Choix des investissements en avenir incertain

[Cours de Décision Financière de Long Terme] TALEB Lotfi
Série d’exercices :
Choix des investissements en avenir incertain
EXERCICE 1 :
La société NJK envisage d’acquérir une nouvelle machine dont la durée de vie estimée est de 5
ans et le prix est de 250000D. Les flux monétaires ainsi que les coefficients d’équivalence de
certitude sont les suivants :
1) Calculer la VAN de ce projet au taux d’actualisation de 8%
2) Déterminer si le projet en question serait accepté si l’entreprise utilisait la
méthode du taux d’actualisation ajusté, et si la prime de risque est évaluée à 4%
3) Comparer les deux méthodes précédentes et déterminer laquelle est meilleure. Justifier
votre réponse
EXERCICE 2 :
La société Samia pratique la méthode d’équivalence de certitude pour évaluer ses projets
d’investissements risqués. Actuellement elle doit choisir entre deux projets dont les cash-flows
nets espérés sont donnés comme suit :
Années Projet A Projet B
0
1
2
3
-20000
10000
10000
10000
-15000
8000
9000
10000
L’analyse de risque de chaque distribution a fourni les équivalences de certitudes suivantes :
années CFN Coefficient
d’équivalence
1
2
3
4
5
80000
80000
80000
80000
80000
0.9
0.8
0.6
0.5
0.5
1

Années 0 1 2 3
Projet A
Projet B
1
1
0.9
0.95
0.8
0.9
0.6
0.5
Quel projet faut-il choisir au taux d’actualisation de 10% ?
EXERCICE 3 :
Soit un projet d’investissement de dépense initiale égale à 9000 D et dont les distributions
discrètes de cash-flows se présentent comme suit :
Période 1 Période 2
Cash-flow Probabilités Cash-flow Probabilités
4000
5000
6000
7000
8000
0,10
0,25
0,30
0,25
0,10
3000
4000
5000
6000
7000
0,10
0,25
0,30
0,25
0,10
Si les cash-flows sont considérés comme indépendants, le taux sans risque égal à 8% et le coût
de capital égal à 10%.
1/ Quelle est la probabilité que la VAN du projet soit inférieure ou égale à zéro ?
2/ Quelle est la probabilité que l’indice de rentabilité soit supérieur à 2 ?
3/ L’entreprise a-t-elle intérêt à accepter ce projet ? Justifier votre réponse.
EXERCICE 4 :
La compagnie Atlas étudie actuellement la possibilité d’investir dans un projet dont les rentrées
de fonds nettes sont établies selon les distributions normales de probabilités suivantes :
CFN (année 1) Probabilités CFN (année 2) Probabilités
1200
1400
1600
0.4
0.2
0.4
1500
1800
2100
0.2
0.6
0.2
L’investissement initial est de 2700 D ; le taux de rendement sans risque est de 10% ; les
rentrées de fonds nettes de la deuxième année sont totalement indépendantes de celles de la
première année.
1) Déterminer la VAN espérée de ce projet et l’écart type de la distribution de la VAN.
2

2) Calculer la probabilité que la VAN > 0 soit supérieur à 500
3) En considérant toujours une distribution normale et le cas d’une indépendance des
flux de trésoreries, quel est la probabilité que l’indice de rentabilité soit supérieur à
1.1 ?
EXERCICE 5 :
L’entreprise Aicha se propose de lancer un nouveau produit qui nécessite un investissement
initial de 15000 D. On suppose que le taux d’impôt sur les bénéfices est de 50% ; que le taux
d’amortissement de l’équipement est de 30%, que le taux d’intérêt sans risque est de l’ordre de
8% et que la valeur résiduelle en fin de période est égale à la VCN.
La distribution de probabilité des flux de trésoreries de ce projet est la même pour chacune des
trois années de la vie du projet. La distribution des flux de trésoreries avant amortissement et
après impôt est la suivante :
CFN Probabilités
6000
8000
10000
0.20
0.60
0.20
1) Calculer l’espérance de la VAN dans le cas où les flux de trésorerie sont
indépendants dans le temps (on suppose que l’amortissement se fait selon la
méthode dégressive)
2) Calculer l’écart-type autour de la VAN
3) Le projet doit-il être adopté si les administrateurs ne peuvent accepter plus de
30% de probabilité qu’une E (VAN) ≥ 0 ?
4) Quelle est la probabilité que E (VAN) ≥ 10000 ?
5) Calculer E (VAN) et σ (VAN) lorsque les flux de trésorerie sont dépendants.
EXERCICE 6 :
Un projet d’investissement nécessitant une dépense nulle peut procurer les cash-flows nets
suivants à la fin de première et la deuxième année :
CFN (année 1) Probabilités CFN (année 2) Probabilités
11
22
0.5
0.5
0
12.1
12.1
24.2
0.5
0.5
0.5
0.5
Le taux d’actualisation est de 10%
1) Calculer l’écart-type du cash-flow actualisé de la première et de la deuxième
année
3

