
aL{y } + bL{y } + cL{y} = F(s)
as2
Y (s) − asy0 − ay0 + bsY (s) − by0 + cY (s) = F(s)
Despejando Y (s):
Y (s) =
(as + b)y0
as2 + bs + c
+
ay0
as2 + bs + c
+
F(s)
as2 + bs + c
y aplicar ahora la transformada inversa.
El m´etodo se puede aplicar tambi´en a sistemas.
Ejemplo:
Resolver el problema de valor inicial
˙x = Ax + f(t) x(0) = ¯x0
Sea X(s) =




x1(s)
...
xn(s)



 = L{x(t)} =




L{x1(t)}
...
L{xn(t)}




F(s) =




F1(s)
...
Fn(s)



 = L{f(t)} =




L{f1(t)}
...
L{fn(t)}




Tomando transformadas
L{ ˙x} = L{Ax + f} =⇒ sX(s) − X(0) = AX(s) − F(s) =⇒ (sI − A)X(s) = X(0) −
F(s) =⇒ X(s) = (sI − A)−1
(X(0) − F(s))
8.7 Transformada de Laplace y funciones especiales
En la pr´actica, ocurre frecuentemente, aparecen ecuaciones diferenciales con t´ermino no
homog´eneo con discontinuidades de salto. Estas discontinuidades aparecen de forma nat-
ural en circuitos el´ectricos (apagar/encender el interruptor, etc). Para tratar este tipo de
comportamientos, Heaviside introdujo la siguiente funci´on escal´on:
Definici´on 8.6 La funci´on escal´on unitario u(t)(´o funci´on de Heaviside) se define me-
diante
u(t) =
0 si t < 0
1 si t > 0
Desplazando el argumento, se puede trasladar el salto a una posici´on diferente
u(t − a) =
0 si t < a
1 si t > a

10. 10 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Muchas funciones discontinuas se pueden expresar en t´erminos de funciones escal´on
unitario
Teorema 8.20
L{u(t − a)} =
e−as
s
a > 0
Propiedad de desplazamiento
Teorema 8.21 Supongamos que para s > α ≥ 0, existe la transformada de Laplace de
f(t) , F(s). Si ”a” es una constante positiva, entonces
L{f(t − a)u(t − a)}(s) = e−as
F(s)
y si f(t) es continua en [0, ∞), entonces L−1
{e−as
F(s)}(t) = f(t − a)u(t − a)
En la pr´actica, aparece m´as el tener que calcular transformadas de funciones del tipo
g(t)u(t − a). Dichas transformadas vienen dadas por la expresi´on
L{g(t)u(t − a)} = e−as
L{g(t + a)}(s)
Funci´on Gamma
La funci´on gamma Γ(t) se define mediante
Γ(t) =
∞
0
e−u
ut−1
du t > 0
que converge ∀t > 0.
La funci´on gamma goza de la propiedad Γ(t + 1) = tΓ(t) (basta integrar por partes
en la expresi´on anterior)
Es pues, una generalizaci´on del factorial de un n´umero. Si n ∈ IN, Γ(n) = (n − 1)!
La funci´on gamma aparece al hallar la transformada de Laplace de la potencial tn
,
pues
L{tn
} = ∞
0 e−st
tn
dt = (st = u) = 1
sn+1
∞
0 e−u
un
du
L{tn−1
} = 1
sn
∞
0 e−u
un−1
du
La integral ∞
0 e−u
un−1
du es una integral euleriana de segunda especie.
Integrales del tipo ∞
0
f(x)
x
dx
Mediante transformadas de Laplace se pueden resolver integrales del tipo ∞
0
f(t)
t
dt
Supuesto que exista la transformada de Laplace de f(x), L{f(t)} = ∞
0 e−st
f(t)dt =
F(s)

