Problema de sistemas de ecuaciones lineales, resuelto por el mëtodo de Gauss.

1. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS Resolveremos el problema siguiente planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. Entre tres hermanos suman 49 años. Calcular las edades de cada uno de ellos sabiendo que el mayor tiene el doble de años que el pequeño y que la suma de las edades del pequeño y el mediano son 5 años más que la edad del mayor.

3. Y a la edad del hermano mediano.

4. Z a la edad del hermano pequeño

5. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS De los datos obtengo tres ecuaciones: X + Y + Z = 49 Debemos resolverlo X = 2Z utilizando el método Y + Z = X + 5 de Gauss. Entre tres hermanos suman 49 años. Calcular las edades de cada uno de ellos sabiendo que el mayor tiene el doble de años que el pequeño y que la suma de las edades del pequeño y el mediano son 5 años más que la edad del mayor.

6. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS X + Y + Z = 49 X = 2Z Y + Z = X + 5 X + Y + Z = 49 X - 2Z = 0 -X +Y + Z = 5 Ordenando las ecuaciones

7. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS X + Y + Z = 49 X = 2Z Y + Z = X + 5 X + Y + Z = 49 X - 2Z = 0 -X +Y + Z = 5 E 2 -> E 2 – E 1 E 3 -> E 3 + E 1 Ordenando las ecuaciones Sustituimos la segunda ecuación por el resultado de hacer E 2 – E 1 Y la tercera por el resultado de la operación E 3 + E 1 Estas operaciones las denotaremos de la forma

8. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS X + Y + Z = 49 X = 2Z Y + Z = X + 5 X + Y + Z = 49 X - 2Z = 0 -X +Y + Z = 5 E 2 -> E 2 – E 1 E 3 -> E 3 + E 1 Ordenando las ecuaciones X + Y + Z = 49 - Y - 3Z = -49 2Y + 2Z = 54 Sustituimos la segunda ecuación por el resultado de hacer E 2 – E 1 Y la tercera por el resultado de la operación E 3 + E 1 Estas operaciones las denotaremos de la forma

9. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS X + Y + Z = 49 - Y - 3Z = -49 2Y + 2Z = 54 X + Y + Z = 49 Y + 3Z = 49 Y + Z = 27 Seguiremos operando de esta forma hasta conseguir que el sistema esté escalonado. Las ecuaciones pueden simplificarse multiplicando o dividiendo todos sus términos por el mismo número. E 2 -> - E 2 E 3 -> (1/2)E 3

10. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS X + Y + Z = 49 - Y - 3Z = -49 2Y + 2Z = 54 X + Y + Z = 49 Y + 3Z = 49 -2Z = -22 Seguiremos operando de esta forma hasta conseguir que el sistema esté escalonado. Las ecuaciones pueden simplificarse dividiendo todos sus términos por el mismo número. E 2 -> - E 2 E 3 -> (1/2)E 3 E 3 -> E 3 E 2 X + Y + Z = 49 Y + 3Z = 49 Y + Z = 27 HEMOS CONSEGUIDO UN SISTEMA ESCALONADO EQUIVALENTE AL INICIAL

11. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS X + Y + Z = 49 Y + 3Z = 49 -2Z = -22 Para resolver este sistema iremos resolviendo ecuaciones de abajo a arriba y sustituyendo los valores obtenidos. Z = -22/-2 Z = 11

12. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS X + Y + Z = 49 Y + 3Z = 49 -2Z = -22 Para resolver este sistema iremos resolviendo ecuaciones de abajo a arriba y sustituyendo los valores obtenidos. Z = -22/-2 Z = 11 Si Z = 11 sustituimos en la ecuación Y + 3·11= 49 Y = 49 – 33 Y = 16

13. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS X + Y + Z = 49 Y + 3Z = 49 -2Z = -22 Para resolver este sistema iremos resolviendo ecuaciones de abajo a arriba y sustituyendo los valores obtenidos. Z = -22/-2 Z = 11 Si Z = 11 sustituimos en la ecuación Y + 3·11= 49 Y = 49 – 33 Y = 16 Si Z = 11 e Y = 16 y sustituimos en la primera ecuación obtendremos el valor de X X + 16 + 11 = 49 X = 49 – 16 – 11 X = 22

14. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS Para terminar comprobamos que la solución cumple el enunciado del problema. El mayor tiene X = 22 años El mediano tiene Y = 16 años El pequeño tiene Z = 11 años. Se comprueba que estos valores cumplen las relaciones entre las edades de los hermanos. Presentación realizada por Luis Antonio Martín. Abril 2010. Entre tres hermanos suman 49 años. Calcular las edades de cada uno de ellos sabiendo que el mayor tiene el doble de años que el pequeño y que la suma de las edades del pequeño y el mediano son 5 años más que la edad del mayor.