2) Calculer σ (VAN)
3) Comparer ce risque calculé au risque trouvé en supposant
a) une dépendance parfaite des cash-flows
b) une indépendance parfaite des cash-flows
4) Calculer le coefficient de corrélation entre les cash-flows.
EXERCICE 7 :
La société Aïda étudie l’acceptation d’un projet d’investissement au coût de 24500 D. Les cash-
flows nets durant chacune des trois années de sa durée de vie suivent la distribution de
probabilité suivante :
CFN (année 1) Probabilités CFN (année 2) Probabilités CFN (année 3) Probabilités
8000
12000
10000
0.25
0.50
0.25
10000
9000
11000
0.20
0.60
0.20
12000
12000
13000
0.30
0.40
0.30
Sachant que le taux d’actualisation est de 8% , doit-on accepter ce projet si on désire accepter
tout projet dont la probabilité d’occurrence d’une VAN négative n’excède pas 5% selon les trois
hypothèse suivante :
1) CFN indépendants
2) CFN dépendants
3) CFN partiellement indépendants ; dans ce cas on vous donne les distribution de
probabilités conditionnelles suivantes :
Année 1 Année 2 Année 3
CFN Pb CFN1= 8000 CFN1= 12000 CFN1= 10000 CFN2=10000 CFN2=9000 CFN2= 11000
CFN Pb CFN Pb CFN Pb CFN Pb CFN Pb CFN Pb
8000
12000
10000
0.25
0.50
0.25
10000
9000
11000
0.40
0.60
0
10000
9000
11000
0.4
0
0.6
10000
9000
11000
0.60
0.40
0
12000
12000
13000
0.5
0.5
0
12000
12000
13000
0.5
0.5
0
12000
12000
13000
0.5
0.5
0
EXERCICE 8 :
Le directeur financier de l’entreprise Alpha vous a chargé d’étudier un projet d’investissement
portant sur le lancement d’un nouveau produit X.
Ce projet a une durée de vie de trois ans et les cash-flows nets attendus sont les suivants :
4

Première année
CFN1 Probabilité
20000 0,4
25000 0,6
Deuxième année
Si CFN1 = 20000
CFN2 Probabilité
24000 0,7
27000 0,3
Si CFN1 = 25000
CFN2 Probabilité
27000 0,5
29000 0,5
Si CFN2 = 27000
CFN2 Probabilité
25000 0,4
20000 0,6
Si CFN2 = 29000
CFN2 Probabilité
26000 0,5
22000 0,5
Troisième année
Si CFN2 = 24000
CFN3 Probabilité
22000 0,2
19000 0,8
A/ Ce projet est complètement indépendant des projets actuels de l’entreprise. Le taux des bons
de trésor est de 10%.
1/ Pour un investissement initial égal à 18000 TND, calculer la valeur actuelle nette espérée
E (VAN) et l’écart type σ(VAN) du projet.
2/ En supposant que l’investissement initial et les entrées de fonds sont indépendants et que cet
investissement est incertain et se distribue comme suit :
I0 Probabilité
20000 0,4
18000 0,4
17000 0,2
Que devient E (VAN) et σ (VAN).
B/ Ce projet nécessitant un investissement de 18000 TND (1er
, I), dépend des projets actuels de
l’entreprise dont l’espérance de la valeur actuelle nette E(VANE) est égale à 90500 et l’écart type
σ(VANE) est égal à 10000 dinars.
1/ Quelle serait la valeur actuelle nette globale espérée E (VANE+X)
2/ Aurions-nous un écart-type global σ(VANE+X)
3/ Si le coefficient de corrélation ρE+X = - 0,4. Calculer l’écart type global σ(VANE+X).
EXERCICE 9 :
L’ISCC de Bizerte renouvelle ses photocopieurs tous les 2 ans. Après une utilisation à grand
tirage pendant deux ans par le service de photocopie, les machines seront transférées dans les
bureaux de l’administration pour des besoins occasionnels et à tirage réduit.
5