11. 8.8. LA FUNCI ´ON DELTA DE DIRAC 11
Integrando en el intervalo [0, ∞) se tiene
∞
0 ( ∞
0 e−st
f(t)dt)ds = ∞
0 F(s)ds =⇒ ∞
0 ( ∞
0 e−st
ds)f(t)dt) = ∞
0 F(s)ds
Como ∞
0 e−st
ds = 1
t
se tiene que ∞
0
f(t)
t
dt = ∞
0 F(s)ds que tiene sentido siempre que
existan ambas integrales impropias.
8.8 La funci´on Delta de Dirac
En muchas aplicaciones f´ısicas y biol´ogicas aparece a menudo el problema de valor inicial
ay + by + cy = f(t) y(0) = y0 y (0) = y0
donde f(t) no se conoce expl´ıcitamente( aparece cuando se trabaja con fen´omenos de
naturaleza impulsiva). La ´unica informaci´on que poseemos de f es que es nula excepto en
un intervalo muy peque˜no de tiempo [t0, t1] y que su integral sobre dicho intervalo es no
nula.
Si el intervalo I0 es peque˜no, al ser la integral no nula, ha de ser f(t) muy grande.
Estas funciones se conocen con el nombre de funciones impulso.
Definici´on 8.7 La funci´on Delta de Dirac δ(t) se caracteriza por las dos propiedades
siguientes:
1) δ(t) =
0 si t = 0
1 si t = 0
2) ∞
−∞ f(t)δ(t)dt = f(0) para cualquier f(t)continua en alg´un abierto que contenga al
cero.
An´alogamente a la funci´on de Heaviside se puede hacer una traslaci´on
1) δ(t − a) =
0 si t = a
1 si t = a
2) ∞
−∞ f(t)δ(t − a)dt = f(a)
Nuestro objetivo es resolver ay + by + cy = f(t) por el m´etodo de la transformada
de Laplace.
Para ello hay que conocer L{δ(t − t0)}:
L{δ(t − t0)} = ∞
0 e−st
δ(t − t0)dt = e−st0
t0 ≥ 0

12. 12 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
8.9 La integral de convoluci´on
Ya ve´ıamos anteriormente, que al resolver problemas de valor inicial, pod´ıamos encon-
trarnos el tener que hallar transformadas inversas de funciones de la forma
s
(s2 + a2)2 ;
1
(s2 + a2)2 ;
1
s2 + a2
G(s) , etc.
Ejemplo:
Y (s) =
1
s2 + 1
G(s) con L−1
{
1
s2 + 1
} = sen t , L−1
{G(s)} = g(t)
Nos preguntamos, ¿qu´e relaci´on existe entre L{Y (s)}, sen t y g(t)? Esta relaci´on nos
la a resolver la siguiente
Definici´on 8.8 Sean f(t) y g(t) continuas por segmentos en [0, ∞). El producto de con-
voluci´on de f(t) y g(t) denotado por f ∗ g se define mediante
(f ∗ g)(t) =
t
0
f(t − τ)g(τ)dτ
8.9.1 Propiedades de la convoluci´on
Teorema 8.22 Sean f(t), g(t) y h(t) seccionalmente continuas en [0, ∞). Entonces
f ∗ g=g ∗ f
f ∗ (g + h)=f ∗ g + f ∗ h
(f ∗ g) ∗ h=f ∗ (g ∗ h)
f ∗ 0=0
Nota: El operador convoluci´on difiere del operador producto en que f ∗ 1 = f y
f ∗f = f2
. De hecho, la convoluci´on de una funci´on con ella misma puede no ser positiva.
Teorema 8.23 (Teorema de convoluci´on)
Supongamos que f(t) y g(t) son continuas por segmentos en [0, ∞) y de orden expo-
nencial α. Sean F(s) y G(s) las transformadas de Laplace de f(t) y g(t) respectivamente.
Entonces
L{f ∗ g} = F(s)G(s)
o, de forma equivalente,
L−1
{F(s)G(s)}(t) = (f ∗ g)(t)