Un distributeur agrée proposez des photocopieurs performants au prix de 10000 l’unité.
Toutefois un problème reste non encore résolu, celui de la fiabilité, en particulier le nombre de
panne et la consommation en ancre et en papier, de ces machines vendues. En effet compte
tenu de l’expérience passée, il s’avère que les photocopieurs ne sont fiable qu’avec 60% de
chance.
Des prévisions ont été effectuées afin d’associés les flux de trésorerie aux divers états de nature
(fiable ou non fiable). Le tableau suivant en résume ces prévisions :
Etat de Nature CFN Année (1) CFN Année (2) Valeur résiduelle
Fiable
Non fiable
8000
40000
6000
3000
400
200
Sachant que le taux de rendement de l’institut est de 15% net d’impôt
1) Calculer la rentabilité associée à l’achat d’un photocopieur ?
2) Le calcul ayant fait ressortit une rentabilité négative, l’ISCCB a décliné l’offre. Cependant le
vendeur est revenu avec une autre proposition : la reprise de la machine après une année
d’utilisation et à 50% de son prix neuf. Cette proposition est-elle intéressante ?
EXERCICE 10 :
L’entreprise « CMS » est une société de construction métallique implantée dans la région de Sfax.
Son directeur est amené à choisir entre deux projets d’investissement mutuellement exclusifs, le
projet X ou le projet Y :
• Le projet X implique un seul investissement de 100000 TND à la date zéro pour
une durée de vie de 5 ans.
• Le projet Y est un projet flexible, il comporte deux phases d’investissement, la
première consiste en un investissement test sur une période d’un an impliquant une
mise de fonds de 35000 TND à la date zéro qui pourrait être suivie, si l’état de la
nature est favorable durant la période précédente, d’un second investissement (2e
phase) plus important et potentiellement rentable. Cette phase interviendrait au
début de la deuxième année ; elle ne peut être entreprise si l’investissement test
n’est pas réalisé. Elle exigerait un montant de 75000 TND (valeur au début de
l’année 2) et aurait une durée de vie de 4 ans. Par contre si l’état de la nature est
défavorable durant la première année, la deuxième phase de l’investissement n’aura
pas lieu et l’entreprise travaillerait durant les quatre ans restant avec l’investissement
déjà accompli à l’instant zéro.
Pour chaque période deux états de la nature sont considérés : le premier favorable, le second
défavorable. Le tableau suivant reprend les probabilités associées aux états de la nature pour les
trois premières périodes.
Année 1 Favorable 0,6 Défavorable 0,4
Année 2 Favorable 0,7 Défavorable 0,3 Favorable 0,45 Défavorable 0,55
6

Année 3 Favorable 0,8
Défavorable 0,2
Favorable 0,5
Défavorable 0,5
Favorable 0,6
Défavorable 0,4
Favorable 0,3
Défavorable 0,7
L’investissement étant considéré sur 5 ans, les flux de la troisième année correspondent aux flux
générés de la troisième année à la cinquième année en valeurs actuelles. Ces flux comportent le
cas échéant, la valeur résiduelle des immobilisations acquises.
Flux générés par le projet X :
Année 1 Favorable 30 000 Défavorable 20 000
Année 2 Favorable 40 000 Défavorable 25 000 Favorable 22 000 Défavorable 15 000
Année 3
Favorable 150 000
Défavorable100 000
Favorable 80 000
Défavorable 70 000
Favorable 60 000
Défavorable 50 000
Favorable 40 000
Défavorable 30 000
Flux générés par le projet Y :
Année 1 Favorable 15 000 Défavorable 10 000
Année 2 Favorable 45 000 Défavorable 30 000 Favorable 12 000 Défavorable 7 000
Année 3
Favorable 150 000
Défavorable130 000
Favorable 125 000
Défavorable110 000
Favorable 45 000
Défavorable 40 000
Favorable 35 000
Défavorable 30 000
Taux d’actualisation 10 %.
1/ Qu’appelle-t-on projets mutuellement exclusifs ?
2/ Etablir l’arbre de décision relatif au projet X et calculer sa valeur actuelle nette
espérée.
3/ Etablir l’arbre de décision relatif au projet Y.
4/ Calculer la VAN de la deuxième phase de l’investissement relative au projet Y. En
déduire la VAN de cette phase d’investissement à l’instant zéro.
5/ Calculer la VAN du projet Y.
6/ Quel projet doit-on retenir ?
EXERCICE 11 :
Soit une entreprise dont la capacité de production est pleinement utilisée. La direction hésite
entre 3 stratégies possibles :
7

1ère
stratégie : Construire une nouvelle usine dont le coût est estimé à 135 MD, cet
investissement permet de faire accroître la capacité de l’ordre de 10% en améliorant légèrement
la productivité. Les CFN annuels sont estimés à 30 MD si le marché est en expansion et à 10
MD s’il est stagnant
2ème
stratégie : Aménager l’usine actuelle soit :
• Immédiatement par un investissement de faible taille, soit de 20MD,
permettant de faire accroître la capacité de production de 10%. Les CFN
sont l’ordre de 6 MD si le marché est en expansion et de 3 MD si le
marché est stagnant
• Pour deux ans plus tard, si le marché est en expansion, par un
investissement additionnel de 60 MD. Les cash-flows nets deviennent
alors de 20 MD si le marché est en expansion et de 9 MD si le marché
est plutôt stagnant
3ème
stratégie : maintenir le statu quo
Sachant que l’entreprise a retenu la VAN comme critère de décision ; que le coût de capital est
estimé à 10% ; que la durée de vie estimée du projet est de 10 ans et que par ailleurs les
probabilités sont les suivantes :
Probabilité (expansion) =0.70 ; Probabilité (récession) = 0.3 puis deux ans plus tard si l’expansion
est confirmée alors : probabilité (expansion) = 0.90 ; probabilité (récession) = 0.1
Quel doit être la décision de la firme ? Justifier votre réponse
EXERCICE 12 :
Un éditeur se demande s’il doit imprimer 5000 exemplaires d’un manuel de Finance dont on lui
présente le manuscrit, ou s’il doit, pour limiter ses risques, le fabriquer à 2500 exemplaires, puis,
si la demande était forte, à en faire sortir une deuxième édition (de nouveau 2500 exemplaires).
En optant pour la première alternative à savoir imprimer dès le départ 5000 exemplaires, un
investissement global de 170000 dinars serait nécessaire à la date initiale et les cash-flows ne
seront perçus qu’à la fin de la troisième année (cash-flow première année + cash-flow deuxième
année + cash-flow troisième année). Trois états de la nature sont possibles :
Nature de la demande Probabilité
Cash-flow (valeur exprimée à la
fin de la 3ème
année)
Demande forte durant les 3 ans 0,25 450000 dinars
Demande forte puis faible jusqu’à la 3ème
année 0,40 275000 dinars
Demande faible durant les 3 ans 0,35 100000 dinars
En optant pour la deuxième alternative à savoir imprimer une première fois 2500 exemplaires
puis une deuxième fois 2500 exemplaires, l’investissement initial exigé serait de 90000 dinars.
Après avoir imprimé les 2500 premiers exemplaires deux situations seraient possibles :
8

• La demande durant les deux premières années était forte (probabilité 0,65).
Alors le cash-flow global (cash-flow première année + cash-flow deuxième
année) réalisé exprimé à la fin de la deuxième année serait de 200000 dinars
et au début de la troisième année l’éditeur peut décider d’entamer une
deuxième édition ou non. Les flux de la troisième année se présenteront
alors comme suit :
Nature de la demande Probabilité Cash-flow de la 3ème
année
Avec 2ème
édition
Demande 3e
année forte
Demande 3e
année faible
0,3846
0,6154
200000 dinars
80000 dinars
Pas de 2ème
édition
Demande 3e
année forte
Demande 3e
année faible
0,3846
0,6154
40000 dinars
15000 dinars
Si on décide d’entamer une deuxième édition un investissement supplémentaire de
80000 dinars est exigé au début de la troisième année.
• La demande durant les deux première années était faible (probabilité 0,35).
Alors on continue les ventes durant la troisième année et le cash-flow global
(cash-flow première année + cash-flow deuxième année + cash-flow
troisième année) exprimé en fin de la troisième année serait de 50000 dinars.
1/ Présenter l’arbre de décision.
2/ Sachant que la durée de vie du projet est de trois ans et que le taux d’actualisation est
de 8 %, Quelle décision doit-on prendre.
9

Corrigé de la série d’exercice n°2:
Choix des investissements en avenir incertain
Exercice 1 :
1) VAN (8%)= 19.33735
)08.1(
)80000(5.0
........
)08.1(
)80000.(8.0
)08.1(
)80000(9.0
250000 52
−=++++−
2) VAN (12%) = 38382.08
3) Les deux méthodes ne donnent pas le même résultat, la 1ère
méthode suppose que le risque soit
croissant dans le temps alors que la deuxième suppose que le risque est plutôt constant. La 1ère
méthode (EC) est bien supérieure donc à la deuxième (voir cours)
Exercice 2 :
VAN (A) = 723.698
)1.1(
)10000(6.0
)1.1(
10000(8.0
1.1
)10000(8.0
20000 32
−=+++−
VAN (B) = 2359.879 > 0
L e projet B serait accepté
Exercice 3 :
1) Probabilité d’avoir une VAN négative :
[ ] ?VANP 0≤
( ) 250842,VANE =
( )
( )
( )
∑
=
=
+
σ
=σ
2
1
2
2
2
2752070079
1t
t
t
,
i
CFN
VAN
( ) 777,1438=VANσ
[ ] [ ] [ ] %,,ZP,ZPVANP 2828058539015853900 =≈≤−=−≤=≤⇒
Il y a 28% de risque pour que la VAN soit négative
10
[ ] 




 −
≤=≤
)(
)(0
0
VAN
VANE
ZPVANP
σ

2) Probabilité d’avoir un indice de rentabilité supérieure à 2 :
[ ] [ ] [ ] [ ] ( )
( ) [ ] 067,5ZP
VAN
VANEI
ZPIVANP1
I
VANP21
I
VANP2IRP
0
0
00
≈>=



σ
−
>=>=>=>+=>
Il n’y a aucune chance que l’indice de rentabilité dépasse 2.
3) Acceptation du projet ?
L’acceptation ou le rejet du projet dépend du degré d’aversion du décideur envers le risque.
Exercice 4 :
1) 1ère
méthode : arbre de décision
VANj Pj=P1.P2 VANj.Pj
0.08
(
29.553)(0.2) 1500
(369.422)
1200
0.024 (29.157)
(0.4) (0.6) 1800
(121.488)
-2700
2100(0.2) 126.446 0.08 10.115
(0.2) 1500 (187.604) 0.04 (7.504)
(0.2) 1400 (0.6) 1800 60.33 0.12 7.239
(0.2) 2100 308.264 0.04 12.330
1600
(0.2) 1500
1800
(5.786) 0.08 (0.463)
(0.4) (0.6)
0.24 58.115242.148
2100
0.08 39.206
(0.2) 490.082
Total 60.328
E (VAN)= 60.328
Var (VAN) = (-369.442-60.328)2
× 0.08 + (-121.488-60.328)2
× 0.24 +……+(490.082-
60.328)2
× 0.08 = 51038.091
11

091.51038)( =VANσ
2ème
méthode : application directe des formules
∑= +
=
n
j
j
j
r
NFC
VANE
0 )1(
)( et ∑= +
=
n
j
j
j
r
NFC
VANVar
0
2
2
)1(
)(
)(
σ
avec
2
1
2
)()( ∑=
−=
n
i
jjj NFCCFNNFC

σ
320004.0.)14001600(04.0.)14001200()( 22
1
2
=−++−=NFCσ
360004.0.)18002100(04.0.)18001500()( 22
2
2
=−++−=NFCσ
764.51034484.2458828.26446
)21.1(
36000
21.1
32000
)( 2
=+=+=VANVar
908.225)( =VANσ
2) Standardisation des paramètres :
267.0
916.225
328.600
−=
−
=Z [ ] ⇒−> 267.0ZP 39.4% d’avoir une VAN<0
donc la probabilité d’avoir une VAN> 0 est de 60.6%
946.1
916.225
328.60500
−=
−
=Z . la probabilité d’avoir une VAN> 500 est de 2.6%
3) IR> 1.1 → VAN > 270
928.0
916.225
328.60270
=
−
=Z . la probabilité d’avoir une VAN > 270 est de 17.6%
Exercice 5 :
On sait que jjj tACFCFN += et PCNtACFCFN njn ++=
Amortissement (année 1) = 4500
Amortissement (année 2) = (15000-4500). 0.3 = 3150
Amortissement (année 3) = (15000-4500-3150).0.3= 2205
12






=+=
=+=
=+=
12250225010000
1025022508000
82504500*3.06000
1
1
1
CFN
CFN
CFN





=+=
=+=
=+=
11575157510000
957515758000
757515756000
2
2
2
CFN
CFN
CFN





=++=
++=
++=
5.1624751455.110210000
51455.11028000
51455.11026000
3
3
3
CFN
CFN
CFN
(PCN = VR= 5145)
∑= +
=
n
j
j
j
r
NFC
VANE
0 )1(
)(
5.142472.0.5.162475.0.5.142472.0.5.12247
95752.0.115756.0.95752.0.7575
102502.0.122506.0.102502.0.8250
3
2
1
=++=
=++=
=++=
NFC
NFC
NFC


883.14009
)08.1(
5.14247
)08.1(
9575
08.1
10250
15000)( 32
=+++−=VANE
2) 16000002.0.)1025012250(2.0.)102508250()( 22
1
2
=−+−=CFNσ
)()(911.1264( 32 CFNCFNCFN σσσ ===
2
1
)()( ∑=
−=
n
j
jjij NFCCFNPCFNVar
6.3556060
)08.1(
)911.1264(
)08.1(
)911.1264(
)08.1(
)911.1264(
)1(
)(
)( 6
2
4
2
2
2
0
2
2
=++=
+
= ∑=
n
j
j
j
r
CFN
VANVar
σ
752.1885)( =VANσ
3) acceptéprojetVANPZ ⇒=−=
−
= 00)(429.7
752.1885
883.140090

4) 83.017.0110000)(126.2
752.1885
883.1400910000
=−=≥−=
−
= VANPZ
4) Cas de CF dépendants :
13

1ère
méthode : application des formules
∑=
=
+
=
−=
n
j
j
j
r
CFN
VAN
VANE
0
798.3259
)1(
)(
)(
883.14009)(
σ
σ
pi VANi
CFN1 CFN2 CFN3
0.2
(0.2)
8250 7575 12247.5 8855.689
1500
0.6
(0.6) 10250 9575 14247.5
14009.883
12250(0.2) 11575 16247.5 0.2 19164.076
883.14009)(
1
== ∑=
n
i
iii PVANVANE
][ ) 798.32592.0.)883.14009076.19164(02.0.)883.14009689.8855()(
2/122
=−++−=VANσ
EXERCICE 6 :
1)
10
)1.01(
)(
1.12)25.01.12()25.01.12()25.02.24()25.00()(
9.15
)1.01(
)(
5.16)5.022()5.011()(
2
2
2
1
1
=
+
⇒=×+×+×+×=
=
+
⇒=×+×=
CFNE
CFNE
CFNE
CFNE
5
1.1
)(
5.5)(250.30)5.1622(5.0)5.1611(5.0)( 1
1
22
1
2
=⇒=⇒=−+−=
CFN
CFNCFN
σ
σσ
06.7
)1.1(
)(
55.8)(205.73)1.120(25.0)1.122.24(25.0)( 2
2
1
22
2
2
=⇒=⇒=−+−=
CFN
CFNCFN
σ
σσ
14

2) Ecart-type des flux actualisés des cash-flows :
























=+=
=+=
=+=
=+=
40
)1.1(
2.24
)1.1(
22
30
)1.1(
1.12
)1.1(
22
20
)1.1(
1.12
)1.1(
11
10
)1.1(
0
1.1
11
24
23
22
21
VAN
VAN
VAN
VAN
18.11)(
125)2540(25.0)2530(25.0)2520(25.0)2510(25.0)(
25)40(25.0)30(25.0)20(25.0)10(25.0)(
22222
=
=−+−+−+−=
=+++=
VAN
VAN
VANE
σ
σ
3)
a) Le cas des CFN dépendants :
On a : );(2)()()( 212
2
1
22
CFNCFNCOVCFNCFNCFN ++= σσσ
= )()();(2)()( 21212
2
1
2
CFNCFNCFNCFNrCFNCFN σσσσ ++
Or : 1);( 21 =CFNCFNr
Donc : )()();(2)()()( 21212
2
1
22
CFNCFNCFNCFNrCFNCFNCFN σσσσσ ++=
= 22
21 )6.75())()(( +=+ CFNCFN σσ
06.12)( =CFNσ
b) Le cas des CFN indépendants :
0);( 21 =CFNCFNr
)()()( 2
2
1
22
CFNCFNCFN σσσ += = 8436.4925)06.7()5( 22
+=+
651.8)( =CFNσ
4) )()();(2)()()( 21212
2
1
22
CFNCFNCFNCFNrCFNCFNCFN σσσσσ ++=
Donc : 707.0
)06.7)(5(2
)06.7()5()18.11(
)()(2
)()()(
),(
222
21
2
2
1
22
21 =
−−
=
−−
=
CFNCFN
CFNCFNCFN
CFNCFNr
σσ
σσσ
15

EXERCICE 7 :
1) 10500)10000(25.0)12000(5.0)8000(5.0)8000(25.0)( 1 =+++=CFNE
9600)11000(2.0)9000(6.0)10000(2.0)( 2 =++=CFNE
12300)13000(3.0)12000(4.0)12000(3.0)( 3 =++=CFNE
[ ] 312.1658)1050010000(25.0)1050012000(5.0)105008000(25.0)(
2/1222
1 =−+−+−=CFNσ
[ ] 800)960011000(2.0)96009000(6.0)960010000(2.0)(
2/1222
2 =−+−+−=CFNσ
[ ] 260.458)1230013000(3.0)1230012000(4.0)1230012000(3.0)(
2/1222
3 =−+−+−=CFNσ
81.3216
)08.1(
12300
)08.1(
9600
)08.1(
10500
24500)( 32
=+++−=VANE
590.1720
)08.1(
260.458
)08.1(
)800(
)08.1(
)312.1658(
)(
2/1
64
2
2
2
=





++=VANσ
87.1
590.1720
81.32160
−=
−
=Z
La probabilité que la VAN ≤ 0 est égale à 3.1% < 5% projet accepté
2) Cas des CFN dépendants :
810.3216)( =VANE
12.2585
)08.1(
26.458
)08.1(
800
08.1
312.1658
)( 32
=++=VANσ
244.1
12.2585
81.32160
−=
−
=Z
La probabilité que la VAN ≤ 0 = 0.1080 > 5% → projet refusé
3) Cas des CFN partiellement indépendants :
16

Année 0 Année 1 Année 2 Année 3 VANi Pi VANiPi
0.5 12000 1006 0.05 50
0.4 10000
0.5 12000 1006 0.05 50
0.25 8000
0.5 12000 149 0.075 11
0.6 9000
0.5 12000 149 0.075 11
0.5 12000 4710 0.10 471
0.4 10000
0.5 12000 4710 0.10 471
-24500 0.5 12000
0.5 12000 5568 0.15 835
0.6 9000
0.5 12000 5568 0.15 835
0.5 12000 2858 0.075 214
0.6 10000
0.5 12000 2858 0.075 214
0.25 10000
0.5 12000 2001 0.05 100
0.4 9000
0.5 12000 2001 0.05 100
E(VAN) 3362
4150264
05.0)33622001(............075.0)3362149(05.0)33621006(05.0)33621006()( 22222
=
×−++×−+×−+×−=VANσ
2037)( =VANσ
17

65.1
2037
33620
−=
−
=Z %5049.00)( =≤VANprob → Projet accepté
18

EXERCICE 8 :
I/1- Calcul de E(VAN) et σ (VAN):
I0 = 18.000
VANj Pj VANj.Pj
(0.2)
22.000 36.545,455
0.05
6
2046,545
5(0.7) 24.00
0
20.00
0
(0.8)
19.000 34.291,510
0.22
4
7681,298
3(0.4)
-18.000
(0.4)
25.000 41.278,738
0.04
8
1981,379
4(0.3) 27.00
0 (0.6)
20.000 37.522,164
0.07
2
2701,595
8
(0.4)
25.000 45.824,192 0.12
5498,903
1(0.6)
25.00
0
(0.5)
27.00
0
(0.6)
20.000 42.067,618 0.18
7572,171
3
29.00
0
(0.5)
26.000 48.228,4 0.15 7234,26
(0.5)
(0.5)
22.000 45.223,141 0.15
6783,471
1
( ) 624,41499
8
1
== ∑=j
jj PVANVANE
( ) 65775032,VAN =σ
2- Si I0 est probabilisé (une variable aléatoire)
( ) 624408992 ,VANE =
( ) 745651732 ,VAN =σ
B)
1-
( ) ( ) ( ) 624,13199990500624,414499 =+=+=+ XEXE VANEVANEVANE (Principe d’additivité de l’Espérance)
2- Non, parce que nous ne disposons pas du degré de dépendance entre X et E
3-
( ) 14389223,VAN =σ
19

EXERCICE 10 :
1-Deux projets sont dits mutuellement exclusifs si l’on ne peut pas les acceptés tous les deux en
même temps. L’adoption de l’un entraîne automatiquement le rejet de l’autre.
2- Projet X
VANj Pj VANj.Pj
(0,8)
150000 73027,799 0,336 24537,34
(0,7) 40000
30000
(0,2)
100000 35462,059 0,084 2978,8129
(0,6)
-100000
(0,5)
80000 8039,0684 0,09 723,51615
(0,3)
25000
(0,5)
70000 525,92036 0,09 47,332832
(0,6)
60000 -18557,476 0,108 -2004,2074
(0,4)
20000
(0,45)
22000 (0,4) 50000 -26070,624 0,072 -1877,0849
15000
(0,3)
40000 -39368,896 0,066 -2598,3471
(0,55)
(0,7)
30000 -46882,044 0,154 -7219,8347
( ) MD
j
jXjX PVANVANE 528,14587
8
1
== ∑=
3- Projet Y
(0,8)
150000
(0,7) 45000
15000
-75000
(0,2)
130000
(0,6)
-35000
(0,5)
125000
(0,3)
30000
(0,5)
110000
(0,6)
45000
(0,4)
10000
(0,45)
12000 (0,4) 40000
7000
(0,3)
35000
(0,55)
(0,7)
30000
4- 2ème
Phase du projet Y
VANj Pj VANj.Pj
(0,8)
150000 89876,033 0,56 50330,578
(0,7) 45000
-75000 (0,2) 130000 73347,107 0,14 10268,595
20

(0,5)
125000 55578,512 0,15 8336,7769
(0,3)
30000
(0,5)
110000 43181,818 0,15 6477,2727
( ) 22375413
4
1
212 ,PVANVANE
j
jjYtY == ∑
=
=
( ) ( ) ( ) 4756855711 1
1202 ,,VANEVANE tYtY =×= −
==
5- E(VANY) ?
-35000
(0,6)
15000+75413,223
(0,6)
45000 58099,174 0,27 15686,777
10000
(0,45)
12000
(0,4)
(0,55)
(0,4) 40000 53966,942 0,18 9714,0496
7000
(0,3)
35000 45289,256 0,165 7472,7273
(0,7)
30000 41157,025 0,385 15845,455
Total 48719,008
( ) ( )
( )
( )
( )
MD
YVANE 306,32032
1,1
008,48719
4,0
1,1
223,7541315000
6,035000 =+
+
×+−=
6-
( ) ( )XY VANEVANE > ⇒ Le choix optimal est le projet Y
EXERCICE 12 :
1- L'arbre de décision :
* Edition de 5000 exemplaires :
t=0 t=1 →3 Pj VANj PjVANj
-170000
0,25 450000 0,25 187224,51 46806,127
0,4 275000 0,4 48303,866 19321,547
0,35 100000 0,35 -90616,776 -31715,872
( ) 802344111 ,VANE =
* 2500 exemplaires + 2ème
édition :
21

t=0 t=1-2 t=3 Pj VANj PjVANj
-90000
0,3846
200000 0,24999 171647,110 42910,060
0,65 200000
0,6154 80000 0,40001 76387,238 30555,659
80000
0,35 50000 0,35 -50308,388 -17607,936
( ) 783558572 ,VANE =
* 2500 exemplaires sans 2ème
édition :
t=0 t=1-2 t=3 Pj VANj PjVANj
-90000
0,3846 40000 0,24999 113221,050 28304,130
0,65 200000
0,6154 15000 0,40001 93375,248 37351,033
0,35 50000 0,35 -50308,388 -17607,936
( ) 8047,227VANE 43 =
2/ Le choix optimal consiste à imprimer 2500 exemplaires puis lancer une 2éme
édition.
22

Exercice 9 :
1) La rentabilité associée à ce projet peut être appréciée par le critère de la VAN espérée
3333.5634.010000
)15.1(
3200
)15.1(
4000
6.010000
)15.1(
6400
)15.1(
8000
)( 22
−=×





−++×





−+=VANE
(on suppose que du moment qu’il s’agit d’une institution universitaire que la plus-value de cession associée à la valeur
résiduelle n’est pas imposable)
Proposition non rentable pour l’institut
2) Avec la deuxième offre proposée la VAN espérée peut être évaluée comme suit :
957.8610000
)15.1(
100005.0
)15.1(
4.040006.08000
)( −=−




 ×
+
×+×
=VANE
La VAN est encore négative, l’institut n’est pas aussi tenu d’accepter la nouvelle offre
Exercice 11 :
L’entreprise dispose de 3 stratégies possibles (3 décisions possibles) 1S , 2S et 3S
Stratégie 1 :
Cas d’expansion : 35.49
1.0
)1.1(1
30135
10
=




 −
+−=
−
VAN
Cas de stagnation : 55.73
1.0
)1.1(1
10135
10
−=




 −
+−=
−
VAN
48.123.055.737.035.49)( 1
=×−×== ∑ i
PVANVANE iS )
Stratégie 2 :
Dans cette stratégie on est face à deux décisions prise dans des dates différentes soit une première
( à t=0) t une deuxième ( à t=2).Soit à commencer à résoudre d’abord le nœud décisionnel le
plus avancé dans le temps ( le 2ème
)
• Nœud décisionnel 2 : ( t+2)
o Cas d’une expansion : 7.46
1.0
)1.1(1
2060
8
2 =




 −
+−=
−
+tVAN
o Cas d’une stagnation 98.11
1.0
)1.1(1
960
8
2 −=




 −
+−=
−
+tVAN
23

83.4098.111.09.07.46)( 2 =×+×=noeudVANE
 Nœud décisionnel 1 :( t=0)
o Cas d’une expansion : 15.24
)1.1(
83.40
1.1
6
1.1
6
20 22
=+++−=VAN
o Cas d’une stagnation : 66.1)
1.0
)1.1(1
(320
10
−=
−
+−=
−
VAN
On peut ainsi déterminer la VAN espérée de la deuxième stratégie :
43.163.066.17.015.24)( =×−×=BVANE
)()( AB VANEVANE >
L’entreprise a donc intérêt à aménager l’usine actuelle plutôt que de construire une nouvelle
usine
24

Choix des investissements en avenir incertain

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Choix des investissements en avenir incertain

Similar to Choix des investissements en avenir incertain (20)

More from Lotfi TALEB, ESSECT

More from Lotfi TALEB, ESSECT (19)

Choix des investissements en avenir incertain